北师大版八年级上册数学全册教案

北师大版八年级上册数学全册教案

备 课 教 案 学 校：调兵山市五中 备课人：曹德刚 班 级：八（3） 2012 年 9 月 八年级数学上册教学计划 一、学情分析 八年级是初中学习过程中的关键时期，在我们班上，两极分化问题很是严重，对优等生来说他 们能够理解知识形成技能具备一定的数学能力，而对后进生来说简单的基础知识还不能够掌握成绩 不容乐观。为使学生学好进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，进一步培养学生 运算能力、发展思维能力和空间观念，使学生能够运用所学知识解决实际问题，逐步形成数学创新 意识，作为教师，我将实行因材施教策略。 二、教材内容分析 本学期数学内容包括第一章《勾股定理》、第二章《实数》，第三章《图形的平移与旋转》，第四 章《四边形性质探索》，第五章《位置的确定》，第六章《一次函数》, 第七章《二元一次方程组》， 第八章《数据的代表》。 第一章《勾股定理》的主要内容是勾股定理的探索和应用。 第二章《实数》主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的概念和运算。本章的内容虽 然不多，但在初中数学中占有十分重要的地位。。 第三章《图形的平移与旋转》主要内容是生活中一些简单几何图形的平移和旋转。 第四章《四边形性质探索》的主要内容是四边形的有关概念、几种特殊的四边形（平行四边形、 矩形、菱形、正方形、梯形）的性质和判定以及三角形、梯形的中位线。 第五章《位置的确定》主要讲述平面直角坐标系中点的确定，会找出一些点的坐标。 第六章《一次函数》的主要内容是介绍函数的概念，以及一次函数的图像和表达式，学会用一 次函数解决一些实际问题。 第七章《二元一次方程组》要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程组来解一些实际的 问题。 第八章《数据的代表》主要讲述平均数和中位数、众数的概念，会求平均数和能找出中位数及 众数。 三、教学目标要求 上半学期完成第一章到第四章第四节，下半学期完成第四章第五节到本册教材结束。掌握平方 根与立方根、实数、平面坐标系、一次函数、勾股定理、四边形性质等知识并形成相应数学技能。 在情感与价值观上认识图形中的数量关系，培养学生的实事求是认真严肃的学习态度，在民主和谐 合作的学习过程中养成独立探究勤与思考大胆创新，发展学生的非智力因素提高学生的数学素质与 素养。 具体教学目标如下： 1. 正确理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本运算，并能熟练地进行二次根式的化简。 2. 掌握二次根式加、减、乘、除的运算法则，能够进行二次根式的运算。掌握二次根式 的化简， 进一步提高学生的运算能力。 3. 理解四边形及有关概念，掌握几种特殊四边形的性质定理及判定。 4. 理解相似一次函数的概念，掌握一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问 题。 四、教材的重点和难点 重点：勾股定理探索、四边形性质的探索、实数的概念、一次函数图象及其应用、二元一次方 程组及其应用。 难点：勾股定理探索、四边形性质的掌握一次函数图象及其应用的数形结合技能、二元一次方 程组及其应用能力培养。 五、本学期提高教学质量的主要措施： 1、认真做好教学工作。把认真教学作为提高成绩的主要方法，认真研读新课程标准，钻研新教材， 根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测试试卷，也让学生 学会认真学习。 2、兴趣是最好的老师，爱因斯坦如是说。激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学史，介绍相应 的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。 3、引导学生积极参加知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探索、交流、分享发现快乐的高 效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学习。引导学生写小论文，写复习提纲，使知识来源 于学生的创造。 4、引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本质，提高学 生举一反三的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发散思维，让学生处于一种思 如泉涌的状态。 5、运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育理念将带来 不同的教育效果。 6、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步提高学习成绩，发展 学生的非智力因素，弥补智力上的不足。 7、开展分层教学，布置作业设置 A、B、C 三类分层布置分别适合于差、中、好三类学生，课堂上 的提问照顾好好、中、差三类学生，让每个学生尽可能获得最大发展。 六、教学进度安排 教学进度表 周次 起止 时间 教材内容及备注 节数 备注 1 9.3~9.9 1.1 探索勾股定理（2） 1.2 能得到直角三角形（1） 1.3 蚂蚁怎样爬最近（1） 回顾与思考（1） 5 2 9.10~9.16 第一章测试讲解（1） 2.1 数怎么不够用了（2） 2.2 平方根（2） 5 教师节 3 9.17~9.23 2.3 立方根（1） 2.4 公园有多宽（1） 2.5 用计算机开方（1） 2．6 实数（1） 2.7 回顾与思考（1） 5 4 9.24~9.30 3.1 生活中的平移（0.5） 3.2 简单的平移作图（0.5） 3.3 生活中的旋转（0.5） 3.4 简单的旋转作图（0.5） 3.5 它们是怎样变过来的（0.5） 3.6 简单的图案设计（0.5） 复习与第三章测试（2） 5 5 10.1~10.7 国 庆 节 国庆节 6 10.8~10.14 前三章小复习与题目讲解（1） 4.1 平形四边形的性质（2） 4.2 平形四边形的判别（2） 5 7 10.15~10.21 4.3 菱形（1） 4.4 矩形、正方形 （1） 4.5 梯形 （1） 4.6 探索多边形的内角和与外角和 （1） 4.7 中心对称图形 （1） 5 8 10.22~10.28 期中复习 5 9 10.29~11.4 期中考试及试题讲解 5 10 11.5~11.11 5.1 确定位置 （1） 5.2 平面直角坐标系 （1） 5.3 变化的“鱼” （2） 回顾与反思（1） 5 11 11.12~11.18 6.1 函数 （1） 6.2 一次函数的图象 （2） 6.3 一次函数的图象 （2） 5 12 11.19~11.25 6.4 确定一次函数表达式 （1） 6.5 一次函数图象的应用 （2） 回顾与思考、复习与测试 5 13 11.26~12.2 7.1 谁的包裹多 （1） 7.2 解二元一 次方程组 （2） 7.3 鸡兔同笼 （2） 5 14 12.3~12.9 7.4 增收节支 （2） 7.5 里程碑上的数 （1） 7.6 二元一次方程与一次函数 （2） 5 15 12.10~12.16 8.1 平均数 （2） 8.2 中位数与众数 （2） 8.3 利用计数器求平均数 （1） 5 16 12.17~12.23 总复习 1 5 17 12.24~12.30 总复习 2 5 18 12.31~1.6 总复习 3 5 19 1.7~1.13 总复习 4 5 20 1.14~1.120 总复习 5 及期末考试 5 以上计划从制定之日起执行，若有不妥之处，请学校教务处给予指正，并督促执行 第一章 勾股定理 §1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯， 进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能 力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、 创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影 1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本 p5 谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定 理方面的贡献。 出示投影 2 （书中的 P2 图 1—2）并回答： 1、 观察图 1-2，正方形 A 中有_______个小方格，即 A 的面积为______个单位。 正方形 B 中有_______个小方格，即 A 的面积为______个单位。 正方形 C 中有_______个小方格，即 A 的面积为______个单位。 2、 你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、 图 1—2 中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图 1—1 中的 A.B,C 的关系呢？ 二、 做一做 出示投影 3（书中 P3 图 1—4）提问： 1、图 1—3 中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图 1—4 中，A,B,C 之间有什么关系? 3、 从图 1—1，1—2，1—3，1|—4 中你发现什么？ 学生讨论、交流形成共识后，教师总结： 以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、 议一议 1、 图 1—1、1—2、1—3、1—4 中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a,b,斜边为 c 那么 222 cba  我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。 3、 分别以 5 厘米和 12 厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回 答斜边长为 13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的： 成立） 四、 想一想 这里的 29 英寸（74 厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？那他指什么呢？ 五、 巩固练习 1、 错例辨析： △ABC 的两边为 3 和 4，求第三边 解：由于三角形的两边为 3、4 所以它的第三边的 c 应满足 222 43 c =25 即：c=5 辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题 △ ABC 并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。 （2）若告诉△ABC 是直角三角形，第三边 C 也不一定是满足 222 cba  ，题目中并为交待 C 是 斜边 综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。 2、 练习 P7 §1.1 1 六、 作业 课本 P7 §1.1 2、3、4 §1.1 探索勾股定理（二） 教学目标： 1． 经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流 的习惯。 2． 掌握勾股定理和他的简单应用 重点难点： 重点： 能熟练运用拼图的方法证明勾股定理 难点：用面积证勾股定理 教学过程 七、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义， 还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下 来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边 c 为边长的正方形，并与 同学交流。在同学操作的过程中，教师展示投影 1（书中 p7 图 1—7）接着提问：大正方形的面积可 表示为什么？ （同学们回答有这几种可能：（1） )( 22 ba  （2） 242 1 cab  ） 在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。 22 ba  = 242 1 cab  请 同 学 们 对 上 面 的 式 子 进 行 化 简 ， 得 到 ： 222 22 cabbaba  即 22 ba  = 2c 这就可以从理论上说明勾股定理存在。请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理。 八、讲例 1. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方 4000 多米处，过 20 秒，飞 机距离这个男孩头顶 5000 米，飞机每时飞行多少千米？ 分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC 的 4000,90  ACc 米，AB=5000 米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在 20 秒的时间里的飞行路程，即 图中的 CB 的长，由于直角△ABC 的斜边 AB=5000 米，AC=4000 米，这样的 CB 就可以通过勾股定理 得出。这里一定要注意单位的换算。 解：由勾股定理得 千米）(945 22222  ACABBC 即 BC=3 千米 飞机 20 秒飞行 3 千米，那么它 1 小时飞行的距离为： 小时）千米 /(540320 3600  答：飞机每个小时飞行 540 千米。 九、 议一议 展示投影 2（书中的图 1—9） 观察上图，应用数格子的方法判断图中的三角形的三边长是否满足 222 cba  同学在议论交流形成共识之后，老师总结。 勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。 十、作业 1、 1、课文 P11§1.2 1 、2 2、 选用作业。 §1．2 能得到直角三角形吗 教学目标： 知识与技能 1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用； 2.进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数 学模型． 3.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论． 情感态度与价值观 敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会 数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识． 教学重点 运用身边熟悉的事物，从多种角度发展数感，会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形， 并会辨析哪些问题应用哪个结论． 教学难点 会辨析哪些问题应用哪个结论． 课前准备 标有单位长度的细绳、三角板、量角器、题篇 教学过程： 复习引入： 请学生复述勾股定理；使用勾股定理的前提条件是什么？ 已知△ABC 的两边 AB=5，AC=12，则 BC=13 对吗？ 创设问题情景：由课前准备好的一组学生以小品的形式演示教材第 9 页古埃及造直角的方法． 这样做得到的是一个直角三角形吗？ 提出课题：能得到直角三角形吗 讲授新课： ⒈如何来判断？（用直角三角板检验） 这个三角形的三边分别是多少？（一份视为 1）它们之间存在着怎样的关系？ 就是说，如果三角形的三边为 a ，b ，c ，请猜想在什么条件下，以这三边组成的三角形是直角 三角形？（当满足较小两边的平方和等于较大边的平方时） ⒉继续尝试：下面的三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c： 5，12，13； 6, 8, 10； 8，15，17. （1）这三组数都满足 a2 +b2=c2 吗？ （2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ ⒊直角三角形判定定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角 三角形． 满足 a2 +b2=c2 的三个正整数，称为勾股数． ⒋例 1 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中 ∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师 傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ A B C D A B C D 4 5 3 12 13 随堂练习： ⒈下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由． ⑴9，12，15； ⑵15，36，39； ⑶12，35，36； ⑷12，18，22． ⒉已知∆ABC 中 BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角. ⒊四边形 ABCD 中已知 AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=900，求这个四边形的面积． A B C D 4 3 12 13 ⒋习题 1.3 课堂小结： ⒈直角三角形判定定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角 三角形． ⒉满足 a2 +b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数． 1.3.蚂蚁怎样走最近 教学目标 教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题. 能力训练要求：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念. 2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. 2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学. 教学重点难点： 重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题. 难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题. 教学过程 1、创设问题情境，引入新课： 前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？ 例如：欲登 12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物 5 米，至少需多长的梯子？ 根据题意，(如图)AC 是建筑物，则 AC=12 米，BC=5 米，AB 是梯子的长度.所以在 Rt△ABC 中， AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13 米. 所以至少需 13 米长的梯子. 2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近 A B A B 出示问题：有一个圆柱，它的高等于 12 厘米，底面半径等于 3 厘米．在圆行柱的底面 A 点有一只蚂 蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取 3)． （1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从 A 点到 B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路 线最短呢？（小组讨论） （2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从 A 点到 B 点的最短路线是什么?你画对了吗? （3）蚂蚁从 A 点出发，想吃到 B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分 组讨论，公布结果） 我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线 AA′将圆柱的侧面展开(如 下图). 我们不难发现，刚才几位同学的走法： (1)A→A′→B； (2)A→B′→B； (3)A→D→B； (4)A—→B. 哪条路线是最短呢？你画对了吗？ 第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”. ②、做一做：教材 14 页。李叔叔随身只带卷尺检测 AD，BC 是否与底边 AB 垂直，也就是要检测 ∠ DAB=90°，∠CBA=90°.连结 BD 或 AC，也就是要检测△DAB 和△CBA 是否为直角三角形.很显 然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题. ③、随堂练习 出示投影片 1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨 8∶00 甲先出发，他以 6 千米/时的速度向东 行走.1 时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进.上午 10∶00，甲、乙两人相距多远？ 2.如图，有一个高 1.5 米，半径是 1 米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入 一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是 0.5 米，问这根铁棒应有多长？ 1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型. 解：(如图)根据题意，可知 A 是甲、乙的出发点，10∶00 时甲到达 B 点，则 AB=2×6=12(千米)；乙 到达 C 点，则 AC=1×5=5(千米). 在 Rt△ABC 中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以 BC=13 千米.即甲、乙两人相距 13 千米. 2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的 长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的 A 点处，铁棒最短时是垂直于底面时. 解：设伸入油桶中的长度为 x 米，则应求最长时和最短时的值. (1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5 所以最长是 2.5+0.5=3(米). (2)x=1.5，最短是 1.5+0.5=2(米). 答：这根铁棒的长应在 2~3 米之间(包含 2 米、3 米). 3.试一试(课本 P15) 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水 面是一个边长为 10 尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺.如果把这根芦苇 垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 我们可以将这个实际问题转化成数学模型. 解：如图，设水深为 x 尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得 (x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25 解得 x=12 则水池的深度为 12 尺，芦苇长 13 尺. ④、课时小结 这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可 以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型. ⑤、课后作业 课本 P25、习题 1.5 2 第二章 实数 §2.1 数怎么又不够用了(一) 教学目标 (一)知识目标: 1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由. (二)能力训练目标: 1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作 精神. 2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们 的思维判断能力. (三)情感与价值观目标: 1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情. 2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神. 3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神. 教学重点 1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.会判断一个数是否为有理数. 教学难点 1.把两个边长为 1 的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是否为有理数. 教学方法 教师引导，主要由学生分组讨论得出结果. 教学过程 一、创设问题情境,引入新课 ［师］同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? ［生］在小学我们学过自然数、小数、分数. ［生］在初一我们还学过负数. ［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的 正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活 的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 二、讲授新课 1.问题的提出 ［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为 1 的正方形和剪刀，认真讨论之后， 动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？ ［生］好.(学生非常高兴地投入活动中). ［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下. 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. ［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下： 下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为 a，则 a 应满足什么条件呢？ ［生甲］a 是正方形的边长，所以 a 肯定是正数. ［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知 a2=2. ［生丙］由 a2=2 可判断 a 应是 1 点几. ［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么 a 是整数吗？a 是 分数吗？请大家分组讨论后回答. ［生甲］我们组的结论是：因为 12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以 a 应在 1 和 2 之间，故 a 不可能是整数. ［生乙］因为 9 1 3 1 3 1,9 4 3 2 3 2,4 1 2 1 2 1  ，…两个相同因数的乘积都为分数，所以 a 不可 能是分数. ［师］经过大家的讨论可知，在等式 a2=2 中，a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数， 但在现实生活中确实存在像 a 这样的数，由此看来，数又不够用了. 2.做一做 投影片§2.1.1 A (1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为 b，则 b 应满足什么条件？b 是有理数吗？ ［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容. ［生］在直角三角形中，若两条直角边长为 a，b，斜边为 c，则有 a2+b2=c2. ［师］在这题中，两条直角边分别为 1 和 2，斜边为 b，根据勾股定理得 b2=12+22，即 b2=5，则 b 是有理数吗？请举手回答. ［生甲］因为 22=4，32=9，4＜5＜9，所以 b 不可能是整数. ［生乙］没有两个相同的分数相乘得 5，故 b 不可能是分数. ［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为 5，所以 5 不是有理数. ［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数 a，b 都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于 无理数的发现是付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇 宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派 中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为 1 的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这 个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的 生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的 a2=2 中的 a 不是有理数. 我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方 面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的 希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神. 三、课堂练习 (一)课本 P35 随堂练习 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，高为 h，h 可能是整数吗？可能是分数吗？ 解：由正三角形的性质可知 BD=1，在 Rt△ABD 中，由勾股定理得 h2=3.h 不可能是整数，也不 可能是分数. (二)补充练习 为了加固一个高 2 米、宽 1 米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为 a 米， 则由勾股定理得 a2=12+22，即 a2=5，a 的值大约是多少？这个值可能是分数吗？ 解：a 的值大约是 2.2，这个值不可能是分数. 四、课堂小结 1.通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，让学生感受有理数又不够用了. 2.能判断一个数是否为有理数. 五、课后作业：见作业本。 §2.1 数怎么又不够用了(二) 教学目标 (一) 知识目标： 1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想. 2.会判断一个数是有理数还是无理数. (二)能力训练目标： 1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发 展学生独立思考、合作交流的意识和能力. 2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训 练大家的思维判断能力. (三)情感与价值观目标： 1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力. 2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力. 教学重点 1.无理数概念的探索过程. 2.用计算器进行无理数的估算. 3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断. 教学难点 1.无理数概念的建立及估算. 2.用所学定义正确判断所给数的属性. 教学方法 老师指导学生探索法 教学过程 一、创设问题情境，引入新课 ［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如 a2=2,b2=5 中的 a，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它的真面目. 二、讲授新课 1.导入：［师］请看图 大家判断一下 3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由. ［生］因为 3 个正方形的面积分别为 1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形 边长就大. ［师］大家能不能判断一下面积为 2 的正方形的边长 a 的大致范围呢？ ［生］因为 a2 大于 1 且 a2 小于 4，所以 a 大致为 1 点几. ［师］很好.a 肯定比 1 大而比 2 小，可以表示为 1＜a＜2.那么 a 究竟是 1 点几呢？请大家用计 算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如 1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96， 1.52=2.25，而 a2=2，故 a 应比 1.4 大且比 1.5 小，可以写成 1.4＜a＜1.5，所以 a 是 1 点 4 几，即十分 位上是 4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字. ［生］因为 1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以 a 应比 1.41 大且比 1.42 小，所以百分位上数字为 1. ［ 生 ］ 因 为 1.4112=1.990921 ， 1.4122=1.993744 ， 1.4132=1.996569 ， 1.4142=1.999396 ， 1.4152=2.002225，所以 a 应比 1.414 大而比 1.415 小，即千分位上的数字为 4. ［生］因为 1.41422=1.99996164，1.41432=2.00024449，所以 a 应比 1.4142 大且比 1.4143 小，即 万分位上的数字为 2. ［师］大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来. ［生］我的探索过程如下. 边长 a 面积 S 1＜a＜2 1＜S＜4 1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25 1.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.0164 1.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.002225 1.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449 ［师］还可以继续下去吗？ ［生］可以. ［师］请大家继续探索，并判断 a 是有限小数吗？ ［生］a=1.41421356…，还可以再继续进行，且 a 是一个无限不循环小数. ［师］请大家用上面的方法估计面积为 5 的正方形的边长 b 的值.边长 b 会不会算到某一位时， 它的平方恰好等于 5？请大家分组合作后回答.(约 4 分钟) ［生］b=2.236067978…，还可以再继续进行，b 也是一个无限不循环小数. ［生］边长 b 不会算到某一位时，它的平方恰好等于 5，但我不知道为什么. ［师］好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实， 学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果 b 算到某一位时，它的平方恰好等于 5，即 b 是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是 5，所以 b 不可能是有限小数. 2.无理数的定义 请大家把下列各数表示成小数. 3， 11 2,45 8,9 5,5 4 ，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每 个小组计算一个数，这样可以节省时间. ［生］3=3.0， 5 4 =0.8， 9 5 =  5.0 ，   71.045 8 ，   818.111 2 ［生］3， 5 4 是有限小数， 11 2,45 8,9 5 是无限循环小数. ［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任 何有限小数或无限循环小数都是有理数. 像上面研究过的 a2=2,b2=5 中的 a，b 是无限不循环小数. 无限不循环小数叫无理数(irrational number). 除上面的 a，b 外，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数. 3.有理数与无理数的主要区别 (1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能. 4.例题讲解 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，－ 3 4 ，  75.0 ，0.1010010001…(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1). 解：有理数有 3.14，－ 3 4 ，  75.0 . 无理数有 0.1010010001…. 三、课堂练习 (一)随堂练习 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0.4583，  7.3 ，－π，－ 7 1 ，18. 解：有理数有 0.4583，  7.3 ，－ 7 1 ，18. 无理数有－π. (二)补充练习 投影片(§2.1.2 A) 判断题 (1)有理数与无理数的差都是有理数. (2)无限小数都是无理数. (3)无理数都是无限小数. (4)两个无理数的和不一定是无理数. 解：(1)错.例π－1 是无理数. (2)错.例  5.1 是有理数. (3)对.因为无理数就是无限不循环小数，所以是无限小数. (4)对.因为两个符号相反的无理数之和是有理数.例π－π=0. 投影片(§2.1.2 B) 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0.351，－  69.4,3 2 ，3.14159，－5.2323332…，123456789101112…(由相继的正整数组成). 解：有理数有 0.351，－  69.4,3 2 ，3.14159， 无理数有－5.2323332…，123456789101112…. 投影片(§2.1.2 C) 在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数. ［生］有理数集合填 0， 11 5 ，－3. 无理数集合填－π，－ 2 3 π，0.323323332…. 四、课时小结 本节课我们学习了以下内容. 1.用计算器进行无理数的估算. 2.无理数的定义. 3.判断一个数是无理数或有理数. 五、课后作业：见作业本。 §2.2 平方根（1） 教学目标： 1、了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。 2、会求一个正数的算术平方根。 3、了解算术平方根的性质。 教学重点：算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。 教学难点：算术平方根的概念、性质。 教学过程： 一、问题引入 1.教师活动：回顾上节课的拼图活动及探索无理数的过程，提出问题：面积为 13 的正方形的边 长究竟是多少？ 学生活动： （1）完成课本 P32 的填空： a2=_____b2=____， c2=_____d2=_____e2=______，f2=______ （2）a，b，c，d，e，f 中哪些是有理数，哪些是无理数？你能表示它们吗？ 2.师生互动 集体交流后，说明无理数也需要一种表示方法。 二、讲授新课： 算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 ax 2 ，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。记为：“ a ”读做根号 a 。特别地，0 的算术平方根是 0。 那么 22 a ，则 a = 2 b2=3，则 b= 3 ；…… 这样的话，一个非负数的算术平方根就可以表示为 a 。 例 1 分别写出下列各数的算术平方根 （要求一个数的算术平方根，一般的方法是先按平方的概念来找哪个数的平方等于这个数。） 例 2 自由下落物体的高度 h（米）与下落时间 t(秒)的关系为 h=4.9t2.有一铁球从 19.6 米高的建筑 物上自由下落，到达地面需要多长时间 ？ 学生活动：一个同学在黑板上板演，其他同学在练习本上做，然后交流。 师生互动：完成引例中的 132 x ，则 x 13 ，以后我们可以利用计算器求出这个数的近似 值。 三、随堂练习：P39 1 四、小结： （1）内容总结： ①算术平方根的定义、表示； ② a 的双重非负性。 （2）方法归纳： 转化的数学方法：即将陌生的问题转化为熟悉的问题解决。 五、作业： P40 习题 2.3 1 2 §2.2 平方根（二） 教学目标： 1、了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。 2、会求一个正数的平方根。 3、了解平方根和算术平方根的性质。 0 5,- , 23 1, 0.09, , 25 4 ,81 4、了解乘方和开方是互逆运算，会利用这个互逆运算求某些非负数的算术平方根和平方根。 教学重点：了解平方根和开平方的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根和平方根。 教学难点：平方根和算术平方根的区别。负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算。 教学过程： 一、复习提问 1、算术平方根的概念，任何一个有理数都有算术平方根吗？算术平方根有什么性质。 2、9 的算术平方根是 ，3 的平方是 ， 还有其他的数的平方是 9 吗？ 二、讲授新课： 1.想一想 平方等于 25 4 的数有几个？平方等于 0.64 的数呢？ 学生活动：学生思考，然后交流，得出平方根的定义。 2.教师活动： 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a ，即 ax 2 ，那么，这个数 x 就叫做 a 的平方根。也叫做 二次方根。 3 和—3 的平方都是 9，即 9 的平方根有两个 3 和—3；9 的算术平方根只有—个，是 3。 3.学生活动： 求出下列各数的平方根。 16，0， 9 4 ，—25， 三、议一议： （1）一个正数的有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？ ★教师活动： 一个正数有两个平方根，0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。 ☆学生活动： 正数的两个平方根有什么关系吗？ 讨论，交流得出： 一个正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根，“ a ”，另一个是“ a ”，它们互为相反数。 这两个平方根合起来，可以记做“ a ”，读作“正、负根号 a ”。 开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。其中 a 叫做被开方数。（已知指数和幂，求 底数的运算是开方运算） ★教师活动 开平方和平方互为逆运算，我们可以利用平方运算来求平方根。 