2021中考数学复习微专题 《三角函数应用题》破解与提升策略

2021中考数学复习微专题 《三角函数应用题》破解与提升策略

中考数学微专题：《三角函数应用题》破解与提升策略 一.知识储备 1. 仰角、俯角的定义 如下图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水 平线的夹角叫做俯角．右图中的∠2 就是仰角，∠1 就是俯角． 2.坡角、坡度的定义 坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作 i，即 i＝AC BC ，坡度 通常用 1:m 的形式，例如下图的 1:2 的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。 从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是 i＝tanB。显然，坡度越大， 坡角越大，坡面就越陡。 二.三角函数应用题常用模型 在解答三角函数应用题时，通常都能把它们化归到以下几个几何模型： 通过作高，把一般三角形或梯形构造出两个直角三角形，在两个三角形中分别 运用三角函数的知识进行解答。 三.例题解析 例 1 为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球， 测得仰角为 30°，然后他向气球方向前进了 50m，此时观测气球，测得仰角为 45°．若小明的眼睛离地面 1.6m ，小明如何计算气球的高度呢（精确到 0.01m） 解析： 1.由题目可知道，气球的高度就是 CD 的长加上小明的眼睛离地面 1.6m． 2.假设 CD 为 h m，BD 为 x m，在 Rt△ADC 和 Rt△BDC 利用正弦列出两个方程求 出. 解答：设 CD 为 h m，BD 为 x m， 在 Rt△ADC 中， tan3050 h x   ① 在 Rt△BDC 中， tan 45h x   ② 整理①、②得方程： 3 3 （x+50）=x 解得：h=x= 50 3 1 ≈68.31 68.31+1.6=69.91 答：气球的高度约为 69.91 米。 例 2 坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元 1112 年）， 为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一 个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有： 测角仪、皮尺、小镜子． （1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高．图 1 为小华测量塔高的示意 图．她先在塔前的平地上选择一点 A ，用测角仪测出看塔顶（M）的仰角   °，在点 A 和塔之间选择一点 B ，测出看塔顶（M）的仰角  =45°，然 后用皮尺量出 A 、 B 两点间的距离为 18.6m，量出自身的高度为 1.6m．请你 利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan35°≈0.7，结果保留整数）． B C ＡN M β D 图 1 ＰN M 图 2 解析： （1）设 CD 的延长线交 MN 于 E 点，MN 长为 x，根据题意构造直角三角形，利 用其公共边构造方程求解． （2）根据题目中的情景，结合解三角形的知识设计测量方法． 解答：（1）设 CD 的延长线交 MN 于 E 点，MN 长为 x， 则 ME=x-1.6． ∵β=45°， ∴DE=ME=x-1.6． ∴CE=x-1.6+18.6=x+17． ∵ ME CE =tanα=tan35°， ∴ 1.6 17 x x   =0.7， 解得 x=45． ∴太子灵踪塔（MN）的高度为 45m． 四.练习反馈 1. 王英同学从 A 地沿北偏西 60º方向走 100m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200m 到 C 地，此时王英同学离 A 地 ( ) A 150m B 350 m C 100 m D 3100 m 2. 如图 ，起重机的机身高 AB 为 20m，吊杆 AC 的长为 36m， 吊杆与水平线的 倾角可以从 30°转到 80°，则这台起重机工作时吊杆端点 C 离地面的最大高 度和离机身的最远水平距离分别是（ ） A．（30+20）m 和 36tan30°m B．（36sin30°+20）m 和 36cos30°m C．36sin80°m 和 36cos30°m D．（36sin80°+20）m 和 36cos30°m 3. 如图，小明从 A 地沿北偏东 30 方向走 100 3m 到 B 地，再从 B 地向正南方 向走 200 m 到 C 地，此时小明离 A 地 m ． 4. 如图所示，小华同学在距离某建筑物 6 米的点 A 处测得广告牌 B 点、C 点 的仰角分别为 52°和 35°，则广告牌的高度 BC 为__________米(精确到 0.1 米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79， cos52°≈0.62，tan52°≈1.28) 5. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 60 ，看这 栋高楼底部的俯角为 30 ，热气球与高楼的水平距离为 60 m，这栋高楼有多 高？ （结果精确到 0.1 m，参考数据： 73.13  ） A B C D6 米 52° 35° 6. 如图，一艘核潜艇在海面下 500 米 A 点处测得俯角为30°正前方的海底有黑 匣子信号发出，继续在同一深度直线航行 4000 米后再次在 B 点处测得俯角为 60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点处距离海面的深度？ （精确到米，参考数据： 2 1.414≈ ， 3 1.732≈ ， 5 2.236≈ ） 7. 如图，小阳发现电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，量得 CD=8 米，BC=20 米，CD 与地面成 30º角，且此时测得 1 米杆的影长为 2 米，求 电线杆的高度 8. 同学们对公园的滑梯很熟悉吧？如图，是某公园新增设的一台滑梯，该滑 梯高度 AC＝2 米，滑梯着地点 B 与梯架之间的距离 BC＝4 米． （1）求滑梯 AB 的长（精确到 0.1 米）； （2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过 45°，属于安全．通过计算说明这 架滑梯的倾斜角是否符合要求？