高考数学理一轮复习第八篇立体几何空间几何体的结构三视图和直观图

高考数学理一轮复习第八篇立体几何空间几何体的结构三视图和直观图

第 1 讲 空间几何体的结构、三视图和直观图 【2013 年高考会这样考】 1．几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点． 2．三视图和其他的知识点结合在一起命题是新教材中考查学生三视图及几何量计算的趋势． 【复习指导】 1．备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型． 2．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图． 基础梳理 1．多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． 2．旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到． (2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到． (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋 转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到． 3．空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子， 与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图． 4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x′ 轴、y′轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝45°或 135°，已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段，在直观图中平行于 x′轴、y′轴．已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长 度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半． (2)画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z′轴，也垂直于 x′O′y′ 平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z′轴且长度不变． 一个规律 三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯 视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界 线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． 两个概念 (1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之， 正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特 别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底 面的射影是底面正多边形的中心． 双基自测 1．(人教 A 版教材习题改编)下列说法正确的是( )． A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 答案 D 2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是 ( )． A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面 都是圆面． 答案 C 3．(2011·陕西)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )． A．8－2π 3 B．8－π 3 C．8－2π D.2π 3 解析 圆锥的底面半径为 1，高为 2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即 V＝22×2 －1 3 ×π×12×2＝8－2 3π，正确选项为 A. 答案 A 4．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ( )． 解析 所给选项中，A、C 选项的正视图、俯视图不符合，D 选项的侧视图不符合，只有选项 B 符合． 答案 B 5．(2011·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为________m3. 解析 由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为 3、2、1，上面 是一个圆锥，底面圆半径为 1，高为 3，所以该几何体的体积为 3×2×1＋1 3π×3＝6＋π(m3)． 答案 6＋π 考向一 空间几何体的结构特征 【例 1】►(2012·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧 棱称为它的腰，以下 4 个命题中，假命题是( )． A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 [审题视点] 可借助几何图形进行判断． 解析 如图 ，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即 A 正确；底面四边形必有一个外接圆，即 C 正确；在高线上可以找到一个点 O，使得该点到四 棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即 D 正确；但四棱锥的侧面与底面所 成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题 B 为假命题．选 B. 答案 B 三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重 要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决． 【训练 1】 以下命题： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( )． A．0 B．1 C．2 D．3 解析 命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②错，因这条腰 必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行． 答案 B 考向二 空间几何体的三视图 【例 2】►(2011·全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的 侧视图可以为( )． [审题视点] 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥． 解析 由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥 的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为 D. 