四、例题精析： 例 1 求下列各数的平方根： （1）64，（2） 121 49 ，（3）0.0004, (4)(-25)2, (5)11 注意书写格式。 五、随堂练习：P36 1、2 例 2 若 xx ，求222 4140  ； ★教师活动： 通过例 2，要学生进一步明白平方根与算术平方根在应用上的区别。 六、想一想 师生互动，讨论交流得出： aaa （）（ 2 ≥0） 七、小结： 1. 平方根的定义、表示方法、求法、性质。平方根和算术平方根的区别和联系。 2.使学生学到由特殊到一般的归纳法。 八、作业： P36 习题 2.4 和试一试 P53 3 §2.3 立方根 教学目标 1.使学生了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根； 2.理解开立方的概念； 3.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别. 教学重点和难点 重点：立方根的概念及求法. 难点：立方根与平方根的区别. 教学过程设计 一、复习：请同学回答下列问题： (1)什么叫一个数 a 的平方根?如何用符号表示数 a(≥0)的平方根? (2)正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0 平方根是什么? (3)当 a≥0 时，式子 a，－a，±a，的意义各是什么? 答：(1)如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么 x 叫做 a 的平方根，表示为 x=±a. (2)正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0 的平方根是 0. (3)a≥0，a 表示 a 的算术平方根，－a 表示 a 的负平方根，±a 表示 a 的平方根. 二、引入新课 1.计算下列各题： (1) 31.0 ； (2) 33 )2( ； (3) 30 . 答：(1) 31.0 =0.001； (2) 33 )2( =－827； (3) 30 =0. 指出：上面各题是已知底数和乘方指数求三次幂的运算，也叫乘方运算. 怎样求下列括号内的数?各题中已知什么?求什么? (1)( )3=18; (2)( )3=－27 125; (3)( )3=0. 答：已知乘方指数和 3 次幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”. 设某数为 x，则(1)式为 3x =18，求 x； (2)式为 3x =－27125,求 x；(3)式为 x3=0 求 x。     ？aa， ？ ？？ 等于多少对于正数 等于多少 等于多少等于多少 2 2 2 2 )3( 2.7)2( 121 49)64)(1(       2.立方根的概念. 一般地，如果一个数的立方等于 a，这个数就叫做 a 的立方根(也叫做三次方根). 用式子表示，就是，如果 3x =a，那么 x 叫做 a 的立方根.数 a 的立方根用符号“ 3 a ”表示，读 作“三次根号 a，其中 a 是被开方数，3 是根指数.(注意：根指数 3 不能省略). 3.开立方. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根 可以通过立方运算来求. 三、讲解例题： 例 1 求下列各数的立方根： (1)8； (2)－8； (3)0.125； (4)－27125； (5)0. 分析：求一个数的立方根，我们可以通过立方运算来求. 解 (1)因为 32 =8，所以 8 的立方根是 2，即 3 8 =2. 问：除 2 以外，还有什么数的立方等于 8?也就是说，正数 8 还有别的立方根吗? 答：除 2 以外，没有其它的数的立方等于 8，也就是说，正数 8 的立方根只有一个. (2)因为 3)2( =8，所以－8 的立方根是－2 即 3 8 =－2 问：除－2 以外，还有什么数的立方等于 8?，也就是说，负数－8 还有别的立方根吗? 答：除－2 以外，没有其他的数的立方等于－8，也就是说，－8 的立方根只有 1 个. (3)因为 35.0 =0.125，所以 0.125 的立方根是 0.5，即 3 125.0 =0.5. (4)因为(－ 5 3 )3=－ 125 27 ，所以－27 125 的立方根是－35，即 3 125 27 =－ 5 3 . (5)因为 30 =0，所以 0 的立方根是 0，即 3 0 =0. 问：一个正数有几个立方根?一个负数有几个立方根?零的立方根是什么? 答：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根仍旧是零. 指出：立方根的个数的性质可以概括为立方根的唯一性，即一个数的立方根是唯一的. 例 2 求下列各式的值： (1) 3 27 ； (2) 3 64 ； (3) 3 1000 27 . 解 (1)327=3； (2) 3 64 =－4； (3) 3 1000 27 =- 10 1 四、随堂练习 1.判断题： (1)4 的平方根是 2；( ) (2)8 的立方根是 2；( ) (3)－0.064 的立方根是－0.4；( ) (4)127 的立方根是±13( ) (5)－ 16 1 的平方根是±4；( )； (6)－12 是 144 的平方根.( ) 2.选择题： (1)数 0.000125 的立方根是( ). A.0.5 B.±0.5 C.0.05 D.0.005 (2)下列判断中错误的是( ) A.一个数的立方根与这个数的乘积为非负数 B.一个数的两个平方根之积负数 C.一个数的立方根未必小于这个数 D.零的平方根等于零的立方根 3.求下列各数的立方根： (1)27； (2)－38； (3)1； (4)0. 4.求下列各式的值： (1)100； (2) 3 1000 ； (3) 3 729 1000 ； (4) 3 64 125 ；(5) 3 1 ； 五、小结 请思考下面的问题： 1.什么叫一个数的立方根?怎样用符号表示数 a 的立方根?a 的取值范围是什么? 2.数的立方根与数的平方根有什么区别? 答：1.如果一个数的立方等于 a，这个数就叫做 a 的立方根，用符号 3a 表示，a 为任意数. 2.正数只有一个正的立方根，但有两个互为相反数的平方根；负数有一个负的立 方根，但没有平方根. 3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求. 六、作业：见作业本。 §2.4 公园有多宽 教学目标 (一)教学知识点 1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数 的大小. 2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感. (二)能力训练要求 1.能估计一个无理数的大致范围，培养学生估算的意识. 2.让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力. 教学重点 1.让学生理解估算的意义，发展学生的数感. 2.掌握估算的方法，提高学生的估算能力. 教学难点 掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小. 教学过程 一.导入新课 同学们，请大家说出咱们班男生和女生的平均身高.你又是怎样得出结果的呢？ （我猜的.） “猜”字的意思就是根据自己的判断而估计得出的结果，它并不是准确值，但也不是无中生有， 是有一定的理论根据的，本节课我们就来学习有关估算的方法. 二.讲授新课 问题：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400000 米 2. (1)公园的宽大约是多少？它有 1000 米吗？ (2)如果要求误差小于 10 米，它的宽大约是多少？ (3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 米 2，你能估计它的半径吗？(误差小于 1 米) 提示：要想知道公园的宽大约是多少，首先应根据已知条件求出已知量与未知量的关系式，那么 它们之间有怎样的联系呢？ （因为已知长方形的长是宽的 2 倍，且它的面积为 40000 米 2，根据面积公式就能找到它们的关 系式.可设公园的宽为 x 米，则公园的长为 2x 米，由面积公式得： 2x2=400000 ∴x2=200000。所以公园的宽 x 就是面积 200000 的算术平方根）. 在估算时我们首先要大致确定数的范围，因此有必要做一些准备工作.请大家先计算出 20 以内正 整数的平方和 10 以内正整数的立方.并加以记忆，对我们的估算很有帮助. 12=1；22=4；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；82=64；92=81；102=100；112=121；122=144； 132=169；142=196；152=225；162=256；172=289；182=324；192=381；202=400. 13=1；23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；83=512；93=729；103=1000. 下面我们可以进行估算，请同学们分组讨论而后回答. （1）公园的宽没有 1000 米，因为 1000 的平方是 1000000，而 200000 小于 1000000，所以它没 有 1000 米宽. 大家能不能具体确定一下公园的宽是几位数呢？ 因为 100 的平方是 10000，1000 的平方是 1000000，而 200000 大于 10000 小于 1000000，所以 公园的宽比 100 大而比 1000 小，是三位数. 大家在估算时就可用这样的方法大致估算一下是几位数，这样使范围缩小，为下一步的估算作 准备.由此看来公园的宽大约是几百米，下面请大家继续讨论做(2)题. 因为 400 的平方等于 160000，500 的平方为 250000，所以公园的宽 x 应比 400 大比 500 小. 所以 x 应为 400 多，再继续估算，估计十位上的数字是几. 因为 440 的平方为 193600，450 的平方为 202500，所以 x 应比 440 大比 450 小，故十位上的数 为 4. 因为题目要求误差小于 10 米，好应精确到十位，所以我们估算出十位上的数就行了，即公园的 宽 x 应为 440 米，现在我们可以根据刚才的估算来总结一下步骤. 1.估计是几位数. 2.确定最高位上的数字(如百位). 3.确定下一位上的数字.(如十位) 4.依次类推，直到确定出个位上的数，或者按要求精确到小数点后的某一位. 在以后的估算中我们就可按这样的步骤进行.再看(3)题，先列出关系式. （设半径为 x 米，则有πx2=800∴x2= 14.3 800800  ≈255.即 x2≈255 因为 102=100，1002=10000，所以 x 应是两位数，又因为 152=255，162=256，所以 x 就比 15 大比 16 小，应为 15 点几，所以应为 15 米.） 在题目中要求误差小于 1，而不是精确到 1，所以 15 米和 16 米都满足要求，即 x 应为 15 米或 16 米. 二、议一议 (1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流. 43.0 ≈0.066； 3 900 ≈96； 2536 ≈60.4 (2)你能估算 3 900 的大小吗？(误差小于 1). 解：（1）因为 0.652=0.4225，0.662=0.4356，而 0.43 大于 0.4225 小于 0.4356，所以 43.0 应大于 0.65 小于 0.66，所以估算错误. （2）第 2 个错.因为 10 的立方是 1000，900 比 1000 小，所以 900 的立方根应比 1000 的立方根 小，即小于 10，所以估算错误. （3）第 3 个错.因为 60 的平方是 3600，而 2536 小于 3600，所以 2536 应比 60 小，所以估算 错误. 第(2)小题请大家按总结的步骤进行. (1)先确定位数 因为 1 的立方为 1，10 的立方为 1000，900 大于 1 小于 1000，所以应是一位数. (2)确定个位上数字. 因为 9 的立方为 729，所以个位上的数字应为 9. 三、例题讲解 ［例 1］（课本 40 页例 1） ［例 2］通过估算，比较 2 1 2 15 与 的大小 分析：因为这两个数的分母相同，所以只需比较分子即可. 解：因为 5＞4,即( 5 )2＞22，所以 5 ＞2，所以 2 12 2 15  .即 2 1 2 15  . ［补例 3］已知 16  的整数部分为 a，小数部分为 b.求 ba ba   2 2 的值. ［补例 4］已知 5 2 6 的整数部分和小数部分分别为 a b和 ，求 1a b  的值 四、课堂练习 (一)随堂练习 (二)补充练习：比较 12 与 3.4 的大小. 解：因为 3.4 的平方为 11.56，所以 12 大于 11.56，即 12 ＞3.4. 五.课堂小结 本节课主要是让学生掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感，并能用估算来比较 大小. 六.课后作业：习题 2.6 §2.5 用计算器开方 教学目标 (一)知识目标 1.会用计算器求平方根和立方根. 2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力. (二)能力训练目标 1.鼓励学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲. 2.鼓励学生自己探索计算器的用法，并能熟悉用法. 3.能用计算器探索有关规律的问题，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数 学结论的确定性. (三)情感与价值观目标 让学生经历运用计算器的活动，培养学生探索规律的能力，发展学生合理推理的能力. 教学重点 1.探索计算器的用法. 2.用计算器探求数学规律. 教学难点 1.探索计算器的用法. 2.用计算器探求数学规律. 教学方法 学生探索法. 教学过程 一、新课导入 我们在前几节课分别学习了平方根和立方根的定义，还知道乘方与开方是互为逆运算. 比如 23=8，2 叫 8 的立方根，8 叫 2 的立方，有时可以根据逆运算来求方根或平方、立方.对于 10 以内数 的立方，20 以内数的平方要求大家牢记在心，这样可以根据逆运算快速地求出这些特殊数的平方根 或立方根，那么对于不特殊的数我们应怎么求其方根呢？可以根据估算的方法来求，但是这样求方 根的速度太慢，这节课我们就学习一种快速求方根的方法，用计算器开方. 二、新课讲解 ［师］请大家互相看一下计算器，拿类型相同的计算器的同学请坐到一起.这样便于大家互相讨 论问题.如果你的计算器的类型与书中的计算器的类型相同，请你按照书中的步骤熟悉一下程序，若 你的计算器的类型不同于书中的计算器，请拿相同类型计算器的同学先要探索一下如何求平方根、 立方根的步骤，把程序记下来，好吗？给大家 8 分钟时间进行探索. ［师］好，时间到，大家的程序掌握了吗？ ［生］掌握了. ［师］现在根据自己掌握的程序计算 89.5 ， ,1285,7 2 33  5 +1， 76 －π，然后和书中 的数据相对照，检查自己做的是否正确. ［生］正确. 三、做一做 利用计算器，求下列各式的值(结果保留 4 个有效数字)： (1) 800 ；(2) 3 5 22 ；(3) 58.0 ；(4) 3 432.0 . ［师］哪一位同学能用计算器快速计算出上面各式的值呢？ ［生］能. (1) 800 ≈28.28；(2) 3 5 22 ≈1.639；(3) 58.0 ≈0.7616；(4) 3 432.0 ≈－0.7560. ［例题］利用计算器比较 3 3 和 2 的大小. 解： 3 3 =1.44224957， 2 =1.414213562 ∴ 3 3 ＞ 2 ［师］请大家用计算器求下列各式的值(结果保留 4 个有效数字) 投影片：(§2.5 A) (1) 49 ； (2) 81.0 ； (3) 1369 ； (4) 5376.1 ； (5) 5 ； (6) 24.0 ； (7) 3 3.48 ； (8) 3 5.343 ； (9) 3 4936 ； (10) 3 007283.0 . ［师］刚才我们练习了 10 个小题，对于求平方根或者立方根的程序已基本熟练，在此基础上， 下面我们来做一个判断题，看看题中已经求出的立方根与平方根是否正确. 投影片：(§2.5 B) 下列计算结果正确吗？ (1) 1234 ≈35.1； (2) 3 1200 ≈10.6；(3) 8955 ≈9.5；(4) 3 12345 ≈231. ［生］(1)正确.因为题目没有要求结果保留几个有效数字，所以正确. (2)正确.和上面的原因相同. (3)错. 8955 ≈94.6. (4)错. 3 12345 ≈23.1. 四、议一议 (1)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方 运算……随开方次数的增加，你发现了什么？ ［师］请大家每人找一个很大的正数，不同的人的数字不要相同，按要求去做然后总结. ［生］我找的数是 123456789，一直进行开平方运算，运算的结果是越来越接近 1. ［师］其他同学的情况怎样呢？ ［生］(齐声答)也是这个结果. ［师］哪位同学能做一下总结？ ［生］任何一个大于 1 的数，不管它有多大，一直进行开平方运算，结果越来越近 1. ［师］这位同学的语言表达能力很棒，这就是规律，再看(2)题. (2)改用另一个小于 1 的正数试一试，看看是否仍有规律. ［生］和上面的结果一样. ［师］既然结果相同，能否把它们合起来总结一下规律是什么？ ［生］任何一个正数，不管它是大于 1 的数，还是小于 1 的数，一直进行开平方运算，运算的 结果越来越接近 1. ［师］非常棒.大家能否把(1)、(2)中的开平方运算改成开立方运算进行探索呢？ ［生］能. ［生］结果也是越来越趋近于 1. ［师］请一位同学总结一下. ［生］任何一个正数，利用计算器进行开立方运算，对所得结果再进行开立方运算…随着开方 次数的增加，结果是越来越接近 1. 五、课堂练习 1.利用计算器，比较下列各组数的大小. (1) 5,113 ； (2) 2 15,8 5  . 2.用计算器求下列各式的值. (1) 2116.0 ；(2)－ 56169 ；(3) 0121.0 ；(4) 25 8 ；(5) 8.790 ；(6) 0006705.0 ； (7)－ 3 3.7456 ；(8) 3 84521.0 ；(9) 3 7 22 ；(10) 3 9 58 ；(11) 3 400000 ； 六、课时小结 1.探索用计算器求平方根和立方根的步骤，并能熟练地进行操作. 2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力. Ⅴ.课后作业:习题 2.5(作为测验试卷) §2.6 实数（一） 教学目标 1.了解无理数及实数的意义，并用类比的方法引入实数的相关概念等； 2.了解实数的相反数和绝对值的意义，并会求一个实数的相反数和绝对值； 3.灵活运用开方的有关知识解决问题；体现从有理数运算到实数运算的自然过渡。 教学重点 1. 无理数和实数的概念； 2. 对无理数相反数和绝对值的求法。 教学难点 1.区分偶次方根和奇次方根； 2.对无理数的意义的理解。 教学方法 1. n 次方根 求 a 的 n 次方根的运算，叫做把 a 开 n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数。 2. 奇次方根和偶次方根 将一个数开奇次方时，求得的方根叫做奇次方根； 将一个非负数开偶次方时，求得的方根叫做偶次方根。 3. 开方：求一个数的方根的运算，叫做开方。 开 n 次方与 n 次乘方互为逆运算。 4. 有理数 整数和分数统称为有理数，有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数。 5. 无理数 无限不循环小数叫做无理数（即开不尽方的数）无理数不能表示成分数的形式。 任何一个无理数，都可以用给定精确度的有理数来近似地给予表示。 6. 实数 有理数和无理数统称为实数。 每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之，数轴上的每点又都可以表示一个实数。（一一对 应） 7. 实数的相反数 如果 a 表示一个实数，－a 叫 a 的相反数，0 的相反数是 0。 8. 实数的绝对值 【典型例题】例 1. 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是正实数？ 10、课堂练习： §2.6 实数(二) 教学目标 (一)知识目标: 1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用. 2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计 算. 3.正确运用公式 );0,0(  bababa )0,0(  bab a b a . (二)能力训练目标: 1.让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能 力. 2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识. (三)情感与价值观目标: 时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习 期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题.其中类比的学习方法就是一 种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则，类比地学习在实数范围内的有关计 算，重要的是培养这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务. 教学重点 1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算. 2.发现规律： );0,0(  bababa )0,0(  bab a b a .并能用规律进行计算. 教学难点 1.类比的学习方法. 2.发现规律的过程. 教学过程 一.新课导入 上节课我们学习了实数的定义、实数的两种分类，还有在实数范围内如何求相反数、倒数、绝 对值，它们的求法和在有理数范围内的求法相同.那么在有理数范围内的运算法则、运算律等能不能 在实数范围内继续用呢？本节课让我们来一起进行探究. 二.新课讲解 1.有理数的运算法则在实数范围内仍然适用. 大家先回忆一下我们在有理数范围内学过哪些法则和运算律. （加、减、乘、除运算法则，加法交换律，结合律，分配律.） 下面我们就来验证一下这些法则和运算律是否在实数范围内适用.我们知道实数包括有理数和无 理数，而有理数不用再考虑，只要对无理数进行验证就可以了. 如： 2332  ， .252)32(2322 ,3) 2 12(3 2 123   所以说明有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.下面看一些例题. 例：计算： (1) 1 3 13  ； (2) 77  ；(3)(2 5 )2；(4) 2) 2 12(  . 解：(1)原式=1+1=2；(2)原式=0；(3)原式=22·( 5 )2=4×5=20； (4)原式=( 2 )2+2· 2 · 2 1 +( 2 1 )2=2+2+ 2 9 2 1  . 2.做一做（书上 48 页） 请同学们先计算，然后分组讨论找出规律. 通过上面计算的结果，大家认真总结找出规律. 如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？ 总结： baba  (a≥0,b≥0)； b a b a  (a≥0,b＞0) 化简： (1) 3 26  ； (2) 327  －4；(3)( 3 －1)2；(4) 3 26  ；(5) 54 6 . 解：(1) ;243 263 26  (2) ;5494814327  .3 1 9 1 54 6 54 6)5(;243 12 3 12 3 26)4( ;32413231132)3()13)(3( 222   3.例题讲解 ［例题］化简：（书上 49 页例题） 三.课堂练习 (一)随堂练习 (二)补充练习 1.化简： (1) 250580  ；(2)(1+ 5 )( 5 －2)；(3) )82(2  ；(4) 3 721 ； (5) 2) 3 13(  ；(6) 10 405104  . 解：(1) 101020100400250580250580  ； (2)(1+ 5 )( 5 －2)= 5 －2+( 5 )2－2 5 = 5 －2+5－2 5 =3－ 5 ； (3) 64216482228222)82(2  ； (4) 7493 721 3 721 3 721  ； (5) 3 4 3 123) 3 1( 3 132)3() 3 13( 222  ； (6) 45410 40510 104 10 405 10 104 10 405104  =4+10=14. 2.一个直角三角形的两条直角边长分别为 5 cm 和 45 cm，求这个直角三角形的面积. 解：S= 4552 1  )cm(5.7152 1)35(2 14552 1 22  答：这个三角形的面积为 7.5 cm2. 四.课时小结 五.课后作业：习题 2.9 六.活动与探究 下面的每个式子各等于什么数？ 222222 2003,2002,2001,,4,3,2  . 由此能得到一般的规律吗？对于一个实数 a、 2a 一定等于 a 吗？ §2.6 实数(三) 教学目标 (一)知识目标: 1.式子 baba  (a≥0,b≥0)； b a b a  (a≥0,b＞0)的运用. 2.能利用化简对实数进行简单的四则运算. (二)能力训练目标: 1.让学生能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算. 2.让学生根据实例进行探索，互相交流合作，培养他们的合作精神和探索能力. (三)情感与价值观目标: 1.通过对法则的逆运用，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结 论的确定性. 2.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从 中体会数学的使用价值. 教学重点 1.两个法则的逆运用. 2.能运用实数的运算解决简单的实际问题. 教学难点 灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算. 教学过程 一.导入新课 请大家先回忆一下算术平方根的定义. （若一个正数 x 的平方等于 a，则 x 叫 a 的算术平方根.） 下 面 我 们 用 算 术 平 方 根 的 定 义 来 求 下 列 两 个 正 方 形 的 边 长 ， 以 及 边 长 之 间 的 关 系 . 问：设大正方形的边长为 a，小正方形的边长为 b.请同学们互相讨论后得出结果. （由正方形面积公式得 a2=8,b2=2.所以大正方形边长 a= 8 ，小正方形边长 b= 2 .） 问：那么 a 与 b 之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的虚线. （大正方形的面积为小正方形面积的 4 倍，大正方形的边长是小正方形边长的 2 倍.所以 8 =2 2 .）那么 8 根据什么法则就能化成 2 2 呢？这就是本节课的任务. 二.新课讲解 请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么？ （ baba  (a≥0,b≥0)； b a b a  (a≥0,b＞0) ） 请大家根据上面法则化简下列式子. (1) 33  ； (2) 42  ；(3) 27 3 ；(4) 12 253 . 解：(1) 333333 2  ；(2) 84242  ； (3) 3 1 9 1 27 3 27 3  ；(4) 2 5 4 25 12 25312 253  . 请大家思考一下，刚才这位同学的步骤反过来推是否成立？即从右往左推 （.因为从左到右是等式的推导，而从右向左也是等式的推导，只不过是反过来推也应成立.） 确实成立.下面再分析这些式子： .12 25312 253)4(; 27 3 27 3)3( ;224242)2(;3333)1(   并和上节课的两个法则相比较，有什么不同吗？请大家交流后回答.大家能否用式子表示出来？ 小结： baba  （ a≥0,b≥0） b a b a  （a≥0,b＞0.） 化简：(1) 27 ； (2) 45 ；(2) 128 ；(4) 54 ；(5) 9 32 ；(6) 16 125 . .大家能不能总结一下刚才化简的这些式子有何规律呢？ 这说明根号里面的数有一部分移到了根号外面，那么什么数能往外移呢？它们又具备什么条件呢？ （是平方数.如(1)中根号内的 9 移到外面变成了 3；(2)、(4)中也是，(3)中有 64 移到外面成了 8.(5)中 16 移到外面变成 4，(6)中分母 16，分子 25 移到外面变成 4，5.） 也就是说被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化简.那么像下面的式子 2 2 4 2 4 2 2 1  叫不叫化简呢？（化简） 能否说一下它的特征呢？ 如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数， 然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.这也叫化简.根据刚才我们的讨论，对于两种情形可通 过法则的逆运算进行化简，那么究竟是哪两种情形呢？ （.如果被开方数中含有分母，或者含有开得尽的因数，则可通过逆运算进行化简.） 上节课和本节课我们做的工作都是化简，并且用的是相同的两个公式，那么究竟什么情况下用 法则、什么情况下又用法则的逆运算呢？ 一般地，当被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数时，用法则的逆运算；当两个含有根 号的数相乘或相除，它们的被开方数单独开不出来，但是通过相乘或相除能出现开得尽的因数时用 法则. 例题讲解 ［例 1］化简：（书上 50 页例 2） ［例 2］化简： (1)－2 30310  ； (2)－ aba 10186 1  ； (3)－ yxy 1 ； (4) 16 15 ； (5) 013.0 39.0 ； (6) . mn 2 nm 14 2 解： 310631063106301032303102 22  360 ； (2)－ babaabaaba 5366 15366 110186 110186 1 22  baba 5566 1  ； (3)－ xyxyyxy  11 ；(4) ;4 9 16 81 16 15  (5) 3013 390 013.0 39.0 013.0 39.0  ；(6) m 7mn 2 nm 14 mn 2 nm 14 22  . 三.课堂练习 （1）随堂练习 （2）化简：(1) 22 1   x x ;(2) 765125.0 cba ;(3) 2 2 2 4 3 2 y x y x x y  ;(4) 23 164 aa  . 四.课堂小结 五.课后作业 §2.7 回顾与思考 教学目标 (一)知识目标: 1.本章知识的网络结构. 2.重点内容归纳. (1)数怎么又不够用了，引出了无理数.(2)有理数与无理数的联系与区别. (3)算术平方根、平方根的定义，会求正数的算术平方根和平方根. (4)立方根，开立方的定义，会求一个数的立方根.(5)估算的方法. (6)用计算器开方.(7)实数的定义，实数的运算法则和运算律. (二)能力训练目标: 1.熟练掌握本章的知识网络结构. 2.理解无理数，实数，算术平方根，平方根，立方根，开立方的定义. 3.理解有理数与无理数的区别与联系.4.开方运算和乘方运算有什么联系？ 5.掌握估算的方法.6.正确运用实数的运算法则和运算律. (三)情感与价值观目标: 通过本章内容的小结与复习培养学生学会归纳，整理所学知识的能力，从而激发学生的学习兴 趣、求知欲望，并培养良好的学习品质. 教学重点 本章知识的网络结构，知识间的相互关系. 教学难点 知识的运用. 教学过程 一.导入 本章的内容已全部学完.请同学们回忆并归纳本章所学的知识. （本章的内容有：数怎么又不够用了；平方根，算术平方根的定义及求法；立方根的定义及求 法；估算的方法，用计算器开方，实数的概念，实数的运算法则和运算律.） 本节课将对本章知识内容进行系统归纳，总结. 二.讲授新课 1.重点内容归纳 (1)无理数的引入及它与有理数的联系与区别. （由 a2=2 得 a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数，是无理数，就引入了无理数）. (2)算术平方根与平方根的联系与区别. 若一个正数 x2=a，则 x 叫 a 的算术平方根；若一个数 x2=a，则 x 叫 a 的平方根.它们的联系有： (1)平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根与算术平方根都是 只有非负数才有.(3)0 的平方根，算术平方根都是 0. 区别是：(1)从定义看不同.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有 一个.(3)表示法不同.正数 a 的平方根表示为± a ，正数 a 的算术平方根表示为 a .(4)取值范围不同： 正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个. (3)立方根的有关知识. 若 x3=a，则 x 叫 a 的立方根.立方根的性质有：一个正数的立方根是一个正数.一个负数有一个负 的立方根，零的立方根为零. 立方根、平方根、算术平方根都是通过什么运算得到的.这种运算和乘方运算之间有什么关系呢？ 立方根、平方根、算术平方根都是通过开方运算得到的，开方运算和乘方运算是互为逆运算. (4)估算. 是公园有多宽，也就是估算.估算就是利用乘方运算来进行的.估算的步骤大致为：(1)估计是几位 数；(2)确定最高位上的数字(如百位)；(3)确定下一位上的数字(如十位)；(4)依次类推，直到确定出个 位上的数或者按要求精确到小数点后的某一位. (5)实数的定义及实数的运算法则和运算律. a.有理数和无理数统称为实数. b.实数的分类有: (1)按定义分                                         无限不循环小数 负无理数 正无理数无理数 数有限小数或无限循环小 负分数 负整数负有理数 零 正分数 正整数正有理数 有理数 实数 (2)按大小分:实数    负实数 零 正实数 c.实数大小的比较 在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大. d.实数和数轴上点的对应关系. 实数和数轴上的点是一一对应的关系. e.实数的几个概念. (1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值都和有理数范围内的概念相同. f.实数的运算法则和运算律. 2.知识点的运用 ［例 1］判断题: (1)4 的算术平方根是±2；(2)4 的平方根是 2；(3)8 的立方根是±2； (4)无理数就是“没有理由的数”；(5)不带根号的数都是有理数； (6)无理数就是开方开不尽的数；(7)两个无理数的和还是无理数. ［例 2］把下列各数写入相应的集合中. －1， 3 11 ，0.3， 2  ， 3 8,49  ，0，0.1010010001…(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1). (1)正数集合{ …}；(2)负数集合{ …}； (3)有理数集合{ …}；(4)无理数集合{ …}. 注：正、负数集合是从数的符号来考虑的；有理数、无理数集合是从实数的分类来考虑的，正、 负数可能是有理数或无理数，有理数，无理数包含正、负有理数，无理数. ［例 3］你会估算吗？请估算下列各组数的大小，并作比较. (1) 17 ，3.965；(2) 3 11 ， 19 . ［例 4］求下列各数的平方根与算术平方根： (1)2.25； (2)361；(3) 36 49 ；(4)10－4. 注：这个题主要是区分算术平方根与平方根的概念而设置的. ［例 5］化简： .8 1 2 1332)3(;7218)2();35)(35)(1(  三.课堂练习： 1.1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的平方根和立方根中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 2.化简 (1) 2 5 520  ；(2) 3 2712  ；(3) 483122  ；(4) 700287 1  . 3．如下图所示,15 只空桶(每只油桶底面的直径均为 50 厘米)堆在一起,要给它们盖一个遮雨棚,遮雨棚 起码要多高? 解:设油桶底面的直径为 d. 由图根据勾股定理得 h= 22 )2()4( dd  =2 3 d ∴h+d=2 3 d+d=(2 3 +1)d =(2 3 +1)×50 ≈223.20(厘米)答：遮雨棚起码要 223.20 厘米高. 第三章 图形的平移与旋转 §3.1 生活中的平移 教学目标： 1、知识和技能目标： ①经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，经历探索图形平移基本性质的过程以及与 他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识。 ② 通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等、 对应线段和对应角分别相等的性质。 2、情感与态度目标： 1 通过收集自己身边“平移”的实例，感受“生活处处有数学”，激发学生学习数学的兴趣。 2 通过欣赏生活中平移图形与学生自己设计平移图案，使学生感受数学美，体会美的价值所在，进 而追求美并创造美。 教学重点和难点： 1、 教学重点：探索图形平移的主要特征和基本性质。 2、 教学难点：从生活中的平移现象中概括出平移的特征。 教学方法： 采用自主探究式的教学方法，本着贯彻启发性、直观性、理论联系实际的教学原则，体现以教 师为主导，学生为主体的教学思想，确定本节课的教学方法如下： ①采用引导发现法：逐步呈现教学信息，突出教师的主导作用和学生的主体作用；突出独立性、 又体现合作性。通过学生自主学习、交流，师生互动，让学生自主获取知识。 ②创设问题情境：营造和谐的教学氛围，引导学生的学习兴趣，激发求知欲望。 ③讲练结合、步步设疑、逐渐深入、引导猜想、归纳总结、实验验证的探究式思维训练。 学习方法： 观察——分析——探索——概括 教学准备： 多媒体课件 教学设计 教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、 创设 问题 情境 激发 学生 教师通过多媒体展示现实生 活中平移的具体实例： 展示画面： （1）电视机在传送带上移动的过 程。 （2）手扶电梯上人的移动的过 程。 教师提问： （1）你能发现传送带上的电 学生观察多媒体展示的 图片。 从现实生活 中的具体实例中 抽 象 出 数 学 问 题，让学生观察、 思 考 并 进 行 探 索。 学习 兴趣 视机、手扶电梯上的人在平移前 后什么没有改变，什么发生了改 变吗？ （2）在传送带上，如果电视 机的某一按键向前移动了 80cm， 那么电视机的其它部位（如屏幕 左上角的图标）向什么方向移 动？移动了多少距离？ （3）如果把移动前后的同一 台电视机屏幕分别记为四边形和 四边形（多媒体演示书上第 58 页 的图 3-2），那么四边形与四边形 的形状、大小是否相同？ 学生自由发言，各抒己 见。 平移前后两个图形的形 状和大小没有改变，位置发生 了改变。 学生回答： 向前移动了 80cm。 形状和大小都相同。 学会从实际 问题中抽象出数 学模型的能力。 二、 引入 课题 探求 新知 引入课题：生活中的平移 根据上述分析，你能说明什 么样的图形运动称为平移？ 在学生发现和归纳的基础上 板书： 平移定义：在平面内，将一 个图形沿某个方向移动一定的距 离，这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的形状和大小。 同学们通过刚才的观察，总 结出一个结论，即：“图形的位置 改变了，但形状和大小没有改 变”。现在我们一起来探索：平移 前后对应点、对应线段以及对应 角之间在做怎样的变化。 教师提出问题： P59 想一想：（课件演示 P58 图 3-2） （1）在上图中，线段 AE，BF， CG，DH 有怎样的位置关系？ （2）图中每对对应线段之间有怎 样的位置关系？ （3）图中有哪些相等的线段、相 等的角？ 让学生归纳总结，教师 板书平移的性质： 经过平移，对应点所连 的线段平行且相等，对应线 段平行且相等，对应角相等。 学生分组进行交流、讨 论、归纳。 学生观察多媒体中四边 形平移的图形，证实刚才探索 的结论。 学生分成四人一组， 共同探讨平移的性质。 学生通过观察、测 通过讨论， 强化对定义的理 解。 探索平移的 性质，培养学生 观察、分析、归 纳、猜想的能力 及协作能力。 教师要让学 生充分发表自己 意见，说出他们 探索出的结论。 同时要给予激励 量、比较等方法寻找平移 的性质。 性评价，鼓励学 生说。 三、 例题 讲解 例 1、（课 件演示） 如图所示， △ ABE 沿 射 线 XY 的 方 向 平 移一定距离后成为△CDF。找出 图中存在的平行且相等的三条线 段和一组全等三角形。 Y X EB A F D C 学生观察、思考、相互讨 论，然后叫学生回答。 引导学生从 “对应点所连线 段” 、“对应线 段”两个方面找 平行且相等的线 段。 四、 展示 应用 评价 自我 四、 展示 应用 练习：P60 1. 如图所示，∠DEF 是∠ABC 经过平移得到的，∠ABC＝33O，求 ∠DEF 的度数。 2．在下面的六幅图案中，（2） （3）（4）（5）（6）中的哪个图案 可以通过平移图案（1）得到？ 教师再提问： 如果不限定“通过平移图案 （1）得到”，那么请大家想一想 还有哪些图案可以通过平移得 到？ 教师进一步提问： 为什么（6）不是（1）平移 得到的？你还能从这几只“向日 葵花”中，观察到什么？ 变式练习： 图中的四个小三角形都是等 边三角形， 边 长 为 2cm，能通 过 平 移 △ ABC 得 到 其它 三角形吗？若能，请画出平移的 方向， 并说出平移的距离。 图案欣赏：将搜集来的一些图案 EA C F B D 第一题由学生独立完成。 学生相互交流，让所有的 学生都参与到问题的讨论中。 讨论解题思路，独立写出 答案。 培养学生自 己解决问题的能 力。 通过训练， 强化对平移性质 的理解与运用。 结合平移的 性质及平行线的 性质，使学生前 后所学知识得到 融会贯通。 评价 自我 （续 通过多媒体展示出来，让学生感 受“平移”给我们带来的美。 使学生能在 有趣的图形中学 习数学知识，充 分感受到美来源 于生活，同时数 学也能创造美。 五、 链接 知识 归纳 小结 组织学生小结这节课所学的 内容，并作适当的补充。 小结本节课所学的内容。 培养学生及 时总结，知识内 化。 六、 布置 作业 见作业本 巩固所学知识。 七、 课后 反思 1.通过欣赏生活中平移图形与学生自己设计平移图案，使学生感受数学美，体会美 的价值所在，进而追求美并创造美。 2.通过训练，强化对平移性质的理解与运用，培养学生自己解决问题的能力。 §3.2 简单的平移作图(一) 教学目标 (一)知识目标 1.简单的平移作图. 2.确定一个图形平移后的位置的条件. (二)能力训练目标 1.经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能，发展 初步的审美能力. 2.能按要求作出简单平面图形平移后的图形. (三)情感与价值观目标 经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，增强学生对图形美欣赏的意识， 培养其审美观念. 教学重点 能按要求作出简单平面图形平移后的图形. 教学难点 简单平面图形平移后的图形的作法. 教学方法 讲、练结合法. 教学过程 一、巧设情景问题，引入课题 ［师］通过上节课的学习，我们知道了生活中的许多现象属于平移，哪位同学能说一下什么是 平移呢？平移的基本性质是什么？ ［生］在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不 改变图形的形状和大小. 平移的基本性质是： 经过平移，对应线段，对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等. ［师］很好，了解了平移的涵义及其基本性质后，能否把一些简单的平面图形进行平移呢？我 们这节课就来研究：简单的平移作图. 二、讲授新课 ［师］下面来看大屏幕(出示投影片§3.2.1 A) 如图，经过平移，线段 AB 的端点 A 移到了点 D，你能作出线段 AB 平移后的图形吗？ 