2019-2020学年甘肃省会宁县第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题

2019-2020学年甘肃省会宁县第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题

会宁一中 2019-2020 学年第一学期期末考试 高二数学（文科）试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 ，集合 ，则 （　　） A． B． C． D． 2.抛物线 的准线方程是（　　） A． B． C． D． 3.下列命题的说法错误的是（　　） A．对于命题 则 B．“ ”是” ”的充分不必要条件 C．“ ”是” ”的必要不充分条件 D．命题”若 ，则 ”的逆否命题为：”若 ，则 ” 4.已知函数 在 处取得极小值 ，则 的值分别为 （　　） A．-4,4 B．4，-4 C．4,4 D．-4，-4 5.已知等差数列 的前 n 项和为 Sn，且 S2＝4，S4＝16，数列 满足 ， 则数列 的前 9 和 为（　　） A．80 B．180 C．20 D．166 6.已知斐波那契数列的前七项为：1、1、2、3、5、8，13.大多数植物的花，其花瓣数按层 从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花 3 朵，花瓣总数为 99，假设 这种"雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有 （　　）层. A．5 B．6 C．7 D．8 7.若1 a＜1 b＜0，给出下列不等式：① 1 a＋b＜ 1 ab；②|a|＋b＞0；③a－1 a＞b－1 b；④ln a2＞ln b2. { }062 <−−= xxxA { }01>−= xxB =BACR )( [ )+∞,3 ( ]3,1 ( )3,1 ( )+∞,3 21 8y x= − 1 32x = − 2y = 1 2x = 4y = 2: , 1 0,p x R x x∀ ∈ + + > 2 0 0 0: , 1 0p x R x x¬ ∃ ∈ + + ≤ 1x = 2 3 2 0x x− + = 2 2ac bc< a b< 2 3 2 0x x− + = 1x = 1x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ ( )31( ) ,3f x x ax b a b R= + + ∈ 2x = 4 3 − ba, { }na { }nb 1n n nb a a += + { }nb 9T 其中正确的不等式是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 8.设 A，B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°， 则 m 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9.设函数 在定义域内可导， 的图象如图所示，则导函数 的图象可 能是（　　） A． B． C． D． 10.设等差数列 的前 项和分别为 ，若 ，则使 的 的 个数为（　　） A． B． C． D． 11. 在 中 ， 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 若 ， ，则 周长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,以 为直径的圆与 双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（ ） 21,FF 21FF 2 2 13 x y m + = (0,1] [9, )+∞ (0, 3] [9, )+∞ (0,1] [4, )+∞ (0, 3] [4, )+∞ )(xf )(xfy = )(xfy ′= { } { },n na b n ,n nS T 3 33 3 n n S n T n += + n n a Zb ∈ n 3 4 5 6 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3sin cos( )6 2A A π+ + = 4b c+ = ABC∆ [6,8) [6,8] [4,6) (4,6] )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x A. B. C.2 D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．共 20 分. 13.已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 ,则 ________. 14.曲线 在点 处的切线方程为__________． 15.已知双曲线 ，则该双曲线的渐近线方程为________. 16.设函数 ，若 在 上的最大值为 ，则 =________. 三、解答题：共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤. 