答案 D (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三 个方向看到的该几何体的侧面表示的图形． (2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚 线． 【训练 2】 (2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )． 解析 A 中正视图，俯视图不对，故 A 错．B 中正视图，侧视图不对，故 B 错．C 中侧视图， 俯视图不对，故 C 错，故选 D. 答案 D 考向三 空间几何体的直观图 【例 3】►已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为 ( )． A. 3 4 a2 B. 3 8 a2 C. 6 8 a2 D. 6 16a2 [审题视点] 画出正三角形△ABC 的平面直观图△A′B′C′，求△A′B′C′的高即可． 解析 如图①②所示的实际图形和直观图． 由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝1 2OC＝ 3 4 a， 在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′， 则 C′D′＝ 2 2 O′C′＝ 6 8 a. ∴S△A′B′C′＝1 2A′B′·C′D′＝1 2 ×a× 6 8 a＝ 6 16a2. 答案 D 直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面 积是其直观图面积的 2 2倍，这是一个较常用的重要结论． 【训练 3】 如图， 矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )． A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 解析 将直观图还原得▱OABC，则 ∵O′D′＝ 2O′C′＝2 2 (cm)， OD＝2O′D′＝4 2 (cm)， C′D′＝O′C′＝2 (cm)，∴CD＝2 (cm)， OC＝ CD2＋OD2＝ 22＋4 22＝6 (cm)， OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC， 故原图形为菱形． 答案 C 阅卷报告 9——忽视几何体的放置对三视图的影响致错 【问题诊断】 空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影.同一几何 体摆放的角度不同，其三视图可能不同，有的考生往往忽视这一点. 【防范措施】 应从多角度细心观察. 【示例】►一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 ________(填入所有可能的几何体前的编号)． ①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱． 错因 忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.实录 ①②⑤ 正解 ①三棱锥的正视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形； ③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；④ 对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形； ⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能 是三角形． 答案 ①②③⑤ 【试一试】 (2011·山东)右图是 长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如 右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图，俯视图如 右图．其中真命题的个数是( )． A． 3 B．2 C．1 D．0 [尝试解答] 如图①②③的正(主)视图和俯视图都与原题相同，故选 A. 答案 A 经典作业 一、选择题 1．一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为( ) A．8 2π B．8π C．4 2π D．4π [答案] B [解析] 球的半径 R＝ 12＋12＝ 2， ∴S＝4πR2＝8π故选 B. 2．已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该空间几何体的体积是( ) A.14 3 B.7 3 C．14 D．7 [分析] 根据三视图还原出空间几何体，按照体积计算公式进行计算． [答案] A [解析] 这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是 2，上底面是边长 为 1 的正方形、下底面是边长为 2 的正方形，故其体积 V＝1 3 ×(12＋ 12×22＋22)×2＝14 3 . 3．设矩形的边长分别为 a，b(a＞b)，将其按两种方式卷成高为 a 和 b 的圆柱筒，以其为侧面的圆柱 的体积分别为 Va 和 Vb，则( ) A．Va＞Vb B．Va＜Vb C．Va＝Vb D．Va 和 Vb 的大小不确定 [答案] B [解析] 由题意，Vb＝π( a 2π)2b＝ 1 4πa2b，Va＝π( b 2π)2a＝ 1 4πb2a，因为 a＞b，所以 Va＜Vb. 4．(2010·新课标文)设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面 积为( ) A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 [答案] B [解析] 本题考查了长方体的外接球的表面积的算法，此题是简单题，在解决问题时首先考虑借助长 方体和球的关系求得球的半径． 由题可知，长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体 的体对角线的长度，故 2R＝ 4a2＋a2＋a2，解得 R＝ 6 2 a，所以球的表面积 S＝4πR2＝6πa2，故选 B. 5．已知三棱锥 O—ABC 中，OA、OB、OC 两两垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若 x＋y＝4，则三棱 锥体积的最大值是( ) A.1 3 B.2 3 C．1 D.4 3 [答案] B [解析] 由条件可知 V 三棱锥 O—ABC＝1 6OA·OB·OC＝1 6xy≤1 6(x＋y 2 )2＝2 3 ，当 x＝y＝2 时，取得最大值2 3. 6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为( ) A．(16＋π)cm3 B．(16＋3π)cm3 C．(20＋4π)cm3 D．(18＋π)cm3 [分析] 本题考查三视图、长方体和圆柱体的体积计算，解题的关键是根据三视图想象出几何体的直 观图，再利用体积公式进行求解． [答案] B [解析] 由三视图知，该几何体的上部分是正四棱柱，下部分是圆柱．正四棱柱的底面边长为 4cm， 高为 1cm，其体积为 16cm3；圆柱的底面半径为 1cm，高为 3cm，其体积为 3πcm3.所以该几何体的体积为(16 ＋3π)cm3. 7．若圆锥轴截面的顶角θ满足π 3<θ<π 2 ，则其侧面展开图中心角α满足( ) A.π 4<α<π 3 B.π 3<α<π 2 C.π 2<α<π D．