与同伴交流. ［生甲］因为经过平移，线段 AB 的端点 A 移到了点 D，所以点 A 与点 D 是对应点；又因为对 应点所连的线段平行且相等，所以连结 AD，然后过点 B 作线段 BC 与线段 AD 平行且相等，最后连 结 CD，则线段 CD 就是线段 AB 平移后的图形. ［生乙］因为平移不改变图形的形状和大小，所以在作线段 AB 平移后的图形时，可过点 D 作 DC∥AB，且 DC=AB，则线段 DC 就是线段 AB 平移后的图形. ［师］很好，这个题实际是平移的基本性质的直接应用.由此可知：按要求进行平移一些简单的 平面图形时，一般都是应用平移的基本性质进行的. 下面我们通过例题来进一步说明如何平移一些简单的平面图形. (出示投影片§3.2.1 B) ［例 1］经过平移，△ABC 的顶点 A 移到了点 D，(如图)，作出平移后的三角形. 分析：设顶点 B、C 分别平移到了点 E、F，根据“经过平移，对应点所连的线段平行且相等”，可 知线段 BE、CF 与 AD 平行且相等. 注意：作图时可用尺规进行作图，也可用三角板与直尺进行作图. 解：如上图，过点 B、C 分别作线段 BE、CF，使得它们与线段 AD 平行并且相等，连结 DE、 DF、EF，则△DEF 就是△ABC 平移后的图形. ［师］同学们想一想，议一议(出示投影片§3.2.1 C) (1)本题还有没有其他方法作出如图所示的△DEF 呢？ ［生甲］过点 D 分别作出与 AB、AC 平行且相等的线段 DE、DF，连接 EF，则△DEF 就是所要 求作的三角形. ［生乙］过点 B 作 BE∥AD 且 BE=AD，然后分别以 D、E 为圆心，以线段 AC、BC 的长为半径 画弧 ，两弧交于 F 点，连结 EF、DF，则△DEF 就是所要求作的三角形. …… ［师］同学们找到了“△ ABC 平移后的图形△DEF 的其他作法”.很好，现在“大家来想一想， 分组讨论. (出示投影片§3.2.1 D) 确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要什么条件？ ［生甲］确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要平移的距离. ［生乙］还需要方向，要弄清一个图形是往左平移还是往右平移，是往上平移，还是往下平移. ［师］完全正确，这就是确定一个图形平移后的位置的条件： (1)图形原来所在的位置. (2)图形平移的方向. (3)图形平移的距离. 接下来我们来平移一个图形(出示投影片§3.2.1 E) ［例 2］如图，将字母 A 按箭头所指的方向平移 3 cm，作出平移后的图形. ［师生共析］平移字母 A 的条件：字母 A 的位置，平移的方向——箭头所指，平移的距离——3 cm，三个条件都具备，所以可以确定字母 A 平移后的位置.那如何作图呢？一般情况下，画图时，先 确定点，然后就可以作出所要求的图形.因此本题可以在原图形上找几个能反映本图形的关键的点， 根据“经过平移对应点所连的线段平行且相等”，确定出这几个关键点的对应点，然后按原来的方式 连接，即可得到字母 A 平移后的图形. 解：在字母 A 上，找出关键的 5 个点(如图所示)，分别过这 5 个点按箭头所指的方向作 5 条长 3 cm 的线段，将所作线段的另 5 个端点按原来的方式连接，即可得到字母 A 平移后的图形. ［师］在这个例题的解题过程中，通过确定几个关键点平移后的位置，得到字母 A 平移后的图 形，这是一种“以局部带整体”的平移作图方法，同学们要掌握. 下面通过练习来熟悉这种“以局部带整体”的平移作图方法. 三、课堂练习 (一)课本 P62 随堂练习. 1.将图中的字母沿水平方向向右平移 3 cm，作出平移后的图形. 解：在字母 N 上，找出关键的 4 个点(如右图)，分别过这 4 个点沿水平方向向右作 4 条长 3 cm 的线段，将所作的线段的另 4 个端点按原来的方式连接，即得到字母 N 平移后的图形. (二)试一试 1.图中的窗棂轮廓是由一个半圆和一个矩形组成的，试作出这个图案向左平移 6 格后的图案. 解：分别确定矩形的四个顶点，半圆的圆心、半圆与斜线的两个交点向左平移 6 格后的位置(如 上图)，画半圆(以“圆心”平移后的位置为圆心，以 6 个格的长为直径)，连线即可得到窗棂轮廓向 左平移 6 格后的图形. (三)看课本 P61~P62，然后小结 四、课堂小结 本节课通过平移作图进一步熟悉理解了平移的基本性质，并能应用平移性质作出一些简单平面 图形平移后的图形，了解了“以局部带整体”的平移作图方法. 五、课后作业：课本习题 3、2 §3.2 简单的平移作图(二) 教学目标 (一)知识目标 图形之间的平移关系. (二)能力训练目标 1.经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作等过程，发展学生的审美能力. 2.能够探索图形之间的平移关系. (三)情感与价值观目标 1.通过学生对图形的观察、分析、欣赏，以及亲手拼摆等过程，培养学生对图形欣赏的意识. 2.在探索图形之间的平移关系的过程中，使学生认识和欣赏平移在现实生活中的应用. 教学重点 探索图形之间的平移关系. 教学难点 探索图形之间的平移关系. 教学方法 探索、发现法. 教学过程 一、巧设情景问题，引入课题 ［师］生活中经常见到一些美丽的图案(出示投影，放图片：课本 P41~P42 的图；也可另外找一些 平移图形的图案)，这些图案都是由基本图形平移组成的，那么怎样平移基本图形就能得到美丽的图 案呢？这节课我们就来探索一些图案中的图形之间的平移关系. 二、讲授新课 ［师］现在大家来看图案 1(出示投影图片：课本 P41 的第一幅)；观察图案，并回答.(出示投影片 §3.2.2 A) (1)这个图案有什么特点？ (2)它可以通过什么“基本图案”经过怎样的平移而形成？ (3)在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？你能解释其中的道理吗？ ［生甲］(1)图案中的六条小狗的形状、大小完全一样，只是它们所处的位置不同，由此可知： 这个图案可以通过平移“基本图案”得到. ［生乙］(2)这个图案可把“一只小狗”看做“基本图案”，通过上下、左右平移得到，平移的距 离等于左右相邻(或上下)两只小狗之间的水平距离(或垂直距离). ［生丙］这个图案还可把中间上下的“两只小狗”看做“基本图案”，通过向左、向右平移得到， 平移的距离等于左右相邻两只小狗之间的水平距离. ［生丁］这个图案也可把最左边的上下的“两只小狗”或最左边上下的“两只小狗”看成“基 本图案”，通过向右(或向左)依次平移得到，平移的距离等于图案中的左右相邻两只小狗的水平距离. ［生戊］这个图案也可把水平的“三只小狗”看成是“基本图案”，通过向下(或向上)平移得到， 平移的距离等于上下垂直的两只小狗的垂直距离. ［师］同学们讨论得非常精彩，(边叙述边在电脑上演示平移过程)，这个图案既可以把一只小狗 看做“基本图案”进行平移得到，又可以把两只小狗、三只小狗看做“基本图案”进行平移得到整 个图案，在这些平移过程中，只是平移的距离不同而已. 接下来，大家想一想第(3)问. ［生己］在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状没有发生变化，只是位置有所改变.因为平 移不改变图形的形状、大小，而改变图形的位置. ［师］很好，大家看屏幕(用电脑动画再次演示平移过程).从平移的过程中，进一步说明了平移的 特征：平移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置. 了解了平移的特征后，大家分组来动手做一做.(出示投影片§3.2.2 B) 在下图中，左图是一个正六边形，它经过怎样的平移能得到右图？自己动手做做看，你能得到 右图的图案吗？ (学生分组后，教师把预先剪好的大小相同的正六边形分发下来，让学生进行实际拼摆，老师巡 视指导) ［生］我把一个正六边形经过连续平移，就可以得到右图的图案. ［师］同学们通过拼摆，进一步理解了平移的基本内涵，接下来大家想一想，与同伴议一议下 面的两个图案(出示投影片§3.2.2 C). (1)在图(课本 P64 的图 3—10)中，左图是一种“工”字形的砖，右图是怎样通过左图得到的？ (2)图(课本 P65 的图 3—11)可以看做什么“基本图案”通过平移得到的？ ［生甲］(1)先把左图沿上下方向平移，再沿左右方向平移便可得到右图. ［生乙］也可先把左图沿左右方向平移，再沿上下方向平移得到右图. ［生丙］(2)不考虑图案颜色的情况下，可以把“一只天鹅”看成“基本图案”，通过平移可以得 到如图所示的图案. ［生丁］如果把相邻的两只不同色的天鹅看做一个组合，那么“基本图案”可以是一个组合， 两个组合……，直到所有的天鹅. ［生戊］如果不考虑颜色时，可以把同一行的天鹅看做是“基本图案”，通过上下平移就可得到 如图所示的图案. ［生己］如果不考虑颜色时，也可以把同一列的三只天鹅看做“基本图案”，通过左右平移就可 以得到如图所示的图案. ［师］很好，这是一个通过平移得到的复合图案，图案的许多部分可以通过平移而相互得到。 接下来我们通过练习进一步熟悉图形之间的平移关系. 三、课堂练习 (一)课本 P66 随堂练习 1.分析奥运五环旗图案形成的过程(不考虑图案的颜色) 解：在不考虑图案颜色的情况下，五个环之间可以通过平移而相互得到. 2.如图，在正六边形中剪去一个与其边长相同的正三角形，并将其平移到左边，形成一个新的图 案.用这个图案能否得到类似于图 3—9 右图的图案呢？与同伴交流. 解：可以得到类似于图 3—9 右图的图案.如下图. (二)看课本 P65~P66，然后小结. 四、课时小结 本节课我们探索了图案中图形之间的平移关系，了解了每个图案由于“基本图案”选取的不一 样，则平移关系也不一样，尤其是一些复合图案，它的许多部分可以通过平移而相互得到. 五、课后作业：课本 P66 习题 3.3 1、2。 §3.3 生活中的旋转 一、 教学目标 1. 经历对生活中的旋转现象有关图形进行观察、分析、欣赏等过程培养学生初步的审美能力， 增强对图形欣赏的意识，培养创新能力。 2．通过具体实例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋 转中心的连线所成的角彼此相等的性质。 3.培养学生合作学习，探索学习的意识，追求成功的精神，增强学生自我价值感。 二、 教学重点、难点 重点：对生活中的旋转现象作数学上的分析研究，旋转定义，旋转的性质。 难点：对旋转现象的分析研究，旋转的性质的探索。 三、 教学措施 在十分宽松的氛围中，欣赏多媒体课件，学生根据自己的思考，自主探究发现，通过合作交流互 补的协作学习，解决本课的重难点。 四、 教具准备 投影仪、电脑、时钟、小风车 五、 教学过程 （一） 寻找生活中的旋转现象 我们生活在一个充满旋转的世界里，旋转这种现象司空见惯，作用非凡，而其中包含着丰富的 数学知识，你能举出生活中的实例吗? 在学生充分收集、观察、分析、欣赏生活中旋转实例的基础上，提出下列问题： 1． 在大家搜索到的旋转实例中，哪些部位作旋转？它们有什么共同特征？ 2． 旋转的部位，其形状、大小、位置是否发生改变？ 学生交流、感知并形成共识，教师给出旋转定义： 平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个 定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。 （二） 小组活动——探索旋转的基本规律 教师引导学生对旋转现象进行数学上的分析。 1． 学生观察教学课件演示，思考，交流讨论。 2． 然后教师提出以下问题： （1）旋转过程中旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点 A、B、C 分别移动到什么位置？ （3）AO 与 DO 的长有什么关系？BO 与 EO，OC 与 OF 呢？ （4）∠AOD、∠BOE、∠COF 有什么大小关系？ 学生交流总结得出旋转性质： 经过旋转，图形上的每一点都绕着旋转中心沿着相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋 转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。 （三） 做一做——分针转了多少度？ 教师利用时钟教具，提出问题：分针 1 小时转一周，20 分分针旋转了多少度？15 分钟呢？…… （四） 试一试——探索图形之间的旋转关系 利用课件分别展示，如图：分析图形中的 旋转关系。 学生探究、交流。 教师明析：图形之间还存在着旋转关系，一些较复杂的图案，可看作是由“基本图案”通过旋 转得到的，而基本图案往往不是唯一，旋转的次数和每次转动的角度都不是相同。 （五） 作品欣赏——感受生活中的美： 让学生浏览欣赏一些优秀 FLASH 作品，感受生活中的美。 （六） 创新设计——用旋转知识设计图案 1．今天我们进行了一次有意义的学习活动，你最想说什么？ 2．你能运用今天学到的旋转的知识，设计出漂亮的图案吗？ 学生互相交流讨论，初步形成方案。 六、教后随笔： 通过本节课的教学，同学们学习数学兴趣有了很大的改观，尤其重视数学思想方法，和数学精 神的学习锻炼。但是如此教学，课堂教学时间显得有些仓促，需加强课堂节奏。 §3.4 简单的旋转作图 教学目标 (一) 知识目标： 1.简单平面图形旋转后的图形的作法. 2.确定一个三角形旋转后的位置的条件. (二)能力训练要求 1.对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图和动手操作等过程，掌握画图技能. 2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形. (三)情感与价值观要求 1.通过画图，进一步培养学生的动手操作能力. 2.对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图过程中，进一步发展学生的审美观念. 教学重点 简单平面图形旋转后的图形的作法. 教学难点 简单平面图形旋转后的图形的作法. A B C D E F O 教学过程 一.巧设情景问题，引入课题 上节课我们探讨了生活中的旋转，那什么样的运动是旋转呢？ 答：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转. 旋转不改变图形的大小和形状. 旋转有什么性质呢？ 答：旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；任意一对对应点与旋转中心的连线所组 成的角都是旋转角，旋转角彼此相等. 大家来看一面小旗子(出示小旗子，然后一边演示一边叙述)，把这面小旗子绕旗杆底端旋转 90° 后，这时小旗子的位置发生了变化，形成了新的图案，你能把这时的图案画出来吗？ 在原图上找了四个点，即 O 点、A 点、B 点、C 点，如图(教师把该生所画的图在投影上放影)这 四个点可以是能表示这面小旗子的关键点.因为旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等， 对应点与旋转中心的连线所组成的旋转角彼此相等，所以根据已知：要把这面小旗绕 O 点按顺时针 旋转 90°.我在方格中找到点 A、B、C 的对应点 A′、B′、C′，然后连接，就得到了所求作的图 形. 同学们在作图过程中，基本掌握了作图的一个要点：找图形的关键点。 这面小旗子是结构简单的平面图形，在方格纸上大家能画出它绕点旋转后的图形，那么在没有 方格纸或旋转角不是特殊角的情况下，能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢？ 这节课我们就来研究：简单的旋转作图. 二.讲授新课 我们通过一例题来说明简单图形旋转后的图形的作法 例 1］如图，△ABC 绕 O 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D，试确定顶点 B、C 对应点的位置，以及 旋转后的三角形. 分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据 性质，确定如何操作. 假设顶点 B、C 的对应点分别为点 E、点 F，则∠BOE、∠COF、∠AOD 都是旋转角. △ DEF 就是△ABC 绕点 O 旋转后的三角形.根据旋转的性质知道：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转 中心沿相同方向转动了相同的角度，即旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，则∠BOE=∠ COF=∠AOD，OE=OB，OF=OC，这样即可求作出旋转后的图形. 通过分析知道如何作出△DEF，现在大家拿出直尺和圆规，我们共同来把这一旋转后的图形作出 来，要注意把痕迹保留下来. (教师一边叙述，板书作法，一边强调正确使用直尺、圆规，同时作图；学生作图) 解：(1)连接 OA、OD、OB、OC. (2)如下图，分别以 OB、OC 为一边作∠BOE、∠COF，使得∠BOE=∠COF=∠AOD. (3)分别在射线 OE、OF 上截取 OE=OB、OF=OC. (4)连接 EF、ED、FD. △DEF,就是△ABC 绕 O 点旋转后的图形. 本题还有没有其他作法，可以作出△ABC 绕 O 点旋转后的图形△DEF 吗？ (同学们讨论、归纳) 答：1.可以先作出点 B 的对应点 E，连结 DE，然后以点 D、E 为圆心，分别以 AC、BC 为半径 画弧，两弧交于点 F，连结 DF、EF，则△DEF 就是△ABC 绕点 O 旋转后的图形. 2.也可以先作出点 C 的对应点 F，然后连结 DF.因为△ABC 与△DEF 全等，所以既可以用两边夹 角，也可以用两角夹边，找到点 B 的对应点 E，即△DEF. .接下来，大家来看课本 71 页想一想： 答：还需要知道绕哪个点旋转，旋转的角度是多少？就是要知道旋转中心和旋转角. 由此我们可以知道，要确定一个三角形旋转后的位置的条件为： (1)三角形原来的位置 .(2)旋转中心 .(3)旋转角. 这三个条件缺一不可.只有这三个条件都具备，我们才能准确地找到一个三角形绕点旋转后的位 置，进而作出它旋转后的图形. 下面我们来通过练习进一步熟悉简单平面图形旋转后的图形的作法. 三.课堂练习 课本 P71 随堂练习. 解：如下图，先确定字母 N 的四个端点绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转 90°后的位置，然后连 线. 四.课时小结 本节课我们通过作平面图形旋转后的图形，进一步理解了旋转的性质，并且还知道要确定一个 三角形旋转后的位置，需要有：①此三角形原来的位置.②旋转中心.③旋转角等三个条件. 在作图时，要正确运用直尺和圆规，进而准确作出旋转后的图形.要注意语言的表达. 五.课后作业：课本 P72 习题 3.5 1、2. 六．.活动与探究 在五边形 ABCDE 中，AB=AE、BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°. 求证：AD 平分∠CDE. 过程：让学生分析、讨论. 要证：AD 平分∠CDE.则需证∠ADC=∠ADE.而∠ADC 是在四边形 ABCD 中，∠ADE 是在△ADE 中，且已知：BC+DE=CD、AB=AE、∠ABC+∠AED=180°，这时想到，连结 AC，将四边形 ABCD 分成两个三角形，把△ABC 绕 A 点旋转∠BAE 的度数到△AEF 的位置，这时可知 D、E、F 为一直线， 且△ADC 与△ADF 是全等的，因此命题即可证得. 结果：如图，连结 AC，将△ABC 绕点 A 旋转∠BAE 的度数到△AEF 的位置，因为 AB=AE，所 以 AB 与 AE 重合. 因为∠ABC+∠AED=180°，且∠AEF=∠ABC，所以∠AEF+∠AED=180°.所以 D、E、F 三点在 一直线上，AC=AF，BC=EF. 在△ADC 与△ADF 中，DF=DE+EF=DE+BC=CD.，AF=AC,AD=AD 所以,△ADC≌△ADF(SSS)，因此，∠ADC=∠ADF，即：AD 平分∠CDE. §3.5 它们是怎样变过来的 教学目标： 1.经历探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及 其组合）的过程，发展图形分析能 力、化归意识和综合 运用变换解决有关问题的能力. 2.在探索活动过程中，培养学生的化归意识和审美观念. 教学重点： 探索图形之间的变换关系 教学难点： 图形之间多种变换关系的确定与表达 教学方法： 引导，讨论，练习 教学过程设计： 一.巧设情景问题，引入课题 前面我们探讨了图形的平移和旋转，现在来回忆一下：平移和旋转的基本涵义及其它们的性质. 答：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改 变图形的形状和大小.经过平移，对应线段、对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等.这是 平移的基本性质. 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫旋转.旋转不改 变图形的大小和形状. 旋转的基本性质： 经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与 旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等. 下面请同学们看课本 72 页提出的问题： 大家先观察，然后分组讨论. 答：1.整个图案可以看做是左边的两个小“十字”绕着图案的中心，分别旋转 90°、180°、270° 前后图形组成的.即：通过三次旋转形成的. 2.这个图形也可以看做是由一个“十字”通过连续七次平移前后的图形共同组成的. 3.这个图形可以看做是左边的两个小“十字”先通过一次平移形成图形右侧的部分，然后左、 右部分一起绕图形的中心旋转 90°前后的图形共同组成的. 4.这个图形也可以经过轴对称形成.它可以是左边的两个小“十字”经过两次轴对称所形成的. 如图，直线 EF 与 GH 相交于图形的中心点 O，且互相垂直，先把左边的两个小“十字”作关于 EF 的轴对称图形，然后作这两部分关于 GH 的轴对称图形，这样就可得到整个图形. 同学们经过观察、分析，知道一个图形既可以看做是由某个“基本图案”平移得到；也可以看 做是由某个“基本图案”旋转而成的；也可以看做是经过轴对称而形成的；也可以是平移与旋转相 结合而组成的. 这节课我们就来探讨图形之间的变换关系，即：它们是怎样变过来的. 二.讲授新课 现在大家来完成课本 73 页“想一想” 答：1.这个图案不能由某个“基本图案”平移或旋转得到. 2.这个图案是一个轴对称图形，它可以看做是左边的图案通过一次轴对称所形成的；也可以看 做是右边的图案通过一次轴对称所形成的. 3.这个图案可以看做是把左边(右边)的图案翻折 180°前后图形共同组成的. 由此我们知道：并不是所有的图形都可以通过一次平移或旋转而得到的. ［例 1］怎样将下图中的甲图案变成乙图案？ ［师生共析］观察图形，甲、乙两个图案的大小、形状一样，只是甲图案是斜的、乙图案是直 的，且它们的形状的左、右两部分相反，由此可以看出：若把甲图案“扶直”，则这时的甲乙两图案 是轴对称的，这样即可把甲图案变为乙图案. 解：（见课本 73 页）大家想一想、议一议：本题还可用什么方法把甲图案变为乙图案？ 还可以先作轴对称图案，然后再将图案“扶直”.如下图 以 AB 的垂直平分线为对称轴，作甲图案的轴对称图案，然后将它绕点 B 旋转，使得图案被扶直， 这样就可以得到乙图案. 怎样将下图中的甲图案变成乙图案呢？ 答：1.可以先将甲图案绕图上的 A 点旋转，使得图案被“扶直”，然后将它向左(或沿 AB 方向) 平移线段 AB 的长度，这样，甲图案就变成乙图案. 2.也可以先将甲图案向左平移线段 AB 的长度，然后将它绕点 B 旋转，使得图案被“扶直”，这 时，就可得到乙图案. 接下来我们通过练习进一步熟悉图形之间的变换关系. 三.课堂练习 (一)课本 P73 随堂练习 1 答：以右边图案的中心为旋转中心，将图案按逆时针方向旋转 90°，然后平移，即可得到左 边的图案. 2.答案：把中间的正三角形看做基本图案，以三个正三角形的公共顶点为旋转中心，分别按顺 时针、逆时针方向旋转 60°，即可得到该图案；把中间的正三角形看做基本图案，分别以这个三角 形与相邻三角形的公共边所在的直线为对称轴作轴对称图形，也可以得到该图案. 四.课时小结 ⑴.在平面内，有平移、旋转、轴对称三种独立的图形变换. ⑵.平面内大小相等、形状相同的两个图形，都可以通过平移、旋转、轴对称三种变换或其复合变 换互相得到. ⑶.对应点连线的特征是辨识图形变换有效标志. ⑷.有些图形的位置关系可以用多种图形变换或其复合实现. 五.课后作业：课本 P73 习题 3.6 1、2 六.活动与探究 如图，将标号为 A、B、C、D 的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为 P、Q、M、N 的四组图形， 试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，填空： A 与_________对应；B 与_________对应；C 与_________对应；D 与_________对应. 过程：本题可让学生动手操作，培养学生的实践能力；也可让学生直接观察，培养学生的空间 想像能力.本题蕴含着图形变换中位变而形不变的性质. 结果：A 与 M、B 与 P、C 与 Q、D 与 N 分别对应。 七、教后感: 从答案看，与上题示范不合，还要加上向左平移较恰当。 拓展思考：左右两图能否找出旋转中心？若能，则一步即可，但是怎么找呢？ §3.7 回顾与思考 教学目标 (一) 知识目标： 1.平移的基本涵义及其性质. 2.旋转的基本涵义及其性质. 3.能按要求作出简单平面图形平移后或旋转后的图形. 4.图形之间的变换关系. 5.运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计. (二)能力训练要求 1.通过回顾进一步理解平移、旋转的基本性质，并能准确作出简单平面图形平移、旋转后的图形. 2.探索图形之间的变换关系，认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用. 3.能够灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计. (三)情感与价值观要求 1.通过回顾与思考 ，进一步发展学生的空间观念，培养其操作技能，增强审美意识. 2.通过观察、动手操作等实践活动，使学生积累丰富的数学经验. 3.通过学生的独立思考和合作交流，进一步体会图形平移、旋转的数学内涵，形成有关的简单技 能，享受学习的乐趣. 教学重点 本章的重点内容. 教学难点 探索图形之间的变换关系. 利用平移、旋转和轴对称的组合进行图案设计. 教学方法 分组讨论式. 教学过程 一、巧设情景问题，引入课题 ［师］前面几节课我们探讨了图形的平移与旋转，今天来通过复习这部分内容，进一步理解认 识平移与旋转在生活中的应用. 二、讲授新课 ［师］我们以小组为单位，以问题串的形式来共同回顾一下本章的内容.看大屏幕(出示投影片§ 3.7 A) 1.平移是否改变图形的位置、形状、大小？通过实例加以说明，旋转呢？ 2.经过平移，对应点所连成的线段之间有什么关系？经过旋转，每一对对应点与旋转中心之 间有什么关系？ 3.收集生活中利用平移、轴对称、旋转设计而成的图案，体会设计者的意图. 4.你能利用一次平移和一次旋转设计一个图案吗？你想表达什么含义？ (学生通过讨论、归纳、举例，一个一个问题解决) ［生甲］平移是在平面内，把一个图形沿某个方向移动一定的距离的运动.平移不改变图形的形 状和大小，只改变图形的位置. 如：商店里的货架上摆放的一列同种饮料可以看做是一饮料通过平移而形成的.饮料的形状和大 小没有变化，只是饮料放的位置有所变化…… (学生们举出了好多生活中的实例，来说明平移不改变图形的大小和形状，只改变位置) ［生乙］如：夏天，在好多公共场所都装有三叶吊扇，它的运动就是旋转.即： 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转. 由三叶吊扇运动可知：旋转不改变图形的大小和形状.只是它的“基本图案”——一叶吊扇的位 置有所变化. …… (同样，学生也举出了好多旋转实例，说明旋转不改变图形的大小和形状) ［生丙］(2)经过平移，对应点所连成的线段平行且相等.这是平移的基本性质. 经过旋转，每一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角相等；每一对对应点 到旋转中心的距离相等.这是旋转的基本性质. ［(3)(4)由学生分组讨论、分析、设计.这两个题没有统一的标准］ 问题(3)：只要学生叙述的语言与所拿的图案的意思基本一致且合乎情理即可. 问题(4)：只要学生设计的图案与所表达的含义基本一致且合情合理即可.然后可把一些设计较好 的在全班展示.(在投影上放影) 通过问题(3)、(4)的解决，使学生进一步理解图形之间的变换，能灵活运用平移、旋转及其组合 进行简单图案的设计. ［师］我们通过分组讨论，解决了具有能反映本章内容的一串问题，现在来梳理一下本章的结 构框架.(出示投影片§3.7 B) ［师］好，下面我们通过练习来进一步熟悉掌握本章内容. 三、课堂练习 (一)课本 P78 复习题 A 组 1、3、6(3)(4). 1.下面两幅图案分别是由什么“基本图案”通过平移得到的. (图为 P78 第一题) 答案：(1)的图案可以看做是一个立体图案经过连续多次平移而形成的. (2)的图案是先将字母 G 作轴对称，得到一对成轴对称的图案，然后以这个图案为“基本图案” 按水平方向连续多次平移即可得到这幅图案. 3.图中的菊花图案，绕中心旋转多少度后能和原来的图案互相重合？ 答案：图中的菊花图案绕中心旋转 45°或其整数倍后能与原来的图案相互重合. 6.任画一个 Rt△ABC,其中∠B=90°，分别作出△ABC 按如下条件旋转后或平移后的图形. (3)取三角形外一点 P 为旋转中心，按逆时针方向旋转 180°. (4)将△ABC 平移，使得 B 点的对应点为 A 点. 解：(3)分别连接 AP、BP、CP 并延长到 D、E、F，使 PD=AP，PE=PB，PF=PC 连接 DE、EF、 FD，则△DEF 就是以点 P 为旋转中心，按逆时针方向旋转 180°后的三角形. (3) (4) (4)按照 BC 的方向作射线 AD∥BC，在射线 AD 上截取线段 AD，使 AD=BC，延长 BA 到 E，使 AE=BA，连接 ED，则△EAD 就是△ABC 平移后的三角形. (二)课本 P80 复习题 B 组 1、3. 1.利用一个圆、一个正三角形，通过 2 次旋转或平移设计一个图案，说明你的设计意图. 答：(略) 3.如图，△ABC、△ADE 均是顶角为 42°的等腰三角形，BC、DE 分别是底边，图中的哪两个三 角形可以通过怎样的旋转而相互得到. 答案：△ABD 与△ACE 可以通过以点 A 为旋转中心的旋转变换而相互得到，旋转角度为 42°. 四、课堂小结 本节课我们重点复习了图形的平移与旋转，大家要理解掌握平移与旋转的基本性质，能准确地 作出一个图形平移或旋转后的图形，对于现实生活中的实例图案能准确地分析出图形之间的变换关 系，通过简单的图案设计，把图形的轴对称、平移和旋转融合在图案的设计中. 五、.课后作业 (一)课本 P79 复习题 A 组 2、4、5、6(1)、(2)、7 B 组 2 C 组 1、2 (二)每人写一份小结，用自己的语言梳理本章内容，回顾自己在本章学习中的收获、困难和需要 改进的地方. 第四章 四边形性质探索 §4.1 平行四边形的性质(一) 教学目标： 1 经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，使学生理解平行四边形的概念和性质。 2 探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等的性质。 3 在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。 教学重点：探索平行四边形的性质 教学难点：通过操作升化出结论 教学方法：探索归纳法 过程设计： 一、设置问题情境，引入课题。 1、 让学生进行如下操作后，思考以下问题：（幻灯片展示） 将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，设法找到某一边的中点，记作点 将上层的三角形纸 片绕点 旋转 180 度，下层的三角形纸片保持不动，此时： 两张纸片是平行四边形吗？是一个怎样的四边形？ 观察它还有什么特征？（学生思考、操作后，教师用 Z+Z 教育平台展示） 答：（1）AB=CD，AD=CB （2）∠1=∠3 ，∠2=∠4，∠B=∠D （3）AD//BC ，AB//CD 2、针对学生指出 AD//BC,AD//CD 分析究其原因。 让学生分析，分小组讨论。 得出结论：∠1 和∠3 是内错角，∠2 和∠4 是内错角，依据“内错角相等，两直线平行” 2、 平行四边形的定义，即“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”. 二、传授新课 1、 请学生举出自己身边存在的平行四边形的例子。 例如：汽车的防护链，折叠衣架，篱笆格子（用幻灯打出实物的照片） 2、将实物转化为几何图形。（用 Z+Z 教育平台展示） 3、介绍平行四边形的书写方式及对角线。（用 Z+Z 教育平台展示） 4、学生动手画一个平行四边形，同时用几何语言表示平行四边形的定义。 5、做一做（出示幻灯片） 用一张半透明的纸复制你刚才画的平行四边形，并将复制后的四边形绕一个顶点旋转 180 度， 你能平移该纸片，使它与你画的平行四边形 ABCD 重合吗？ 由此，你能得到哪些结论？四边形 ABCD 相对的边。 相对的角分别有什么关系？能用别的方法验证你的结论吗？ （让学生实际动手操作，可分组讨论结论） 6、教师用 Z+Z 教育平台展示整个旋转变化过程。 7、学生分析总结出：平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等 三、课内总结 通过大家以上的操作，分析，讨论我们已对平行四边形的这一概念及性质有所了解，下面我们把它 用到练习中去。 四、达标小测（幻灯片展示） 1、如图四边形 ABCD 是平行四边形求 B C DA 560 30 25 B C DA 1 2 3 4 （1）∠ADC 和∠BCD 的度数。 （2）边 AB 和 BC 的长度。 2、 自制平行四边形已知一个角，求其他三个角的度数。 （让一名学生到台前利用教育平台自制平行四边形，并按要求做出题目） 五、课后反思 这节课，通过学生们自己动手操作，自己推导，自己发现从而得到平行四边形的有关知识，充 分发挥学生们的探究意识和合作交流习惯。 §4.1 平行四边形的性质(二) 教学目标： 1. 经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识。 2. 探索并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质，掌握平行线之间的距离处处相等的结论并了解 其简单的应用。 3．在探索中培养学生的合作交流习惯。 4．掌握解决平行四边形问题的基本思路是化为三角形问题来处理，渗透转化思想。 教学重点： 1.平行四边形的对角线互相平分。 2.掌握平行线之间的距离处处相等 教学难点：正确理解两条平行线之间的距离的概念。 教学方法：引导学生发现规律，启发诱导法。 教具准备：投影片、多媒体 教学过程设计： 一、 设置问题情境，引入课题： 上节课我们学习了平行四边形的性质，现在来回忆一下： 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，请同学们说出它的性质。 在平行四边形中，除边和角外，还有对角线，那么对角线有什么性 质呢？ 如图，在□ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， （1） 图中哪些三角形是全等的？有哪些线段是相等的？ （2） 能设法验证你的想法吗？ 二、 讲授新课： 从上面讨论中，我们可以发现平行四边形的对角线具有什么性质？试用文字语言叙述一下。 平行四边形的对角线互相平分。 用几何语言表示如下：在□ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， ==﹥ OA=OC ，OB=OD 下面我们通过例题来熟悉平行四边形的性质： 例 1：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AB=8，AD=10。 AC⊥AB，求 CD、BC 及 OC 的长。 想一想： 在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的枕木是否一样 长？ 夹在两条平行线之间的平行线段相等。 如图，直线 a∥b，AB∥CD，则 AB=CD 下面我们应用平行四边形的性质来解决一题： 例 2：已知，直线 a∥b，过直线 a 上任意两点 A、B 分别向 直 线 b 作垂线，交直线 b 于点 C、D。（1）线段 AC、BD 所在的直线有怎 样 的 A B C D A B C D O A B C D O a b A B C D a b A B C D 位置关系？（2）比较线段 AC、BD 的长短。 三、 议一议 举例说出生活中的几个实例，反映“平行线之间的距离处处相等”的几何事实。 四、 课堂练习： 1、课本第 88 页的随堂练习 2、在□ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， OA、OB、AB 的长度分别是 3cm，4cm，5cm， 求其他各边以及两条对角线的长。 五、 课堂小结： 这节课学习了平行四边形的另一性质：平行四边形的对角线 互 相 平 分。和平行线之间的距离处处相等。 六、 课后作业： 课本第 88 页的习题 4.2 1、2、3 七、教后感： 1、 通过“平行四边形的性质”使学生认识到：生活中处处有数学，数学处处可以表现生活，从 而使学生感到学习数学的乐趣。 2、充分体现学生主动参与意识，每个同学都可以在不同的场合表现自己。 3、对学生可以进行分层优化。 §4.2 平行四边形的判别(一) 一、教学目标设计： ⒈认知目标： ⑴平行四边形的判别方法 1。 ⑵平行四边形的判别方法 2。 ⒉能力目标： ⑴经历平行四边形判别条件的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法；并在与他人交流的 过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程。 ⑵探索并掌握平行四边形的判别条件：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形。 ⑶在拼摆平行四边形的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验， 增强学生的创新意识。 ⒊情感目标： ⑴让学生主动参与探索的活动，在做“数学实验”的过程中，发展学生的合情推理意识、主动探 究的习惯，激发学生学习数学的热情和兴趣。 ⑵通过探索式证明学习，开拓学生的思路，发展学生的思维能力。 ⑶在与他人的合作过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试， 从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。 二、教学重点、难点分析： 教学重点: 平行四边形的判别条件。 A B C D O 教学难点: 平行四边形的判别条件的应用。 三、教学策略及教法设计： 【活动策略】 课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，组织学生主 动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边 形的判别”的方法。 学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从 事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。 辅助策略：借助由两根细木条拼成平行四边形的活动、实物投影仪及多媒体课件，使学生直观 形象地观察、动手操作。 【教法】 探索法：让学生在动手拼摆各种平行四边形的活动过程中，积累数学活动经验。 讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。 练习法：精心设计随堂变式练习，巩固和提高学生的认知水平。 四、课前准备： ⒈材料：每人准备一长两短的三根小木棒、直尺、量角器、三角尺等。 ⒉由老师、课代表根据学生不同特长每 4 人分成一个活动小组。 五、教学过程设计： 教师活动 学生活动 活动设计意图 ⒈【情境】： ⑴上节课我们探讨了平行四边形的 定义和性质，现在来复习一下。 ⑵结合学生回答，课件显示平行四边 形的性质。 学生回顾旧知，然 后与同伴交流，请一生 回答。 复习平行四边形的 定义和性质来创设问题 情境，一方面巩固学生的 旧知，另一方面使学生知 道平行四边形的定义既 是性质，又是判定。 2.【动手操作】： ⑴现在大家拿出一长一短的两根小 木棒，来拼一个平行四边形。 ⑵用量角器等工具检测所拼四边形 是否是平行四边形。 ⑶提问：若这两根小木棒不作为对角 线，能确定平行四边形吗？若不行， 能拼出一个特殊的四边形吗？那怎 样改变一个条件，就能确定平行四边 形？ ⑴ 先 进 行 充 分 想 象，然后拼摆平行四边 形，并与同伴交流自己 的体会。 ⑵用量角器度量四 边形各内角的度数，讨 论分析此四边形是什么 四边形。 ⑶回答提问。能拼 出一个特殊的四边形是 让学生在在拼摆各 种图形的过程中，积累数 学活动经验，增强学生的 创新意识，培养学生团结 协作的精神,并满足他们 的好胜心。 ⑷用两根一样长的小木棒，来拼一个 平行四边形。 梯形。 ⑷用刀截去长的木 棒，使两根木棒一样长， 再动手拼。 ⑸填写实验报告。 ⒊【结合课件探究】：同学们能用文 字叙述刚才得出的结论吗？ 通过观察图形，结 合课件演示，得出： 两条对角线互相平 分的四边形是平行四边 形。 一组对边平行且相 等的四边形是平行四边 形。 （两组对边分别相等 的四边形是平行四边形。） 让学生主动从事想 象、猜测、观察、实验、 验证与交流等数学活动， 使学生通过活动体会感 受拼法和学习的乐趣，经 历从多角度思考问题的 过程。 ⒋【实际生活】： 如图，将两根细木条 AC、BD 的中点 重叠，并用钉子固定，则四边形 ABCD 是平行四边形. 通过练习进一步熟悉掌 握平行四边形的判别方 法，达到运用刚学习的 知识解决实际问题的目 的。 体验数学来自于生 活，又应用于生活。 ⒌【例题精析】: ［例 1］如图，AC ∥ED，点 B 在 AC 上且 AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形 例 1 图 例 2 图 ［例 2］如图所示，在 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，点 E、F 在对角线 AC 上，且 OE=OF. (1)OA与OC、OB与OD相等吗？ (2)四边形 BFDE 是平行四边形 吗？ ⑶若点 E、F 在 OA、OC 的中点 上，你能解决(1)(2)两问吗？ (1) 在 教 师 的 组 织、引导、点拨下主动 地从事观察、实验、猜 测、验证与交流等数学 活动，从而真正有效地 理解和掌握知识。 (2) 经 历 平 行 四 边 形判别问题的探索过 程，逐步掌握说理的书 面表达方法。 (1)让学生通过观察、 思考的活动，在解决问题 的过程中，发展学生的合 情推理意识、主动探究的 习惯。 ⑵ 通 过 探 索 式 证 明 法，开拓学生的思路，发 展学生的思维能力。 6.【随堂练习】: ⑴下列两个图形，可以组成平行四边 练习：学生首先独 通过随堂练习，使学 形的是（ ） A.两个等腰三角形 B. 两个直角三角 形 C. 两个锐角三角形 D. 两个全等 三角形 ⑵能确定四边形是平行四边形的条 件是（ ） A.一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边平行，一组对角相等 C. 一组对边平行，一组邻角相等 D. 一组对边平行，两条对角线相等 ⑶已知：四边形 ABCD 中，AB ∥CD，要使四边形 ABCD 为平行四 边形，需添加一个条件 是： （只需填一个你认为正 确的条件即可）。 立思考一会儿，然后与 同伴交流或讨论，最后 举手发表自己的见解。 生的知识水平得到恰当 的巩固和提高。 7.【探索与思考】:（课件演示） . . . . . . 如图，你能找出几个平行四边形？ 学生先阅读（课件） 资料，然后与同伴交流 自己的想法。 拓宽学生的思路，发 展他们想象、联想的能 力。 8.【小结】: 两条对角线互相平分的四边形 是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形。 （两组对边分别相等的四边形是平行四边 形。） 学生回顾探究的整 个过程，体会学习的成 果，感受成功的喜悦， 产生后继学习的激情。 在这个过程中，要关 注学生参与活动的程度 和在活动中表现出来的 思维水平，还要关注学生 能否用不同的语言（自然 语言、符号语言）表达自 己的想法。 9.【作业】: ⑴P90 页习题 1，2； ⑵预习下节课。 