2020年湖南省张家界市中考数学真题

2020年湖南省张家界市中考数学真题

湖南省张家界市 2020 年中考数学 一、选择题 1. 1 2020 的倒数是（ ） A. 1 2020  B. 1 2020 C. 2020 D. 2020 【答案】C 【解析】 【分析】 根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：∵ 1 2020 ×2020=1， ∴ 1 2020 的倒数是 2020． 故答案为 C． 【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 2.如图是由 5 个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】从正面看有三列，从左到右依次有 2、1、1 个正方形，图形如下： 故选 A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图． 3.下列计算正确的是（ ） A. 22 3 5a a a  B.  32 5a a C. 2 2( 1) 1a a   D. 2( 2)( 2) 4a a a    【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可 【详解】解：A、 2 3 5a a a  ，故原式错误； B、 32 6a a ，故原式错误； C、 2 2( 1 1) 2a a a    ，故原式错误； D、 2( 2)( 2) 4a a a    ，故原式正确， 故选：D． 【点睛】此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题 的关键． 4.下列采用的调查方式中，不合适的是（ ） A. 了解澧水河的水质，采用抽样调查． B. 了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查． C. 了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查． D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得 到的调查结果接近准确数值，从而可得答案． 【详解】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故 A 合适， 了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故 B 不合适， 了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故 C 合适， 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故 D 合适， 故选 B． 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征 灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查， 对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 5.如图，四边形 ABCD 为 O 的内接四边形，已知 BCD 为120 ，则 BOD 的度数为（ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】 根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形， ∴∠A＝180°−∠BCD＝60°， 由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文 为：今有若干人乘车，每 3 人共乘一车，最终剩余 2 辆车：若每 2 人共乘一车，最终剩余 9 个人无车可乘， 问共有多少人，多少辆车？设共有 x 人，可列方程（ ） A. 2 93 2 x x   B. 923 2 x x   C. 923 2 x x  D. 2 93 2 x x   【答案】B 【解析】 【分析】 设有 x 人，根据车的辆数不变，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有 x 人，根据车的辆数不变列出等量关系， 每 3 人共乘一车，最终剩余 2 辆车，则车辆数为： 23 x  ， 每 2 人共乘一车，最终剩余 9 个人无车可乘，则车辆数为： 9 2 x  ， ∴列出方程 为： 923 2 x x   ． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关 键． 7.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 2 6 8 0x x   的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2 或 4 【答案】A 【解析】 【分析】 解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 【详解】解：x2－6x+8=0 （x－4）（x－2）=0 解得：x=4 或 x=2， 当等腰三角形的三边为 2，2，4 时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为 2，4，4 时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形， 所以三角形的底边长为 2， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判 断三角形三边存在的条件是解此题的关键． 8.