π<α< 2π [答案] D [解析] ∵θ∈ π 3 ，π 2 ∴θ 2 ∈ π 6 ，π 4 ， ∴sinθ∈ 1 2 ， 2 2 . 又r l ＝sinθ∈ 1 2 ， 2 2 ， ∴其侧面展开图中心角α＝r l·2π∈(π， 2π)． 8．(2010·全国卷Ⅰ理)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB＝CD＝2.则四面体 ABCD 的体积的最大值为( ) A.2 3 3 B.4 3 3 C．2 3 D.8 3 3 [答案] B [解析] 过 CD 作平面 PCD，使 AB⊥平面 PCD，交 AB 于 P，设点 P 到 CD 的距离为 h，则有 V 四面体 ABCD＝1 3 ×2×1 2 ×2×h＝2 3h，当直径通过 AB 与 CD 的中点时，hmax＝2 22－12＝2 3，故 Vmax＝4 3 3 . 二、填空题 9．(2010·天津理)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________． [答案] 10 3 [解析] 由三视图知，该几何体由一个高为 1，底面边长为 2 的正四棱锥和一个高为 2，底面边长为 1 的正四棱柱组成，则体积为 2×2×1×1 3 ＋1×1×2＝10 3 . 10．(2011·广东广州)将圆心角为2π 3 ，面积为 3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于 __________． [答案] 4π [解析] 设扇形的半径为 r，弧长为 l，则有 1 2rl＝1 2·2π 3 ·r2＝3π，所以 r ＝3，l＝2π，于 是圆锥的母线长为 3，底面半径为 1，故表面积 S＝π·1·3＋π·12＝4π. 11．(2010·湖北理)圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个 相同的球(球的 半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如右图所示)，则球的半径是________cm. [答案] 4 [解析] 设球的半径为 r，根据题意可得 8πr2＋3×4 3πr3＝6πr3，解得 r＝4. 三、解答题 12．已知球的半径为 R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？ 侧面积的最大值是多少？ [解析] 作轴截面如图，令圆柱的高为 h，底面半径为 r，侧面积为 S， 则 h 2 2＋r2＝R2，即 h＝2× R2－r2， ∴S＝2πrh＝4πr· R2－r2 ＝4π r2·R2－r2 ≤4π r2＋R2－r2 2 2＝2πR2， 当且仅当 r2＝R2－r2 时取等号，此时内接圆柱底面半径为 2 2 R，高为 2R，最大侧面积等于 2πR2. 13．(2010·新课标卷)如图，已知四棱锥 P－ABCD 的底面为等腰梯形， AB ∥ CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 为四棱锥的高． (1)证明：平面 PAC⊥平面 PBD； (2)若 AB＝ 6，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥 P－ABCD 的体积． [解析] 本题综合考查立体几何的知识，其中主要考查面面垂直的判定定理和棱锥的体积公式，在解 决时要仔细审核题意，找准入手点进行解决，题目定位于中低档题，考查处理立体几何的常规方法． 解：(1)因为 PH 是四棱锥 P－ABCD 的高， 所以 AC⊥PH.又 AC⊥BD，PH，BD 都在平面 PBD 内，且 PH∩BD＝H， 所以 AC⊥平面 PBD， 故平面 PAC⊥平面 PBD. (2)因为 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝ 6， 所以 HA＝HB＝ 3. 因为∠APB＝∠ADB＝60°， 所以 PA＝PB＝ 6，HD＝HC＝1， 可得 PH＝ 3， 等腰梯形 ABCD 的面积为 S＝1 2AC×BD＝2＋ 3. 所以四棱锥的体积为 V＝1 3 ×(2＋ 3)× 3＝3＋2 3 3 . 14．已知四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的侧棱 AA1 垂直于底面，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，AB⊥ BC，AD＝AA1＝2，AB＝BC＝1，E，F 分别为 A1D，CD 中点． (1)求证：EF∥平面 A1ACC1； (2)求证：CD⊥平面 A1ACC1，并求四棱锥 D—A1ACC1 的体积． [证明] (1)连 A1C， ∵E、F 分别为 A1D，CD 中点， ∴EF∥A1C， 又∵A1C 平面 A1ACC1，EF ⃘ 平面 A1ACC1∴EF∥平面 A1ACC1 (2)四边形 ABCD 为直角梯形且 AD∥BC， AB⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝1， ∴AC＝CD＝ 2， ∴AD2＝AC2＋CD2， ∴CD⊥AC， 又∵AA1⊥平面 ABCD， CD 平面 ABCD， ∴CD⊥AA1， AA1 平面 A1ACC1. AC 平面 A1ACC1， ∴CD⊥平面 A1ACC1 ∴CD 为四棱锥 D—A1ACC1 的高， ∴V＝1 3SA1ACC1·CD＝1 3· 2·2· 2＝4 3. 15．如图，侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面 ABC 位于平行四边形 ACDE 中，AE＝2， AC＝AA1＝4，∠E＝60°，点 B 在线段 DE 上． (1)当点 B 在何处时，平面 A1BC⊥平面 A1ABB1； (2)点 B 在线段 DE 上运动的过程中，求三棱柱 ABC—A1B1C1 全面积最小值． [分析] 本题属于立体几何探究问题，第(1)问解题思路是逆向的推理问题，从结论下手，寻求解题突 破口；第(2)问解决的关键是将动点转化为代数表达式，从而将问题解决． [解析] (1)由于三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱锥，则 AA1⊥平面 ABC，∵BC 平面 ABC，∴AA1⊥BC.而 AA1∩AB＝A，只需 BC⊥平面 A1ABB1，即 AB⊥BC， 就有“平面 A1BC⊥平面 A1ABB1”． 在平行四边形 ACDE 中， ∵AE＝2，AC＝4，∠E＝60°. 过点 B 作 BH 垂直 AC 于 H，则 BH＝ 3. 若 AB⊥BC，有 BH2＝AH×CH，∵AC＝4，∴AH＝1 或 3. 两种情况下，B 为 ED 的中点或与点 D 重合． (2)三棱柱 ABC—A1B1C1 全面积等于侧面积与两个底面积之和． 显然其底面积和平面 ACC1A1 的面积为定值，只需保证侧面 ABB1A1 和侧面 B1C1CB 面积之和最小即可． 过点 B 作 BF 垂直 AC 于 F，则 BF＝ 3. 令 AF＝x，则侧面 ABB1A1 和侧面 B1C1CB 面积之和等于 4×(AB＋BC)＝4[ 3＋x2＋ 3＋4－x2]． 其中 3＋x2＋ 3＋4－x2表示动点(x,0)到定点(0，－ 3)和(4， 3)的距离之和，当且仅当 x＝2 时取得 最小值． 所以三棱柱的全面积的最小值为 2×4× 3 2 ＋42＋4×2 7 ＝4 3＋8 7＋16. [点评] 立体几何题中求值问题多数情况下是求体积和面积问题，解题时重点关注题目中的位置关系，垂 直是求值的根源．本题中的动点问题，还有存在性问题都是当前高考命题的热点，同学们需认真把握．