2020高中数学第四章函数应用 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在

2020高中数学第四章函数应用 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在

‎4.1.1‎‎ 利用函数性质判定方程解的存在 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[学业达标]‎ 一、选择题 ‎ 1. 函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)‎ A．(－2，－1)　　　 B．(－1,0)‎ C．(0,1) D．(1,2)‎ ‎【解析】　因为函数f(x)的图像是连续不断的一条曲线，又f(－1)＝2－1－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(－1)·f(0)＜0，故函数零点所在的一个区间是(－1,0)．故选B.‎ ‎【答案】　B ‎ 2. 函数f(x)＝的零点有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【解析】　由f(x)＝＝0得x＝1，‎ ‎∴f(x)＝只有一个零点．‎ ‎【答案】　B ‎ 3. 若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a<1 B．a>1‎ C．a≤1 D．a≥1‎ ‎【解析】　由题意知，Δ＝4－‎4a<0，∴a>1.‎ ‎【答案】　B ‎ 4. 函数f(x)＝log3x＋x－3零点所在大致区间是(　　)‎ A．(1,2) B．(2,3)‎ C．(3,4) D．(4,5)‎ ‎【解析】　∵f(x)＝log3x＋x－3，‎ ‎∴f(1)＝log31＋1－3＝－2<0，‎ f(2)＝log32＋2－3＝log32－1＜0，‎ f(3)＝log33＋3－3＝1>0，‎ f(4)＝log34＋4－3＝log34＋1＞0，‎ f(5)＝log35＋5－3＝log35＋2＞0，‎ ‎∴函数f(x)＝log3x＋x－3零点所在大致区间是(2,3)．故选B.‎ 5‎ ‎【答案】　B ‎ 5. 设函数f(x)＝x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)(　　)‎ A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 ‎【解析】　因为f＝－ln ＝＋1＞0，‎ f(1)＝－ln 1＝＞0，‎ f(e)＝e－ln e＝e－1＜0.‎ 故函数f(x)在内无零点，在区间(1，e)内有零点．‎ ‎【答案】　C 二、填空题 ‎ 6. 函数f(x)＝x2＋mx－6的一个零点是－6，则另一个零点是________．‎ ‎【解析】　由题意(－6)2－‎6m－6＝0，解得m＝5，‎ 由x2＋5x－6＝0，解得x1＝－6，x2＝1.故另一个零点为1.‎ ‎【答案】　1‎ ‎ 7. 若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【解析】　函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图像(如图所示)，可知a＞1时两函数图像有两个交点，0＜a＜1时两函数图像有唯一交点，故a＞1.‎ ‎【答案】　(1，＋∞)‎ ‎ 8. 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________.‎ 5‎ ‎【解析】　∵2＜a＜3＜b＜4，‎ 当x＝2时，‎ f(2)＝loga2＋2－b＜0；‎ 当x＝3时，f(3)＝loga3＋3－b＞0，‎ ‎∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内，∴n＝2.‎ ‎【答案】　2‎ 三、解答题 ‎ 9. 求函数y＝ax2－(‎2a＋1)x＋2(a∈R)的零点．‎ ‎【解】　令y＝0并化为：(ax－1)(x－2)＝0.‎ 当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则其零点为x＝2；‎ 当a＝时，则由(x－2)＝0，‎ 解得x1＝x2＝2，则其零点为x＝2；‎ 当a≠0且a≠时，则由(ax－1)(x－2)＝0，‎ 解得x＝或x＝2，则其零点为x＝或x＝2.‎ ‎ 10. 关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋‎2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．‎ ‎【解】　令g(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋‎2m＋14.‎ 依题意得或 即或解得－

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