如图所示，过 y 轴正半轴上的任意一点 P，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数 6y x   和 8y x  的图象 交于点 A 和点 B，若点 C 是 x 轴上任意一点，连接 ,AC BC ，则 ABC 的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】 根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当 C 点位于 O 点是，△ABC 的面积与△ABO 的面积相 等，由此即可求解． 【详解】解：∵AB∥x 轴，且△ABC 与△ABO 共底边 AB， ∴△ABC 的面积等于△ABO 的面积， 连接 OA、OB，如下图所示： 则 1 1 2 2       ABO PBO PAOS S S PO PB PO PA 1 1|8| | 6 | 4 3 72 2         ． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成 的矩形的面积为| |k 这个结论． 二、填空题 9.因式分解： 2 9x   _____． 【答案】  3 3x x  【解析】 【分析】 根据公式法进行因式分解即可． 【详解】解：   2 2 29 3 3 3x x x x      ， 故答案为：  3 3x x  ． 【点睛】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握公式法并灵活应用是解题的关键． 10.今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为 支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了 211000000 元救灾应急资金支持暴 雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则 211000000 元用科学记数法表示为___________元． 【答案】2.11×108 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|<10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正整数；当原数的 绝对值<1 时，n 是负整数． 【详解】211000000 的小数点向左移动 8 位得到 2.11， 所以 211000000 用科学记数法表示为 2.11×108， 故答案为：2.11×108． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|<10，n 为整 数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 11.如图， AOB 的一边OA为平面镜， 38AOB   ，一束光线（与水平线 OB 平行）从点 C 射入经平面 镜反射后，反射光线落在OB 上的点 E 处，则 DEB 的度数是_______度． 【答案】76° 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得∠ADC 的度数，由光线的反射定理可得∠ODE 的度数，在根据三角形外角性质即可 求解． 【详解】解：∵DC∥OB， ∴∠ADC=∠AOB=38°， 由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°， ∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°， 故答案为：76°． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键． 12.新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生 30 人，女生 24 人，欲从该班级中选出一名值日班长，任 何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是_____． 【答案】 5 9 【解析】 【分析】 先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可． 【详解】全班共有学生 30+24=54（人）， 其中男生 30 人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是 30 54 = 5 9 ， 故答案为： 5 9 ． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= m n ． 13.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，将其绕顶点 C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点 B 落在对角线CF 上，则阴影部分的面积是______． 【答案】 2 1 【解析】 【分析】 如下图所示，△ENC、△MPF 为等腰直角三角形，先求出 MB=NC= 2 2 ，证明△PBC≌△PEC，进而得到 EP=BP，设 MP=x，则 EP=BP= 2x ，解出 x，最后阴影部分面积等于 2 倍△BPC 面积即可求解． 【详解】解：过 E 点作 MN∥BC 交 AB、CD 于 M、N 点，设 AB 与 EF 交于点 P 点，连接 CP,如下图所示， ∵B 在对角线 CF 上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1， ∴△ENC 为等腰直角三角形， ∴MB=CN= 2 2 EC= 2 2 ， 又 BC=AD=CD=CE，且 CP=CP，△PEC 和△PBC 均为直角三角形， ∴△PEC≌△PBC(HL)， ∴PB=PE， 又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE， ∴△MPE 为等腰直角三角形， 设 MP=x，则 EP=BP= 2x ， ∵MP+BP=MB， ∴ 22 2x x  ，解得 2 2 2x  ， ∴BP= 2 2 1 x ， ∴阴影部分的面积= 12 2 1 ( 2 1) 2 12         PBCS BC BP ． 