17. （ 本 小 题 10 分 ） 已 知 ， 命 题 ： 对 任 意 ， 不 等 式 恒 成 立 ； 命 题 ： 存 在 ， 使 得 成 立． （1）若 为真命题，求 的取值范围； （2）若 为假， 为真，求 的取值范围． 18.（本小题 12 分）在 中,角 所对的边分别是 且 （1）求边 的长； （2）若点 是边 上的一点，且 的面积为 求 的正弦值. 19.（本小题 12 分）已知函数 ， 为实数. （1）若函数 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围； （2）若 ，求函数 的最小值. 20.（本小题 12 分）已知函数 . （1）当 时，证明： 有且只有一个零点； 2 22 + 22 + 2 2 125 16 x y+ = 2 2 15 x y m − = 1 2,F F m = 2lny x= ( )1,0 2 2 14 3 y x− = ( ) ln ln(2 )f x x x ax= + − + ( 0)a > ( )f x (0,1] 1 2 a Rm∈ p [ ]1,0∈x mmx 32)1(log 2 2 −≥−+ q [ ]1,1−∈x 12 1 −    ≤ x m p m qp ∧ qp ∨ m ABC∆ , ,A B C , , ,a b c 2 ,cos 3sin .32, B Cb A π == = AB D BC ACD∆ 3 3 4 ， ADC∠ 2( ) 2 1f x x mx= + − m ( )f x [ ]1,3 m [ ]11x∈ − ， ( )f x ( ) ( ) ( )2 2 2 2 ln 0f x x a x a x a= − + + > 1a = ( )f x （2）求函数 的极值. 21.（本小题 12 分）等比数列 中， ． （1）求 的通项公式； （2）记 为 的前 项和．若 ，求 ． 22.（本小题 12 分）如图，椭圆 经过点 ，且点 到椭 圆的两焦点的距离之和为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）若 ， 是椭圆 上的两个点，线段 的中垂线 的斜率为 且直线 与 交 于点 ， 为坐标原点，求证： ， ， 三点共线． ( )f x { }na 1 5 31 4a a a= =， { }na nS { }na n 63mS = m 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 4 1( , )3 3M M 2 2 C R S C RS l 1 2 l RS P O P O M 2019-2020 学年第一学期期末考试 高二数学（文科）答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 ABCAB CCAAC AD 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．共 20 分. 13.4 14. 15. 16. 三、解答题：共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤. 17.（本小题 10 分） （1）对任意 x∈[0，1]，不等式 恒成立， 当 x∈[0，1]，由对数函数的性质可知当 x＝0 时，y＝log2（x+1）﹣2 的最小值为﹣2， ∴﹣2≥m2﹣3m，解得 1≤m≤2． 因此，若 p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2] （2）存在 x∈[﹣1，1]，使得 成立，∴ ． 命题 q 为真时，m≤1． ∵p 且 q 为假，p 或 q 为真，∴p，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当 p 真 q 假时，则 解得 1＜m≤2； 当 p 假 q 真时， ，即 m＜1． 综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2] 18.（本小题 12 分） （1） 2 2y x= − 2 3 3y x= ± 1 2a = cos 3sin cos 3sin3B C C C π = ⇒ − =   1 3 3cos sin 3sin tan ,2 2 3 6C C C C C π⇒ + = ⇒ = = （2） 解得 在 中，由余弦定理得 在 中，由正弦定理得 . ． 19.（本小题 12 分）解：f（x）＝2x2+mx﹣1 开口向上，对称轴 x ， （1）∵函数 f（x）在区间[1，3]上是单调函数， ∴ 或 ， 解可得，m≥﹣4 或 m≤﹣12； （2）①若 即 m≥4 时，函数 单调递增， ∴f（x）min＝f（﹣1）＝1﹣m， ②若 即 m≤﹣4 时，函数 单调递减， ∴f（x）min＝f（1）＝1+m， ③若﹣1 即﹣4＜m＜4 时，f（x）min＝f（ ）＝﹣1 ． 