记录 【教后反思】: (1)让学生通过观察、思考的活动，在解决问题的过程中，发展学生的合情推理意识、 主动探究的习惯。 ⑵通过探索式证明法，开拓学生的思路，发展学生的思维能力。 §4.2 平行四边形的判别(二) 教学目标： 1、经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法。 2、探索并了解平行四边形的判别方法：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形。能根据判别方法进行有关的应用。 3、在探索过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯。 4、体验数学活动来源于生活又服务于生活，提高学生的学习兴趣。 教学重点：平行四边形的判别方法。 教学难点：根据判别方法进行有关的应用 教学准备：多媒体课件 教学过程： 一、 快速反应 1、如图，四边形 ABCD，AC、BD 相交于点 O,若 OA=OC,OB=OD,则四边形 ABCD 是__________,根据是 _____________________ 2、如图，四边形 ABCD 中，AB//CD,且 AB=CD,则四边形 ABCD 是___________,理由是 __________________________ 3、小明拼成的四边形如图所示，图中的四边形 ABCD 是平行四边形吗？ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 4、在图中，AC=BD=16, AB=CD=EF=15, CE=DF=9。 二、 讲授新课： 图中有哪些互相平行的线段？ 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？ 不一定。如等腰梯形。 (1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三、议一议：有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？ 四、比一比：如图，四个全等三角形拼成一个大的三角形，找出图中所有的平行四边形，并说明理 由。 A B C D A B C D O 五、作业：课本 P92 习题 4.4，1、2 题。 §4.3 菱形 教学目标 (一) 知识目标： 在观察和分析过程中探究菱形的基本特性（轴对称等）和常用的判别条件。 (二)能力训练目标： 1.经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究 习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法. 2.了解菱形的现实应用和常用判别条件. (三)情感与价值观目标： 1.在操作活动过程中，加深师生的情感.培养学生的观察能力，并提高学生的学习兴趣. 2.在学习过程中，来体会菱形的图形美和内在美. 教学重点 菱形的性质及判定方法. 教学难点 菱形性质和直角三角形的知识的综合应用. 教学过程 一、巧设情景问题，引入课题 ［师］前面我们探讨了平行四边形的性质和判别条件，下面我们来共同回忆一下. (师生共同叙述) ［师］很好，大家来看一个衣帽架(出示衣帽架，并按课本 P68 的图片进行变换)，这个衣帽架中 有你熟悉的图形吗？ ［生甲］有，平行四边形. ［生乙］衣帽架中的平行四边形的邻边相等. ［师］很好，我们把这样的平行四边形叫做菱形(rhombus).这节课我们就来探讨一下菱形. 二、讲授新课 ［师］你能给菱形下定义吗？ ［生甲］邻边相等的平行四边形叫做菱形. ［生乙］一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. ［师］对，菱形是一种特殊的平行四边形，特殊之处在于它是有一组邻边相等.所以菱形是具备： “①平行四边形，②一组邻边相等”.这两个条件的四边形. 下面大家画一个菱形，然后回答下列问题： 如图，在菱形 ABCD 中，AB=AD，对角线 AC、BD 相交于点 O. (1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？ (2)图中有哪些等腰三角形、直角三角形？ (3)两条对角线 AC、BD 有什么特定的位置关系？ ［生甲］因为菱形是一组邻边相等的平行四边形，平行四边形的对边相等，对角线互相平分，所 以图中的：线段 AB、BC、CD、DA 分别相等，OA 与 OC，OB 与 OD 分别相等. 因为菱形是平行四边形，所以两组对边分别平行，即：AB∥CD，AD∥BC.由“两直线平行，同 旁内角互补”得：∠DAB+∠ADC=180°,∠DAB+∠ABC=180°,所以∠ADC=∠ABC，同理可得：∠ DAB=∠BCD. 由“两直线平行，内错角相等”得： ∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC ∠BAC=∠ACD，∠ABD=∠BDC. 又因为∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠BCD，所以得：∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA. ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB. ［生乙］在这个图中，有 4 个等腰三角形，即：△ADC、△ABC、△ABD、△BCD 为等腰三角 形，有 4 个直角三角形，即：△AOB、△BOC、△COD、△AOD 为直角三角形. 理由是：因为四边形 ABCD 是菱形， 所以：AD=DC，四边形 ABCD 是平行四边形. 所以，AB=DC，AD=BC，OA=OC，OD=OB，又 AD=DC，所以 AB=DC=AD=BC，所以图中有四 个等腰三角形. 又因为：AD=DC，OA=OC 所以，OD 是 AC 的中垂线. 同理可知：AC 是 BD 的中垂线. 因此可知：图中有四个直角三角形. ［生丙］由乙同学的分析可以知道：AC 与 BD 这两条对角线互相垂直. ［师］同学们分析得很好，能否从中归纳出菱形的性质呢？ ［生］菱形的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角. ［师］同学们总结得很准确.因为菱形是特殊的平行四边形，所以它除具有平行四边形的所有性 质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 菱形的四条边都相等. 菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.［师］好，下面同学们想一想(出 示投影片§4.3 C) 菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ ［生］菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线，所以两条对称轴 互相垂直. ［师］同学们回答得很好，我们知道了菱形的性质，那想一想如何利用折纸、剪切的方法，既 快又准确地剪出一个菱形的纸片？大家拿出准备好的白纸，小剪刀来动手做一做. (学生想——动手折、剪，教师指导，然后出示 P92、P93 的两种及学生总结的折纸、剪切的方法， 即出示投影片§4.3 D) 方法一：将一张长方形的纸横对折，再竖对折(如 P92 的图)，然后沿图中的虚线剪下，打开即是菱形 纸片. 方法二：如图 1，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 就是菱形. 图 1 图 2 方法三：将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即 是菱形. ［师］你能说一说按这三种方法做的理由吗？大家讨论一下. ［生甲］方法一主要是利用了菱形的轴对称性.按方法一剪出如图所示的图形.以 BD 所在的直线 对折时，OA=OC，以 AC 所在的直线对折时，OB=OD，这时四边形 ABCD 是平行四边形，又因为两 条折痕是互相垂直的，即：AC⊥BD，又 OA=OC，所以 BD 是 AC 的中垂线.即 AB=BC，因此平行四 边形 ABCD 是菱形. ［生乙］按方法二得到的四边形是菱形的理由是：这个四边形的两组对边分别在纸条的边缘上， 它们彼此平行，它是平行四边形；分别以一组邻边为底写出这个平行四边形的面积(都是底乘高)，再 由纸条等宽即它们的高相等，立即得到这组邻边相等. ［生丙］按方法三得到的菱形的理由是：如图 2，△ABC 是以 BC 为底的等腰三角形，所以 AB=AC， 以 BC 为折痕，对折后，得到的三角形 BCD 仍是等腰三角形，即：BD=DC，又因为 AB=BD，DC=AC， 所以 AB=CD，BD=AC，所以四边形 ABDC 是平行四边形，又 AB=AC，因此，平行四边形 ABDC 是 菱形. ［师］同学们的理由充足，条理清晰，说明大家基本掌握了说理的方法.刚才通过折纸、剪切， 得到了菱形，你能因此归纳一下菱形的判别方法吗？分组讨论： ［生］菱形的定义既是性质又是判别，所以可用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”来判别. 由刚才折纸方法一能得到菱形的一个判别方法.即：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形.也可 说：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 由方法三能得到菱形的另一个判别方法，即：四条边都相等的四边形是菱形. ［师］同学们经讨论得到了菱形的判别方法(出示投影片§4.3 E) 菱形的判别方法： 一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边都相等的四边形是菱形. 要注意的是：菱形的判别方法的题设条件是平行四边形还是任意四边形. 好，下面大家想一想(出示投影片§4.3 F，即 P92 的议一议). 木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你能说出其中的道理吗？ ［生］因为四条边都相等的四边形是菱形.所以木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样 长. ［师］很好，接下来我们通过例题来熟悉和应用菱形的判别条件(出示投影片§4.3 G) ［例 1］如下图， ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于 O 点，AB= 5 ，AO=2，OB=1. (1)AC、BD 有怎样的位置关系？ (2)四边形 ABCD 是菱形吗？为什么？ ［师生共析］从图中知道：AC 与 BD 是相交，从已知条件：AB= 5 ，OA=2，OB=1.结合图形知 道：这三条线段正好构成三角形.又由于 AB2=OA2+OB2，所以可以知道：△AOB 是直角三角形，因此 可以得出：AC 与 BD 互相垂直. 由于四边形 ABCD 是平行四边形，它的对角线互相垂直，所以由此可知：平行四边形 ABCD 是 菱形. ［师］很好，下面大家看课本 P91~P93，然后小结. 三、课时小结 本节课我们探讨了菱形的定义、性质和判别方法，我们来共同总结一下： 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形的性质：边：四条边都相等 对边分别平行 角：对角线相等 对角线：互相垂直、平分，每一条对角线平分一组对角. 注意：菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形；菱形的两条对角线把菱形分成四 个全等的直角三角形.因此，有关菱形的问题，往往可化为等腰三角形或直角三角形的问题，要学会 这种“转化”的思想方法. 四、课后作业 (一)课本 P93 习题 4.5 1、2 (二)1.预习内容：P94~P95 §4.4.1 矩形、正方形(一) 教学目标 (一) 知识目标： 在直观操作和简单的说理活动中探索矩形有关性质和判别条件的过程。 (二)能力训练目标： 1.经历探索矩形的有关性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生初 步的合情推理能力，主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法. 2.探索并掌握矩形的性质及矩形的判别条件解决有关问题. 3.进一步发展学生的合情推理能力，促进其逐步掌握说理的基本方法。 (三)情感与价值观目标： 1.在操作活动过程中，使学生加深对矩形的理解，并以此激发学生的探索精神. 2.通过活动渗透矛盾可以互相转化的思想. 3.通过矩形的学习体会它的内在美和应用美. 教学重点 矩形的性质及矩形的判别方法与应用. 教学难点 矩形的本质属性、判别及性质的综合应用. 教学方法 分析启发式. 教学过程 一、巧设情景问题，引入课题 ［师］前面我们学习了平行四边形的性质及判别条件.现在来看一个平行四边形(出示平行四边形 教具).当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生怎样的特殊情况.(进行演示，如图)这时的图 形是什么图形呢？ ［生齐］长方形. ［师］对，由于平行四边形具有不稳定性，所以在平行四边形的演示过程中，我们发现有一种 特殊的平行四边形——长方形，即矩形(rectangle)，这节课就来重点探讨矩形. 二、讲授新课 ［师］从刚才的演示过程可以发现：平行四边形具备什么条件时，就成了矩形？你能给矩形下 一定义吗？ ［生］有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形. ［师］很好，大家想一想：生活中有哪些实物是矩形呢？ ［生］黑板、门子、桌面、本子…… ［师］好，看像框也是一个矩形形状，它除了“有一个角是直角”外，还可能具有哪些平行四 边形所没有的特殊性质呢？ ［生甲］矩形的四个角都是直角. ［生乙］因为平行四边形的对角相等，邻角互补，而矩形有一个角是直角，所以矩形的四个角 都是直角. ［师］还有没有呢？下面我们来拿出准备好的平行四边形活动框架，来做一做 在一个平行四边形活动框架上，用两根像皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不 相邻的顶点，改变平行四边形的形状： (1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？ (2)当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？ (3)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形；此时两条对角线的长度有什么关系？ (学生进行活动，探索矩形的性质) ［生甲］在这个活动过程中，随着∠α的变化，两条对角线的长度也随之变化，长的对角线缩 短，短的对角线变长.但到∠α是直角时，两条对角线变得相等，再变化角时，两条对角线的长度又 变化. 当∠α是锐角或钝角时，两条对角线是不相等的. 当∠α是直角时，平行四边形变为矩形，这时两条对角线的长度相等. ［生乙］矩形具有对角线相等这个性质. ［师］很好，同学们通过活动总结出了矩形的性质.谁来系统归纳一下呢？ ［生］矩形具有以下性质：边：对边平行且相等 角：四个角都是直角 对角线：平分且相等 ［师］这位同学归纳总结得很好.他从矩形的边、角、对角线三个方面来叙述的.以后我们在研究 四边形的一些性质时也可从这三个方面入手. 矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成四个全等 的等腰三角形.因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.下面我们来 看例题以熟悉和应用矩形的性质(出示投影§4.4.1 C) ［例 1］如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC、BD 相交于点 O，∠AOB=60°， AB=4 cm. (1)判定△AOB 的形状. (2)求对角线的长. 分析：要判定△AOB 的形状，由于∠AOB=60°，所以可考虑这个三角形是等边三角形.由矩形的 性质知：OA=OB.即△AOB 是全等三角形.由“有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形”，得出结 论. 要求对角线的长可直接应用矩形的性质. 解：(1)在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相平分且相等，于是 OA=OB. 又∠AOB=60°，可知△AOB 是等边三角形. (2)OA=AB=4 cm,DB=CA=2OA=8 cm. 因此：对角线的长为 8 cm. ［师］好，下面大家来想一想(出示投影片§4.4.1 D) 对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？为什么？与同伴交流. ［生甲］对角线相等的平行四边形是矩形. ［生乙］如图，在 ABCD 中，AB=CD，BD=AC，BC=BC. ∴△ABC≌△DCB(SSS) ∴∠ABC=∠DCB. 在 ABCD 中，AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB=180° ∴2∠ABC=180°，即∠ABC=90° ∴ ABCD 是矩形. ∴对角线相等的平行四边形是矩形. ［师］对，我们把它作为矩形的判别条件.刚才乙同学说明理由时，用什么来说明“对角线相等 的平行四边形是矩形”呢？ ［生丙］用定义来说明的，即：有一个角是直角的平行四边形是矩形. ［师］好，现在我们就有了两个判别矩形的条件：(出示投影片§4.4.1 E) 1.有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. ［师］下面我们来做一练习，以熟悉矩形的判别条件. 三、课堂练习 1.已知 ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，△AOB 是等边三角形.求∠ADC 的度数. 解：如图，△AOB 是等边三角形，所以：OA=OB 又∵ ABCD 的两条对角线 AC、BD 互相平分，所以 AC=BD. 因此 ABCD 是矩形.∴∠ADC 的度数为 90°. 四、议一议 ［师］好，下面大家来议一议(出示投影片§4.4.1 F) (1)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，简述你的理由. (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能用矩形的有关性质解释这个结论吗？ (学生讨论、归纳) ［生甲］(1)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. (2)如图：在矩形 ABCD 中，△ABC 为直角三角形，BO 是斜边 AC 上的中线. 由于 BO=OD，并且 AC=BD. 所以：BO= 2 1 BD= 2 1 AC 由此得证：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半. ［师］同学们讨论总结得真棒，接下来我们来回顾本节所学的内容. 五、课时小结 本节课重点探讨了矩形的定义、性质及判别条件(出示投影片§4.4.1 G) 1.矩形的定义 2.矩形的性质： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线平分且相等 轴对称图形 3.矩形的判别条件： 要判别一个四边形是矩形，首先要先判别它是平行四边形，然后找直角. 六、课后作业 (一)看课本 P97~P98 (二)课本 P99 习题 4.6 1、2、3 §4.4.2 矩形、正方形(二) 教学目标 (一) 知识目标： 在直观操作和简单的说理活动中探索正方形有关性质和判别条件的过程。 (二) 能力训练目标： 1.经历探索正方形有关性质和判别条件的过程.在简单的操作活动和说理过程中，发展学生初步 的合情推理能力，主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法. 2.探索并掌握正方形的有关性质，正方形的判别条件. (三)情感与价值观要求目标： 1.通过正方形有关知识的学习，感受正方形的图形美和语言美. 2.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证观点. 教学重点 正方形的定义. 教学难点 正方形的性质的应用. 教学方法 探索、归纳法. 教学过程 一、巧设情景问题，引入课题 ［师］在小学学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形这些特殊的四边形中，我们已经研究了 平行四边形、菱形、矩形的定义、性质和判别条件，而正方形还没有研究过，根据小学学过的正方 形的知识，你能说出它有哪些性质吗？ ［生］正方形的四条边相等，四个角都是直角，正方形的面积等于边长的平方. ［师］很好，这节课我们就来进一步研究正方形(square) 二、讲授新课 ［师］下面我们来看一个平行四边形变成正方形的全过程.(演示) 由于平行四边形具有不稳定性，所以先把平行四边形木框的一个角变为直角，再移动一条短边， 截成有一组邻边相等，此时平行四边形变成了一个正方形. 由此可知：正方形是一组邻边相等的矩形.即：一组邻边相等的矩形叫做正方形. 这个平行四边形木框还可以这样变化：先移动一条短边，截成有一组邻边相等的平行四边形， 再把一个角变成直角，此时的平行四边形也变成了正方形. 你能从这个变化过程中给正方形下定义吗？ ［生］一组邻边相等的平行四边形是菱形.正方形是一个角为直角的菱形，所以可以说：有一个 角是直角的菱形叫做正方形. ［师］很好，由此可知：正方形是特殊的矩形，即是邻边相等的矩形，也是特殊的菱形，即是 有一个角是直角的菱形. 接下来我们讨论正方形的性质，它有哪些性质呢？同学们讨论、总结. ［生甲］因为正方形是平行四边形、菱形、矩形，所以它的性质是它们的综合，不仅有平行四 边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，即： 正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质. ［生乙］正方形的性质： 边：对边平行、四边相等 角：四个角都是直角 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. ［师］同学们总结得全面、准确、正方形的性质同样可以边、角、对角线这三个方面来总结(出 示投影片§4.4.2 C) (乙同学总结的性质) 大家想一想：正方形是轴对称图形吗？如是，它有几条对称轴？ ［生］正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，即：两条对角线，两组对边的中垂线. ［师］好，下面我们来看一例题，以熟悉理解正方形的性质 ［例 1］如图，四边形 ABCD 是正方形，两条对角线相交于点 O，求∠AOB、∠OAB 的度数. 分析：本题是正方形的性质的直接应用.正方形的性质很多，要恰当运用，本题主要用到正方形 的对角线的性质，即正方形的轴对称性. 解：正方形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 一定互相垂直，所以∠AOB=90°. 正方形 ABCD 是矩形，又是菱形，所以： ∠BAD=90°且对角线 AC 平分∠BAD，因此：∠OAB=45°. ［师］本题还有其他解法吗？ ［生甲］因为四边形 ABCD 是正方形，所以∠BAD=90°，AB=AD，OB=OD，所以 △ABD 是等腰直角三角形.又因为 OB=OD，等腰三角形底边上的中线与底边上的高，顶角的角平分线重合， 所以∠AOB=90°，∠OAB=45°. ［生乙］因为正方形是轴对称图形，它的对角线是它的对称轴，所以把正方形 ABCD 沿对角线 AC 对折，则△ABC 与△ADC 重合.∠BAC 与∠DAC 重合，因为∠BAD 是直角，所以∠OAB=45°， 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 对折后，再沿对角线 BD 对折，则这时∠AOB、∠BOC、∠DOC、∠AOD 重合，而这四个角的和为 360°，所以这四个角都等于 90°，即∠AOB=90°. ［师生共析］由上述可知：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对 角线与边的夹角是 45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形. ［师］下面我们拿出准备好的剪刀、白纸来做一做(出示投影片§4.4.2 E) 将一张长方形纸对折两次(可演示)，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？ (剪刀线与折痕成多少度的角？) (学生动手折叠，想，剪切) ［生］只要保证剪口线与折痕成 45°角即可.因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰 直角三角形，把折痕当作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形. ［师］很好，同学们应用折叠、剪切，得到一个正方形，说明大家基本掌握了正方形的性质. 正方形是平行四边形、矩形、又是菱形，那么它们四者之间有何关系呢？大家来议一议(出示投 影片§4.4.2 F) 正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间有什么关系呢？ ［生甲］正方形、矩形、菱形都是平行四边形，正方形既是矩形，又是菱形. ［生乙］平行四边形有一个内角为直角时，这时的平行四边形是矩形，当平行四边形的相邻的 边相等时，这时的平行四边形是菱形，矩形的一组邻边相等时，此时的矩形是正方形，菱形的一个 内角为直角时，此时的菱形是正方形. ［生丙］矩形的对角线互相垂直时，此时的矩形是正方形，菱形的两条对角线相等时，此时的 菱形是正方形. ［师］同学们总结得很好，正方形、矩形、菱形都是平行四边形，但它们都是有特殊性质的平 行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角为直角的 特殊菱形.它们的包含关系如图：(出示投影片§4.4.2 G) 乙同学，丙同学总结的这四者之间的关系可用下图表示(出示投影片§4.4.2 H) 由这个图你能知道什么？ ［生］由这个图可以知道：什么样的平行四边形是正方形. ［师］很好，此图给出了正方形的判别条件，即怎样判定一个平行四边形是正方形？ ［师生共析］先判定一个四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形是矩形，然后再判定这 个矩形是菱形；或者先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形. 由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件不一样，所以判定一个四边形是 不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可作出判断. ［师］下面大家来做练习以巩固本节所学内容. 三、课堂练习 (一)课本 P100 随堂练习 1.边长为 2 cm 的正方形，对角线的长是多少？ 解：如图，正方形 ABCD 的边长为 2 cm，对角线 AC 把它分成两个全等的等腰直角三角形，所 以，在 Rt△ABC 中，AB2+BC2=AC2 AC= 22822 22  因此：边长为 2 cm 的正方形的对角线的长是 2 2 cm. 2.上右图中，有多少个等腰直角三角形？ 答：以正方形的四个顶点为直角顶点，共有四个等腰直角三角形，以正方形两条对角线的交点 为顶点的等腰直角三角形也有四个，因而共有八个等腰直角三角形. (二)试一试 1.如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的 四部分(不考虑道路的宽度)，你有几种方法？(至少说出三种) (图形如 P102 的图) 解：过正方形两条对角线的交点任意作两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小、形状完 全相同的四部分.下面是其中的三种分法. (三)看课本 P99~P100,然后小结. 四、课时小结 本节课我们探讨了正方形的定义、性质和判别条件.现在来总结一下： 正方形的定义：一组邻边相等的矩形. 正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：(出示小黑板) (小结性质时，师生共同完成，凡是图形所具有的性质，在表中相应的空格中填上“√”， 没有的性质不要填写) 由表中可知：矩形、菱形具有平行四边形的一切性质，又具有各自的特殊性质，正方形具有平 行四边形、矩形、菱形的一切性质，又具有自身的特殊性质，因此矩形和菱形都是特殊的平行四边 B D E 形.正方形也是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形，特殊的菱形. 五、课后作业 (一)课本 P102 习题 4.7 1、2、3. (二)课本 P101“读一读”. §4.5 梯形（一） 教学目标： 1、经历探索梯形的有关概念、性质的过程，在简单的操作活动中发展学生的说理意识、主动探究的 习惯，初步体会平移、轴对称的有关知识在研究等腰梯形性质中的运用； 2、探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索并了解等腰梯形的性质，能用它们解决简单的问题。 教学重点：探索梯形的有关概念、性质及其应用。 教学难点：探索等腰梯形的性质。 教学过程设计： 一、回顾——知识的连续和类比 本章中已经研究了哪几种特殊四边形？ 二、创设问题情境——引出梯形概念 观察一组图片，在图中有你熟悉的图形吗？ 三、探究： （一）看看学学——梯形的有关概念 1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 一些基本概念（如图）：底、腰、高。底 2、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 3、直角梯形：一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 （二）做一做――探索等腰梯形的性质（引入用轴对称解决问题的思想） 1. 在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线 问题一：图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？学生画图并通 过观察猜想； 问题二：这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？ 结论： ①等腰梯形是轴对称图形，对称轴是连接两底中点的直线。 ②等腰梯形同一底上的两个内角相等，两条对角线相等。 （三）做一做，比一比——等腰梯形性质的简单应用 １．如图１所示，在等腰梯形中∠Ｂ＝７０度，你能确定其他三个内角的度数吗? 2. 如图２所示，将等腰梯形 ABCD 的一条对角线 BD 平移到 CE 的位置，则图中有平行四边形吗？ △CAE 是等腰三角形吗？为什么？ 腰 腰高 A C A D B C （四）议一议 如图，四边形ＡＢＣＤ是等腰梯形，将腰ＡＢ平移到ＤＥ的位置。 问题一：ＤＥ把四边形ＡＢＣＤ分成怎样的两个图形？ 问题二：图中有哪些相等的线段，相等的角？ 注意：先让学生观看整个平移过程，使学生体会 平移思想在研究梯形问题时的运用，然 后再讨论完成问题。 （五）讲解例１――等腰梯形性的运用 如图，在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝２，ＢＣ＝４， 高ＤＦ＝２，求ＣＦ和腰ＤＣ的长。 （目的：使学生学会用平移的思想解决有关梯形 问题） （六）反思与小结 １． 我们今天学习了哪几种梯形？主要研究了哪一种梯形？ ２． 等腰梯形有哪些性质？ ３． 今天我们在研究梯形问题时用了哪些方法将梯形问题转化为其他图形的问题？ 四、课后作业 课本 P105 习题 4.8 1、2。 五、教后感： 数学教学是数学活动的教学，本节课能充分体现新课程精神，以人为本，发展学生的个性，学 生是数学课堂教学的主体，注重学生亲身体验、实际操作，体现自主化，活动化，学生成为课堂学 习的自主参与者，自主探索者。体现动手实践、自主探索、合作交流等有效的学习方式。注重学生 从事数学活动的机会，把学习的主动权还给学生。 §4.5 梯形（二） 教学目标： 1．理解、掌握并会运用等腰梯形的性质。 2．培养学生观察、探索并掌握梯形的判别方法，能用它们解决简单的问题。 3．掌握等腰梯形的常用辅助线的添加方法。 4．进一步提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生具有“类比”和“转化”的数学思想和 应用意识。 教学重点：探索梯形的有关判别方法及其应用。 教学难点：探索等腰梯形的判别方法及常用辅助线的添加方法。 教学过程设计： 一、回顾——知识的连续和类比 上节课已经研究了梯形的概念及性质,请同学们复习一下？ 二、创设问题情境 Ａ Ｄ Ｅ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ┐ F （图１） （图２） Ｂ B 观察一组三角形图片，在图中你能添一条线段,使图形中有一个梯形吗？ 三、探究： （一）看看学学——判别等腰梯形的方法. 定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 （二）议一议 如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡD∥ＢC，∠B=∠C， ＤＥ∥AＢ且交 BC 于点 E。 问题一：AB=ED 吗？为什么？ 问题二：∠DEC=∠C 吗？ 问题三：由此你得到什么结论？ 注意：先让学生独立思考，然后再讨论完成问题。 （三） 等腰梯形的判别 结论： 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 （四）讲解例 2――等腰梯形判别的运用 如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡD∥ＢC，∠A，∠C 互补， 梯形ＡＢＣＤ是等腰梯形吗？ （五）随堂练习： 在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证等腰梯形判别问题的探索过 程，逐步掌握说理的书面表达方法。 （六）等腰梯形的常用辅助线的添加方法 作法一：过点 C 作 CF∥AD 交 AB 延长线于 F A F D E C 作法二：过 A 作 AF⊥DC 于 F，BE⊥DC 于 E A B D F E C 作法三：延长 DA、CB 交于点 O O A 1〕 〔2 B D C Ａ Ｄ Ｅ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ C 作法四： 过点 B 作 BE∥AD，交 DC 于点 E A B D E C 作法五：过点 B 作 BE∥AC 交 DC 延长线于点 E Ａ B Ｏ D C E （七）反思与小结 ４． 我们今天学习了哪几种梯形是等腰梯形？ ５． 在研究梯形问题时用了哪些方法将梯形问题转化为其他图形的问题？ 四、课后作业 课本 P107 习题 4.9 1、2、3 §4.6 探索多边形的内角和与外角和(一) 教学目标 (一)知识目标 多边形的定义及内角和公式的推导. (二)能力训练目标 1.经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一 步体会数学与现实生活的紧密联系. 2.探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力. (三)情感与价值观目标 1.通过师生共同活动，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神. 2.使学生懂得数学内容普遍存在相互联系，相互转化的特点. 教学重点 多边形的内角和. 教学难点 多边形的内角和的公式推导. 教学方法 启发、讨论式. 教学过程 一、巧设情景问题，引入课题 ［师］前面我们学习了三角形、平行四边形，今天我们要学习什么内容呢？请看大屏幕(出示投 影片：石英钟、六角螺母、五角星、地板砖等) ［师］刚才大家看到许多实物图片，你知道它们各是什么图形？ ［生］四边形、五边形、六边形、八边形. ［师］对，这些在日常生活中经常看到的图形，就是我们这节课要研究的内容——多边形(polygon) 二、讲授新课 ［师］什么叫多边形呢？在七年级上册的第一章中曾有这样的定义： 多边形是由一些不在同一直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形. 我们在初中阶段主要探讨的平面几何.所以现在定义的多边形应在同一平面内，即： 在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形. 在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可. 多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图. 把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫 做凸多边形(如图(2)) 图(1)的多边形是凹多边形 我们探讨的一般都是凸多边形. 多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点. 对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角. 如图 多边形通常以边数命名，多边形有 n 条边就叫做 n 边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三 角形是边数最少的多边形. 多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向 表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形 ABCDE，也可表示为五边形 EDCBA，还可 以用下标表示为五边形 A1A2A3A4A5，n 边形可表示为 n 边形 A1A2A3…An(n≥3 的自然数) 三角形可用三条边来表示，四边形可用四条边来表示.n 边形呢？要画多少条边来表示呢？我们 可用虚线表示省略的边，其余的边用实线表示.如上图，就是 n 边形 A1A2A3…An. n 边形有 n 条边，n 个顶点,n 个内角. 好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题(出示投影片§4.7.1A)(课本 P108 的图) (1)上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流. (2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和.你知道他们是怎么做的吗？ (3)还有其他的方法吗？(学生讨论、画图、归纳) ［生甲］(1)求五边形的内角和可以利用量角器测每个内角的度数，然后求出这五个内角的和， 即是五边形的内角和为 540°. 也可以把五边形分割成三角形，因为三角形的内角和是 180°. ［生乙］小明是直接把五边形的五个内角分割在 3 个三角形中(如图(1))，每个三角形的内角和是 180°，所以五边形的内角和为 3×180°=540°. 小亮是在五边形内任意取一个点，然后把五边形分割成五个三角形(如图(2))，但从图中可以知道， 这时多了一个周角，即 360°.因此，五边形的内角和为:180°×5－360°= 540°. ［生丙］也可以在五边形的任一条边上取一个点，然后这个点与各顶点连结，这时五边形被分 割成四个三角形(如图(3))，但多了一个平角，即 180°，因此，五边形的内角和为：180°×4－180° =540°. ［生丁］在五边形外任取一点，将这点与五边形的各顶点连结起来，这时五边形被分割成四个 三角形，此时，从图中可以看出多出一个三角形.因此五边形的内角和为 180°×4－180°=540°. ［师］很不错，同学们回答得很好，在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形.进而求 出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法. 下面大家来“想一想” (出示投影片§4.7.1 B) 1.按如下图(5)所示的方法，六边形能分成多少个三角形？n 边形(n 是大于或等 于 3 的自然数)呢？ 2.你能确定 n 边形的内角和吗？ ［师］同学们可以多画几个边数不一样的多边形，来总结归纳分割多边形的方法. ［生甲］如图(5)，从五边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引了两条对角线，这时五边形分成 三个三角形；从六边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引了三条对角线，这时六边形分成了四个三 角形；从七边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引四条对角线，这时七边形分成了五个三角形.…… 从 n 边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引(n－3)条对角线，把 n 边形分成了(n－2)个三角形. ［生乙］从 n 边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n －3)条对角线，这时 n 边形被分割成(n－2)个三角形，因为每个三角形的内角和是 180°，所以 n 边 形的内角和为(n－2)·180°. ［师］要求 n 边形的内角和，关键是将 n 边形分割转化为有公共顶点的三角形；由三角形的内 角和得到 n 边形的内角和.即：n 边形的内角和为(n－2)·180°. 大家想一想，n 边形的内角和公式中，字母 n 取值有没有范围？ ［生］有，必须是大于 3 的自然数. ［师］对，同学们口答一下：12 边形的内角和是多少呢？ ［生齐声］1800° ［师］很好，要求 n 边形的内角和，只需把 n 代入内角和公式：(n－2)·180°，即可算出. 下面大家看大屏幕“想一想”(出示投影片§4.7.1 C) 观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？ ［生］这五个多边形，每个多边形的边都相等，内角也都相等. ［师］很好，在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形 分别为：正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形. 正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形. 下面大家想一想，议一议(出示投影片§4.7.1 D) 1.一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？ 2.一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？ 3.正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？ ［生甲］一个多边形的边都相等，它的内角也一定都相等，如正三角形、正方形. ［生乙］错的.如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边 都相等，它的内角不一定都相等. ［生丙］一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，如：矩形的内角都是直角，但它的 边未必都相等. ［师］同学们从不同角度进行分析，得到了准确的答案，非常好，接下来看第(3)小题. ［生丁］因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为(n－2)·180°,所以，正 n 边形的每 个内角为： n n )2(  ·180°. 因此，正三角形的内角是：  603 180)23( 正方形的内角是： 4 )24(  ·180°=90° 正五边形的内角是： 5 )25(  ·180°=108° 正六边形的内角是： 6 )26(  ·180°=120° 正八边形的内角是： 8 )28(  ·180°=135°. ［师］很好，接下来我们做练习来巩固多边形的内角和公式. 三、课堂练习 (一)课本 P110 随堂练习 1.如下图. (1)作多边形所有过顶点 A 的对角线，并分别用字母表示出来. (2)求这个多边形的内角和. 