故答案为： 2 1 ． 【点睛】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过 E 点作 BC 的平行线，再证明△ENC、 △MPF 为等腰直角三角形进而求解线段长. 14.观察下面的变化规律： 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 11 , , ,1 3 3 3 5 3 5 5 7 5 7 7 9 7 9            ，…… 根据上面的规律计算： 2 2 2 2 1 3 3 5 5 7 2019 2021         __________． 【答案】 2020 2021 【解析】 【分析】 本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题． 【详解】由题干信息可抽象出一般规律： 2 1 1 a b a b   （ ,a b 均为奇数，且 2b a  ）． 故 2 2 2 2 1 3 3 5 5 7 2019 2021         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20201 1 ( ) ( ) ( ) 13 3 5 5 7 2019 2021 3 3 5 5 2019 2019 2021 2021 2021                      ． 故答案： 2020 2021 ． 【点睛】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按 照该规律求解． 三、解答题 15.计算： 2 0 1|1 2 | 2sin45 (3.14 ) 2             ． 【答案】 4 【解析】 【分析】 根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可． 【详解】 2 0 1|1 2 | 2sin45 (3.14 ) 2             22 1 2 1 42       2 1 2 1 4     4  【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，熟知以上运算是解题 的关键． 16.如图，在矩形 ABCD 中，过对角线 BD 的中点 O 作 BD 的垂线 EF ，分别交 , AD BC 于点 ,E F ． （1）求证：△ ≌△DOE BOF ； （2）若 6, 8AB AD  ，连接 ,BE DF ，求四边形 BFDE 的周长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）25 【解析】 【分析】 （1）根据矩形的性质可得 BO DO ， EOD FOB   ， EDO FBO   ，即可证的两个三角形全等； （2）设 AE x ，根据已知条件可得 8AE x  ，由（1）可推得△ △EBO EDO ,可得 ED=EB，可证得 四边形 EBFD 是菱形，根据勾股定理可得 BE 的长，即可求得周长； 【详解】（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD BC∥ ， DO BO ， ∴ EDO FBO   ， 又∵ EF BD ， ∴ =90EOD FOB   ， 在△DOE 和△BOF 中， =90 EDO FBO DO BO EOD FOB           ， ∴  △ ≌△DOE BOF ASA ． （2）由（1）可得， ED BF ， ED BF ， ∴四边形 BFDE 是平行四边形， 在△EBO 和△EDO 中， =90 DO BO EOD FOB EO EO         ， ∴△ △EBO EDO ， ∴ ED EB ， ∴四边形 BFDE 是菱形， 根据 6, 8AB AD  ，设 AE x ，可得 8BE ED x   ， 在 Rt△ABE 中，根据勾股定理可得： 2 2 2BE AB AE  ， 即 2 2 28- = 6x x  ， 解得： 7 4x  ， ∴ 7 258 4 4BE    ， ∴四边形 BFDE 的周长= 25 4=254  ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的 关键． 17.先化简，再求值： 2 2 4 2 2 1 1 2 1 1 x x x x x x          ，其中 3x  ． 【答案】 2 2 1x  ，1． 【解析】 【分析】 括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算进行 化简，最后把 x 的值代入进行计算即可． 【详解】 2 2 4 2 2 1 1 2 1 1 x x x x x x          =        2 2 1 1 14 1 11 x x x x xx          =    4 2 1 1 1 11x x x x x          = 2 1 11x x  = 2 2 1x  ， 当 3x  时，原式=  2 2 3 1 =1． 【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了二次根式的运算，分式的约分，分式的除法运 算、减法运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 18.