2019-2020学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二12月月考数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二12月月考数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二12月月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意得：，所以，故，故选C.‎ ‎2．若双曲线的离心率为2，则等于( )‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.‎ ‎3．若实数，满足，则的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值为.‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先由三视图得到几何体为四棱锥，根据图中数据明确底面和高，即可求得该几何体的体积．‎ ‎【详解】‎ 由已知三视图得到几何体是四棱锥，底面是两边分别为1，的平行四边形，高为1，如图所示：‎ ‎∴该几何体的体积为 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎5．“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 当“”时，如，，故不能推出“” .当“”时，必然有“”.故“”是“”的必要不充分条件.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题.‎ ‎6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】采用“”分段法，找到小于、在之间和大于的数，由此判断出三者的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，所以.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数与对数值的大小比较，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎7．某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ）‎ A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为 ‎【答案】C ‎【解析】抽样要保证机会均等，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 抽样要保证机会均等，故从名学生中抽取名，概率为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法的概念，属于基础题.‎ ‎8．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f(x)- g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的解，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ ‎∵与在上是“关联函数”‎ ‎∴函数在上有两个不同零点 ‎∴，解得.‎ 故选A.‎ ‎9．已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）‎ A． B．‎ C．数列是等差数列 D．数列是等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由，可知数列隔项成等比，再结合等比的有关性质即可作出判断.‎ 详解：数列满足，，‎ 当时，‎ 两式作商可得：，‎ ‎∴数列的奇数项，成等比，‎ 偶数项，成等比，‎ 对于A来说，，错误；‎ 对于B来说，‎ ‎，正确；‎ 对于C来说，数列是等比数列 ，错误；‎ 对于D来说，数列是等比数列，错误，‎ 故选：B 点睛：本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是隔项成等比数列的方法，注意偶数项的首项与原数列首项的关系.‎ ‎10．已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 |>| PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（ ）‎ A．4 B．6 C． D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：，设椭圆方程为，‎ 双曲线方程为，‎ 又∵.‎ ‎∴，∴，‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎，当且仅当，‎ 即时等号成立.‎ 则的最小值为8.‎ 故答案为：8.‎ ‎【点睛】‎ 考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将化为为解题关键，注意取等号.‎ ‎11．设棱锥的底面是正方形，且,的面积为，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设球是与平面、平面、平面都相切的球，然后找出球心所在的三角形，设，求出内切圆半径然后利用基本不等式即可求出最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：，，‎ 平面，‎ 由此，面面．‎ 记是的中点，从而．‎ 平面，．‎ 设球是与平面、平面、平面都相切的球．‎ 不妨设平面，于是是的内心．‎ 设球的半径为，则 设，‎ 所以，‎ 所以.‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 当时，满足条件的最大半径为.‎ ‎【点睛】‎ 涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系，属于中档题．‎ ‎12．定义在上的函数对任意都有，且函数 的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由已知条件知函数为奇函数且在上为减函数,由有,所以，,若以为横坐标,为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式表示的平面区域,即及其内部,,令,则,求出,所以,解得,∴的取值范围是,选D.‎ ‎【考点】1.函数的基本性质；2.线性规划.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题. 利用已知条件得出函数是上的减函数,由函数的图象关于成中心对称，根据图象的平移,得出的图象关于原点成中心对称,所以为奇函数,解不等式,得出,画出不等式组表示的平面区域,,则,通过图形求关于的一次函数的斜率得出的范围,从而求出的范围.‎ 二、填空题 ‎13．已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，则的最大值为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可．‎ ‎【详解】‎ x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，圆的圆心（2，0），半径为1，‎ 设，即kx﹣y＝0，要求x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，的最大值，‎ 就是求圆的圆心到直线的距离等于半径，即：，‎ 解得k，所求的最大值为：．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查了表达式的几何意义，考查计算能力．‎ ‎14．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ‎__★__‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据椭圆的标准方程及焦点在轴上，可得k的不等式组，解不等式组即可得k的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 焦点在轴上，且满足分母大于0，所以 ‎ ‎ 解得k的范围为 ‎ 即 ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程，焦点位置对椭圆方程的影响，属于基础题。‎ ‎15．