数学卷·2018届河北省张家口一中衔接班高二下学期3月月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届河北省张家口一中衔接班高二下学期3月月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年河北省张家口一中衔接班高二（下）3月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．设集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2+x﹣2≥0}，则A∩B=（　　）‎ A．（0，1] B．[1，2） C．[﹣2，2） D．（0，2）‎ ‎2．命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=0且b=0”的逆否命题是（　　）‎ A．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ D．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ ‎3．已知复数z满足（+3i）z=3i，则z=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC（　　）‎ A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎5．若当=1，则f′（x0）等于（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎6．设a=log23，b=log43，c=，则（　　）‎ A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a ‎7．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）满足f（﹣x）=f（x），其图象与直线y=2的某两个交点横坐标为分别为x1，x2，且|x1﹣x2|的最小值为π，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则|2+|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数，则f（1）+f（2）+…+f（2010）=（　　）‎ A． B．0 C． D．‎ ‎10．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（　　）‎ A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣7‎ ‎11．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎12．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），其导函数是f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜f（）sinx的解集为（　　）‎ A．（，π） B．（﹣π，﹣）∪（，π） C．（﹣，0）∪（0，） D．（﹣，0）∪（，π）‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=　　．‎ ‎14．函数y=log（﹣x2+6x﹣5）的单调递减区间为　　．‎ ‎15．函数y=﹣sin3x﹣2sinx的最小值是　　．‎ ‎16．若函数在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（17--21每题12分，22，23二选一10分，共70分）‎ ‎17．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥‎ ‎0}，‎ ‎（Ⅰ）当m=0时，求A∩B．‎ ‎（Ⅱ）若p：x2﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎18．（12分）设函数．‎ ‎（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎（2）当时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求a的值．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax．‎ ‎（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．‎ ‎20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．‎ ‎（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．‎ ‎（1）求f（x）的解析式及单调递减区间；‎ ‎（2）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，f（x）＞+2恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ 以下两题只做一道，在答卷上标明题号 ‎22．（10分）已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ+4cosθ．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程和参数方程；‎ ‎（2）求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集．‎ ‎（Ⅱ）当a＜时，对于∀x∈（﹣∞，﹣]，都有f（x）+x≥3成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省张家口一中衔接班高二（下）3月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．设集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2+x﹣2≥0}，则A∩B=（　　）‎ A．（0，1] B．[1，2） C．[﹣2，2） D．（0，2）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）≥0，‎ 解得：x≤﹣2或x≥1，即B=（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），‎ ‎∵A=（0，2），‎ ‎∴A∩B=[1，2），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=0且b=0”的逆否命题是（　　）‎ A．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ D．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据逆否命题的形式是条件、结论同时否定并交换，写出命题的逆否命题．‎ ‎【解答】解：：“若a2+b2=0，（a，b∈R），则a=0且b=0”的逆否命题是：‎ 若a≠0，或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查四种命题的形式，利用它们的形式写出需要的命题，注意“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．已知复数z满足（+3i）z=3i，则z=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】复数相等的充要条件．‎ ‎【分析】将复数方程变形，然后化简化为a+bi的形式．‎ ‎【解答】解： =．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题是基础题，注意变形后的化简：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi的形式．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC（　　）‎ A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】利用正弦定理推出a，b，c的比例，设出三边的长，利用余弦定理求出最大角的范围即可得到选项．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可知，a：b：c=3：5：7，设a=3t，b=5t．c=7t，‎ 所以c2=a2+b2﹣2abcosC，所以cosC═﹣，所以C为钝角；‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查三角形的判断方法，考查计算能力，余弦定理的应用．‎ ‎　‎ ‎5．若当=1，则f′（x0）等于（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据导数的定义即可求出．‎ ‎【解答】解： =﹣=﹣f′（0）=1，‎ ‎∴f′（0）=﹣，‎ 故选：D ‎【点评】本题考了导数的定义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．