为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学 生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取 40 名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为 “A：69 分及以下，B：70~79 分，C：80~89 分，D：90~100 分”四个等级进行统计，得到右边未画完整的统 计图： D 组成绩的具体情况是： 分数（分） 93 95 97 98 99 人数（人） 2 3 5 2 1 根据以上图表提供的信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）D 组成绩的中位数是_________分； （3）假设该校有 1200 名学生都参加此次测试，若成绩 80 分以上（含 80 分）为优秀，则该校成绩优秀的 学生人数约有多少人？ 【答案】（1）见解析；（2）97；（3）690 人． 【解析】 【分析】 （1）用总人数减去 A、B、D 三组的人数和即可得出 C 组的人数，然后补全条形统计图即可； （2）D 组共有 13 人，把数据按照从小到大（从大到小）的顺序排列，找到中间第七个数据即可； （3）用 1200 乘以 80 分以上的人数所占的比例即可得出人数． 【详解】解：（1）∵随机抽取 40 名学生，根据条形统计图可以得出：A 为 5 人，B 为 12 人，D 为 13 人， ∴C 的人数为：  40 5 12 13 =40 30=10    ， 补全条形统计图如下图： （2）D 组共有 13 名学生，按照从小到大的顺序排列： 93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99 第七个数据为中位数，是 97， 故答案为：97； （3）80 分以上的是 C、D 两组，共有 10+13=23 人，所占的比列为：23÷40=0.575 所以 1200 名学生中 80 分以上的人数有：1200×0.575=690（人）， 故答案为：690 人． 【点睛】本题主要考查的是条形统计图，中位数以及用样本估计总体，解决本题的关键就是明确题意，找 出所求问题的条件，仔细计算． 19.今年疫情防控期间，某学校花 2000 元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各 种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了 2 元，学校又购买了一批消毒液，花 1600 元购买到的数量与第 一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价． 【答案】第一批购进的消毒液的单价为 10 元． 【解析】 【分析】 设第一批购进的消毒液的单价为 x 元，根据两次购买到的数量相等可列出方程求解． 【详解】解：设第一批购进的消毒液的单价为 x 元， 根据题意可得： 2000 1600 2x x   ， 解得：x=10， 经检验，x=10 是原方程的根， 答：第一批购进的消毒液的单价为 10 元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题中等量关系列出方程，分式方程要记得验根． 20.阅读下面的材料： 对于实数 ,a b ，我们定义符号 min{ , }a b 的意义为：当 a b 时，min{ , }a b a ；当 a b… 时，min{ , }a b b ， 如： min{4, 2} 2,min{5,5} 5    ． 根据上面的材料回答下列问题： （1） min{ 1,3}  ______； （2）当 2 3 2 2min ,2 3 3 x x x       时，求 x 的取值范围． 【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥13 4 【解析】 【分析】 （1）比较大小，即可得出答案； （2）根据题意判断出 2x 3 x+2 2 3 － ≥ 解不等式即可判断 x 的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得 min{ 1,3}  ﹣1 故答案为：﹣1； （2）由题意得： 2x 3 x+2 2 3 － ≥ 3（2x－3）≥2（x+2） 6x－9≥2x+4 4x≥13 X≥13 4 ∴x 的取值范围为 x≥13 4 ． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 21.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010 年 1 月 25 日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s 的速度在空中 向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在 A 处测得“南天一柱”底部 C 的俯角为37 ，继续飞行 6s 到达 B 处，这时测得“南天一柱”底部 C 的俯角为 45 ，已知“南天一柱”的高为150m ，问这架航拍无人机继 续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37 0.60  ， cos37 0.80  ， tan37 0.75  ） 【答案】安全 【解析】 【分析】 设无人机距地面 xm，直线 AB 与南天一柱相交于点 D，根据 AD-BD=AB 列方程求出 x 的值，与南天一柱 的高度比较即可． 【详解】解：设无人机距地面 xm，直线 AB 与南天一柱相交于点 D，由题意得∠CAD=37°，∠CBD=45°． 在 Rt△ACD 中， ∵tan∠CAD= 0.75CD x AD AD   ， ∴AD= 4 3 x ． 在 Rt△BCD 中， ∵tan∠CBD= 1CD x BD BD   ， ∴BD= x ． ∵AD-BD=AB， ∴ 4 3 x - x =9×6， ∴x=162， ∵162>150， ∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角 形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题． 22.