【数学】2020届一轮复习人教A版第46课椭圆的标准方程作业（江苏专用）
随堂巩固训练(46)
1. 已知方程(2－k)x2＋ky2＝2k－k2表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__(1，2)__．
解析：由(2－k)x2＋ky2＝2k－k2表示椭圆知，2k－k2≠0，所以＋＝1.因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，所以k>2－k>0，即1
a2>0，解得0AB.根据椭圆的定义可得，点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴为8的椭圆(长轴端点除外)，所以2a＝8，2c＝4，所以a＝4，c＝2，可得b2＝a2－c2＝12，故点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
8. 椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上．若PF1＝4，则PF2＝__2__，∠F1PF2的大小为__120°__．
解析：由PF1＋PF2＝6且PF1＝4，知PF2＝2.在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝＝－，所以∠F1PF2＝120°.
9. 已知椭圆C1与椭圆C2：＋＝1有相同的焦点，椭圆C1过点(－，1)，则椭圆C1的标准方程为__＋＝1__．
解析：设椭圆C1的方程为＋＝1，则a2－b2＝9－5＝4，将点(－，1)代入＋＝1，联立解得则椭圆C1的标准方程为＋＝1.
10. 椭圆＋＝1上一点P到两个焦点的距离之积为m，则当m取得最大值时，点P的坐标是__(0，3)或(0，－3)__．
解析：由题意得a＝5，b＝3，c＝＝4，由椭圆的定义得PF1＋PF2＝10，所以点P到两焦点的距离之积m＝PF1·PF2≤＝25，当且仅当PF1＝PF2＝5时，等号成立，m有最大值为25，此时点P的坐标为(0，3)或(0，－3)．
11. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3，2)，求椭圆的方程．
解析：当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则解得
所以椭圆的方程为＋＝1；
当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则解得所以椭圆的方程为＋＝1.
综上，椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
12. 已知椭圆(m＋2)x2＋y2＝m(m>0)的焦距F1F2＝.
(1) 求m的值及其焦点的坐标；
(2) 椭圆上是否存在一点P，使得∠F1PF2＝90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：(1) 把椭圆方程化为＋＝1，
因为m>0，所以m>.所以a2＝m，b2＝，
所以c2＝a2－b2＝m－＝＝，
解得m＝2或m＝－(舍去)，
椭圆的焦点坐标为.
(2) 由(1)知，椭圆方程为＋＝1，即4x2＋y2＝2.
设点P(x0，y0)，则有4x＋y＝2.①
因为∠F1PF2＝90°，所以△F1PF2为直角三角形，
所以PO＝F1F2＝，所以x＋y＝＝.②
联立①②，解得x0＝±，y0＝±，
所以存在4个符合条件的点P，即(－，－)，(－，)，(，－)，(，)．
13. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4.
(1) 若以原点为圆心、椭圆短半轴长度为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；
(2) 若P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，当kPM·kPN＝－时，求椭圆的方程．
解析：(1) 由题意得b＝＝.又2a＝4，所以a＝2.
因为c2＝a2－b2＝4－2＝2，所以两个焦点坐标为(，0)，(－，0)．
(2) 由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
设点M(x0，y0)，则点N(－x0，－y0)，P(x，y)．
由于点M，N，P在椭圆上，则＋＝1，＋＝1.
两式相减得＝－.
由题意可知直线PM，PN的斜率存在，则kPM＝，kPN＝，
kPM·kPN＝·＝＝－＝－，
由a＝2得b＝1，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