如图，在边长为2正方体中，为的中点，点 在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点构成的图形的面积是_______. ‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】点满足，且在正方体的表面上，所以点只能在面、‎ 面、面、面内。‎ ‎【详解】‎ 取，的中点分别为，连结，‎ 由于，所以四点共面，且四边形为梯形，‎ 因为，所以面，‎ 因为点在正方体表面上移动，所以点的运动轨迹为梯形，如图所示：‎ 因为正方体的边长为2，所以，‎ 所以梯形为等腰梯形，所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题以动点问题为背景，考查空间中线面、线线位置关系、面积的求解运算，解题的关键在于确定点的运动轨迹。‎ ‎16．某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是__________ 米．‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】设椭圆方程为，当点在椭圆上时，，解得车辆高度不超过米，，即拱宽至少，故答案为.‎ 三、解答题 ‎17．在中，角，，的对边分别为，，.且满足.‎ ‎（Ⅰ)求角；‎ ‎（Ⅱ)若的面积为，，求边.‎ ‎【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ)‎ ‎【解析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可得．（Ⅱ）由已知利用三角形的面积公式可得：，进而根据余弦定理可得的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ)由得：‎ ‎∴‎ ‎∴ 又 ‎∴，即.又，∴‎ ‎（Ⅱ)∵的面积为，∴∴‎ 又，‎ ‎∴，即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想．‎ ‎18．已知数列为等差数列，为的前n项和，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，其前项和为，求证：‎ ‎【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】（1）先根据已知求出，即得数列的通项公式；（2）先利用裂项相消求出，再证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设公差为d，则由得，‎ 解得.‎ 所以.‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ 易知随着n的增大而增大，所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19．某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在160cm到184cm之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，...，第6组，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.‎ ‎（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；‎ ‎（2）现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.‎ ‎【答案】（1）0.12；（2）‎ ‎【解析】（1）由直方图可得，被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率.‎ ‎（2）先求出第5组有4人，第6组有2，分别编号后利用列举法知，从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员共有15种情况，其中选取的两人中最多有,1名男生来自第5组的情况有9种，由古典概型概率公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率.‎ ‎（2）第5组有（人），记为a，b，c，d，同理第6组有＝2（人）记为A，B，所有的情况为、、、、、、、‎ ‎、、、、、、、，共15种，选取的两人中最多有1名男生来自第5组的有、、、、、、、、共9种，所以所求概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图，掌握频率分布直方图中每个小矩形面积就是该组频率是解题基础．本题属于基础题．‎ ‎20．在四棱锥中，，.M为CD的中点.‎ ‎（1）若点E为PC的中点，求证：BE∥平面PAD；‎ ‎（2）当平面PBD⊥平面ABCD时，求点A到平面CEM的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）连结EM，BM，可证明都平行于平面，从而得平面，因此得证BE∥平面PAD；‎ ‎（2）点A到平面CME的距离即点A到平面PCD的距离，设为h，连结AC，交BD于点O，连结PO，可证得平面，则利用可求得．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）连结EM，BM.由已知得，为等边三角形，.‎ ‎∵，，∴，∴，∴.‎ 又∵，，∴.‎ ‎∵E为PC的中点，M为CD的中点，∴.又∵，，∴.∵，∴平面.‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）连结AC，交BD于点O，连结PO，‎ 由对称性知，O为BD的中点，且，，∵，且交线为BD，，，所以，，，则.‎ 在中，.‎ 则，∴，‎ 由题意点A到平面CME的距离即点A到平面PCD的距离，设为h，则有 得，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，考查求点面距离．证明线面平行的方法有两种基本方法：一是证明线线平行，得线面平行，二是证明面面平行，再得线面平行．在求点面距时，有时可放在三棱锥中用等体积法求解，象本题一样．‎ ‎21．已知为圆：上的动点，过点作轴、轴的垂线，垂足分别为、，连接延长至点，使得 ，记点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程；‎ ‎(2)直线：与圆相切，直线：与曲线相切，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ；（2）‎ ‎【解析】（1）设出，，根据向量关系得到坐标之间的关系，然后由在圆上求解出曲线的方程；‎ ‎（2）直线与圆相切得到圆心到直线的距离为半径，据此求解出等量关系；再利用直线与椭圆相切求解出另一个等量关系，两等式联立得到的表示，并求解出取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设，，则，，且，‎ 因为，即，∴，代入，得，故曲线的方程为.‎ ‎(2)∵与圆相切，∴圆心到的距离，得，①‎ 联立，消去整理得，由，得，② ‎ 由①②得，，故.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）直线与圆相切问题的两种常用处理方法：①利用圆心到直线距离等于半径；②联立直线与圆得到一元二次方程，令判别式；‎ ‎（2）求解轨迹方程的两种思路：①根据圆锥曲线的定义完成轨迹方程的求解；②通过已知条件，用未知量表示已知量，再将未知量代入到已知方程中完成求解.‎ ‎22．已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）当点P在上下顶点时，三角形的面积最大，再根据离心率求得a、b、c的值，可得方程；‎ ‎（2）联立方程，解方程组，再由题在轴上存在点得，转化为，可得直线的斜率乘积为-1，再利用基本不等式可得取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题，当点P在上下顶点时，三角形的面积最大，可得，‎ 即可得，解得 椭圆的方程为.‎ ‎（2）由消去整理得，‎ 且 设，线段的中点为 则.‎ 在轴上存在点，使得，‎ ‎，即，‎ 因为 ‎ ‎，当且仅当且，即时等号成立.‎ ‎，故，‎ 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆锥曲线的综合，熟悉椭圆的性质以及直线与椭圆相交的知识是解题的关键，考验了学生的计算能力和综合能力，属于较难题.‎ 直线与圆锥曲线解题步骤：‎ ‎(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；‎ ‎（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；‎ ‎（3）转化，由题已知转化为数学公式；‎ ‎（4）计算，细心计算.‎