如图，在 Rt ABC 中， 90ACB   ，以 AB 为直径作 O ，过点 C 作直线 CD 交 AB 的延长线于点 D， 使 BCD A   ． （1）求证： CD 为 O 的切线； （2）若 DE 平分 ADC ，且分别交 ,AC BC 于点 ,E F ，当 2CE  时，求 EF 的长． 【答案】(1)见解析；（2）EF= 2 2 ． 【解析】 【分析】 （1）如图，连接 OC，欲证明 CD 是 O 的切线，只需求得∠OCD=90 ； （2）由角平分线及三角形外角性质可得 A ADE BCD CDF      ，即∠CEF=∠CFE，根据勾股 定理可求得 EF的长． 【详解】 （1）证明：如图，连接 OC ∵ AB 为 O 的直径 ∴ ACB 90   ，即∠A+∠ABC=90 又∵OC=OB ∴∠ABC=∠OCB ∵ BCD A   ∴∠BCD+∠OCB=90 ，即∠OCD=90 ∵OC 是圆 O 的半径 ∴CD 是 O 的切线． （2）解：∵ DE 平分 ADC ∴∠CDE=∠ADE 又∵ BCD A   ∴ A ADE BCD CDF      ，即∠CEF=∠CFE ∵∠ACB= 90 ， 2CE  ∴CE=CF=2 ∴EF= 2 2 2 2CE CF  【点睛】此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解 题关键． 23.如图，抛物线 2 6y ax x c   交 x 轴于 , A B 两点，交 y 轴于点 C．直线 5y x   经过点 ,B C ． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴 l 与直线 BC 相交于点 P，连接 ,AC AP ，判定 APC△ 的形状，并说明理由； （3）在直线 BC 上是否存在点 M，使 AM 与直线 BC 的夹角等于 ACB 的 2 倍？若存在，请求出点 M 的坐 标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 2 6 5y x x   ；（2） APC△ 的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使 AM 与直线 BC 的 夹角等于 ACB 的 2 倍的点，且坐标为 M1（13 17,6 6 ），M2（ 23 6 ， 7 6 ）． 【解析】 【分析】 （1）先根据直线 5y x   经过点 ,B C ，即可确定 B、C 的坐标，然后用带定系数法解答即可； （2）先求出 A、B 的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形 APB 为等腰三角形；再结合 OB=OC 得到 ∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定 APC△ 的形状； （3）作 AN⊥BC 于 N，NH⊥x 轴于 H，作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M1，AC 于 E；然后说明△ANB 为 等腰直角三角形，进而确定 N 的坐标；再求出 AC 的解析式，进而确定 M1E 的解析式；然后联立直线 BC 和 M1E 的解析式即可求得 M1 的坐标；在直线 BC 上作点 M1 关于 N 点的对称点 M2，利用中点坐标公式即 可确定点 M2 的坐标 【详解】解：（1）∵直线 5y x   经过点 ,B C ∴当 x=0 时，可得 y=5，即 C 的坐标为（0,5） 当 y=0 时，可得 x=5，即 B 的坐标为（5,0） ∴ 2 2 5 0 6 0 0 5 6 5 a c a c            解得 1 5 a c    ∴该抛物线的解析式为 2 6 5y x x   （2） APC△ 的为直角三角形，理由如下： ∵解方程 2 6 5x x  =0，则 x1=1，x2=5 ∴A（1,0），B（5,0） ∵抛物线 2 6 5y x x   的对称轴 l 为 x=3 ∴△APB 为等腰三角形 ∵C 的坐标为（5,0）, B 的坐标为（5,0） ∴OB=CO=5,即∠ABP=45° ∴∠ABP=45°， ∴∠APB=180°-45°-45°=90° ∴∠APC=180°-90°=90° ∴ APC△ 的为直角三角形； （3）如图：作 AN⊥BC 于 N，NH⊥x 轴于 H，作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M1，AC 于 E， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1 ∴∠AM1B=2∠ACB ∵△ANB 为等腰直角三角形. ∴AH=BH=NH=2 ∴N（3，2） 设 AC 的函数解析式为 y=kx+b ∵C(0，5),A(1，0) ∴ 5 0 0 k b k b       解得 b=5，k=-5 ∴AC 的函数解析式为 y=-5x+5 设 EM1 的函数解析式为 y= 1 5 x+n ∵点 E 的坐标为（ 1 5,2 2 ） ∴ 5 2 = 1 5 × 1 2 +n，解得：n=12 5 ∴EM1 的函数解析式为 y= 1 5 x+ 12 5 ∵ 5 1 12 5 5 y x y x      解得 13 6 17 6 x y     ∴M1 的坐标为（13 17,6 6 ）； 在直线 BC 上作点 M1 关于 N 点的对称点 M2 设 M2（a，-a+5） 则有：3= 13 6 2 a ，解得 a= 23 6 ∴-a+5= 7 6 ∴M2 的坐标为（ 23 6 ， 7 6 ）． 综上，存在使 AM 与直线 BC 的夹角等于 ACB 的 2 倍的点，且坐标为 M1（13 17,6 6 ），M2（ 23 6 ， 7 6 ）． 【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的 判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关 键．