解：(1)如下图：过顶点 A 的对角线是 AC、AD、AE. (2)从(1)图中可知：这个六边形被过顶点 A 的对角线分割成四个三角形，所以，这个多边形的内 角和为 180°×4=720°. 也可以利用多边形的内角和公式进行计算即：(6－2)×180°=720° (二)看课本 P108~P109，然后小结. 四、课时小结 本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式. 即：n 边形的内角和等于(n－2)·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系. 五、课后作业 (一)课本 P110 习题 4.11 1、2、3 (二)1.预习内容：P110~P112 §4.6 探索多边形的内角和与外角和(二) 教学目标 (一)知识目标 多边形的外角及外角和公式的推导. (二)能力训练目标 1.经历探索多边形的外角和公式的过程.进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进 一步体会数学与现实生活的紧密联系. 2.探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力. (三)情感与价值观目标 培养学生勇于实践、大胆创新的精神和积极探求客观真理的科学态度，渗透数学中普遍存在的 相互联系、相互转化及数学来源实践，又反过来作用于实践的观点. 教学重点 多边形的外角和公式及其应用. 教学难点 多边形的外角和公式的应用. 教学方法 探究式教学法. 教学过程 一、巧设情景问题，引入课题 ［师］大家清早跑步吗？小明每天坚持跑步，他怎样跑步呢？看大屏幕： 清晨，小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步. (1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们. (2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ (3)在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 吗？你是怎样得到的？ ［师］同学们来分组讨论，演示一下. (学生 6 人一组，可实地做一做，让学生体会数学与现实生活的联系.) ［生甲］(1)小明每从一条街道转到下一街道时，身体转过的角(如图中)是∠1、∠2、 ∠3、 ∠4、∠5. (2)我们五个人做为五边形的顶点，围成一个五边形，由××伴为小明进行跑步，跑完一圈后， 他的身体转过的角度之和是 360°. (3)由上述知道：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5 分别是小明从一条街道转到下一条街道时，身体转过 的角，而他跑一圈，身体转过的角度是 360°，因此得 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°. ［生乙］我们讨论的结果和甲同学的一样，只不过求∠1、∠2、∠3、∠4、∠5 的和时，我们组 是先画了一个如投影所示的五边形.然后把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5 这五个角剪下，将它们的顶点 拼在一起，即各角的顶点重合，这时发现这五个角正好组成了一个周角.由此得到： ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°. ［师］很好，下面大家来看小亮的思考：(出示投影片§4.7.2 B) 如图所示，过平面内一点 O 分别作与五边形 ABCDE 各边平行的射线 OA′、OB′、OC′、 OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ,其中：∠α=∠1,∠β=∠2, ∠ γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5. ∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ恰好组成一个周角. 这样，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5 的和等于 360°. ［师］小亮也验证了大家得到的结论，好，大家看图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5 不是五边形的 角，那是什么角呢？它们的和叫什么呢？ ［生］这五个角是五边形的外角，它们的和叫外角和. ［师］很好，我们这节课就来探讨多边形的外角、外角和. 二、讲授新课 ［师］那什么是多边形的外角、外角和呢？我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角. 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角(exterior angle) 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和. 一般地，在多边形的任一顶点处按顺(逆)时针方向可作外角，n 边形有 n 个外角. 那多边形的外角和是多少呢？我们来回忆一下：三角形的外角和为多少？ ［生齐］360° ［师］好，刚才我们又研究了五边形的外角和，它为 360°，那大家想一想(出示投影片§4.7.2 C) 如果广场的形状是六边形、八边形.它们的外角和也等于 360°吗？ (学生讨论，得出结论) ［生甲］通过讨论，演示得到：六边形的外角和是 360°，八边形的外角和是 360°. ［生乙］老师，能不能由此得出：多边形的外角和都等于 360°呢？ ［师］谁来解决这个问题呢？ ［生丙］由五边形、六边形和八边形的外角和都等于 360°，不能得出所有多边形的外角和都等 于 360°，只能是猜想：多边形的外角和都等于 360°. ［师］能得证吗？ ［生丁］因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以 n 边形的外角和加内角和等于 n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此，外角和为：n·180°－(n－2)·180°= 360°. ［师］很好，由此我们得到了多边形的外角和公式(出示投影片§4.7.2 D) 多边形的外角和都等于 360°. ［师］由此可知，多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于 360°.下面大家来想一想、 议一议(出示投影片§4.7.2 E) 利用多边形外角和的结论，能不能推导多边形内角和的结论呢？ ［生］可以，因为对于 n(n 是大于或等于 3 的整数)边形，每个顶点处的内角及其一个外角恰好 组成一个平角.因此，n 边形的内角和与外角和的和为 n·180°，所以，n 边形的内角和就等于 n·180° －360°=n·180°－2×180°=(n－2)·180°. ［师］好，学完了外角和公式，现在我们来应用一下，以熟悉巩固外角和公式(出示投影片§4.7.2 F) ［例 1］一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？ 分析：这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用.根据题意，可列方程解答. (让学生动手解答)解：设这个多边形是 n 边形，则它的内角和是(n－2)·180°,外角和等于 360°， 所以： (n－2)·180°=3×360° 解得：n=8 这个多边形是八边形. ［师］好，通过同学们的解答，知道大家基本掌握了多边形的外角和公式，接下来我们通过练 习进一步巩固外角和公式. 三、课堂练习 (一)课本 P113 随堂练习 1.一个多边形的外角都等于 60°，这个多边形是 n 边形？ 解：因为多边形的外角和等于 360°，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是： 360°÷60°=6 2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？ 为什么？ 解：这种正多边形是正六边形，理由是： 设：这个正多边形的一个内角为 x°， 则由题图得：3x=360°. x=120°. 再根据多边形的内角和公式得： n×120°=(n－2)×180°. 解得 n=6 (二)试一试 1.是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的 5 1 ？为什么？ 解：不存在，理由是： 如果存在这样的多边形，设它的一个外角为α，则对应的内角为 180°－α，于是： 5 1 ×α=180°－α,解得α=150°. 这个多边形的边数为：360°÷150°=2.4,而边数应是整数，因此不存在这样的多边形. 2.在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？ 解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角.理由是： 设四边形的四个内角的度数分别为：α°，β°，γ°，δ°，则α+β+γ+δ=360°，α、β、 γ、δ的值最多能有三个大于 90°，否则α、β、γ、δ都大于 90°. α+β+γ+δ＞360°.同理最多能有三个小于 90°. (三)看课本 P110~P112，然后小结. 四、课时小结 本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式.知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它 恒等于 360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便. 五、课后作业 (一)课本 P112 习题 4.12 1、2、3 (二)1.预习内容：P113 §4.7 平面图形的密铺 教学目标 (一)知识目标 平面图形的密铺及多边形密铺的条件. (二)能力训练目标 1.经历探索多边形密铺(镶嵌)条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力. 2.通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺，并能运用这几 种图形进行简单的密铺设计. (三)情感与价值观目标 1.在探索活动过程中，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，使学生进一步体会平面图形 在现实生活中的广泛应用. 2.在探索性活动中，开发、培养学生的创造性思维，使其理论联系实际. 教学重点 多边形密铺的条件. 教学难点 运用三角形、四边形或正六边形进行简单的密铺设计. 教学过程 一、巧设情景问题，引入课题 ［师］同学们好，老师问大家一个问题：你家铺有地板砖吗？ ［生齐］铺有地板砖. ［师］那你家铺的地板砖是什么图形呢？ ［生甲］正方形、正六边形. ［师］很好，我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形 地砖铺砌成美丽的图案.(出示投影，展示各种地板图片) ［师］这些地板漂亮吗？ ［生齐］非常漂亮. ［师］很好，这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙， 不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺. 这节课我们来探索平面图形的密铺. 二、讲授新课 ［师］平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌，在平面上密铺需注意：各种图形拼接后要既 无缝隙，又不重叠.大家愿意美化生活环境吗？ ［生齐］愿意. ［师］好，那我们先来探索多边形密铺的条件，大家拿出剪刀和硬纸片分组来做一做： (1)用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？ (2)用同一种四边形可以密铺吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴 交流. (3)在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关 系？ (4)在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关 系？(学生动手制作、教师强调：) ［师］大家要注意：三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等 形.(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导) ［生甲］用形状、大小完全相同的三角形可以密铺.因为三角形的内角和为 180°，所以，用 6 个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面. 从用三角形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处有 6 个角，这 6 个角分别是这种三角形的内 角(其中有三组分别相等)，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为 360°. ［生乙］用同一种四边形也可以密铺，在用四边形密铺的图案中，每个拼接点处的四个角恰好 是一个四边形的四个内角.四边形的内角和为 360°，所以它们的和为 360°. ［生丙］从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠 地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为 360°. ［师］同学们总结得非常好，通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形 可以密铺一个平面，那么其他的多边形能否密铺？下面大家来想一想，议一议(出示投影片§4.8 B) (1) 正六边形能否密铺？简述你的理由. (2)分析如下图，讨论正五边形不能密铺. (3)还能找到能密铺的其他正多边形吗？(学生分析、讨论、归纳) ［生甲］正六边形能密铺.因为正六边形的每个内角都是： 6 180)26(  =120°,在每个拼接点处， 恰好能容纳下 3 个内角，而且相互不重叠，没有空隙. ［生乙］正五边形的每个内角都是 108°，360 不是 108 的整数倍.如图所示，在每个拼接点处， 三个内角之和为 324°，小于 360°，而四个内角之和都大于 360°. ［师］很好，乙同学说的也就是：在每个拼结处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个角时， 必定有重叠现象. ［生丙］老师，我知道了，要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内 角的倍数是否是 360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是 60°，正四边形的每个内角都是 90°，正六边形的每个内角都是 120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是 360°，而其他的正多 边形的每个内角的倍数都不是 360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可 以密铺，而其他的正多边形不可密铺. ［师］很好，事实上，对于正 n 边形，它的每一个内角都为 n n  180)2( ,在每个拼接点处，设可 以将 m 个内角彼此无重叠、无缝隙地拼接在一起，由于这些角的和应为 360°，因此有 n n  180)2( ×m=360° 此式可化为：(m－2)(n－2)=4 m、n 都是正整数. 因此：m－2,n－2 都是 4 的因子. 所以，m、n 的取值仅有三种可能，即：                6 3 4 4 3 6 n m n m n m 这正是正多边形的三种可以密铺的情况.当然，一般三角形、四边形也可以密铺.虽然它们的内角 未必都相等.(出示投影片§4.8 C) ［师］这是用一种正多边形镶嵌平面的三种情况，图案漂亮吗？ ［生齐］漂亮. ［师］好，下来我们可以利用多边形设计一些美丽的图案. m(m＞2) n 平面镶嵌图案 3 4 5 6 ［生］老师，我们讨论了用正多边形镶嵌平面，那非正多边形能否镶嵌一个平面呢？ ［师］这个问题我们以后要涉及到，因为用非正多边形镶嵌平面比较复杂，所以这节课我们不 进行讨论. 三、课堂练习 1.如图，在一个正方形的内部按图示(1)的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图(2)所示的 新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行密铺？说说你的理由. 答案：可以进行密铺.因为正方形是可以密铺的.这个题只是在整个密铺图案中，将其中一个正方 形的某一部分平移到了另一正方形的相应部位，因而它也是可以密铺的. 2.利用习题 3.7 第三题所得的“鱼”形图案能否密铺？根据上面的思路，自己独立设计一个可以 密铺的“基本单位”图形. (二)读一读 课本 P114 漂亮的密铺图案. (三)试一试 同时用边长相同的正八边形和正方形能否密铺？用硬纸板为材料进行实验. 答案：可以密铺(学生进行操作，来实验，从而得证) (四)看课本 P113 后总结 四、课时小结 本节课我们通过活动，探讨，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌成一个平面， 并且探索出正多边形密铺的条件.即： 一种正多边形的一个内角的倍数是否是 360°. 五、课后作业 课本 P115 习题 4.12 1、2、3；试一试。 §4.8 中心对称图形 【课题】义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）八年级上册第四章第8节 初中数学课的教学应结合具体的数学内容采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展” 的模式展开，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要 的基础知识与基本技能，增强学好数学的愿望和信心。特别对于抽象的概念教学，要关注概念的实 际背景与形成过程，帮助学生克服记忆概念的学习方式。现以《中心对称图形》为例，阐述如何“创 设问题情境、建立知识模型”的过程。 一、教学目标： 1．经历观察、发现、探究中心对称图形的有关概念和基本性质的过程，积累一定的审美体验。 2．了解中心对称图形及其基本性质，掌握平行四边形也是中心对称图形。 二、教学重、难点： 理解中心对称图形的概念及其基本性质。 三、教学过程： （一）创设问题情境 1．以魔术创设问题情境：教师通过扑克牌魔术的演示引出研究课题，激发学生探索“中心对称图 形”的兴趣。 【魔术设计】：师取出若干张非中心对称的扑克牌和一张是中心对称的牌，按牌面的多数指向整 理好（如上图），然后请一位同学上台任意抽出一张扑克，把这张牌旋转 180O 后再插入，再请这位 同学洗几下，展开扑克牌，马上确定这位同学抽出的扑克。 （课堂反应：学生非常安静，目不转睛地盯着老师做动作。每完成一个动作之后，学生就进入 沉思状态，接着就是小声议论。） 师重复以上活动 2 次后提问： （1）你们知道这是什么原因吗？老师手中的扑克牌图案有什么特点? （2）你能说明为什么老师要把抽出的这张牌旋转 180O 吗？（小组讨论） （反思：创设问题情境主要在于下面几点理由：（1）采取从学生最熟悉的实际问题情境入手的 方式，贴近学生的生活实际，让学生认识到数学来源于生活，又服务于生活，进一步感悟到把实际 问题抽象成数学问题的训练，从而激发学生的求知欲。（2）所有新知识的学习都以对相关具体问题 情境的探索作为开始,它们是学生了解与学习这些新知识的有效方法，同时也活跃了课堂气氛，激发 学生的学习兴趣。（3）通过扑克魔术创设问题情境，学生获得的答案将是丰富的。在最后交流归纳 时，他们感觉到，自己在活动中“研究”的成果，对最终形成规范、正确的结论是有贡献的，从而 激发他们更加注意学习方式和“研究”方式。这也是对他们从事科学研究的情感态度的培养。学生 勤于动手、乐于探究，发展学生实践应用能力和创新精神成为可行。） 2．教师揭示谜底。 利用“Z+Z”课件游戏演示牌面，请学生找一找哪张牌旋转 180O 后和原来牌面一样。 3．学生通过动手分析上述扑克牌牌面、独立思考、探究、合作交流等活动，得到答案： （1）只有一张扑克牌图案颠倒后和原来牌面一样。 （2）其余扑克牌颠倒后和原来牌面不一样，因此，老师事先按牌面的多数（少数）指向整理好， 把任意抽出的一张扑克牌旋转 180O 后，就可以马上在一堆扑克牌中找出它。 （反思：本环节是在扑克魔术揭密问题的具体背景下，通过学生自己的观察、发现、总结、归 纳，进一步理解中心对称图形及其特点，发展空间观念，突出了数学课堂教学中的探索性。从而培 养了学生观察、概括能力，让学生尝到了成功的喜悦，激发了学生的发现思维的火花。） （二）学生分组讨论、思考探究： 1．师问：生活中有哪些图形是与这张扑克牌一样，旋转 180O 后和原来一样？ 生举例：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、飞机的双叶螺旋桨等。 2．你能将下列各图分别绕其上的一点旋转 180O，使旋转前后的图形完全重合吗？（先让学生思 考，允许有困难的学生利用 “Z+Z”演示其旋转过程。） 3．有人用“中心对称图形”一词描述上面的这些现象，你认为这个词是什么含义？ （对于抽象的概念教学，要关注概念的实际背景与形成过程，加强数学与生活的联系，力求让 学生采取发现式的学习方式，通过“想一想”、“议一议”、 “动一动”等多种活动形式，帮助学生 克服记忆概念的学习方式。） （三）教师明晰，建立模型 1．给出“中心对称图形”定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转 180O，如果旋转前后的图形 互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 2．对比轴对称图形与中心对称图形：（列出表格，加深印象） 轴对称图形 中心对称图形 有一条对称轴——直线 有一个对称中心——点 沿对称轴对折 绕对称中心旋转 180O 对折后与原图形重合 旋转后与原图形重合 3．以下五家银行行标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ） （四）解释、应用与拓广 1．教师用“Z+Z 智能教育平台”演示旋转过程，验证上述图形的中心对称性，引导学生讨论、 探究中心对称图形的性质。 （利用计算机《Z+Z 智能教育平台》技术，通过图形旋转给出中心对称图形的一个几何解释，目 的是使学生对中心对称图形有一个更直观的认识。） 2.探究中心对称图形的性质 板书：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 3.师问：怎样找出一个中心对称图形的对称中心？ （两组对应点连结所成线段的交点） 4．平行四边形是中心对称图形吗？若是，请找出其对称中心，你怎样验证呢？ 学生分组讨论交流并回答。 讨论：根据以上的验证方法，你能验证平行四边形的哪些性质？ 5．逆向问题：如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定是平行四边形吗？ 学生讨论回答。 6．你还能找出哪些多边形是中心对称图形？ （反思：合作学习是新课程改革中追求的一种学习方法，但合作学习必须建立在学生的独立探 索的基础上，否则合作学习将会流于形式，不能起到应有的效果，所于我在上课时强调学生先独立 思考，再由当天的小组长组织进行，并由当天的记录员记录小组成员的活动情况（每个小组有一张 课堂合作学习参考表，见附录）。） （五）拓展与延伸 1．中国文字丰富多彩、含义深刻，有许多是中心对称的，你能找出几个吗？ 2．正六边形的对称中心怎样确定？ （六）魔术表演： 1.师：把4张扑克牌放在桌上，然后把某一张扑克牌旋转180º后，得到右图，你知道哪一张扑 克被旋转过吗？ 2.学生小组活动： 以“引入”为例，在一副扑克牌中，拿出若干张扑克牌设计魔术，相互之间做游戏。 （新教材的编写，着重突出了用数学活动呈现教学内容，而不是以例题和习题的形式出现。通 过多种形式的实践活动，让学生亲历探究与现实生活联系密切的学习过程，使学生在合作中学习， 在竞争收获，共同分享成功的喜悦，同时能调节课堂的气氛，培养学生之间的情感。只有这样，学 生的创新意识和动手意识才会充分地发挥出来。） 四、案例小结 《数学课程标准》提出：“实践活动是培养学生进行主动探索与合作交流的重要途径。”“教师应 该充分利用学生已有的生活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数 学问题，了解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性。”这两段话，正体现了新教材的重 要变化——关注学生的生活世界，学习内容更加贴近实际，同时强调了数学教学让学生动手实践的 重要意义和作用。 现实性的生活内容，能够赋予 数学足够的活力和灵性。对许多学生来说，“扑克”和“游戏”是很感兴趣的内容，因此，也具有现 实性，即回归生活（玩扑克牌）——让学生感知学习数学可以让生活增添许多乐趣，同时也让学生 感知到数学就在我们身边，学生学习的数学应当是生活中的数学，是学生“自己身边的数学”。这样， 数学来源于生活，又必须回归于生活，学生就能在游戏中学得轻松愉快，整个课堂显得生动活泼。 §4.9 回顾与思考 教学目标 1．利用基本图形结构使本章内容系统化． 2．对比掌握各种特殊四边形的概念，性质和判定方法． 3．总结常用添加辅助线的方法． 4．总结本章常用的数学思想方法，提高逻辑思维能力． 教学重点和难点 重点：四边形与特殊四边形的从属关系及它们的概念、性质和判定方法． 难点：提高数学思维能力． 教学过程设计 一、 理解本章基本图形的形成、变化和发展过程 1． 本章知识结构图，如图 2． 说明： （1）图 4-107（a）中主要要求四边形的内角和及外角和； （2）图 4-107（b）中要求 n 边形内角和及外角和； （3）图 4-107（c）中要求各种特殊四边形的概念、性质、判定和它们之间的关系； （4）图 4-107（d）中要求平行线等分线段定理的内容，会任意等分一条已知线段； （5）图 4-107（e）中要求三角形、梯形中位线的概念、性质、判定； （6）握中心对称及中心对称图形的概念、性质，会判断一个图形是否为中心对称图形，会画一个图 形关于某点的对称图形． 2.常用的例习题所对应的基本图形的性质，有利于探求解题．如： （１）顺次连结四边形各边中点得到的图形，如图 4-95． （２）过平行四边形对角线交点的直线交对边或对边的延长线所得对应线段相等（图 4-108）． 典型例题分析，总结解题方法和数学思想方法 １．殊四边形的关系的进一步理解，渗透“集合”的思想． 例１．填出图 4-109 中各图形的名称，利用“集合”的思想分清各种四边形之间的关系，并 做课本第 190 页第 2 题，以巩固各种四边形的判定方法． ２． 四边形性质及中位线知识的应用，总结证明两条线段相等和添加辅助线的方法及分析综合 法的使用． 例２．如图 4-110（a），在梯形 ABCD 中，AB∥DC,以 AD 和 AC 为边作 ACED，DC 的延长线交 EB 于 F．求 证：EF=FB． 分析：分解基本图形：“ ABCD 及对角线”，三个梯形． （1） 应用分析综合法探求解题思路，添加辅助线，将 EF，FB 置于“证明两线段相等”所对应的基 本图形中． （2） 总结目前证明两条线段相等的方法，添设相应辅助线．在上一章总结方法的基础上，新添的 常用方法有： 1 特殊四边形的边、对角线的性质； 2 平行线间的距离相等； 3 过三角形一边中点与第二边平行的直线必平分第三边； 4 过梯形一腰中点与底边平行的直线必平分另一腰． 说明：本题添加辅助线的方法为四大类. (1)构造三角形中位线或梯形的中位线，如图 4-110(b)～(e)； (2)构造全等三角形，如图 4-110(f)～(h)； (3)构造等腰三角形，如图 4-110(i)； (4)构造以 EB 为对角线的平行四边形，如图 4-110(j). 3.总结梯形中常用辅助线，掌握化归思想. 梯形中添加辅助线常常可以将梯形化归为三角形、平行四边形、矩形、直角梯形等.同时， 还可集中梯形中分散的已知条件，如图 4-111(a)中，将梯形的两腰、两底角、两底边之差集中到还 可集中梯形中分散的已知条件，如图 4-１１１(a)中，将梯形的两腰、两底角、两底边之差集中到了 一个三角形中.另外注意以下两点： (1)从图形变换及化归角度理解梯形中常用辅助线的作法及作用. ①平移：图 4-111(a)，(b)过上底一顶点作腰或一对角线的平行线； ②旋转：图 4-111(c)，(d)以一腰中点为旋转中心旋转△ADE 和△EGC； ③对称：图 4-111(e)等腰梯形中作底边高. (2)其他几种作法. ①图 4-111(e)一般梯形中，过上底两端点作下底的垂线； ②在图 4-111(f)中，向上延长两腰构成三角形； ③在图 4-111(g)中，作梯形的中位线. 例 3 已知：如图 4-112(a)，在梯形 ABCD 中，ABDC，ACDB，AD=BC=4，ㄥ ADC=60°，EF 是中位线，交 BD 于 M，交 AC 于 N. (1)求 EF，MN 的长及 S 梯形 ABCD； (2)观察 MN 与梯形上、下底的关系，并思考结论能否推广到一般梯形? 分析?本题可选用图 4-112(b)，(c)中辅助线的作法，解得 EF= 32 ，MN=2，S 梯形 ABCD=12，MN= 2 1 (DC-AB). 此结论对一般梯形同样适用. 4.利用变换的思想解题，培养方程、分类讨论的思想，并会用类比联想变更命题. 例 4 矩形一边长为 8，另一边长 6，将矩形折叠，使两相对顶点重合.求折痕长. 分析：(1)用轴对称的性质理解折叠问题的基本关系.认清对应元素的位置、数量关系，此题中折痕 应为矩形 ABCD 的对角线 AC 的中垂线 EF(如图 4-113). (2)利用方程的思想解决问题.设 CE=x,可证折痕 EF 长等于 2OE，先由 AE=EC，及勾股定理求出 CE= 4 25 ， 则 EF=2OE= 2 152 22  OCCE (3)学完相似形会有更简捷的计算方法. 例 5 已知：点 M 为正方形 ABCD 的边 AB 所在直线上任意一点(点 B 除外)，MNDM 与ㄥ ABC 的邻补角的 平行线交于 N.求证：DM=MN. 分析： (1)由于题目中没有明确给出点 M 的位置，需对 M 点在直线 AB 上的位置进行分类讨论. ①点 M 在线段 AB 内，如图 4-114(a)； ②点 M 在线段 AB 的延长线上，如图 4-114(b)； ③点 M 在线段 BA 的延长线上，如图 4-114(c)； ④点 M 与 A 点重合，如图 4-114(d). (2)证明时，结合旋转及对称变换的思想添加辅助线，构造 DM，MN 所在的两个全等三角形.如图 4-114(a) 中，将△MBN 沿 MD 方向平移到 M 与 D 重合，再将平移后的三角形绕 D 点顺时针旋转 90°，B 点落在 边 DA 上 P 点处，使 DP=MB，因此，如下添加辅助线： 在 AD 上取一点 P，使 DP=BM，连接 PM，证明△DPM△ MBN. (3)类比联想，此题的结论对等边三角形是否成立? M 为等边三角形 ABC 的边 BC 所在直线上任意一点(C 点除外)，作ㄥ AMN=60°，射线 MN 与ㄥ ACB 的邻 补角的平分线交于 N.求证：AM=MN.(如图 4-115) 5.利用运动的思维方法将问题推广. 例 6(1)已知：如图 4-116(a)，从 ABCD 的顶点 A，B，C，D 向形外的任意直线 l 作垂线 AA′，BB′， CC′DD′，垂足分别为 A′，B′C′，D′，求证：AA′+CC′=BB′+DD′. (2)将直线 l 平移运动，会出现几种不同位置?猜想：AA′，BB′CC′，DD′的数量关系会怎样变化? 并进行证明. 分析：(1)分解基本图形为平行四边形和直角梯形.从结论考虑，从形式上联想到梯形中位线定理， 连结 AC，BD 交于 O，并作 OO′l′与 O′. (2)总结证明线段和差、倍、分关系的常用方法. (3)直线 l 向上平移运动，与 ABCD 的位置关系还会出现两种情况，如图 4-116(b)，(c). (4)对于推广后的两种情况，可通过添加辅助线化归为利用图 4-116(a)中结果，也可类比原题(a)中 的方法，再次证明： 图 4-116(b)中，CC′-AA′=BB′+DD′；图 4-116(c)中，｜CC′-AA′｜=｜BB′-DD′｜. 三、师生共同小结 1.基本方法. (1)利用基本图形结构使知识系统化； (2)证明两条线段相等及和差关系的方法，也可类比总结证明两角相等，角的和差、倍、分问题，直 线垂直、平行关系的方法； (3)利用变换思想添加辅助线的方法； (4)探求解题思路时的分析、综合法. 2.基本思想及观点： (1)“特殊——一般——特殊”认识事物的方法； (2)集合、方程、分类讨论及化归的思想； (3)用类比、运动的思维方法推广命题. 四、作业 1.已知：如图 4-117，Rt△ABC 中，ㄥ ACB 的平分线交对边于 E，交斜边上的高 AD 于 G，过 G 作 FGCB 交 AB 于 F.求证：AE=BF. 2.如图 4-118，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，E，F 和 G 分别为 OB，CD，OA 中点，ㄥ AOD=60°.求证： △EFG 是等边三角形. 3.已知：如图 4-119，梯形 ABCD 中，DCAB，ㄥ A+AB=90°，M，N 分别为 CD，AB 点.求证：MN=12(AB-CD). 4.已知：梯形 ABCD，ADBC，AB=DC，AD:BC=5:ㄥ A，ㄥ D 的平分线都与 BC 相交，且两交点把 BC 三等 分.若梯形周长为 57cm.求梯形中位线长.(答： 2 33 cm 或 10 209 cm) 5.(1)如图 4-120，P 为正方形，ABCD 内一点，PA:PB:PC=1:2:3，求ㄥ APB 的度数；(答：135°)(2) 已知：如图 4-121 正方形 ABCD 内点 E 到 A，B，C 三点的距离之和的最小值为 62  .求此正方形 的边长；(答：2)(提示：(1)将△APB 绕 B 点顺时针旋转 90°，得△CQB，将分散的三条线段 PA，PB， PC 集中到一起，连结 PQ，在△PBQ 和△PQC 中计算角度.(2)如图 4-121，用旋转的方法，把△ABE 绕 B 点旋转 60°，得到△FBG，可证△BEG 为等边三角形.并将 EA+EB+EC 转化为 FG+GE+EC，从而找到最 小值为 FC 的长，利用列方程的方法求得边长为 2.) 6.如图 4-122，ABCD 是矩形纸片，E 为 AB 上一点，BE:EA=5:3，EC=155，把△BCE 沿折痕 EC 向上 翻折，若点 B 恰好落在 AD 边上，设这个点为 F.问 AB，BC 的长各是多少?(答：2430) 平行四边形复习 教学目标 1．掌握平行四边形的判定定理及应用． 2．会综合运用平行四边形的判定定理和性质定理来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 教学重点和难点 重点是复习平行四边形的主要性质定理及应用； 难点是平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 教学过程设计 一、用类比、逆向思维的方式探索平行四边形的判定方法 1．复习平行四边形的主要性质， 角：（c）两组对角相等．（性质 3）（等价命题：两组邻角互补） 对角线：（d）对角线互相平分．（性质 4） 2．逆向思维：怎样判定一个四边形是平行四边形？ （1）学生容易由定义得出：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（判定方法一）．也就是 说，定义既是平行四边形的一个性质，又是它的一个判定方法． （2）观察判定方法一与性质 1 的关系，寻找逆命题的特征： ①由两个独立条件和一个结论组成； ②两个独立条件属于同类条件（即都分别属于：（a）对边的位置关系，（b）对边的数量关系，（c） 对角的数量关系或（d）对角线关系的条件，简称为同类条件）； （3）类比联想，猜想其他性质的逆命题也能判定平行四边形，构造逆命题如下： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形（猜想 1）； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形（猜想 2）； ③对角线互相平分的四边形是平行四边形（猜想 3）． （4）证明猜想，得到平行四边形的判定定理 1，2，3． 教师引导学生根据平行四边形的定义以及平行线的性质、三角形全等的知识对以上猜想进行证 明．注意利用新证定理简化后来读定理的证明过程及选择简捷方法． 3．进一步探求用两个独立的非同类条件判定平行四边形的方法．（这部分内容的设计意图和处 理方法详见设计说明部分） （1）教师解释“两个独立的非同类条件”的含义，指从平行四边形四方面的性质（a），（b）， (c）和（d）中各选取一个条件组合作为判定方法的题设部分，如一组对边平行((a）对边的位置关 系）与一组对边相等((b）对边的数量关系）． （2）根据学生实际，让学生利用上述方法得出有关平行四边形判定方法的部分常用（或全部） 猜想．（教师也可用判断题的形式让学生思考，从而降低难度） 猜想一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 猜想二：一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形． 猜想三：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形． 猜想四：一组对边平行且一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．（其他猜想 见设计说明中的补充内容） （3）证明猜想成立或举例说明某猜想不成立． 以上猜想中正确的是猜想一和四，猜想二和三的反例图形分别见图 4-21（a），（b）． 如图 4－21（a），在四边形 ABCD 中， AD //BC， AB＝DC，但四边形 ABCD 不是平行四边形； 在图 4-21（b）中， AB＝AC＝DE，∠B=∠C＝∠D，但四边形 ABED 不是平行四边形． （4）将正确的命题中作用较大的猜想一作为判定定理 4 使用，其余的命题让学生熟悉结论和研 究方法． （5）总结。平行四边形共有五种判定方法，根据题目条件从中灵活选用方法来解决问题． 二、判定定理的巩固练习（讲义） 第五章 位置的确定 §5.1 确定位置 一、教学目标设计： 1.在现实情景中感受物体定位的多种方法 2.能较灵活的运用不同的方式对物体定位 3.体会生活中位置的确定,离不开数据, 离不开数学及数学与生活的密切关系。 4 突出在平面上确定物体位置的方法多样性和实质统一性：都需要两个数据。 二、教学重点： 突出在平面上确定物体位置的方法多样性和实质统一性：都需要两个数据。 三、教学难点： 灵活运用不同方式确定物体的位置。（需要学生的一定生活经验） 四、教学过程： 1、 引言：美伊战争美军从地中海，红海，波斯湾三艘航空母舰上对巴格达发射了战斧式巡 航导弹，当时巴格达一片火海，美国的导弹为何会打的那么准？ 2、 最近有一件令全中国人骄傲和自豪的大事大家知道是什么吗？回顾一下这一激动人心的 时刻：从发射到返回到杨利伟成功着陆？大家思过吗：我们在茫茫草原上是怎样找到杨 利伟的，他的位置是怎样确定的？（板书确定位置） 3、 实际上这都有赖于“卫星全球定位仪”——GPS，因为全球任何一个地方都存在唯一的经 度和纬度。我们可以通过目标物如神州五号飞船的返回仓发出的信号，利用 GPS“卫星 全球定位仪”测得它的经纬度，顺利的找到我们的英雄杨利伟。板书 GPS 定位（经度， 纬度） 4、 举几个实例： 1) 在电影院内如何找到电影票上所指的位置？ 2) 在电影票上，“6 排 3 号”与“3 排 6 号”中的 6 的含义有什么不同？ 3) 如果将“8 排 3 号”简记作（8，3），那么“3 排 8 号”如何表示？（5，6）表示什么 含义？ 5、（1）电影院确定一个座位，需要几个数，怎样确定？ （2）如果老师要点一名同学回答问题，又不知道同学们的姓名，请大家帮忙设计一种方法， 让老师站在讲台上就能让同学知道老师在叫自己 6 例 2 （1）正门北偏东 27 度的方向上有那些动物景点？要想确定蝴蝶馆的位置，还需要有什么数据？ （2）据正门图上的距离 1cm 处的景点又有哪些？ （3）要确定每个景点的位置，各需要几个数 据？ 7、请用图上街道或十字路口为参照，说出莲花中学位置 8、在生活中，你想确定什么物体的位置？用怎样的方法？与同伴交流。 （假定我是位游客，我知道钟楼的位置和附近主要街道的位置，你是位小导游，请你为我介绍西 安的风景名胜如南城门，大雁塔，碑林，等的位置，） 9.小结 在平面上确定物体位置的方法多样性和实质统一性：都需要两个数据。 在平面上确定物体的位置一般需要几个数据？每个数椐代表什么量？在平面上确定物体的位置，一 般方式： 用两个数据 a 和 b 记（a ，b），a 表示: 排、行、经度、角度、距离……b 表示: 号、列、纬度、 距离、 角度…… 10.作业 用你那锐利的数学目光，发现你身边的公共设施，或广告中定位不清的问题给有关的单位提出建设 性的意见，这也许是你对 2008 奥运的一大贡献呢！（这是一个长期作业，可以小组合作完成） 教后感：1.本节课是使学生在现实情景中感受物体定位的多种方法，通过学生自己的观察、发 现、总结、归纳，能较灵活的运用不同的方式对物体定位的过程，进一步发展学生的合情推力意识， 主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 §5.1 确定位置（二） 教学目标 知识与技能： 27° 正门 北 1、体会极坐标和直角坐标思想，并能解决一些简单的问题； 2、能利用比例尺计算实际距离。 3、发展学生的识图能力。 情感与价值观： 1、由学生感兴趣的图形激发学生的学习兴趣； 2、通过运用位置确定的方法解决实际问题，体验到数学与人类生活是密切联系的。 教学重点：会根据已知条件正确表示物体的位置。 教学过程： 一、创设情境，引入新课 师：如图，如果用（0，0）表示点A，（1，0）表示点B，（1，2）表示点F。想一想：按照这个 规律该如何表示其它点的位置： 二、新授： 1、学生分小组讨论，找出规律，然后回答交流： {C（2，0）,D（2，1）,E（2，2）,G（0，2）,H（0，1）} 2、做一做：（投影P126，图5-3） 如果用（0，0）表示点A的位置，用（2，1）表示点B的位 置， 那么 （1）图①中五角星五个顶点的位置如何表示？ （2）图②中五枚黑棋子的位置如何表示？ （3）图②中（6，1），（10，8）位置上的棋子分别是哪一枚？ 师：这里的数据有两个，一个表示水平方向与A点距离，另一个表示竖直方向上到A点的距离。 3、例2（投影图5-4） 借助刻度尺，量角器解决如下问题： （1）教学楼位于校门的北偏东多少度的方向上？到校门的图上距离约是多少厘米？实际距离 呢？ （2）某楼位于校门的南偏东约75°的方向，到校门的实际距离约240米，说出这一地点的名称。 （3）如果用（2，5）表示图上校门的位置，那么图书馆的位置如何表示？（10，5）表示哪个 地点的位置？ 同桌学生合作，利用刻度尺，量角器等工具，在书上测量并计算。 （1）北偏52°，图上距离为2.5cm，实际距离为250米（注意单位的换算） （2）240米=24000厘米，24000÷10000=2.4（厘米）,经测量位于校门的南偏东70°的方向上， 到校门的距离240米的地点是实验楼。 （3）图书馆的位置表示为（2，9）、（10，5）表示旗杆的位置。 4、想一想：上例中，分别是通过何种方式表示一物体的位置呢？仅有一个数据，能准确确定教 学楼的位置吗？ 让学生发表自己的看法后，师总结： 两种方式：①方位角和距离。②与0点的水平距离及与0点的竖直距离的两个数据。仅用一个数 据不能准确地确定教学楼的位置。 5、做一做，投影图5-5 如果用（1，2）表示“怪兽”按图中箭头所指路线经过的第3个位置，那么你能用同样的方式表 示出图中“怪兽”经过的其他几个位置吗？ 让学生思考后，分别让若干个学生说出其他几个位置的表示方法：（0，0）、（1，0）、（3、 2）、（3、4）、（5、4）、（5、6）、（7、6）、（7、8） 师：这里我们习惯上把表示水平上的距离的数据写在前面，表示竖直距离的数据写在后面，组 成的一对数表示某点的位置。 三、随堂练习：P128、1、2 T1，四人小组合作，在图中画出条路线，写出表达方式。 T2，先引导学生选择确定位置的方法，再利用工具测量。 四、小结：确定位置的两种方式。 