2020_2021学年新教材高中数学第二章函数3函数的单调性和最值第1课时函数的单调性课件北师大版必修第一册
§3
函数的单调性和最值
第
1
课时 函数的单调性
激趣诱思
知识点拨
我们知道
,“
记忆
”
在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色
,
因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题
.
德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究
,
并给出了类似右图所示的记忆规律
.
如果我们以
x
表示时间间隔
(
单位
:h),
y
表示记忆保持量
,
则不难看出
,
图中
y
是
x
的函数
,
记这个函数为
y=f
(
x
)
.
这个函数反映出记忆具有什么规律
?
你能从中得到什么启发
?
激趣诱思
知识点拨
一、增函数、减函数的
定义
激趣诱思
知识点拨
名师点析
x
1
,
x
2
的三个特征
:
(1)
同区间性
,
即
x
1
,
x
2
∈
I
;
(2)
任意性
,
即不可用区间
I
上的两个特殊值代替
x
1
,
x
2
;
(3)
有序性
,
即需要区分大小
,
通常规定
x
1
x
2
⇔
f
(
x
1
)
>f
(
x
2
)
.
(2)
若
f
(
x
)
在区间
I
上单调递减
,
则
x
1
f
(
x
2
),
x
1
>x
2
⇔
f
(
x
1
)
0
.
设
y=ax-
1,
x
∈
(
-∞
,1),
因为
a>
0,
所以
yg
(1
-
3
t
),
求
t
的取值范围
.
解
:
∵
g
(
x
)
在区间
[
-
2,2]
上单调递增
,
且
g
(
t
)
>g
(1
-
3
t
),
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复合函数单调性的
判
断
对于复合函数
f
(
g
(
x
)),
设
t=g
(
x
)
在区间
[
a
,
b
]
上是单调函数
,
且
y=f
(
t
)
在区间
[
g
(
a
),
g
(
b
)]
或区间
[
g
(
b
),
g
(
a
)]
上也是单调函数
,
那么
f
(
g
(
x
))
在区间
[
a
,
b
]
上的单调性如何呢
?
下面我们来探讨一下
.
(1)
若
t=g
(
x
)
在区间
[
a
,
b
]
上单调递增
,
且
y=f
(
t
)
也单调递增
:
任取
x
1
,
x
2
∈
[
a
,
b
],
x
1
f
(
g
(
x
2
)),
则根据减函数的定义知
f
(
g
(
x
))
在区间
[
a
,
b
]
上单调递减
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
类似地
,
我们不难发现
:
当
t=g
(
x
)
在区间
[
a
,
b
]
上单调递减
,
且
y=f
(
t
)
单调递增时
,
则
f
(
g
(
x
))
在区间
[
a
,
b
]
上单调递减
;
当
t=g
(
x
)
在区间
[
a
,
b
]
上单调递减
,
且
y=f
(
t
)
单调递减时
,
则
f
(
g
(
x
))
在区间
[
a
,
b
]
上单调递增
.
根据上面的探讨
,
y=f
(
g
(
x
))
在区间
[
a
,
b
]
上的单调性如下表所示
,
简记为
“
同增异减
”
.
若一个函数是由多个基本函数复合而成的
,
则此复合函数的单调性由基本函数中减函数的个数决定
.
若减函数有偶数个
,
则这个复合函数为增函数
;
若减函数有奇数个
,
则这个复合函数为减函数
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典
例
已知
函数
f
(
x
)
在定义域
[0,
+∞
)
上单调递减
,
则
f
(1
-x
2
)
的单调递减区间为
.
解析
:
∵
f
(
x
)
的定义域为
[0,
+∞
),
∴
1
-x
2
≥
0,
即
x
2
≤
1,
解得
-
1
≤
x
≤
1
.
令
u=
1
-x
2
(
u
≥
0),
则
f
(1
-x
2
)
=f
(
u
)
.
当
x
∈
[0,1]
时
,
u=
1
-x
2
单调递减
,
则
f
(1
-x
2
)
单调递增
;
当
x
∈
[
-
1,0]
时
,
u=
1
-x
2
单调递增
,
则
f
(1
-x
2
)
单调递减
.
故
f
(1
-x
2
)
的单调递减区间
为
[
-
1,0]
.
答案
:
[
-
1,0]
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
对于复合函数
y=f
(
g
(
x
)),
把函数
y=f
(
g
(
x
))
通过中间变量
t
分解为两个函数
:
外层函数
y=f
(
t
)
和内层函数
t=g
(
x
),
内层函数的值域是外层函数定义域的子集
.
要先确定复合函数的定义域
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1
.
若函数
y=
(2
k+
1)
x+b
在
(
-∞
,
+∞
)
上是减函数
,
则
k
的取值范围是
(
)
答案
:
D
解析
:
当
2
k+
1
<
0,
即
k
<-
时
,
函数
y=
(2
k+
1)
x+b
在
(
-∞
,
+∞
)
上是减函数
.
2
.
函数
y=f
(
x
),
x
∈
[
-
4,4]
的图象如图所示
,
则函数
y=f
(
x
)
的所有单调递减区间为
(
)
A.[
-
4,
-
2]
B
.[1,4]
C.[
-
4,
-
2]
和
[1,4]
D
.[
-
4,
-
2]
∪
[1,4]
答案
:
C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3
.
若函数
f
(
x
)
=x
2
+
3
ax+
5
在区间
(
-∞
,5)
上单调递减
,
则实数
a
的取值范围是
(
)
答案
:
A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4
.
已知
函数
f
(
x
)
在区间
[
-
1,1]
上单调递增
,
且
f
(
x-
2)
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