【数学】2020届一轮复习苏教版“解析几何”专题提能课作业

【数学】2020届一轮复习苏教版“解析几何”专题提能课作业

‎(十二) “解析几何”专题提能课 A组——易错清零练 ‎1．过点P(2，－1)且倾斜角的正弦值为的直线方程为________________________．‎ 解析：设所求直线的倾斜角为α，则由题设知sin α＝，因为0≤α<π，‎ 所以cos α＝±＝±，所以tan α＝＝±，则所求直线方程为y＋1＝±(x－2)，即5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0.‎ 答案：5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0‎ ‎2．若椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是________．‎ 解析：因为短轴长为2，即b＝1，所以a＝2，则椭圆的中心到其准线的距离是.‎ 答案： ‎3．设双曲线的渐近线为y＝±x，则其离心率为________．‎ 解析：由题意可得＝或＝，从而e＝＝＝或.‎ 答案：或 ‎4．若关于x的方程 ＝a(x－1)＋1有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是________．‎ 解析：作出函数y＝的图象，它是单位圆的上半部分，作出直线y＝a(x－1)＋1，它是过点A(1,1)的直线，由图象可知，实数a的取值范围是.‎ 答案： B组——方法技巧练 ‎1．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.‎ 解析：由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.‎ 由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直线l 的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.‎ 画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.‎ 答案：4‎ ‎2.如图，设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．‎ 解析：设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，‎ 则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，‎ 可得＝3，故 即代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.‎ 答案：x2＋y2＝1‎ ‎3．椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．‎ 解析：法一：设椭圆的另一个焦点F1(－c,0)，如图，连结QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M，又题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ，O为线段F1F的中点，‎ ‎∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，F1Q＝2OM.‎ 在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，OF＝c.‎ 解得OM＝，MF＝，故QF＝2MF＝，QF1＝2OM＝.‎ 由椭圆的定义QF＋QF1＝＋＝2a，整理得b＝c，∴a＝＝c，‎ 故e＝.‎ 法二：设Q(x0，y0)，则FQ的中点坐标为，kFQ＝.‎ 依题意得 解得 又因为(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1.‎ 令e＝，则4e6＋e2＝1，故离心率e＝.‎ 答案： ‎4．若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为________. ‎ 解析：由题意，设点M的横坐标为x，根据焦半径公式得，a＋ex＝2，x＝，有－a≤≤a，不等式各边同除以a，得－1≤≤1，则－1≤e＋2，即e2＋3e－2≥0，又0b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________．‎ 解析：如图所示，由题意得 A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．‎ 设E(0，m)，‎ 由PF∥OE，得＝，‎ 则|MF|＝.①‎ 又由OE∥MF，得＝，‎ 则|MF|＝.②‎ 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝.‎ 答案： ‎3．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．‎ 解析：依题意，直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，过O作OA⊥MN，垂足为A，在Rt△OMA中，因为∠OMA＝45°，故|OA|＝|OM|sin 45°＝|OM|≤1，所以|OM|≤，则≤，解得－1≤x1≤1.‎ 答案：[－1,1]‎ ‎4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得＝，则该椭圆离心率的取值范围为________．‎ 解析：在△MF1F2中，＝，‎ 而＝，‎ ‎∴＝＝.①‎ 又M是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，‎ ‎∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②‎ 由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝.‎ 显然|MF2|>|MF1|，‎ ‎∴a－c<|MF2|0，∴e2＋2e－1>0，又0b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．‎ 解：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，‎ 故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．‎ 又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，‎ 所以点P2在椭圆C上．‎ 因此解得 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.‎ 如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，.‎ 则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．‎ 从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．‎ 将y＝kx＋m代入＋y2＝1得 ‎(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.‎ 由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 而k1＋k2＝＋ ‎＝＋ ‎＝.‎ 由题设k1＋k2＝－1，‎ 故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.‎ 即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.‎ 解得k＝－.‎ 当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l 过定点(2，－1)．‎ ‎6.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A，B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．‎ ‎(1)求证：A，C，T三点共线；‎ ‎(2)如果＝3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．‎ 解：(1)证明：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，①‎ 则A(0，b)，B(0，－b)，T，‎ AT：＋＝1，②‎ BF：＋＝1，③‎ 联立②③，解得交点C，代入①得：‎ ＋＝＝1.‎ 满足①式，则C点在椭圆上，A，C，T三点共线．‎ ‎(2)过C作CE⊥x轴，垂足为E(图略)，则△OBF∽△ECF.‎ ‎∵＝3，CE＝b，EF＝c，则C，代入①得：‎ ＋＝1，∴a2＝2c2，b2＝c2.‎ 设P(x0，y0)，则x0＋2y＝2c2，‎ 此时C，AC＝c，S△ABC＝·2c·＝c2，‎ 直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，‎ 点P到直线AC的距离为d＝＝，‎ S△APC＝d·AC＝··c＝·c.‎ 只需求x0＋2y0的最大值．‎ ‎∵(x0＋2y0)2＝x＋4y＋2·2x0y0≤x＋4y＋2(x＋y)＝3(x＋2y)＝6c2，‎ ‎∴x0＋2y0≤c，‎ 当且仅当x0＝y0＝c时，(x0＋2y0)max＝c.‎ ‎∴四边形的面积最大值为c2＋c2＝c2＝，‎ ‎∴c2＝1，a2＝2，b2＝1，‎ 此时椭圆方程为＋y2＝1，P点坐标.‎