五、作业：（1）习题5、2 （2）作业本 教后感：本节课是使学生在现实情景中体会极坐标和直角坐标思想，并能解决一些简单的问题；通 过学生自己的观察、发现、总结、归纳，能较灵活的运用能利用比例尺计算实际距离,发展学生的识 图能力。进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 §5.2 平面直角坐标系（一） 教学目标： 【知识目标】1、理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等的概念。 2、认识并能画出平面直角坐标系。 3、能在给定的直角坐标系中，由点的位置 写出它的坐标。 【能力目标】1、通过画坐标系，由点找坐标等过程，发 展学生的数形结合意识，合作交流意识。2、通过对一 些点的坐标进行观察，探索坐标轴上点的坐标有什么特 点，纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴 之间的关系，培养学生的探索意识和能力。 【情感目标】由平面直角坐标系的有关内容，以及由点找 坐标，反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让 学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发 展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇 心。 教学重点： 1、 理解平面直角坐标系的有关知识。 2、在给定的平面直角坐标系中，会根据点的位置写出它的坐标。3、由点的坐标观察，纵坐标 或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，说明坐标轴上点的坐标有什么特点。 教学难点： 1、 横（或纵）坐标相同的点的连线与坐标轴的关系的探究。 2、 坐标轴上点的坐标有什么特点的总结。 教学方法：讨论式学习法 教学过程设计： 一、导入新课 『师』 ：同学们，你们喜欢旅游吗？ 假如你到了某一个城市旅游，那么你应怎样确定旅游景点的位置呢？下面给出一张某 市旅游景点的示意图，根据示意图，回答以下问题：（图 5－6） （1） 你是怎样确定各个景点位置的？ （2） “大成殿”在“中心广场”南、西各多少个格？“碑林”在“中心广场”北、东各多少个 格？ （3） 如果以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴、分别取向右、向上的方向为数轴的正 方向，一个方格的边长看做一个单位长度，那么你能表示“碑林”的位置吗？“大成殿”的位置呢？ 在上一节课，我们已经学习了许多确定位置的方法，主要学习用反映极坐标思想的定位方式， 和用反映直角坐标思想的定位方式。在这个问题中大家看用哪种方法比较合适？ 『生』 ：用反映直角坐标思想的定位方式。 『师』 ：在上一节课中我们已经做过这方面的练习，现在应怎样表示呢？这就是本节课的任务。 二、新课学习 1、 平面直角坐标系、横轴、纵轴、横坐标、纵坐标、原点的定义和象限的划分。 『师』 ：看书，倒数第二段 P130 ～P131 第一段。（三分钟后）请一位同学加以叙述。 『生』 ：在平面内，两条互相垂直用公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，……有序 实数对（a,b）叫做点 P 的坐标。 『师』 ：在了解有关直角坐标系的知识后，我们再返回刚才讨论的问题中，请大家思考后回 答。 『生』 ：（2）“大成殿”在“中心广场”南两格，西两格。“碑林”在“中心广场”北一格， 东三格。 （3）如果以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴、分别取向右、向上的方向为数轴的 正方向，一个方格的边长看做一个单位长度，则 “碑林”的位置是（3，1）。“大成殿”的位置是 （－2，－2）。 『师』 ：很好，在（3）的条件下，你能把其他景点的位置表示出来吗？ 『生』 ：能，钟楼的位置是（－2，1），雁塔的位置是（0，3），影月湖的位置是（0，－5）， 科技大学的位置是（－5，－7）。 2、 例题讲解 （出示投影）例 1 书 P131。 例 1 写出图中的多边形 ABCDEF 各各顶点的坐标。 让学生回答。 『师』 ：上图中各顶点的坐标是否永远不变？ 『生甲』 ：是。 『生乙』 ：不是。当坐标轴的位置发生变动时，各点的坐标 相应地变化。 『师』 ：你能举个例子吗？ A B C D EF O 1 1 x y 『生』 ：可以，若以线段 BC 所在的直线为 x 轴，纵轴（y 轴位置不变，则六个顶点的坐标分别为： A（－2，3），B（0，－3），C（3，0），D（4，3），E（3，6），F（0，6） 『师』 ：那大家再思考这位同学的结论是否是永恒的呢？『生』 ：不是。还能再改变坐标轴的位 置，得出不同的坐标。『师』 ：请大家在课后继续进行坐标轴的变换，总结以一下共有多少种。 3、想一想 在例 1 中， （1）点 B 与点 C 的纵坐标相同，线段 BC 的位置有什么特点？ （2）线段测定位置有什么特点？ （3）坐标轴上点的坐标有什么特点？ 『师』 ：由 B（0，－3），C（3，－3）可以看出它们的纵坐标相同，即 B、C 两点到 X 轴的距 离相等，所以线段 BC 平行于横轴（x 轴），垂直于纵轴（y 轴）。 请大家讨论第（2）题。 『生』 ：由 C（3，－3），E（3，3）可知，他们的横坐标相同，即 C、E 两点到 y 轴的距离相 等，所以线段 CE 平行于纵轴（y 轴），垂直于横轴（x 轴） 『师』 ：请大家找出坐标轴上的点。 『生』 ：B（0，－3），A（－2，0），D（4，0），F（0，3） 『师』 ：这些点的坐标中由什么特点呢？ 『生』 ：坐标中都有一个数字是 0。 『师』 ：从刚才的分析中可知，在坐标中只要有一个数字为 0，则这个点一定在坐标轴上。 当两个数字为 0 时，这个点是否在坐标轴上？ 『生』 ：当两个数字都为 0 时，就是坐标原点（0，0），原点既在 x 轴上，又在 y 轴上。 『师』 ：那如何确定在哪个坐标轴上呢？ 『生 』 ：A（－2，0），D（4，0）在 x 轴上，可以看出这两个点的纵坐标为 0，横坐标不为 0； B（0，－3），F（0，3）在 y 轴上，可知它们的横坐标为 0，纵坐标不为 0。 『师』 ：经过大家的共同探讨，我们可以总结出：坐标轴上的点的坐标中至少又一个是 0； 横轴上的点的纵坐标为 0，纵轴上的点的横坐标为 0。 『师』 ：刚才已知 x 轴、y 轴把坐标平面分成四个象限，但是坐标轴上的点不属于任何一个 象限。 各个象限内的点的坐标特征是怎样的？ 『生』 ：第一象限（＋，＋）， 第二象限（－，＋）， 第三象限（－，－）， 第四象限（＋，－）。 4、做一做 （出示投影） 书 P131 『师』 ：请大家先独立思考，然后再进行交流。 『生』 ：A（－3，4），B（－6，－2），C（6，－2），D（9，4） A 与 D 两点的纵坐标，B 与 C 两点的纵坐标相同，因为 AD、BC 分别平行于横轴，A 与 B，C 与 D 的横坐标不同，因为 AB 与 CD 是与 x 轴斜交，他们向横轴作垂线，垂足不同。 三、随堂练习 补充：1、在下图中，确定 A、B、C、D、E、F、G 的坐标。 A B C D E F 1 y x G x y 1 FE D C BA （第 1 题） （第 2 题） 2、如右图，求出 A、B、C、D、E、F 的坐标。 四、本课小结 1、 认识并能画出平面直角坐标系。 2、 在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。 3、 能适当建立直角坐标系，写出直角坐标系中有关点的坐标。 4、 横（纵）坐标相同的点的直线平行于 y 轴，垂直于 x 轴；连接纵坐标相同的点的直线平行 于 x 轴,垂直于 y 轴。 5、 坐标轴上点的纵坐标为 0；纵坐标轴上点的坐标为 0。 6、各个象限内的点的坐标特征是：第一象限（＋，＋）， 第二象限（－，＋）， 第三象限（－，－）， 第四象限（＋，－）。 五、课后作业 书 P134 习题 5.3 教后感：通过画坐标系，对一些点的坐标进行观察，探索坐标轴上点的坐标有什么特点，由点 找坐标等过程，发展学生的数形结合意识，合作交流意识。让学生认识数学与人类生活的密切联 系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。 §5.2 平面直角坐标系（二） 教学目标： 【知识目标】：1、在给定的直角坐标系下，会根据坐标描出点的位置。 2、通过找点、连线、观察，确定图形的大致形状的问题，能进一步掌握平面直角坐 标系的基本内容。 【能力目标】：1、经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，发展学生的数形结合 思想，培养学生的合作交流能力。 2、通过由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程，进一步培养学生的转化意识。 【情感目标】通过生动有趣的教学活动，发展学生的合情推理能力和丰富的情感、态度，提高学生 学习数学的兴趣。 教学重点： 在已知的直角坐标系下找点、连线、观察，确定图形的大致形状。 教学难点： 在已知的直角坐标系下找点、连线、观察，确定图形的大致形状 教学方法： 导学法 教具准备：方格纸若干张 教学过程设计： 一、 导入新课 『师』 ：在上节课中我们学习了平面直角坐标系的定义，以及横轴、纵轴、点的坐标的定义， 练习了在平面直角坐标系中由点找坐标，还探讨了横坐标或纵坐标相同的点的连线与坐标轴的关系， 坐标轴上点的坐标有什么特点。 练习：指出下列各点所在象限或坐标轴： A（－1，－2.5），B（3，－4），C（ 4 1 ，5），D（3，6），E（－2.3，0），F（0， 3 2 ）， G（0， 0） （抽生答） 『师』 ：由点找坐标是已知点在直角坐标系中的位置，根据这点在方格纸上对应的 x 轴、y 轴上的数字写出它的坐标，反过来，已知坐标，让你在直角坐标系中找点，你能找到吗？这就是本 节课的内容。 二、 新知学习 1、『师』 ：请同学们拿出准备好的方格纸，自己建立平面直角坐标系，然后按照我给出的坐 标，在直角坐标系中描点，并依次用线段连接起来。 （－9，3），（－9，0），（－3，0），（－3，3） （学生操作完毕后） 『师』 ：下面大家看和我画的一样吗？ 『生』 ：一样。 『师』 ：这是一个什么图形？ 『生』 ：长方形。 2、（出示投影）还是在这个平面直角坐标系中， 描出下列各组内的点用线段依次连接起来。 （1）（－6，5），（－10，3），（－9，3），（－3，3）， （－2，3），（－6，5）； （2）（3.5，9），（2，7），（3，7），（4，7），（5，7）， （3.5，9）； （3）（3，7），（1，5），（2，5），（5，5），（6，5），（4， 7）； （4）（2，5），（0，3），（3，3），（3，0），（4，0），（4，3），（7，3），（5，5）。 观察所得的图形，你觉得它象什么？ 『师』 ：分成 4 人小组，大家合作在刚才建立的平面直角坐标系中（选出小组中最好的）添画。 各人分工，每人画一小题。看哪个小组做得最快？ （学生操作） 『师』 ：（出示学生的作品）画出是这样的吗？这幅图画很美，你们觉得它像什么？ 『生』 ：这个图形像一栋“房子”旁边还有一棵“大树”。 3、做一做 （出示投影）书 P134 『师』 ：在书上已建立的直角坐标系画，要求每位 同学独立完成。 （学生描点、画图） 『师』 ：（拿出一位做对的学生的作品投影） 你们观察所得的图形和它是否一样？若一样，你能 判断出它像什么呢？ O-1-2-3-4-5-6-7-9 -8-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 x y O-1-2-3-4-5-6-7-9 -8-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 x y 『生』 ：像猫脸。 三、随堂练习 （补充）1、在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段顺次连接起来。 （1）（0，3），（－4，0），（0，－3），（4，0），（0，3）； （2）（0，0），（4，－3），（8，0），（4，3），（0，0）； （3）（2，0） 观察所得的图形，你觉得它像什么？（像移动的菱形） 2、在直角坐标系中，设法找到若干个点使得连接各点所得的封闭图形是如下图所示的 “十”字。 （选取的坐标系不同，得出的坐标也不同。） 『师』 ：现独立完成，然后小组讨论是否正确？ 四、本课小结 本节课在复习上节课的基础上，通过找点、连线、观察，确定图形的大致形状，进一步 掌握平面直角坐标系的基本内容。 五、活动与探究 『师』 ：在例题和练习中，我们画出了不少美丽的图形，下面我们自己设计一些图形，并把图 形方赛直角坐标系下，写出点的坐标。大家一定要自己设计，然后我们展示给同学们，看谁设计的 图形最漂亮？ 如右图： 六、课后作业 书 P137 习题 5.4 教后感：本节课是使学生经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，发展学生的数 形结合思想，由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程，培养学生的合作交流能力及转化意识，发 展学生的合情推理能力和丰富的情感、态度，提高学生学习数学的兴趣。 §5.2 平面直角坐标系（三） 教学目标： 【知识目标】1、进一步巩固画平面直角坐标系，在给定的直角坐标系中，会根据坐标轴描出点的位 置，由点的位置写出它的坐标。 2、能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。 3、能结合具体情景灵活运用多种方式确定物体的位置。 【能力目标】根据已知条件有不同的解决问题的方式，灵活地选取既简便又易懂的方法求解是本节 课的重点，通过多角度的探索既可以拓宽学生的思维，又可以从中找到解决问题的捷径，让学 生的解决问题的能力得以提高。 【情感目标】1、通过学习建立直角坐标系有多种方法，让学生体验数学活动充满着探索与创造。 2、通过确定旅游景点的位置，让学生认识数学与人类生活的密切联系，提高他们学习 数学的兴趣。 教学重点：根据实际问题建立适当的坐标系，并能写出各点的坐标。 教学难点：根据已知条件，建立适当的坐标系。 教学方法：探究式学习 教具准备：方格纸若干张。 教学过程设计： 一、 创设问题情境，引入新课 『师』 ：在前两节课中，我们学习了在直角坐标系下由点找坐标，和根据坐标找点，并把点 用线段连接起来组成不同的图形，还自己设计出了不少漂亮的图案。这些都是在已知的直角坐标系下 进行的，如果给出一个图形，要你写出图中一些点的坐标，那么你必须建立直角坐标系，直角坐标系 应如何建立？是惟一的情形还是多种情况，这就是本节课的内容。 二、 探索新知 1、【例】如图，矩形 ABCD 的长与宽分别是 6，4，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的 坐标。 『师』 ：在没有直角坐标系的情况下师不能写出各个顶点的坐标的， 所以应先建立直角坐标系，那么应如何选取直角坐标系呢？请大家思 考。 『生 1』 ：如图所示，以点 C 为坐标原点，分别以 CD、CB 所在直线为 x 轴、y 轴，建立直角 坐标系。 由 CD 的长为 6，CB 长为 4，可得 A、B、C、D 的坐标分 别为 A（6，4），B（0，4），C（0，0）， D（6，0）。 『生 2』 ：如下图所示，以点 D 为坐标原点，分别以 CD、AD 所在直线为 x 轴、y 轴，建立直角坐标系。 y x1 2 3 4 1 B AC D O-1-2-3-4-5-6 『师』 ：这两位同学选取坐标系的方式都是以矩形的某一个顶点为坐标原点，举行的相邻两边 所在直线分别作为 x 轴、y 轴，建立直角坐标系的。这样建立直角坐标系的方式还有两种，即以 A、 B 为原点，矩形两邻边分别为 x 轴、y 轴建立直角坐标系。除此之外，还有其他方式吗？ 『生 3』 ：有，如右图所示，以矩形的中心（即对角线的 交点）为坐标原点，平行于矩形相邻两边的直角为 x 轴，y 轴， 建立直角坐标系。则 A、B、C、D 的坐标分别为 A（3，2），B（－ 3，2），C（－3，－2），D（3，－2）。 『生 4』 ：把上图中的横坐标逐渐向上、下移动，纵坐标 左、右移动，则可得到不同的坐标系，从而得到 A、B、C、D 四 点的不同坐标。 『师』 ：从刚才我们讨论的情况看，大家能发现什么？ 『生』 ：建立直角坐标系有多种方法。 2、【例】对于边长为 4 的整三角形 ABC，建立适当的直角 坐标系，写出各个顶点的坐标。 解：略（书 P138） 『师』 ：正三角形的边长已经确定是 4，则它一边上的高是不是会因 所处位置的不同而发生变化？ 『生』 ：不会，只是位置变化，而长度不会变。 4 6 y x1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 B AC D O -3 -2 -1 O D C A B 32 1 3 2 1 x y -2 -1 -3 『师』 ：除了上面的直角坐标系的选取外，是否还有其他的选取 方法？ 『生』 ：有，…… 3、【议一议】在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，2）和（3，－2）的两个 标志点，并且知道葬保地点的坐标为（4，4），除此外不知道其他信息。如何确定直角坐标系找到“宝 藏”？与同伴进行交流。 三、 随堂练习 书 P138 页 随堂练习 （体现建立直角坐标系的多样性） （补充）某地为了发展城市群，在现有的四个中小城市 A、B、C、D 附近新建机场 E，试建立适 当的直角坐标系，并写出各点的坐标。 D C A B E 四、 本课小结 本节课的目的是在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。 五、 活动与探究 书 P139 页 试一试 六、 课后作业 书 P139 页 习题 5.5 教后感：本节课是进一步巩固画平面直角坐标系，能结合具体情景灵活运用多种方式确定物体 的位置。通过学习建立直角坐标系有多种方法，让学生体验数学活动充满着探索与创造，通过 确定旅游景点的位置，让学生认识数学与人类生活的密切联系，提高他们学习数学的兴趣。 §5.3 变化的鱼（一） 教学目标： 【知识目标】：1、经历图形坐标变化与图形的平移，轴对称，伸长，压缩之间的关系的探索过程， 发展学生的形象思维能力和数形结合意识。 2、在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的变化（平移，轴对称， 伸长，压缩）之间的关系。 【能力目标】：1、经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的 基础知识和基本技能。 2、通过图形的平移，轴对称等，培养学生的探索能力。 【情感目标】1、丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。 2、通过有趣的图形的研究，激发学生对数学学习的好奇心与求知欲，能积极参与数学 学习活动。 3、通过“变化的鱼”，让学生体验数学活动充满着探索与创造。 教学重点： 经历图形坐标变化与图形的平移，轴对称，伸长，压缩之间关系的探索过程，发展学生的形象 思维能力和数形结合意识。 教学难点： 由坐标的变化探索新旧图形之间的变化。 教学方法：导学法 教学过程设计： 一、 创设问题情境，引入新课 『师』 ：在前几节课中我们学习了平面直角坐标系的有关知识，会画平面直角坐标系； 能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；在给定的直角坐标系下，会根据坐标描 出点的位置，由点的位置写出它的坐标。 我们知道点的位置不同写出的坐标就不同，反过来，不同的坐标确定不同的点。如果坐 标中的横（纵）坐标不变，纵（横）坐标按一定的规律变化，或者横纵坐标都按一定的规律变化， 那么图形是否会变化，变化的规律是怎样的，这将是本节课中我们要研究的问题。 练习：拿出方格纸，并在方格纸上建立直角坐标系，根据我读出的点的坐标在纸上找到相 应的点，并依次用线段将这些点连接起来。坐标是（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1）， （3，0），（4，－2），（0，0）。 『师』：你们画出的图形和我这里的图形（挂 图）是否相同？ 『生』 ：相同。 『师』 ：观察所得的图形，你们决定它像什 么？ 『生』 ：像“鱼”。 『师』 ：鱼是营养价值极高的食物，大家肯 定愿意吃鱼，但上面的这条鱼太小了，下面我们把坐 标适当地作些变化，这条鱼就能变大或变胖，即变化 的鱼。（板书课题） 二、 新课学习 1、【例 1】将上图中的点（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0）， （4，－2），（0，0）做以下变化： （1）纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的 2 倍，再将所得的点用线段依次连接起来，所得 的图案与原来的图案相比有什么变化？ （2）纵坐标保持不变，横坐标分别加 3，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原 来的图案相比有什么变化？ 『师』 ：先根据题意把变化前后的坐标作一对比。如下： （1）（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0） （0，0），（10，4），（6，0），（10，1），（10，－1），（6，0），（8，－2），（0，0） （2）（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0） （3，0），（8，4），（6，0），（8，1），（8，－1），（6，0），（7，－2），（3，0） 根据变化后的坐标，把变化后的图形在自己准备的 方格纸上画出来。 你们画出的图形与下面的图形相同吗？ 『生』 ：相同。 『师』 ：这个图形与原来的图形相比有什么变化呢？ 『生』 ：比原来的鱼长了。 『师』 ：将各点用线段依次连接起来，所得图案与原 -2 -1 O 1 4 3 2 1 x y 2 3 4 5 6 -4 -3 -2 -1 O 1 4 3 2 1 x y 2 3 4 5 6 5 7 8 9 10 11 图案相比，整条鱼横向拉长为原来的的 2 倍。即鱼变长了。 （师选一生的第（2）题的图对比） 『师』 ：大家的图形和他画的是否相同？ 『生』 ：相同。 『师』 ：这个图形和原来的图形相比是变长了还是变 胖了？ 『生』 ：没变。 『师』 ：新的图案与原图案相比，鱼的形状、大小不 变，整条鱼向右平移了 3 个长度单位。 小结：从上面的两种变化情况来看，当横坐标分别加 3， 纵坐标不变时，整个图案向右平移了 3 个单位；当横坐标分 别变成原来的 2 倍，纵坐标不变时，整条鱼被横向拉长为原 来的 2 倍。这两种情况都是横坐标变化，纵坐标不变，图形 是被拉长或向右移动，当纵坐标发生变化，横坐标不变时， 鱼会怎样变化呢？ 2、【例 2】将第一个图形中的点（0，0），（5，4），（3， 0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）做如下 变化： （1）横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，所得的图案 与原来的图案相比有什么变化？ （2）横、纵坐标分别变成原来的 2 倍，所得的图案与 原来的图案相比有什么变化？ （指导学生先做第（1）题：描述坐标的变化，再画图） 『师』 ：图形应变成什么图形？ 『生』 ：图形和原来图形相比，好像鱼沿 x 轴翻了个 身。 『师』 ：是的，所得的图案与原图案关于横轴成轴对 称。 （指导学生做第（2）题，方法同上） 『师』 ：图形应变成什么样了？ 『生』 ：所得的图案与原图案相比，形状不变、大小 放大了一倍。 『师』 ：即鱼长大长胖了。 3、 分小组讨论：当坐标如何变化时，鱼就长大了；什么情况下，鱼就向右移动了；什 么情况下，鱼就翻身了；什么情况下，鱼既长长又长胖。 『生』 ：（1）当横坐标同时加上一个相同的数，纵坐标不变时，鱼向右移动。 （2）当横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变时，鱼长长了，没胖。 （3）当横坐标不变，纵坐标分别乘以－1 时，鱼翻身了，即后来的鱼和原来的鱼关于 x 轴对称。 （4）当横、纵坐标分别变成原来的 2 倍时，鱼既长长又长胖了。 『师』 ：当坐标如何变化时，鱼就长胖了？当坐标如何变化时，鱼就关于原点对称了？当坐标 如何变化时，鱼就向上移动了？当坐标如何变化时，鱼就关于 y 轴成轴对称？ -4 -3 -2 -1 O 1 4 3 2 1 x y 2 3 4 5 6 5 7 8 9 10 11 -4 -3 -2 -1 O 1 4 3 2 1 x y 2 3 4 5 6 5 7 8 9 10 11 -4 -3 -2 -1 O 1 4 3 2 1 x y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 6 7 8 -4 -3 -2 -1 O 1 4 3 2 1 x y 2 3 4 5 6 7 5 6 7 -1-2-3-4-5 -4 -3 -2 -1 O 1 4 3 2 1 x y 2 3 4 5 6 7 5 6 7 -1-2-3-4-5 -4 -3 -2 -1 O 1 4 3 2 1 x y 2 3 4 5 6 7 5 6 7 -1-2-3-4-5 『师』 ：以上我们对不同的情况进行了探索整理，也找到了规律，在以后的学习中大家要多思 考，找规律。这样理解得深，学的知识比较牢固。 三、 随堂练习 （1）将右图中的各个点的纵坐标不变，横坐标都 乘－1，与原图案相比，所得的图案有什么变化？ （2）将右图中的各个点的横坐标不变，纵坐标都 乘－1，与原图案相比，所得的图案有什么变化？ （3）将上图中各个点的横坐标都乘－2，纵坐标都 乘－2，与原图形相比，所得的图案有什么变化？ 四、 本课小结 本节课主要研究横坐标或纵坐标发生变化时，新 图案与旧图案相比有什么变化。 五、 课后作业 书 P141 习题 5.6 教后感：通过“变化的鱼”，经历图形坐标变化与图形的平移，轴对称，伸长，压缩之间的关 系的探索过程， 掌握空间与图形的基础知识和基本技能，丰富对现实空间及图形的认识，建 立初步的空间观念，发展形象思维，激发学生对数学学习的好奇心与求知欲，能积极参与数 学学习活动。体验数学活动充满着探索与创造。发展学生的形象思维能力和数形结合意识。 §5.3 变化的鱼（二） 教学目标： 【知识目标】： 1、进一步巩固图形坐标变化与图形定的平移，轴对称，伸长，压缩之间的探索过程，发展学 生的形象思维能力和数形结合意识。 2、根据轴对称图形的特点，已知轴一边的图形或坐标确定另一边的图形或坐标。 【能力目标】： 1、通过对称轴左边的图形，观察得出右边的图形，训练学生的识图能力。 2、具有初步的创新精神和实践能力。 -4 -3 -2 -1 O 1 4 3 2 1 x y 2 3 4 5 6 7 5 6 7 -1-2-3-4-5 【情感目标】： 通过研究有趣的图形，学生能进行探索和创造，把学到的知识灵活地运用现实生活中。 教学重点： 作某一图形关于对称轴的对称图形，并能写出所得图形相应各点的坐标。 教学难点： 作某一图形关于对称轴的对称图形。 教学方法：探究式学习 教学过程设计： 一、 创设问题情境，导入新课 『师』：在日常生活中，你们见到过哪些轴对称图形？中心对称图形？ 『生』：…… 『师』：轴对称图形和中心对称图形随处可见。古时我国很多的建筑就有对称的结构，既美观 又大方。 上节课，我们已经知道，把一个图形的横坐标都乘以－1，纵坐标不变时，所得的图形与 原图形关于 y 轴对称；把一个图形的纵坐标都乘以－1，横坐标不变时，所得的图形与原图形关 于 x 轴对称。把一个图形的横坐标、纵坐标都乘以－1 时，所得的图形与原图形关于原点对称。 那么如果已知一个图形，你能否求出这个图形中的某些点关于 x 轴或 y 轴或原点对称的对 称点的坐标呢？或者已知轴对称图形（或者中心对称图形）的一半，你能否画出另一半呢？ 二、 新课学习 1、 例题讲解 如图中，左右两幅图案关于 y 轴对称，右 图中的左右眼睛的坐标分别是（2，3）， （4，3）。嘴角左右端点的坐标分别是 （2，1），（4，1）。 （1）试确定左图案中的左右眼睛和嘴角 左右端点的坐标。 （2）你是怎样得到的？与同伴交流。 （此题较为简单。抽学生解答） 『师』：现从对称的角度来考虑，可以发现 什么？ 『生』：左右两幅图案关于 y 轴对称。从而 发现两幅图案上各个对应点的纵坐标相同，横坐标 互为相反数。 『师』：上图中，我们可根据这个规律确定左图案的左右眼睛与左右嘴角端点的坐标。 2、 议一议 （1）如果将上图中的右图案沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，那么左右眼睛的坐标将发 生什么变化？ （2）如果作图中的右图案关于 x 轴的轴对称图形，那么左右眼睛的坐标将发生什么变化？ （3）如果图中的右图案沿 y 轴正方向平移 2 个单位长度，那么左右眼睛的坐标将发生什 么变化？ （先独立思考，再小组交流，发表） 『生』：（1）如果将上图中的右图案沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，所以每一个点的横 坐标都加 1，纵坐标不变。因此左右眼睛的坐标分别为（3，3），（5，3）。 （2）如果作图中的右图案关于 x 轴的轴对称图形，根据关于 x 轴对称的两图形对应点的 特点可知，横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数。所以左右眼睛的坐标现变为（2，－3），（4， －3）。 （3）如果图中的右图案沿 y 轴正方向平移 2 个单位长度，那么图案中的每一点的纵坐标 都增加 2，横坐标不变。所以左右眼睛的坐标为（2，5），（4，5）。 『师』：如果再上面的问题中右图案不是沿 x 轴正方向或 y 轴正方向移动，而是沿 x 轴负 方向或 y 轴负方向移动，那么左、右眼睛的坐标又该如何变化？ 『生』：和上面相反，沿 x 轴负方向移动几个单位长度，横坐标减去几，纵坐标不变；沿 y 轴负方向移动几个单位长度，纵坐标减去几，横坐标不变。 3、 做一做 如右图，正方形 ABCD 的顶点坐标分别为 A （1，1），B（3，1），C（3，3）， D（1，3）。 （1）再同一直角坐标系中，将正方形向左平 移 2 个单位，画出你相应的图形，并写出各点的坐标。 （2）将正方形向下平移 2 个单位，画出相应的 图形，并写出各点的坐标。 （3）在（1）（2）中，你发现各点的横、纵坐 标发生了哪些变化？ 解：（1）（2）略。（3）在（1）中，各点的横坐 标减少了 2，纵坐标不变；在（2）中，横坐标不变， 纵坐标都减少了 2。 4、 如右下图，作字母 H 关于坐标原点的中 心对称图形，并写出所得图形相应各点 的坐标。 三、 随堂练习 书 P143 随堂练习 四、 本课小结 1、 会作出某一图形关于 x 轴、y 轴、原点 的对称图形，并能写出相应点的坐标。 2、 把整个图形整体向上、向下、向左、向 右移动几个单位长度后，图形有何变化，变化的规律 是怎样的。 五、 课后作业 书 P144 习题 5.7 教后感：通过研究有趣的图形，根据轴对称图 形的特点，学生能进行探索和创造，把学到的知识灵活地运用现实生活中。进一步巩固图形 坐标变化与图形定的平移，轴对称，伸长，压缩之间的探索过程，发展学生的形象思维能力 和数形结合意识。 §5.4 回顾与思考 教学目标： 【知识目标】： 1、在平面内，确定点的位置一般需要两个数据。 2、灵活地运用不同的方式确定物体的位置。 -2 -1 432 y x1 2 3 4 1 O-1-2-3-4 A B CD -2 -1 432 y x1 2 3 4 1 O-1-2-3-4 A B C D E F 3、认识并能画出平面直角坐标系，能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。 4、在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。 5、会画坐标系，描述、连线、看图。 6、理解图形坐标变化与图形的平移、轴对称、伸长、压缩之间的关系。 【能力目标】 1、熟练掌握本章的知识网络结构及相互关系。 2、在现实情境中灵活运用不同的方式确定物体的位置。 3、会建立适当的直角坐标系，在此坐标系中会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的 坐标。 4、通过描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识，合作交流意识。 5、经历图形坐标变化与图形的平移、轴对称、伸长、压缩之间关系的探索过程，发展学生的 形象思维能力和数形结合意识。 【情感目标】 1、通过本章内容的小结与复习，培养学生学会归纳，整理所学知识的能力。 2、认识事物之间的内在联系及相互转化。 3、培养学生的数学应用意识。 教学重点： 本章知识的网络结构及相互知识之间的相互关系。 教学难点： 所学知识的应用。 教学过程设计： 一、 小结本章知识的网络结构：（如右图） 二、 回忆主要知识点： 1、 生活中确定位置的方式方法？举例说明。 『生』：电影院例找座位。（需要确定排号与座位号 两个数据） 在地图上确定某个城市 （需要经度与纬度） 找家庭地址（几号楼、几单元、几层、几号四个 数据） 因此确定位置的方式方法很多，要根据实际情况 来选择什么方法，数据的个数也会因问题的不同而变化。 确定物体的位置时数据不能少于两个。 【小结】一般地，在平面内确定物体的位置需要两个数据，在空间中确定物体的位置需要三个 数据。 2、 在直角坐标系中如何确定给定点的坐标，以及根据坐标描出点的位置。 对于平面内任意一点 P，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线、垂足在 x 轴、y 轴上的数 a、b 分 别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点 P 的坐标。 反过来，过 x 轴上的点 a 作 x 轴的垂线，过 y 轴上的点 b 作 y 轴的垂线，两条垂线的交点 就是所要找的点。 3、 在平面直角坐标系中，x 轴上的点的坐标有什么特点？y 轴上的点的坐标有什么特点？ 横坐标相同或纵坐标相同的点的连线的位置有什么特点？ 『生』：在平面直角坐标系中，x 轴上的点的纵坐标为 O；y 轴上的点的横坐标为 O；如果两个 点的横坐标相同，则连接这两点的线段或直线平行于 y 轴；若两个点的纵坐标相同，则连接这两点 的线段或直线平行于 x 轴。 做书 P146 页的第 5 题。 4、 已知某一图形，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。 5、 在直角坐标系中描出某些点，并将这些点用线段依次连接起来得到一个图形，当这些 点的坐标发生变化时，图形应怎样变化？ 做书 P146 页的第 6 题。 三、 课堂练习 书 P147 页 B 组第 4 题 四、 本课小结 本节课重点复习归纳了本章内容中的各知识点及各知识点之间的关系于各知识点的熟 练综合应用能力。 五、 课后作业 书 P145 页 复习题 （除 A 组 5、6 B 组 4 题外） 教后感：在现实情境中灵活运用不同的方式确定物体的位置，熟练掌握本章的知识网络结构 及相互关系。 第六章 一次函数 §6.1 函数 教学目标： 【知识目标】： 1、初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。 2、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值。 3、会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题。 【能力目标】 1、通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。 2、经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。 【情感目标】 1、经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想。 2、让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有 效的学习模式。 教学重点： 1、 掌握函数概念。 2、 判断两个变量之间的关系是否可看作函数。 3、 能把实际问题抽象概括为函数问题。 教学难点： 1、 理解函数的概念。 2、 能把实际问题抽象概括为函数问题。 教学过程设计： 一、创设问题情境，导入新课 『师』：同学们，你们看下图上面那个像车轮状的物体是什么？ 『生』：摩天轮。 『师』：你们坐过吗？ …… 『师』：当你坐在摩天轮上时，人的高度随时在变化，那么变化是否有规律呢？ 『生』：应该有规律。因为人随轮一直做圆周运动。所以人的高度过一段时间就会重复依 次，即转动一圈高度就重复一次。 『师』：分析有道理。摩天轮上一点的高度 h 与旋转时间 t 之间有一定的关系。请看下图， 反映了旋转时间 t（分）与摩天轮上一点的高度 h（米）之间的关系。 大家从图上可以看出，每过 6 分钟摩天轮就转一圈。高度 h 完整地变化一次。而且从图中 大致可以判断给定的时间所对应的高度 h。下面根据图 5－1 进行填表： t/分 0 1 2 3 4 5 …… h/米 t/分 0 1 2 3 4 5 …… h/米 3 11 37 45 37 11 …… 『师』：对于给定的时间 t，相应的高度 h 确定吗？ 『生』：确定。 『师』：在这个问题中，我们研究的对象有几个？分别是什么？ 『生』：研究的对象有两个，是时间 t 和高度 h。 『师』：生活中充满着许许多多变化的量，你了解这些变量之间的关系吗？如：弹簧的长度与 所挂物体的质量，路程的距离与所用时间……了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界。下面 我们就去研究一些有关变量的问题。 二、新课学习 1、 做一做 （1）瓶子或罐子盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数 是如何变化的？ 填写下表： 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y 1 3 6 10 15 … 『师』：在这个问题中的变量有几个？分别师什么？ 『生』：变量有两个，是层数与圆圈总数。 （2）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行 S 米， 一般地有经验公式 300 2VS  ,其中 V 表示刹车前汽车的速度（单位： 千米/时） ①计算当 fenbie 为 50，60，100 时，相应的滑行距离 S 是多 少？ ②给定一个 V 值，你能求出相应的 S 值吗？ 解：略 2、 议一议 『师』：在上面我们研究了三个问题。下面大家探讨一下， 在这三个问题中的共同点是什么？不同点又是什么？ 『生』：相同点是：这三个问题中都研究了两个变量。 不同点是：在第一个问题中，是以图象的形式表示两个变量 之间的关系；第二个问题中是以表格的形式表示两个变量间的关 系；第三个问题是以关系式来表示两个变量间的关系的。 『师』：通过对这三个问题的研究，明确“给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一 个变量的值”这一共性。 3、 函数的概念 在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一各变量（自变量）的值，相应地就确定另 一个变量（因变量）的值。 一般地，在某个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定一个 x 值，相应地就确定了一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。 三、随堂练习 书 P152 页 随堂练习 1、2、3 四、本课小结 1、 初步掌握函数的概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。 2、 在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数 的值。 3、 函数的三种表达式： （1） 图象；（2）表格；（3）关系式。 五、探究活动 为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过 10 吨时，水价为每吨 1.2 元；超过 10 吨时，超过的部分按每吨 1.8 元收费，该市某户居民 5 月份用水 x 吨（x >10），应交水费 y 元，请用方程的知识来求有关 x 和 y 的关系式，并判断其中一个变量是否 为另一个变量的函数？ （参考答案：Y=1.8x-6 或 3 10 9 5  yx ） 六、课后作业 习题 6.1 教后感：1、经历函数概念的抽象概括过程，初步掌握函数概念，通过函数概念，初步形成学生 利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。一个具体实例进行概括抽象成为数学问题。体会函数 的模型思想，让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解 和有效的学习模式。 §6.2 一次函数 教学目标 1.知识目标 1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。 2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。 2.能力目标 1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。 2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。 教学重点 1、一次函数、正比例函数的概念及关系。 2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。 教学过程 1、新课导入 有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物 体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关 系，究竟是什么样的关系，请看： 某弹簧的自然长度为 3 厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 千克、弹簧长度 y 增 加 0.5 厘米。 （1）计算所挂物体的质量分别为 1 千克、2 千克、3 千克、4 千克、5 千克时弹簧的长度，并填 入下表： x/千克 0 1 2 3 4 5 y/厘米 3 3.5 4 4.5 5 5.5 （2）你能写出 x 与 y 之间的关系式吗？ 分析：当不挂物体时，弹簧长度为 3 厘米，当挂 1 千克物体时，增加 0.5 厘米，总长度为 3.5 厘米，当增加 1 千克物体，即所挂物体为 2 千克时，弹簧又增加 0.5 厘米，总共增加 1 厘米，由此 可见，所挂物体每增加 1 千克，弹簧就伸长 0.5 厘米，所挂物体为 x 千克，弹簧就伸长 0.5x 厘米， 则弹簧总长为原长加伸长的长度，即 y=3+0.5x。 2、做一做 某辆汽车油箱中原有汽油 100 升，汽车每行驶 50 千克耗油 9 升。 （1）完成下表： 汽车行驶路程 x/千米 0 50 100 150 200 300 油箱剩余油量 y/升 你能写出 x 与 y 之间的关系吗？（y=100-0.18x 或 y=100- 50 9 x） 3、一次函数，正比例函数的概念 上面的两个函数关系式为 y=0.5x+3，y=100-0.18x，都是左边是因变量 y，右边是含自变量 x 的 代数式。并且自变量和因变量的指数都是一次。若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b（k， b 为常数 k≠0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。特别地，当 b=0 时， 称 y 是 x 的正比例函数。 4、例题讲解 例 1：下列函数中，y 是 x 的一次函数的是（ ） ①y=x-6；②y= x 2 ；③y= 8 x ；④y=7-x A、①②③ B、①③④ C、①②③④ D、②③④ 例 2：写出下列各题中 x 与 y 之间的关系式，并判断，y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函 数？ ①汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中 y（千米）与行驶时间 x（时）之间的关系式； ②圆的面积 y（厘米 2）与它的半径 x（厘米）之间的关系； ③一棵树现在高 50 厘米，每个月长高 2 厘米，x 月后这棵树的高度为 y（厘米） [（1）y=60x，y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数；（2）y=πx2，y 不是 x 的正比例函数， 也不是 x 的一次函数；（3）y=50+2x，y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数]。 