2B C b c= ⇒ = = 1 3 3= sin2 6 4ACDS b CD π ∆ × × × = 3 3= 2CD ACD∆ 2 2 23 3 3 3 7=2 +( ) 2 2 cos2 2 6 4AD π− × × × = 7 2AD = ACD∆ 2 7sinsin sin 7 AD AC ADCC ADC = ⇒ ∠ =∠ 5 3 5 31 2 2 AB = × = 4 m= − 14 m− ≤ 34 m− ≥ 14 m− ≤ − ( )f x 14 m− ≥ ( )f x 14 m−＜ ＜ 4 m− 2 8 m− 20.（本小题 12 分） 解（Ⅰ）当 时， ，定义域为 ， ∴ ， ∴ 在 上单调递增，∴ 至多有一个零点. 又 ， ， 则 ，∴ 在 上有且只有一个零点. （Ⅱ）由题意得， ， ， 当 时，当 时， ， 当 时， ，当 时， ， ∴函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减， ∴极大值为 ， 极小值为 ； 当 时， ， ∴函数 在 上单调递增，无极值； 当 时，当 时， ，当 时， ， 当 时， ， ∴函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减， ∴极大值为 ，极小值为 . 21.（本小题 12 分） 1a = ( ) 2 4 2lnx xx xf = − + ( )0, ∞+ ( ) 2 12 4 2 2' x xx x xf  = − + = − +   2 22 1 2( 1)2 0x x x x x − + −= ⋅ = ≥ ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x ( )1 1 4 0 3 0f = − + = − < ( )4 16 16 2ln 4 2ln 4 0f = − + = > ( ) ( )1 4 0f f⋅ < ( )f x ( )0, ∞+ ( )0,x∈ +∞ ( ) ( ) ( )( )2 12' 2 2 2 x x aaf x x a x x − −= − + + = 0 1a< < ( )0,x a∈ ( )' 0f x > ( ),1x a∈ ( )' 0f x < ( )1,x∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x ( )0,a ( )1,+∞ ( ),1a ( ) ( )2 22 2 2 ln 2 2 lna a a a a a a a af a = − + + = − − + ( )1 1 2 2 1 2f a a= − − = − − 1a = ( ) ( )22 1' 0xf x x −= ≥ ( )f x ( )0, ∞+ 1a > ( )0,1x∈ ( )' 0f x > ( )1,x a∈ ( )' 0f x < ( ),x a∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x ( )0,1 ( ),a +∞ ( )1,a ( )1 1 2f a= − − ( ) 2 2 2 lna af a aa = − − + 解：（1）设 的公比为 ，由题设得 ． 由已知得 ，解得 （舍去）， 或 ． 故 或 ． （2）若 ，则 ．由 得 ，此方程没有正整 数解． 若 ，则 ．由 得 ，解得 ． 综上， ． 22.（本小题 12 分） （1）解： 点 到椭圆的两焦点的距离之和为 ， ，解得 ，又椭圆 经过点 ， ， 解得 ． 椭圆 的标准方程为 ；.….….….…5 分 （2）证明： 线段 的中垂线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ， 可设直线 的方程为 ． 联立 ，得 ． 设点 ， ， ， ， ， ， ， 则 ． ， ， 点 在直线 上， 又点 也在直线 上， ， ， 三点共线． { }na q 1n na q −= 4 24q q= 0q = 2q = − 2q = ( ) 12 n na −= − 12n na −= ( ) 12 n na −= − ( )1 2 3 n nS − −= 63mS = ( )2 188m− = − 12n na −= 2 1n nS = − 63mS = 2 64m = 6m = 6m =  M 2 2 ∴ 2 2 2a = 2a = C 4 1( , )3 3M ∴ 2 2 2 2 4 1( ) ( )3 3 1a b + = 2 1b = ∴ C 2 2 12 x y+ =  RS l 1 2 ∴ RS 2− ∴ RS 2y x m= − + 2 2 2 12 y x m x y = − + + = 2 29 8 2 2 0x mx m− + − = 1(R x 1)y 2(S x 2 )y 0(P x 0 )y ∴ 1 2 1 2 1 2 1 2 8 8 2, 2 2 2( ) 2 2 29 9 9 m m mx x y y x m x m x x m m+ = + = − + − + = − + + = − + = 1 2 1 2 0 0 4 ,2 9 2 9 x x y ym mx y + += = = =  0 0 1 4 y x = ∴ 0 0 1 4y x= ∴ P 1 4y x= 4 1(0,0), ( , )3 3O M 1 4y x= P∴ O M