例 3：我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入低于 800 元但低于 1300 元的部分征收 5% 的所得税……如某人某月收入 1160 元，他应缴个人工资薪金所得税为（1160-800）×5%=18（元） ①当月收入大于 800 元而又小于 1300 元时，写出应缴所得税 y（元）与月收入 x（元）之间的 关系式。 ②某人某月收入为 960 元，他应缴所得税多少元？ ③如果某人本月缴所得税 19.2 元，那么此人本月工资薪金是多少元？ 分析：（1）当月收入大于 800 元而小于 1300 元时， y=0.05×(x-800)； （2）当 x=960 时，y=0.05×(960-800)=8(元)； （3）当 x=1300 时，y=0.05×(1300-800)=25（元），25>19.2，因此本月工资少于 1300 元，设 此人本月工资是 x 元，则 0.05×(x-800)=19.2，x=1184。 5、课堂练习 随堂练习 （1）解：y=2.2x，y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数。 （2）解：y=100+8x，y 是 x 有一次函数。 补充练习 1、见下表： x -2 -1 0 1 2 …… y -5 -2 1 4 7 …… 根据上表写出 y 与 x 之间的关系式是：________________，y 是否为 x 一的次函数？y 是否为 x 有正比例函数？ 2、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水 量不超过 6 米 3 时，水费按 0.6 元/米 3 收费；每户每月用水量超过 6 米 3 时，超过部分按 1 元/米 3 收 费。设每户每月用水量为 x 米 3，应缴水费 y 元。（1）写出每月用水量不超过 6 米 3 和超过 6 米 3 时， y 与 x 之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数。（2）已知某户 5 月份的用水量为 8 米 3，求 该用户 5 月份的水费。[①y=0.6x，y=x-2.4，y 是 x 的一次函数。②y=8-2.4=5.6（元）] 六、课后小节 1、一次函数、正比例函数的概念及关系。 2、能根据已知简单信息，写出一次函数的表达式。 七、课后作业 P 161 习题 6.2 教后感：经历利用一次函数探索一般规律解决实际问题, 通过由已知信息写一次函数表达式的 过程，理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。发展学生的数学应用能力及数学 思维。 §6.3.一次函数的图象（一） 一、教学目标 1、理解函数图象的概念。 2、经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤。 3、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。 4、能较熟练作出一次函数的图象。 二、能力目标 1、已知解析式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力。 2、在探究活动中发展学生的合作意识和能力。 三、情感目标 1、经历作图过程，归纳总结作函数图象的一般步骤，发展学生的总结概括能力。 2、加强新旧知识的联系，促进学生新的认知结构的建构。 四、教学重点 1、能熟练地作出一次函数的图象。 2、归纳作函数图象的一般步骤。 3、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。 五、教学过程 1、新课导入 上节课我们学习了一次函数及正比例函数的概念,正比例函数与一次函数的关系,并能根据已知信 息列出 x 与 y 的函数关系式,本节课我们研究一下一次函数的图象及性质。 2、讲授新课 （1）函数图象的概念 把一个函数的自变量 x 与对应的因变量 y 的值作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出 它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 假设在代数表达式 y=2x 中，自变量 x 取 1 时，对应的因变量 y=2，则我们可在直角坐标系内描 出表示（1，2）的点，再给 x 的另一个值，对应又一个 y，又可知道直角坐标系内描出另一个点，所 有这些点组成的图形叫该函数 y=2x 的图象，由此看来，函数图象是满足函数表达式的所有点的集合。 （2）作一次函数的图象 例 1：作出一次函数 y=2x+1 的图象 解：列表： x … -2 -1 0 1 2 … y=2x+1 … -3 -1 1 3 5 … 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。 连线：把这些点依次连接起来，得到 y=2x+1 的图象（如图 6-4），它是一条直线。 小结：从刚才作图的情况来总结一下作一次函数图象有哪些步骤：（1）列表；（2）描点；（3） 连线。 做一做 （1）作出一次函数 y=-2x+5 的图象， （2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式 y=-2x+5。 列表： x … -2 -1 0 1 2 … y=-2x+5 … 9 7 5 3 1 … 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标第内描出相应的点。 连线：把这些点依次连接起来，得到 y=-2x+5 的图象，它是一条直线。 图象如下： 在图象上找点 A（3，-1）B（4，-3），当 x=3 时，y=-2×3+5=-1；当 x=4 时，y=-2×4+5=-3。（3， -1），（4，-3）满足关系式 y=-2x+5。 3、议一议 （1）满足关系式 y=-2x+5 的 x、y 所对应的点（x,y）都在一次函数 y=-2x+5 的图象上吗？ （2）一次函数 y=-2x+5 的图象上的点（x,y）都满足关系式 y=-2x+5 吗？ （3）一次函数 y=kx+b 的图象有什么特点？ 请大家分组讨论，然后回答。 （1）满足关系式 y=-2x+5 的 x，y 所对应的点（x，y）都在一次函数 y=-2x+5 的图象上。 （2）一次函数 y=-2x+5 的图象上的点（x,y）都满足关系式 y=-2x+5。 由此看来，满足函数关系式 y=-2x+5 的 x,y 所对应的点（x,y）都在一次函数 y=-2x+5 的图象上； 反过来，一次函数 y=-2x+5 的图象上的点(x,y)都满足关系式 y=-2x+5。 所以，一次函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足一次函数的代数表达式的点在图象 上，图象上的每一点的横坐标 x，纵坐标 y 都满足一次函数的代数表达式。 小结：一次函数的图象是一条直线，由直线的公理可知：两点确定一条直线，所以作一次函数 的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了，一次函数 y=kx+b 的图象也称为直线 y-kx+b。 4、课堂练习 分别作出一次函数 y= 3 1 x 与 y=-3x+9 的图象。 六、课后小结 1、函数图象的概念。 2、作一次函数的步骤。 3、明确一次函数的图象是一条直线，因此在作图时，不需要列表，只要确定两点就可以了。 七、课后作业 P 163 习题 6.3 教后感：经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤。归纳总结作函数图象的一般步骤， 发展学生的总结概括能力，培养学生数形结合的意识和能力。在探究活动中发展学生的合作意识和 能力。 §6.3.一次函数的图象（二） 一、教学目标 1、了解正比例函数 y=kx 的图象的特点。 2、会作正比例函数的图象。 3、理解一次函数及其图象的有关性质。 4、能熟练地作出一次函数的图象。 二、能力目标 1、进一步培养学生数形结合的意识和能力。 2、通过议一议，培养学生的探索精神和合作交流意识。 三、情感目标 让学生全身心地投入教学活动中，能积极与同伴合作交流，并能进行探索的活动，发展实践能 力与创新精神。 四、教学重点 1、正比例函数的图象的特点。 2、一次函数的图象的性质。 五、教学过程 1、新课导入 上节课我们学习了如何画一次函数的图象，步骤为①列表；②描点；③连线。经过讨论我们又 知道了画一次函数的图象不需要许多点，只要找两点即可，还明确了一次函数的代数表达式与图象 之间的对应关系。 本节课我们进一步来研究一次函数的图象的其他性质。 2、讲授新课 （1）首先我们来研究一次函数的特例——正比例函数有关性质。 请大家在同一坐标系内作出正比例函数 y= 2 1 x，y=x，y=3x，y=-2x 的图象。 3、议一议 （1）正比例函数 y=kx 的图象有什么特点？（都经过原点） （2）你作正比例函数 y=kx 的图象时描了几个点？（至少两点） （3）直线 y= 2 1 x，y=x，y=3x 中，哪一个与 x 轴正方向所成的锐角最大？哪一与 x 轴正方向所 成的锐角最小？ 4、小结：正比例函数的图象有以下特点： （1）正比例函数的图象都经过坐标原点。 （2）作正比例函数 y=kx 的图象时，除原点外，还需找一点，一般找（1,k）点。 （3）在正比例函数 y=kx 图象中，当 k>0 时，k 的值越大，函数图象与 x 轴正方向所成的锐角越 大。 （4）在正比例函数 y=kx 的图象中，当 k>0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；当 k<0 时，y 的值 随 x 值的增大而减小。 5、做一做 在同一直角坐标系内作出一次函数 y=2x+6,y=-x,y=-x+6,y=5x 的图象。 一次函数 y=kx+b 的图象的特点：分析：在函数 y=2x+6 中，k>0，y 的值随 x 值的增大而增大； 在函数 y=-x+6 中，y 的值随 x 值的增大而减小。 由上可知，一次函数 y=kx+b 中，y 的值随 x 的变化而变化的情况跟正比例函数的图象的性质相 同。对照正比例函数图象的性质，可知一次函数的图象不过原点，但是和两 个坐标轴相交。在作一次函数的图象时，也需要描两个点。一般选取（0，b），（- k b ，0）比较简单。 6、想一想 （1）x 从 0 开始逐渐增大时，y=2x+6 和 y=5x 哪一个值先达到 20？这说明了什么？（y=5x 的函 数值先达到 20，这说明随着 x 的增加，y=5x 的函数值比 y=2x+6 的函数值增加得快） （2）直线 y=-x 与 y=-x+6 的位置关系如何？（平行,一次函数 k 相同就平行） （3）直线 y=2x+6 与 y=-x+6 的位置关系如何？（相交） 7、课堂练习 1、下列一次函数中，y 的值随 x 值的增大而增大的是（ ） A、y=-5x+3 B、y=-x-7 C、y= x3 - 5 D、y=- x7 +4 2、下列一次函数中，y 的值随 x 值的增大而减小的是（ ） A、y= 3 2 x-8 B、y=-x+3 C、y=2x+5 D、y=7x-6 六、课后小结 1、正比例函数 y=kx 的图象的特点。2、一次函数 y=kx+b 的图象的特点。 七、作业 P 165 习题 6.4 教后感：通过议一议，培养学生的探索精神和合作交流意识。让学生全身心地投入教学活动中， 能积极与同伴合作交流，并能进行探索的活动，发展实践能力与创新精神。 §6.4 确定一次函数表达式 一、教学目标 四、教学重点 根据所级信息确定一次函数的表达式。 五、教学过程 1、新课导入 在上节课中我们学习了一次函数图象的定义，在给定表达式的前提下，我们可以说出它的有关 性质，如果给你信息，你能否求出函数的表达式呢？这将是本节课我们要研究的问题。 2、讲授新课 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v（米/秒）与其下滑时间 t（秒）的关系如图所示。 （1）写出 v 与 t 之间的关系式？ （2）下滑 3 秒时物体的速度是多少？ 分析：要求 v 与 t 之间的关系式，首先应观察图象，确定它是正比例函数的图象，还是一次函 数图象，然后设函数解析式，再把已知的坐标代入解析式求出待定系数即可。 解：由题意可知 v 是 t 的正比例函数。 设 v=kt 因为（2，5）在函数图象上，所以 2k=5，k=2.5，v 与 t 关系式为 v=2.5t。 （2）求下滑 3 秒时物体的速度，就是求当 t 等于 3 时的 v 的值。 解：当 t=3 时，v=2.5×3==7.5（米/秒） 3、想一想 （1）确定正比例函数的表达式需要几个条件？（一个） （2）确定一次函数的表达式呢？（两个）。 4、例题讲解 例 1：在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体的质量 x（千克）的一次函数、当所挂 物体的质量为 1 千克时，弹簧长 15 厘米；当所挂物体的质量为 3 千克时，弹簧长 16 厘米。写出 y 与 x 之间的关系式，并求出所挂物体的质量为 4 千克时的弹簧的长度。 分析：该题没有图象，当题中以告知是一次函数，因此我们可设 y=kx+b，根据题意，得 15=k+b， ① 16=3k+b， ② 由①得 b=15-k； 由②得 b=16-3k； 所以 15-k=16-3k，即 k=0.5。 把 k=0.5 代入①，得 k=14.5，所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5，当 x=4 时，y=0.5×4+14.5=16.5 （厘米），即物体的质量为 4 千克时，弹簧长度为 16.5 厘米。 5、小结：求一次函数表达式的步骤 （1）设函数表达式 y=kx+b （2）根据已知条件列出关于 k,b 的方程。 （3）解方程。 （4）把求出的 k,b 值代回到表达式中即可。 6、课堂练习 （1）P164， （2）根据条件确定函数的表达式：y 是 x 的正比例函数，当 x=2 时，y=6，求 y 与 x 的关系式。 （3）若函数 y=kx+b 的图象经过点（-3，-2）和（1，6）求 k，b 及表达式。 六、课后小结 求函数表达式的一般步骤： （1）活动与探究 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李 票，行李票费用 y 元是行李质量 x（千克）的一次函数，其图象如下图所示： ①写出 y 与 x 之间的函数关系式； ②旅客最多可免费携带多少千克行李？ 七、课后作业 P 169 习题 6.5 教后感：把实际问题抽象为数字问题，让学生认识数字与人类生活的密切联系及对人类历史发 展的作用,根据函数的图象确定一次函数的表达式，并解决有关现实问题,培养学生的数形结合能力。 §6.5 一次函数图象的应用（一） 一、教学目标 1、能通过函数图象获取信息，发展形象思维。 2、能利用函数图象解决简单的实际问题， 3、初步体会方程与函数的关系。 二、能力目标 1、通过函数图象获取信息，培养学生的数形结合意识。 2、根据函数图象解决简单的实际问题，发展学生的教学应用能力。 3、通过方程与函数关系的研究，建立良好的知识联系。 三、情感目标 通过函数图象解决实际问题，培养学生的数学应用能力，同时培养学生良好的环保意识和热爱 生活的意识。 四、教学重点 一次函数图象的应用 五、教学过程 1、新课导入 在前几节课里，我们分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解 到一次函数的应用十分广泛，和我们日常生活密切相关，因此本节课我们一起来学习一次函数图象 的应用。 2、讲授新课 （1）由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，干旱持续时间 t（天） 与蓄水量 V（万米 3）的关系如下图所示，回答下列问题： ①干旱持续 10 天，蓄水量为多少？连续干旱 23 天呢？ ②蓄水量小于 400 万米 3 时，将发生严重干旱警报。干旱多少天后将发出严重干旱警报？ ③按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？ 请大家根据图象回答问题，有困难的同学，请与同伴互相交流。 分析： （1）求干旱持续 10 天时的蓄水量，也就是求 t 等于 10 时所对应的 V 的值。当 t=10 时，V 约为 1000 万米 3。同理可知当 t 为 23 天时，V 约为 750 万米 3。 （2）当蓄水量小于 400 万米 3 时,将发出严重干旱警报,也就是当 V 等于 400 万米 3 时，求所对应 的 t 值。t 约为 40 天。 （3）水库干涸也就是 V 为 0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求。当 V 为 0 时，所 对应的 t 的值约为 60 天。 练一练 某种摩托车的油箱最多可储油 10 升，加满油后，油箱中的剩余油量 y（升）与摩托车行驶路程 x (千米)之间的关系如图所示。 根据图象回答下列问题： （1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ （2）摩托车每行驶 100 千米消耗多少升汽油？ （3）油箱中的剩余油量小于 1 升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？ 分析：（1）函数图象与 x 轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长路程。 （2）x 从 0 增加到 100 时，y 从 10 开始减少，减少的数量即为消耗的数量。 （3）当 y 小于 1 时，摩托车将自动报警。 3、课堂练习 1、看图填空 （1）当 y=0 时，x=_____________；（2）直线对应的函数表达式是_______。 解：（1）观察图象可知当 y=0 时，x=-2；（2）直线过（-2，0）和（0，1）设表达式为 y=kx+b， 得 -2k+b=0 ① b=1 ② 把②代入①得 k=0.5，所以直线对应的函数表达式是 y=0.5x+1。 4、议一议 一元一次方程 0.5x+1=0 与一次函数 y=0.5x+1 有什么联系？（当一次函数 y=0.5x+1 的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程 0.5x+1=0 的解。函数 y=0.5x+1 与 x 轴交点的横坐标即为方程 0.5x+1=0 的解。 5、补充练习 全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务， 某地区现有土地面积 100 万千米 2，沙漠面积 200 万千米 2，土地沙漠化的变化情况如下图所示。 （1）如果不采取任何措施，那么到第 5 年底，该地区沙漠面积将增加多少万千米 2？ （2）如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失 土地资源？ （3）如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造 4 万千米 2 沙漠，那么到第几年底，该地区 的沙漠面积减少到 176 万千米 2。 解：（1）如果不采取任何措施，那么到第 5 年底，该地区沙漠面积将新增加 10 万千米 2。 （2）从图象可知，每年的土地面积减少 2 万千米 2，现有土地面积 100 万千米 2，100÷2=50。 故从现在开始，第 50 年底后，该地区将丧失土地资源。 （3）如果从现在开始采取植树造林等措施，每年改造 4 万千米 2 沙漠，每年沙化 2 万千米 2，由 于（200-176）÷2=12，故到第 12 年底，该地区的沙漠面积能减少到 176 万千米 2。 六、课后小结 1、通过函数图象获取信息。 2、利用函数图象解决简单的实际问题。 3、初步体会方程与函数的关系。 七、课后作业 P 172 习题 6.6 教后感：通过函数图象获取信息，解决实际问题，培养学生的形象思维及数学应用能力，同时 培养学生良好的环保意识和热爱生活的意识及利用函数图象解决简单的实际问题通过方程与函数关 系的研究，建立良好的知识联系。 §6.5 一次函数图象的应用（二） 一、教学目标 1、进一步训练学生的识图能力 2、能利用函数图象解决简单的实际问题。 二、能力目标 1、通过函数图象获取信息，进一步培养学生的数形结合意识。 2、通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力。 三、情感目标 通过函数图象来解决实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展 的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，使他们能积极参与数学活动，进而更好地解决实际问题。 四、教学重点 一次函数图象的应用。 五、教学过程 1、新课导入 上节课我们学习了一次函数在水库蓄水量与干旱持续时间方面的应用，还有一次函数在摩托车 油箱中的剩余油量与行驶路程方面的应用，一次函数的应用不仅仅是在这两个方面，本节课我们继 续学习它的应用。 2、讲授新课 （一）例题讲解 如上图，L1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系， L 2 反映了该公司产品的销售量的关 系，根据图象填空。 ①当销售量为 2 吨时，销售收入=_______元，销售成本=_____元； ②当销售量为 6 吨时，销售收入=________元，销售成本=_____元； ③当销售量等于______时，销售收入等于销售成本； ④当销售量________时，该公司赢利（收入大于成本）；当销售量_______时，该公亏损（收入 小于成本）； ⑤L1 对应的函数表达式是_______；L2 对应的函数表达式是________________。 分析：（1）当销售量为 2 吨时，销售收入=2000 元，销售成本为 3000 元； （2）当销售量为 6 吨时，销售收入=6000 元，销售成本=5000 元； （3）当销售量等于 4 吨时，销售收入等于销售成本； （4）当销售量大于 4 号时，该公司赢利，当销售量小于 4 吨时，该公司亏损。 （5）L1 经过原点和（4，4000），设表达式为 y=kx，把（4，4000）代入，得 4000=4k，所以 k=1000 所以 L1 的表达式为 y=1000x，L2 经过点（0，2000）和（4，4000），设表达式为 y=kx+b。 根据题意，得 b=2000 ① 4k+b=4000 ② 把①代入②，得 4k+2000=4000，所以 k=500 所以 L2 的表达式为 y=500x+2000 例 2：我边防局接到情报，近海外有一可疑船只 A 正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇 B 追 赶，如下图： 在下图中，L1，L2 分别表示两船相对于海岸的距离 S（海里）与追赶时间 t（分）之间的关系。 根据图象回答下列问题： （1）哪条线表示 B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系？ （2）A、B 哪个速度快？ （3）15 分内 B 能否追上 A？ （4）如果一直追下去，那么 B 能否追上 A？ （5）当 A 逃到离海岸 12 海里的公海时，B 将无法对其进行检查。照此速度，B 能否在 A 逃入公 海前将其拦截？ 分析：解：观察图象，得 （1）当 t=0 时，B 距离海岸 0 海里，即 s=0，故 L1 表示 B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系； （2）t 从 0 增加到 10 时，L2，的纵坐标增加了 2，而 L1 的纵坐标增加 5，即 10 分内，A 行驶了 2 海里，B 行驶了 5 海里，所以 B 的速度快。 （3）延长 L1，L2，可以看出，当 t=15 时，L1 上对应点在 L2 上对应点的下方，这表明，15 分时 B 尚未追上 A。 （4）如下图，L1，L2 相交于点 P，因此，如果一直追直去，那么 B 一定能追上 A。 （5）下图中，L1 与 L2 交点 P 的纵坐标小于 12，这说明在 A 逃入公海前，我边防快艇 B 能够追上 A。 （二）课堂练习 如图，AC、BC 分别表示甲、乙两人的运动图象，请根据图像回答下列问题： （1）谁先出发？先出发者提前几小时？ （2）甲出发多长时间后，后出发的人追上提前出发的人？此时，他们距离乙出发地点多少千米？ （3）甲、乙两人各自的运动速度是多少？ 分析：（1）乙先出发，先出发 1 小时；（2）甲出发 4 小时后，追上乙，此时，他们距离乙出发 地点 15 千米；（3）速度：甲 20÷4=5 千米/小时，乙 15÷5=3 千米/小时。 （四）补充练习 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月 租车合同，设汽车每月行驶 x 千米，应付给个体车主的月费用 y1 元，应付给出租车公司的月租费为 y2 元，y1，y2 分别与 x 之间的函数关系图象如图，观察图象回答下列问题。 （1）每月行驶的路程在什么范围内时、租国营公司的车合算？ （2）每月行驶的路程等于多少时，租两家的费用相同？ （3）如果这个单位估计每月行驶的路程为 2300 千米，那么这个单位租哪一家的车合算？解：观察 图象可知： （1）每月行驶的路程小于 1500 千米时，租国营公司的车合算。 （2）每月行驶的路程等于 1500 千米时，租两家车的费用相同。 （3）如果每月行驶的路程为 2300 千米，那么这个单位租个体车主的车合算。 六、课后作业 P 178 习题 6.7 教后感：通过函数图象来解决实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史 发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，进一步训练学生的识图能力, 利用函数图象解决简单 的实际问题。使他们能积极参与数学活动，进而更好地解决实际问题。 §6.6 回顾与思考 一、教学目标 1、本章知识的网络结构 2、重点内容的归纳 （1）函数的概念。 （2）一次函数的概念 一次函数与正比例函数的关系。 （3）一次函数的不同表示方式。 （4）一次函数，正比例函数的图象各有什么特征。 （5）确定一次函数表达式。 （6）一次函数图象的应用。 二、能力目标 1、熟练掌握本章的知识网络结构 2、经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展学生的抽象 思维能力。 3、经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和能力。 4、经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力，经历函数图象 信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力。 5、能根据所给信息确定一次函数表达式，会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问 题。 三、教学重点 一次函数图象的特征 一次函数图象的应用 四、教学过程 （一）讲授新课 1、本章知识网络结构图： 2、知识点回顾 （1）函数的概念及举例。 （2）一次函数，正比例函数的概念及联系。 （3）函数图象的概念，一次函数图象的特征，怎样作一次函数的图象。 A、一次函数图象的特征（y=kx+b,b≠0） ①一次函数的图象不过原点，和两坐标轴相交，它是一条直线。 ②一次函数图象中 当 k>0 时，y 的值随 x 的增大而增大。 当 k<0 时，y 的值随 x 的增大而减小。 ③作一次函数 y=kx+b 的图象时，一般找（0,b）和（-b/k，0）两点，作正比例函数 y=kx 的图 象时，一般找（0，0）和（1，k）两点。 （二）例题讲解 1、下面有三个关系式和三个图象，哪一个关系式与哪一个图象能够表示同一个一次函数？ （1）y=1-x2；（2）a+b=3，（3）s=2t 2、已知 y 是 x 的一次函数 （1）根据下表写出函数表达式； （2）补全下表 x 1 3 4 9 31 y 1 5 7 3、作出函数 y=1-x 的图象，并回答下列问题。 （1）随着 x 值的增加，y 值的变化情况是________； （2）图象与图象与 y 的交点坐标有_______，与 x 轴的交点坐标是__________； （3）当 x__________时，y≥0。 分析：函数图象如图所示： （1）因为 k<0，所以随着 x 的增加，y 的值逐渐减小； （2）图象与 y 轴的交点坐标（0，1），与 x 轴的交点坐标是（1，0）； （3）当 x≤1 时，y≥0。 4、如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图像（分别 为正比例函数和一次函数），两地间的距离是 80 千米，请你根据图像回答或解答下面的问题： （1）谁出发较早？早多长时间？谁到乙地较早？早到多长时间？ （2）两人在路上行驶的时间分别是多少？行驶的速度呢？ 分析：（1）自行车出发较早，早 3 个小时；摩托车到乙地较早，早 3 个小时；（2）行驶的时间： 自行车为 8 小时，摩托车为 2 小时；速度：自行车为 80÷2=4（千米/小时）。 五、课后作业 P 179 复习题 A，B。 教后感：在合作与交流中经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想， 进一步发展学生的抽象思维能力，发展学生的合作意识和能力熟练掌握本章的知识网络结构。 第七章 二元一次方程组 §7.1 谁的包裹多 【教学目标】 1. 了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某 个二元一次方程组的解。 2.通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。 3.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型， 培养学生良好的数学应用意识。 【重点】二元一次方程组的含义 【难点】判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识。 【教学过程】 一、引入、实物投影（P181 图） 1、师：在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃 力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮 2 个”老牛气不过地说：“哼， 我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的 2 倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你 们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？ 2、请每个学习小组讨论（讨论 2 分钟，然后发言） 这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮 x 个包裹，小马驮 y 个包 裹，老牛的包裹数比小马多 2 个，由此得方程 x-y=2，若老牛从小马背上拿来 1 个包裹，这时老牛 的包裹是小马的 2 倍， 得方程：x+1=2(y-1) 师：同学们能用方程的方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未知数？含未知数的项 的次数是多少？ （含有两个未知数，并且所含未知数项的次数是 1） 师：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程 注意：这个定义有两个地方要注意 ①、含有两个未知数， ②、含未知数的次数是一次 练习：（投影） 下列方程有哪些是二元一次方程 x 1 +2y=1 xy+x=1 3x- 2 y =5 x2-2=3x xy=1 2x(y+1)=c 2x-y=1 x+y=0 二、议一议、 师：上面的方程中 x-y=2，x+1=2(y-1)的 x 含义相同吗？y 呢？ （两个方程中 x 的表示老牛驮的包裹数，y 表示小马的包裹数，x、y 的含义分别相同。） 师：由于 x、y 的含义分别相同，因而必同时满足 x-y=2 和 x+1=2(y-1)，我们把这两个方程用大括 号联立起来，写成 x-y=2 x+1=2(y-1) 像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 如： 2x+3y=3 5x+3y=8 x-3y=0 x+y=8 三、做一做、 1、 x=6,y=2 适合方程 x+y=8 吗？x=5,y=3 呢？x=4,y=4 呢？你还能找到其他 x,y 值适合 x+y=8 方 程吗？ 2、 X=5,y=3 适合方程 5x+3y=34 吗？x=2,y=8 呢？ 3、 你能找到一组值 x,y 同时适合方程 x+y=8 和 5x+3y=34 吗？各小组合作完成，各同学分别代 入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到 3 题的结论. 由学生回答上面 3 个问题，老师作出结论 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解 x=6,y=2 是方程 x+y=8 的一个解，记作 x=6 同样， x=5 y=2 y=3 也是方程 x+y=8 的一个解，同时 x=5 又是方程 5x+3y=34 的一个解， y=3 二元一次方程各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 四、随堂练习、（P184） 五、小结： 1、 含有两未知数，并且含有未知数的项的次数是一次的整式方程叫做二元一次方程。 2、 二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解。 3、 含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个 方程的公共解，是一组确定的值。 6.作业 P 188 习题 7.1。 教后感：通过对实际问题的分析、讨论和练习，了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有 关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。进一步培养学生的观察、比较、分析 的能力，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识 。 § 7.2 解二元一次方程组（一） 【教学目标】 1.会用代入消元法解二元一次方程组 2.了解解二元一次方程组的消元思想,初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归 思想,从而“变陌生为熟悉” 3.利用小组合作探讨学习,使学生领会朴素的辩证唯物主义思想 【重点】用代入法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元. 【难点】用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归——化陌生为熟悉. 【教学过程】 一、引入 上节课我们的老牛和小马的包裹谁的多的问题,经过大家的共同努力,得出了二元一次方程 组 x-y=2 ① 到底谁的包裹多呢? x+1=2(y-1) ② 这就需要解这个二元一次方程组. 二、一元一次方程我们会解,二元一次方程组如何解呢? 我们大家知道二元一次方程只需要消去一个未知数就可变为一元一次方程,那么我们发现： 由①得 y=x-2 由于方程组相同的字母表示同一个未知数,所以方程②中的 y 也等于 x-2,可以用 x-2 代替方程② 中的 y.这样就得到大家会解的一元一次方程了. 三、做一做 我们知道了解二元一次方程组的一种思路,下面我们来做一做 例 1、 解方程组 3x+ 2y=8 ① x= 2 3y ② 解：将②代入①,得 3(y+3)+2y = 14 3y+9+2y=14 5y =5 y=1 将 y=1 代入②,得 x=4 所以原方程组的解是 x=4 y=1 例 2、解方程组 2x+3y=16 ① x+4y=13 ② 教师先分析：此题不同于例 1, (即用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数)，②式不能直 接代入①,那么我们应当怎样处理才能转化为例 1②式这样的形式呢? 请同学回答 (应先对②式进行恒等变化,把它化为例 1 中②式那样的形式.) 分小组合作完成上述例题,请两个小组的代表上黑板上来板演 解：由②，得 x=13-4y 将③代入①，得 2(13-4)S+3y=16 26-8y+3y=16 -5y=-10 y=2 将代入③，得 x=5 所以原方程组的解是 x=5 y=2 四、议一议、 上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？ 上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。主要步骤是：①将其中一个 方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，②将这个代数式代入另一个方程 中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式。③解这个一元一次方程。④ 把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解。这种解方程组的 方法称为代入消元法。简称代入法。 五、练一练、 1、已知 x+3y-6=0，用含 x 的代数式表示 y 为 ，用含 y 的代数式表示 x 为 . 2、书本 P188 随堂练习 六、小结、 1、今天我们学习了二元一次方程组的解法，你有什么体会？ 2、解二元一次方程组的思路是消元，把二元变为一元 3、解题步骤概括为三步即：①变、②代、③解、 4、方程组的解的表示方法，应用大括号把一对未知数的值连在一起，表示同时成立，不要写成 x=？y=？ 5、由一个方程变形得到的一个含有一个未知数的代数式必须代入另一个方程中去，否则会出现 一个恒等式。 七、作业、 1、已知 x=1 是方程组 ax+by=2 的解，则 a、b 的值是多少？ y=1 x-by=3 2、若方程组 4x+3y=1 的解 x 与 y 相等，则 a 的值是多少？ ax+(a-1)y=3 教后感：本节课是利用小组合作探讨学习,使学生正确掌握用代入消元法解二元一次方程组的方 法下，通过学生自己的观察、发现,初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想,从而“变陌生为 熟悉”,使学生领会朴素的辩证唯物主义思想. §7.2 二元一次方程组的解法(二) 一、教学目标设计： 1. 了解并会用加减消元法解二元一次方程组。 2. 了解解二元一次方程组的消元思想，体会数学中“化未知为已知”的化归思想。 3. 初步体验二元一次方程组解法的多样性和选择性。 教学重点和难点： 二、教学重点： 1. 会用加减消元法解二元一次方程组。 2. 会用加减消元法解二元一次方程组。 三、教学难点： 掌握解二元一次方程组的“消元”思想。 四、教学过程设计： 1、创设情境： 怎样解下面的二元一次方程组呢？      11-52 125y3x yx 分析：观察方程组中的两个方程，未知数 y 的系数互为相反数，把这两个方程两边分别相加， 就可以消去未知数 y，得到一个一元一次方程； （3x ＋ 5y）+（2x － 5y）＝21 + (－11) ①左边 + ②左边 = ①左边 + ②左边 3X+5y +2x － 5y＝10 5x+0y ＝10 5x=10 解:由①+②得: 5x=10 x＝2 把 x＝2 代入①，得 y＝3 所以原方程组的解是      2 3x y 2、探索尝试: 参考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？ 例 1 解下列方程组．      132 75y2x yx 分析：观察方程组中的两个方程，未知数 x 的系数相等，都是 2．把这两个方程两边分别相减， 就可以消去未知数 x，同样得到一个一元一次方程． 解：把 ②－①得:8y＝－8 y＝－1 把 y ＝－1 代入①，得 2x－5╳（－1）＝7 解得:x＝1 所以原方程组的解是      1 1x y 3. 随堂练习: 指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正：      245 44y-7x yx      445 144y-3x yx 解:①－②，得 解 ①－②，得 －2x＝12 2x＝4－4， x ＝－6 x＝0 正确的解是： 解: ①－②，得 解: ①＋②，得 8x＝16 2x＝4＋4， x＝4 x ＝2 4.议一议: 上面这些方程组的特点是什么?解这类方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些？ 这些方程组的特点是同一个未知数的系数相同或互为相反数 这类方程组基本思路：加减消元----二元---- 一元 主要步骤： 加减----消去一个元 求解----分别求出两个未知数的值 写解----写出方程组的解 5.做一做 例 2．用加减法解下列各方程组      1743 123y2x yx 分析：(1)用加减消元法解方程组时，若哪个未知数系数的绝对值正好相等，就可先 消哪个未知数；若两个未知数的系数绝对值均不等，则可选定一个未知数，通过变形 使其绝对值相等，再进行消元． (2)运用加减消元法解方程组的条件是方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值 相等，当方程组中两方程不具备这种特点时，必须用等式性质 2 来改变方程组中方程的 形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值已经相等的新的方程组，从而 为加减消元法解方程组创造条件． ①×3 得 6x+9y=36 ③ ②×2 得 6x+8y=34 ④ ③-④得 y=2 把 y ＝2 代入①，得 解得:x＝3 所以原方程组的解是      1 1x y 说明：1．加减消元法的依据是等式性质 1，即在一个方程左右两边分别加上或减去另一 个方程的左右两边，所得的结果仍是等式．经过这样的运算，其中一个未知数被消去了， 原来的“二元”化为“一元”，转化为一元一次方程，从而可求出原方程组的解来． 2.对于不是标准的二元一次方程组，可先通过去分母或去括号，将其变为标准的二元一 次方程组后再消元 5.试一试: 运用加减消元法解下列方程组： （3）        24 1 2 x 12 y 3 1x y 6.探索与思考：在解方程组      53c 2b yx yax 时，小张正确的解      2 1x y ,小李由于看错了方程组中的 C 得到方程组的解为      1 3 y x ，试求方程组中的 a、b、c 的值。 7.小结 ： 加减消元法解方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些？ 加减消元法解方程组基本思路：加减消元----二元---一元 主要步骤有： 变形----同一个未知数的系数相同或互为相反数 加减----消去一个元 求解----分别求出两个未知数的值 写解----写出方程组的解 8.作业 教后感：1.本节课是使学生正确掌握用加减法解二元一次方程组的方法下，通过学生自己的观 察、发现、总结、归纳，探索加减法解二元一次方程组的过程，进一步发展学生的合情推力意识， 主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 §7.3 鸡兔同笼 【教学目标】 1.使学生初步掌握列二元一次方程组解应用题 2.通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练，培养学生分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】根据等量关系列二元一次方程组解应用题。 【教学难点】根据题意找出等量关系，列出方程。 【教学过程】 一、 我们伟大祖国具有五千年的文明史，在历史的长河中，为科学知识的创新和发展作出了巨 大的贡献，特别在数学领域有[九章算术]、[孙子算经]等古代名著流传于世，普及趋于民众，许 多问题浅显易懂，趣味性强，如[九章算术]下卷第三题目“雉兔同笼”等，漂洋过海传到了日本 等国，对中国古代文明史的传播起了很大作用。 “雉兔同笼”题为：“今有雉兔同笼，上有三十五关，下有九十四足，问雉兔各几何？”      547 965)2( yx yx      52 534)1( ts ts 问题 1、“上有三十五头”指的意思是什么？“下有九十四足”呢？ 答：“上有三十五头”指的鸡和兔共有三十五个头，“下有九十四足”指的是鸡和兔共有九十四 只脚。 问题 2、你能根据问题 1 中的的数量关系列出方程吗？并能解决这个有趣的问题吗？ （分小组进行讨论，然后请两个小组的代表到黑板上板演） 解：设有鸡 x 只，兔 y 只，则 x+y=35 解之得 x=23 2x+4y=94 y=12 答：共有鸡 23 只，兔 12 只。 这个古老的数学问题，用今天的方程解决，体现了古为今用的原则，为后人理解了数学的过 去和现在，当代的著名的数学家陈省生教授在说起“鸡兔同笼”时，曾另有一番别有风趣的延 伸：“全体鸡兔立正，兔子提起前面的两只脚，请问现在共有几只脚？”…… 二、 中国是一个伟大的四大文明古国，像这样浅显有趣的数学题目还有很多，我们的书上就提 供了这样的一个例题 例 1、 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几 何？ 接下来老师看一下，那位同学的古文水平好，那位同学能自告奋勇地解释一下，这段古文的意 思？ （用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等分，一份绳子长比井深多 5 尺；如果将绳折成 四等份，一份绳子比井深多 1 尺，绳子、井深各是多少尺？） （分小组进行讨论，然后请两个小组的代表到黑板上板演） 解：设绳子长 x 尺，井深 y 尺，则 14 53   yx yx 解之得 x= 48 y=11 答：绳子长为 48 尺，井深 11 尺。 三、 议一议 从上面的两个问题的解决中，你得到了什么感悟，有什么收获？请与同学们交流。 用方程组解决实际问题时应该注意下列几个问题： 1、 认真读题和审题，弄清古代问题的现实意义 2、 正确设出未知数 3、 找出相等关系，并列出方程组。 4、 解此方程组 5、 写出答案 四、 练一练 1、 古代有一个马快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分脏，在 吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证： 隔壁听到人分银，不知人数不知银。只知每人五两多六两，每人六两少五两， 问你多少人数多少银？ 2、 列方程组解古算题： “今有牛五、羊二、直金十两，牛二、羊五，直金八两，牛、羊各直金几何？” 题目大意是：5 头牛、2 只羊共价值 10 两“金”、2 头牛、5 只羊共价值 8 两“金”、每 头牛、每只羊共价值多少“金”？ [可设每头牛值“金”x 两，每只羊值“金”y 两，则有方程组 5x+2y=10 解之得 x= 21 34 2x+5y=8 y= 21 20 五、 小结 经过本节课的学习，你有什么收获和体会？ 六、 作业 P 199 习题 7.4。 教后感： 通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练，使学生根据等量关系列二元一次方程组解应用 题。初步掌握列二元一次方程组解应用题培养学生分析问题、解决问题的能力。 §7.4 增收节支 【教学目标】 1.会正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这 类问题。 2.培养学生分析问题和解决问题的能力。 3.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界 的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。 【教学过程】 一、议一议 增长（亏损）率问题的公式？ 原量（1+增长率）=新量，或原量（1—亏损率）=新量， 2、银行利率问题中的公式？ 利息=本金×利率×期数，本息和本金+利息 二、新授、 某工厂去年的利润（总产值—总支出）为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20%，总支出比 去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？ 设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则有 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 x y 200 今年 （小组讨论，完成上表） 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 x y 200 今年 （1+20%）x （1—10%）y 780 根据题意得： x－y =200 ，解之得： x=2000 120%－90%y=780 y=1800 答：去年的总产值为 2000 万元，总支出 1800 万元， 变式：若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？ 简析：如果设今年的总产值为万元，总支出为万元，则 200%90%120 780   yx yx 让学生动手解这个方程组， 体验这种解法的繁琐，再让学生探 索，受上例的启发，应该设间接未知数，设去年的总产值勤 x 万元，总支出为 y 万元，计算方 便。 三、做一做 例 1、 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单 位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质，若病人每餐需要 35 单位蛋白质 和 40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？ 解：设每餐需甲、乙两种原料各 x、y 克，则有下表： 甲原料各 x 克 乙原料各 y 克 所配制营养品 其中所含营养品 0.5x 单位 0.7y 单位 (0.5x+0.7y)单位 其中所含铁质 x 单位 0.4y 单位 (x+0.4y)单位 根据题意，可得方程组 0.5x+0.7y=35 x+0.4y=40 化简，得 5x+7y=350 ① 5x+2y=200 ② ①－②，得 5y=150 y=30 将 y=30 代入①，得 x=28。 所以每餐需要甲原料 28 克、乙原料 30 克。 解此题需要注意以下两点： 1、 甲（乙）原料所含蛋白质（铁质）=甲（乙）原料的质量×每克所含蛋白质（铁质）的含 量。 2、 甲原料所含蛋白质（铁质）+乙原料所含蛋白质（铁质）=营养品所含蛋白质（铁质。 例 2、甲、乙两相距 6 千米，两人同时出发，同向而行，甲 3 小时可追上乙；相向而行，1 小时相 遇，两人的平均速度各是多少？ 解：设甲的平均速度是每小时行 x 千米，乙的平均速度是每小时行 y，根据题意，得： 3x=3y+6 x+y=6 解这个方程组，得： x= 4 y=2 答：平均每小时甲行 4 千米，乙行 2 千米。 四、练一练 1、一、二班共有 100 名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为 81%，如果一班的学生 的体育达标率为 87.%，二班的达标率为 75%，那么一、二班的学生数各是多少？ 解：可设班有 x 人，二班有 y 人，则有方程组 x+y=6 x= 48 87.5%+75%=81(x+y) y=52 2、甲、乙两相距 36 千米两地相向而行，如果甲比乙先走 2 时，那么他们在乙出发 2.5 时后相遇； 如果乙比甲先走 2 时，那么他们在甲出发 3 时后相遇，甲、乙两人每时各走多少千米？ 解：设甲、乙两人每小时分别行走 x 千米、y 千米。根据题意可得： 4.5x+2.5y=36 x= 6 3x+5ky=36 解此方程可得 ： y=4 所以甲每小时走 6 千米，乙每小时走 4 千米。 五、小结 1、做应用题时应强调列表分析数量关系的重要性。 3、 设未知数有两种方法：（1）直接设元 （2）间接设元，当直接设元较繁时应间接设元。 六、作业 P202 习题 7.5。 教后感：让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实 世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问 题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。 §7.5 里程碑上的数 【教学目标】 【知识目标】1、用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题 2、归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。 【能力目标】让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实 世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤 【情感目标】在本节课上让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和 勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。 【教学重点】用二元一次方程组刻画学问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题的步骤。 【教学难点】将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。 【教学过程】 一、想一想，忆一忆 ：解二元一次方程组的基本思路各基本方法是什么？ （解二元一次方程组的基本思路是通过“消元”把“二元”化为“一元”，基本方法是代入法和 加减法 二、创设情景，引入新课 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一小时看到的里程碑上的数字 情况如下：12∶00 时，这是两位数，它的两个数字之和为 7，13∶00 时，十位与个位数字与 12∶ 00 时看到的正好颠倒了；14∶00 时，比 12∶00 时看到的两位数中间多了个 0，你能确定小明在 12∶00 时看到的里程碑上的数字吗？ 如果设小明在 12∶00 时看到的十位数字是 x，个位数字是 y，那么 1、 12∶00 时小明看到的数可表示为 根据两个数字和是 7，可列出方程 （10x+y； x+y=7） 2、 13∶00 时小明看到的数可表示为 12∶00~13∶00 间摩托车行驶的路程是 [10y+x；(10y+x)-(10x+y)] 3、 14∶00 时小明看到的数可表示为 13∶00~14∶00 间摩托车行驶的路程是 [10x+y；(100x+y)-(10x+y)] 4、 12∶00~13∶00 与 13∶00~14∶00 两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应 的方程吗？ [答：因为都匀速行驶 1 小时，所以行驶路程相等，可列方程 (100x+y)-(10x+y)= (10y+x)-(10x+y)，根据以上分析，得方程组： x+y=7 (100x+y)-(10x+y)= (10y+x)-(10x+y) 解这个方程组得： x=1 y=6 因此，小明在 12∶00 时看到里程碑上数是 16。 同学们：你能从此题中得到何种启示？ 答：从中得到解数字问题常设十位数字为 x，个位数字为 y，这个两位数为 10x+y。 三、练一练 例 1、 两个两位数的和是 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数； 在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后 一个四位数大 2178，求这两个两位数。 设较大的两位为 x，较小的两位数为 y。 分析： 问题 1：在较大数的右边写上较小的数，所写的数可表示为 [100x+y] 问题 2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示 为 [100 y + x] 解：设较大的两位数为 x，较小的两位数为 y。 x+y=68 （100x+y）-（100 y + x）=2178 化简，得： x+y=68 99x-99y =2178 即， x+y=68 x-y =222 解该方程组得 x=45 y =23 四、做一做 1、 一个两伯数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23；这个两位数除以它的各位数字 之和，商是 5，余数是 1，这个两位数是多少？ [解：设十位数为 x，个位数为 y，则 10x+y-3(x+y)=23 10x+y=5(x+y)+1 解之得： x=5 所以这个两位数是 56 y=6 五、议一议 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？ 1、“设”：弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数； 2、“列”：找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系，根据这两个相等关系列出需要的代数 式，从而列出方程并组成方程组； 3、“解”：解这个方程组，求出未知数的值； 4、“验”：检验这个解是否正确，并看它是否符合题意； 5、“答”：与设前后呼应，写出答案，包括单位名称； 六、小结 通过这节课的学习你有什么收获？ （学生分小组讨论，并相互补充交流） 1、 本节课主要研究有关数字问题，解题的关键是设各位数字为未知数，用这些未知数表示相关 数量，再列出方程。 2、 用二元一次方程组解应用题一般步骤有五步：设、列、解、验、答 七、作业 P205 习题 7.6。 教后感：1.在本节课上让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和 勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。 2.用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题，让 学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，归纳出用二元一次方程组解决实际问题的 一般步骤。体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型 §7、6 二元一次方程与一次函数 【教学目标】 【知识目标】1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系 2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 3、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 【能力目标】通过学生的思考和操作,在力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象 解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力. 【情感目标】通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联系,培养了 学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣. 【教学重点】1、二元一次方程和一次函数的关系 2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解 【教学难点】方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力 【教学过程】 一、忆一忆 1、 同学们:什么叫二元一次方程的解? 2、 一次函数的图像是什么? 3、 如图,求一次函数的图像的解析式 二、试一试 1、 问题：方程 x+y=5 的解有多少个？写出其中的几个解来 [方程 x+y=5 的解有无数多个，如： x=-1 x=0 x=1 x=2 x=3 y=6 y=5 y=4 y= 3 y=2 等 2、 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y=5－x 的图像上吗？ 3、 在一次函数 y=5－x 的图像上任取一点，它的坐标适合方程 x+y=5 吗？ 4、 以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y=5－x 的图像相同吗？ 三、做一做 在同一直角坐标系内分别作出一次函数 y=5－x 和 y=2x－1 的图像，这两个图像有交点吗？ 交点的坐标与方程组 x+y=5 2x－ y=1 的解有什么关系？你能说明理由吗？ [一次函数 y=5－x 和 y=2x－1 的图像的交点为（2，3），因此， x=2 就是方程组 y=3 x+y=5 2x － y=1 的解。] 例 1、 用作图象的方法解方程组 x-2y= - 2 2x – y=2 解：由 x-2y= - 2 可得 y= 12 x ，同理， 由 2x – y=2 可得 y=2x – 2，在同坐标系中作出 一次函数 y= 12 x 的图像和 y=2x – 2 的图像， x y o 1 x y o 1 观察图像，得两直线交于点（2，2），所以方程组 x-2y= - 2 2x – y=2 的解是 x = 2 y= 3 同学们你从本题中感悟到什么？ 原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法 外还可以用图像法，那么用作图法来解方 程组的步骤如下： 1、 把二元一次方程化成一次函数的形式 2、 在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点。 3、 交点坐标就是方程组的解。 四、练一练 1、用作图象的方法解方程组 2x+y=4 2x-3y=12 [由 2x+y=4 得 y= -2x+4 由 2x-3y=12 可得 y= 43 2 x 在同一直角坐标系中作出函数 y= -2x+4 和函数 y= 43 2 x 的图像，观察图像可得交点为（3，-2），所以方程组 2x+y=4 的解是 x =3 2x-3y=12 y= - 2 2、在图中的两直线 l1、l2 的交点坐标可以看作 的解。 [答案： y=1+2x y=4 - x 五、试一试 1、有一组数同时适合方程 x+y=2 和 x+y=5 吗？ 2、一次函数 y=2 –x，y=5 - x 的图像之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？ [没有一组数同时适合方程 x+y=2 和 x+y=5；一次函数 y=2 –x，y=5 - x 的图像是两条平等的直 线。 我们可以得到：二元一次方程组无解<=>一次函数的图像平行（无交点） 二元一次方程组有一解<=>一次函数的图像相交（有一个交点） 二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图像重合（有无数个交点） 六、小结 1、 二元一次方程的图像实际上就是一次函数的图像 2、用图像法可以解二元一次方程组，原来我们还可以用几何的图像法来解代数问题。 七、作业 x y O 2 4 6 -4 P205 习题 7.6。 教后感： 1.通过学生的思考和操作、自主探索,力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程 组图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.使学生初步理解二元一次方程与一次函 数的关系并能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解 2.通过学生的提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联系,培养了学生的创新 意识,激发了学生学习数学的兴趣. §7.7 回顾与思考 教学目标： 1、使学生准确理解二元一次方程（组）理解的概念，并熟练地运用代入消元法、加减消元法、 图象法解二元一次方程组； 2、举出生活中用二元一次方程组解决问题的实例，抓住列二元一次方程组解决实际问题中的 关键，找到相等关系，熟练建模； 3、进一步掌握二元一次方程与一次函数的联系。 教学重点： 1、二元一次方程组的解法：代入消元法、加减消元法、图象法； 2、列二元一次方程组解决实际生活问题； 3、二元一次方程和一次函数的关系。 教学难点： 1、列二元一次方程组解决实际生活问题； 2、几种数学思想——化归思想、方程思想和数形结合思想。 教学方法：交流——讨论——反逻辑性的师生主动法 一、回顾与思考 1、用自己的语言回答以下问题： （1）举出生活中运用二元一次方程组解决问题的两个例子。 （2）在列二元一次方程组解决实际问题的过程中，你认为最关键的是什么？ （3）解二元一次方程组的基本思路是什么？有哪些方法？举例说明在什么情况下采用哪一种方 法更为简便，并简要阐述解二元一次方程组的过程。 （4）举例说明二元一次方程与一次函数有何关系。 2、实际问题： 某商店购进一批衬衫，甲顾客以 7 折的优惠价格买了 20 件，而乙顾客以 8 折的优惠价格买了 5 件，结果商店都获得利润 200 元，求这批衬衫的进价是多少元？标价是多少元？ 问：在这个问题你发现有哪些等量关系？这是解决问题的关键。 （1）利润=售价—进价 （2）甲顾客以 7 折买了 20 件后，商店所获的利润=200 元 （3）乙顾客以 8 折买了 5 件后，商店所获的利润=200 元 问：若设这批衬衫的进价为 X 元，标价为 Y 元，则根据以上关系，列出方程组？ 问：用什么方法解以上方程组？（可用代入消元法或加减消元法） 练习：某商店出售的某种茶壶每只定价 20 元，茶杯每只定价 3 元，该商店在营销淡季特规 定一项优惠方法，即买一只茶壶赠送一只茶杯，我爸爸的单位里花了 170 元，买回茶壶和茶杯一共 38 只，问我爸的单位里买回茶壶和茶杯各多少只？ 问：在以上列方程组解决实际问题中，你认为最关键的是什么？利用方程组解决实际问题中的 关键是正确找出问题中的两个等量关系，列出方程组成方程组，并注意检验解的合理性。 3、解二元一次方程组的基本思路——消元 解方程组 分组分别用代入消元法，加减消元法，图象法解以上方程组。 三、建立体系： 通过以上几个问题的思考，形成本章知识联系图： 丰富的问题情境——二元一次方程组 含义 解法 应用 代入消元法 加减消元法 图象法 四、课堂练习： 课本复习题 A 组 五、小结： 通过本章的学习，掌握了二元一次方程（组）的解法及应用，提高了解决问题分析问题的能 力，进一步体会到数学中的方程思想，化归思想和数形结合思想。 六、作业：复习题 B 复习题 C 组选做 教后感： 使学生准确理解二元一次方程（组）理解的概念，并熟练地运用代入消元法、加减消 元法、图象法解二元一次方程组；举出生活中用二元一次方程组解决问题的实例，抓住列 二元一次方程组解决实际问题中的关键，找到相等关系，熟练建模；进一步掌握二元一次 方程与一次函数的联系。 第八章 数据的代表 §8.1 平均数（一） 教学目标： （一）知识目标：1、掌握算术平均数，加权平均数的概念。 2、会求一组数据的算术平均数和加权平均数。 （二）能力目标：1、通过对数据的处理，发展学生初步的统计意识和数据处理的能力。 2、根据有关平均数的问题的解决，培养学生的合作意识和能力。 （三）情感目标：1、通过小组合作的活动，培养学生的合作意识和能力。 2、通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系。 教学重点：算术平均数，加权平均数的概念及计算。 教学难点：加权平均数的概念及计算。 教学方法：讨论与启发性。 教学过程： 一、引入新课： 在某次数学测试后，你想了解自己与班级平均成绩的比较，你先想了解该次数学成绩什么量 呢？（引入课题） 二、讲授新课： 1、引例：下面是某班 30 位同学一次数学测试的成绩，各小组讨论如何求出它们的平均分： 95、99、87、90、90、86、99、100、95、87、88、86、94、92、90、95、 87、86、88、86、90、90、99、80、87、86、99、95、92、92 甲小组：X= =91（分） 甲小组做得对吗？有不同求法吗？ 乙小组：X= × × × × × × × = 91（分） 乙小组的做法可以吗？还有不同求法吗？ 丙小组：先取一个数 90 做为基准 a，则每个数分别与 90 的差为： 5、9、-3、0、0、-4、……、2、2 求出以上新的一组数的平均数 X'=1 所以原数组的平均数为 X=X'+90=91 想一想，丙小组的计算对吗？ 2、议一议：问：求平均数有哪几种方法？ （1）X= （X1+X2+…+Xn） ——算术平均数 （2）X= (f1+f2+…fk=n) ——利用加权求平均数 （3）X=X'+a ——利用基准求平均数 问：以上几种求法各有什么特点呢？ 公式（1）适用于数据较小，且较分散。 公式（2）适用于出现较多重复数据。 公式（3）适用于数据较为接近于某一数据。 3、练习：P213 利用计算器 （1）计算两支球队的平均身高，哪支球队队员的身材更为高大？ （2）计算两支球队的平均年龄，哪支球队队员的年龄更为年轻？ 4、加权平均数： 例 1，某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对 A，B，C 三名候选人进行了三项素质测试， 他们的各项测试成绩如下表所示： （1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？ （2）根据实际需要，公司将创新，综合知识和语言三项测试得分按 4:3:1 的比例确定各人 的测试成绩，此时谁将被录用？ 小结：实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组 数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”，如例 1 中 4，3，1 分别是创新、综合知识、语言三项 测试成绩的权，而称 为 A 的三项测试成绩的加权平均数。 三、练一练：P216 随堂练习 四、小结：通过本节课的学习，你有哪些收获与体会？ 五、作业： 书 P220 习题 8.1 教后感：通过小组合作的活动，让学生体会数学与生活的密切联系, 掌握算术平均数，加权平均 数的概念,培养学生的合作意识和能力。 §8.1 平均数（二） 教学目标： （一）知识目标： 1、会求加权平均数，并体会权的差异对结果的影响。 2、理解算术平均数和加权平均数的联系与区别，并能利用它们解决一些现实问题。 （二）能力目标： 1、通过利用平均数解决实际问题，发展学生的数学应用能力。 2、通过探索算术平均数和加权平均数的联系和区别，发展学生的求同和求异的思维。 （三）情感目标：通过解决实际问题，体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价 值，增进对数学的理解和学好数学的信心。 教学重点：加权平均数中权对结果的影响及与算术平均数的联系与区别。 教学难点：探索算术平均数和加权平均数的联系和区别。 教学方法：探讨教学 教学过程： 一、引入新课： 1、什么是算术平均数？加权平均数？ 2、算术平均数与加权平均数有什么联系与区别吗？（引入） 二、讲授新课： 1、例题讲解： 我校对各个班级的教室卫生情况的考查包括以下几项：黑板、门窗、桌椅、地面。 一天，三个班级的各项卫生成绩分别如下： （1）小明将黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按 15%、10%、35%、40%的比例计算各班的 卫生成绩，那么哪个班的成绩最高？ （2）你认为上述四项中，哪一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案，根据你的方 案，哪一个班的卫生成绩最高？与同伴进行交流。 解：（1）一班的卫生成绩为： 95×15%+90×10%+90×35%+85×40%=88.75 二班的卫生成绩为： 90×15%+95×10%+85×35%+90×40%=88.75 三班的卫生成绩为： 85×15%+90×10%95×35%+90×40%=91 因此，三班的成绩最高。 （2）分组讨论交流 小结：以上四项所占的比例不同，即权有差异，得出的结果就会不同，也就是说权的差异对结 果有影响。 2、议一议： 小颖家去年的饮食支出为 3600 元，教育支出为 1200 元，其他支出为 7200 元，小颖家今年的这 三项支出依次比去年增长 39%，3%，6%，小颖家今年的总支出比去年增长的百分数是多少？ 问：如何求今年的总支出比去年总支出的百分比呢？ 百分比=今年总支出—去年总支出 去年总支出 以下是小明和小亮的两种解法？谁做得对？ 小明： （9%+30%+6%）=15% 小亮： =9.3% 由于小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等，因此，饮食、教育和其他三项支出的 增长率“地位”不同，它们对总支出增长率的“影响”不同，不能简单地用算术平均数计算总支出 的增长率，而应将这三项支出金额 3600，1200，7200 分别视为三项支出增长率的“权”，从而总支 出的增长率为小美的求法是对的。 三、课堂练习： 1、小明骑自行车的速度是 15 千米/时，步行的速度是 5 千米/时。 （1）如果小明先骑自行车 1 小时，然后又步行了 1 小时，那么他的平均速度是多少？ （2）如果小明先骑自行车 2 小时，然后步行了 3 小时，那么他的平均速度是多少？ 2、某市七月中旬各天的最高气温统计如下： 求该市七月中旬的最高气温的平均数。 四、小结 1、加权平均数受什么因素的影响？ 权的差异对结果有影响。 2、算术平均数与加权平均数有哪些联系与区别？ 五、作业： P223 习题 8.2 试一试 教后感：过解决实际问题，体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学 的理解和学好数学的信心。会求加权平均数，并体会权的差异对结果的影响。 §8.2 中位数和众数 一、教学目标： 1.掌握中位数、众数等数据代表的概念，能根据所给信息求出相应的数据代表。 2.合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的差别，能初步选择恰当的数据代表对数据做出 自己的判断。 3.培养学生对统计数据从多角度进行全面的分析，从而避免机械的、片面的解释。 二、教学重点和难点： 重点：掌握中位数、众数等数据代表的概念。 难点：选择恰当的数据代表对数据做出判断。 三、教学过程： （一）创设情景，引出课题 师：在当今信息时代，信息的重要性不言而喻，而人们又经常要求一些信息“用数据说话”， 所以对数据做出恰当的分析是很重要的。今天我们一起来学习数据的代表以及如何选择恰当的数据 代表对数据做出判断。 我们一起来看下列一组数据： 课件显示： 问题 1：数据误导： 某次数学考试，婷婷得到 78 分。全班共 30 人, 其他同学的成绩为 1 个 100 分，4 个 90 分, 22 个 80 分,以及一个 2 分和一个 10 分。 婷婷计算出全班的平均分为 77 分，所以婷婷告诉妈妈说，自己这次成绩在班上处于“中上水 平”。 师：婷婷有欺骗妈妈吗？ 【板书：平均数：对于 n 个数 x1,x2,…,xn,我们把 n 1 (x1+x2+…+xn)叫做这 n 个数的算术平均数 (mean)，简称平均数。】 生：没有。 师：平均数是我们常用的一个数据代表，但是在这里，利用平均数把倒数第三的分数说成处于 班级的“中上水平”显然有投机取巧之嫌，大家思考：那么问题出在哪里呢？ 生：平均分受两个极端数据 2 分和 10 分的影响。 师：你对此有何评价？ 生：… （复习了平均数的概念，同时说明有些数据利用平均数是反应不出问题的，为引入其他数据代 表奠定基础。另外新课伊始，力求创设一种引人入胜的教学情景，挖掘出趣味因素，最大限度地吸 引学生的课堂投入，符合学生的心理特征和认识规律。） 师：类似的受平均数误导例子还是很多的。婷婷的爸爸的公司在一次招聘时就出现了如下的情 景。 问题 2 阿冲应聘 先请一位同学给画面编一段话。 然后提问： 经理所说的公司的平均月薪 2000 元是否欺骗了阿冲？ 平均月薪 2000 元能客观反映公司员工的平均收入吗？ 若不能，你认为用哪个数据表示该公司员工收入的平均水平更合适？ （二）交流对话，探究新知 提出一个真实的问题，揭示学生认识上的矛盾，产生新的疑点，引起学生对“平均水平”的认 知冲突，从而引入中位数和众数的概念. 板书：中位数——把 n 个数据按大小、顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或)叫做这组数 据的中位数（median）. 众数——组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这批数据的众数（mode）. 教师提问：大家对这两个概念还有什么疑问吗？ 生：如果数据有偶数个时，如何求中位数？ 师：取最中间两个数据的平均数。（用彩色粉笔板书补充） 生：如果数据中两个数据出现次数相等，众数是哪一个？ 师：两个都是. （用彩色粉笔板书：众数可以有多个） 生：如果数据中每个数据都只有出现一次呢？ 师：这组数据没有众数。（用彩色粉笔板书:众数也可能没有） 生：一组数据总是重复一个数呢？ 师：这个数就是这组数据的众数。（用彩色粉笔板书补充） 师：还有什么疑问吗？ 那么我们一起来做几个练习。 练习 1、数据 1 2 8 5 3 9 5 4 5 4 的众数、中位数分别为（ ） A．4.5、 5 B．5、 4.5 C．5、 4 D．5、 5 武汉市初中毕业（升学）考试数学试题 答：B 2、对于数据组 3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2 ①这组数据的众数是 3； ②这组数据的众数与中位数的数值不等； ③这组数据的中位数与平均数的数值相等； ④这组数据的平均数与众数的数值相等。 其中正确的结论有（ ）。 （A）1 个；（B）2 个；（C）3 个（D）4 个。 (2000 年天津市数学中考试题) 答：A 3、婷婷的妈妈是一位校鞋经销部的经理，为了解鞋子的销售情况，随机调查了 9 位学生的鞋子 的尺码，由小到大是： 20，21，21，22，22，22，22，23，23。 对这组数据的分析中，婷婷的妈妈最感兴趣的数据代表是（ ） (A)平均数 (B)中位数 (C)众数 答：C （三）梳理概括，形成结构 师：通过刚才的练习，我们基本掌握了数据三个代表的概念。 （结合课件画面）在实际生活中针对同一份材料，同一组数据，当人们怀着不同的目的，选择 不同的数据代表，从不同的角度进行分析时，看到的结果可能是截然不同的。婷婷同学利用自己的 分数正好高出平均分的优势，采用了平均数作为数据代表来向她妈妈汇报，从而得出自己的分数还 是处于班级中上水平的结论。婷婷爸爸也是利用自己公司的平均工资较高的优势，拿平均工资来吸 引应聘者。 作为信息的接受者，分析数据应该从多角度对统计数据作出较全面的分析，从而避免机械的， 片面的解释. （四）应用新知，体验成功 下面我们自己也试着把学过的知识应用到实际中。 （课件显示例 1） 例 1 某班的教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论，他们的五次数学成绩分别是： 小玲： 62，94，95，98，98. 小明：62，62，98，99，100. 小丽：40，62，85，99，99. 他们都认为自己的成绩比另两位同学的好，请你结合各组数据的三个数据代表，谈谈你的观 点。 （教师把班级学生分为 4 大组，分别代表小玲、小明、小丽和裁判组。让学生充分利用本组数 据中的优势数据代表进行讨论。教师适当点评） （六）变式练习，扩展新知 师：刚才大家知识的应用得很好。 （结合课件）议一议：平均数、中位数与众数都有哪些自己的特点？ 教师引导学生围绕以下内容展开： 平均数:充分利用数据所提供信息,应用最为 广泛，但… 中位数:计算简单,受极端值影响较小,但… 众数:当一组数据中有些数据多次重复出现时,众数往往是人们尤为关心的一个量. 下面由我们自己去收集一组生活中的数据，然后再选择恰当的数据代表来说明本组数据的特征。 全班每个学习小组分别测出一组和本组同学相关的生活数据（例如每分钟心跳的次数，每分钟 呼吸的次数，同学眼镜近视的度数、中指的长度、身高等等），然后由各组选择一位代表上来发布 本组同学的所得数据的平均数、中位数和众数，并选择其中一个数据代表来说明本组数据的特征。 （教师发给每个小组一张《活动报告单》，深入到学生活动中，适当答疑） （教师视课堂具体的时间的情况选择是否讲解：假如你是一名厂长……） （五）反馈评价，提示作业 平均数、中位数和众数各有所长，也各有其短。请你分别结合具体实例，说明平均数、中位数 和众数各自的现实意义。 1. 用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对 这组数据所包含的信息的反映最为充分，因而其应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要的 作用；但计算时比较烦琐，并且容易受到极端数据的影响。 2. 用众数作为一组数据的代表，着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小只与这组数据中的 部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响．当一组数据中有不少数据多次重复出 现时，其众数往往是我们关心的一种统计量。 3. 用中位数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，但中位数也不受极端数据的影响，当一组 数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。 总结： 今天我们都学到哪些知识？ 1.根据不同的实际需要，确定用平均数、中位数还是众数反映数据的特征。 2.平均数是最常用的指标。但在实际问题中，不能一味的使用平均数来确定数据的特征。 补充练习： 想一想： 高一级学校录取新生主要是依据考生的总分，这与平均数、中位数和众数中的哪一个关系较大？ 答：和平均数的关系较大。 计算平均数时用到了每一个数据，所以它对数据的变化比较敏感。平均数是最常用的指标。与 中位数和众数相比，它有时能够获得更多的信息。 思考题： 随着汽车的日益普及，越来越多的城市发生了令人头疼的交通堵塞问题。你认为衡量某条交通 主干道的路况用过往车辆一天车速的平均数合适吗？ 分析： 人们上下班的时候是一天中最繁忙的两个时段，其他时段车流量明显减少，因此，如果用一天 车速的平均数来衡量道路的路况，那么上下班交通堵塞的问题就给掩盖了。所以，较为合理的是按 道路繁忙的不同程度，将一天分为几个时段分别计算平均车速。 课后练习 简答题，请说明理由： （1）河水的平均深度为 2。5 米，一个身高 1。5 米但不会游泳的人下水后肯定会淹死吗？ （2）某学校录取新生的平均成绩是 535 分，如果某人的考分是 531 分，他肯定没有被这个学校 录取吗？ （3）5 位学生在一次考试中的得分分别是：18，73，78，90，100 考分为 73 的同学是在平均分 之上还是之下？你认为他在 5 人中考分属 “ 中上 ” 水平吗？ 五、作业： P227 习题 8.3 教后感：通过具体情境体会平均数、中位数和众数三者的差别，选择恰当的数据代表对数据做 出自己的判断。培养学生对统计数据从多角度进行全面的分析，从而避免机械的、片面的解释。 §8.3 利用计算器求平均数 教学目标： （一）知识目标： 1、根据给定信息，会利用计算器求一组数据的平均数。 2、会进行数据的收集、加工与整理。 （二）能力目标： 1、初步经历数据的收集、加工与整理的过程，发展学生初步的统计意识和数据处理能力。 2、通过对计算器求平均数的探索活动，培养学生对探索能力。 （三）情感目标： 在使用计算器求平均数的探索活动中，鼓励学生重于探索，体验数学活动充满着探索与创造， 同时通过互相间合作交流，让所有学生都得到发展，达到共同进步。 教学重点： 1、探索用计算器求平均数的方法。 2、用计算器求平均数。 3、从所给条形图中正确获取信息，并能进行加工与整理。 教学难点：会进行数据的收集、加工与整理。 教学方法：合作探索法 教学过程： 一、引入新课： 在前几节课里我们分别学习了求算术平均数与加权平均数，在计算过程中，你们体会到有什么 困难吗？（引入） 二、讲授新课： 1、探一探：（新 6 人为小组） （1）自己课桌的宽度，并将各组员的估计结果统计出来（精确 0.1 厘米）。 （2）用计算器求出估计结果的平均值，你是怎么做的？互相交流。 计算器求一组数据平均数的一般步骤是：（以科学计算器为例） 1、打开计算器，按键 2 进入统计状态。 2、按键 SHIFT AC/ON = 清除机器中原有统计数据。 3、输入数据 4、显示结果 5、退出 大家的做法与以上步骤一致吗？量一量，与实际是否符合？ 2、例 1，观察图 8-1，利用计算器计算上海东方大鲨鱼篮球队队员的平均年龄。 问：分别指出图中各年龄的人数？ 问：如何用计算器求出他们的平均年龄呢？ 三、课堂练习： 1、P225 随堂练习 1.2 2、补充练习： （1）下面是某空调专卖店在今年七月份 10 天的销售数量：90，83，83，75，71，69，68， 67，65，64 求这组数据的平均数。 （2）有人对展览馆七天中每天对馆参观的人数做了记录，情况如下：180，176，173，176， 176，181，182，求这组数据的平均数。 四、小结： 1、探索计算器求平均数的方法。 2、从所给条形图中正确获取信息，并能进行加工与整理。 五、作业： 五、作业： P230 习题 8.4 §8.4 回顾与思考 教学目标： 1、掌握平均数、中位数、众数的概念，会求一组数据的平均数、中位数、众数。 2、在加权平均数中，知道权的差异对平均数的影响，并能用加权平均数解释现实生活中一些简 单的现象。 3、了解平均数、中位数、众数的差别，初步体会它们在不同情境中的应用。 4、能利和计算器求一组数据的算术平均数。 教学重点：体会平均数、中位数、众数在具体情境中的意义和应用。 教学难点：对于平均数、中位数、众数在不同情境中的应用。 教学方法：归纳教学法。 教学过程： 一、知识回顾与思考 1、平均数、中位数、众数的概念及举例。 一般地对于 n 个数 X1，……Xn 把 （X1+X2+…Xn）叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数。 如某公司要招工，测试内容为数学、语文、外语三门文化课的综合成绩，满分都为 100 分，且 这三门课分别按 25%、25%、50%的比例计入总成绩，这样计算出的成绩为数学，语文、外语成绩的加 权平均数，25%、25%、50%分别是数学、语文、外语三项测试成绩的权。 中位数就是把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的数（或最中间两个数据的平均数） 叫这组数据的中位数。 众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据。 如 3，2，3，5，3，4 中 3 是众数。 2、平均数、中位数和众数的特征： （1）平均数、中位数、众数都是表示一组数据“平均水平”的平均数。 （2）平均数能充分利用数据提供的信息，在生活中较为常用，但它容易受极端数字的影响， 且计算较繁。 （3）中位数的优点是计算简单，受极端数字影响较小，但不能充分利用所有数字的信息。 （4）众数的可靠性较差，它不受极端数据的影响，求法简便，当一组数据中个别数据变动较 大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”。 3、算术平均数和加权平均数有什么区别和联系： 算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的 权相等时，就是算术平均数。 4、利用计算器求一组数据的平均数。 利用科学计算器求平均数的方法计算平均数。 二、例题讲解： 例 1，某公司销售部有营销人员 15 人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这 15 人某月的销售量如下： （1）求这 15 位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数； （2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为平均数，你认为是否合理，为什么？如不 合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由。 例 2，某校规定：学生的平时作业、期中练习、期末考试三项成绩分别按 40%、20%、40%的比 例计入学期总评成绩，小亮的平时作业、期中练习、期末考试的数学成绩依次为 90 分，92 分，85 分，小亮这学期的数学总评成绩是多少？ 三、课堂练习：复习题 A 组 四、小结： 1、掌握平均数、中位数与众数的概念及计算。 2、理解算术平均数与加权平均数的联系与区别。 3、理解平均数、中位数与众数的特征。 五、作业： P231 复习题 B 组、C 组（选做） 教后感： 通过知识回顾与思考，使学生能用所学的知识解释现实生活中一些简单的现象。初步体会平均 数、中位数、众数在不同情境中的应用，能利用计算器处理数据。