设a=log23，b=log43，c=，则（　　）‎ A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】利用对数函数的单调性将a与1进行比较，将b与进行比较，即可得到正确选项．‎ ‎【解答】解：∵a=log23＞log22=1，1=log44＞b=log43＞log42==c ‎∴c＜b＜a 故选D ‎【点评】本题主要考查了对数的大小判断，常常利用与1进行比较，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）满足f（﹣x）=f（x），其图象与直线y=2的某两个交点横坐标为分别为x1，x2，且|x1﹣x2|的最小值为π，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】由题意知函数y是偶函数，结合所给的选项可得φ的值，再由函数的周期为π，求出ω的值即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）满足f（﹣x）=f（x），‎ ‎∴函数y为偶函数，结合所给的选项可得φ=；‎ 又其图象与直线y=2的某两个交点的横坐标为x1，x2，且|x1﹣x2|的最小值为π，‎ 由函数y的图象和性质知，f（x）的最小正周期是π，即T==π，‎ 解得ω=2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦函数的周期性问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则|2+|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由题意可得， =1×2×cos60°=1，再根据|2+|=，计算求的结果．‎ ‎【解答】解：∵向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，∴ =1×2×cos60°=1，‎ ‎∴|2+|====2，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数，则f（1）+f（2）+…+f（2010）=（　　）‎ A． B．0 C． D．‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】先求出函数f（x）的周期，然后求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）、f（5）、f（6）的值，再由2010=6×335可得答案．‎ ‎【解答】解：f（x）的周期T=6，而，，f（3）=0，，，f（6）=0，‎ ‎∴原式=335×（f（1）+f（2）+…+f（6））=0．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的周期的求法和根据周期函数的性质求函数值的问题．当所求函数值较多时一般通过寻找规律来解决．‎ ‎　‎ ‎10．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（　　）‎ A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣7‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】结合向量的加法与减法法则把表示出来，并根据向量的数量积运算法则计算即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量的加法与减法法则，是中档题．‎ ‎　‎ ‎11．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】令f（a）=x，则f[f（a）]=转化为f（x）=．先解f（x）=在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．‎ ‎【解答】解：令f（a）=x，则f[f（a）]=变形为f（x）=；‎ 当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；‎ ‎∵f（x）为偶函数，‎ ‎∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；‎ 综上所述，f（a）=1+，1﹣，﹣1﹣，﹣1+；‎ 当a≥0时，‎ f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；‎ f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；‎ f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；‎ f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；‎ 故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，‎ 综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题综合考查了函数的奇偶性和方程的解的个数问题，同时运用了函数与方程思想、转化思想和分类讨论等数学思想方法，对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高，是高考的热点问题．‎ ‎　‎ ‎12．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），其导函数是f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜f（‎ ‎）sinx的解集为（　　）‎ A．（，π） B．（﹣π，﹣）∪（，π） C．（﹣，0）∪（0，） D．（﹣，0）∪（，π）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】设g（x）=，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集 ‎【解答】解：设g（x）=，‎ ‎∴g′（x）=，‎ ‎∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，‎ 故g（﹣x）===g（x）‎ ‎∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．‎ ‎∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0‎ ‎∴g'（x）＜0，‎ ‎∴g（x）在（0，π）上单调递减，‎ ‎∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．‎ ‎∵f（）=0，‎ ‎∴g（）==0，‎ ‎∵f（x）＜f（）sinx，即g（）＞g（x）；‎ ‎①当sinx＞0时，即x∈（0，π），所以x∈（，π）；‎ ‎②当sinx＜0时，即x∈（﹣π，0）时，g（）=g（﹣）＜g（x）；‎ 所以x∈（﹣，0）；‎ 即不等式f（x）＜f（）sinx的解集为解集为（﹣，0）∪（，π），‎ 故选：D ‎【点评】求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函的不等式解之 ‎　‎ 二、填空题 ‎13．已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=　　．‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．‎ ‎【分析】由α和β的范围求出α﹣β的范围，根据cos（α﹣β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α﹣β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），‎ ‎∴α﹣β∈（0，π），‎ 又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，‎ ‎∴sin（α﹣β）==，cosβ==，‎ 则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ ‎=×+×（﹣）=．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．‎ ‎　‎ ‎14．函数y=log（﹣x2+6x﹣5）的单调递减区间为　（﹣1，3]　．‎ ‎【考点】复合函数的单调性．‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则﹣x2+6x﹣5＞0，解得x∈（1，5），‎ 设t=﹣x2+6x﹣5，则函数在（﹣1，3]上单调递增，在[3，5）上单调递减．‎ 因为函数logt在定义域上为减函数，‎ 所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是（﹣1，3]．‎ 故答案为：（﹣1，3]．‎ ‎【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．‎ ‎　‎ ‎15．函数y=﹣sin3x﹣2sinx的最小值是　﹣3　．‎ ‎【考点】三角函数的最值．‎ ‎【分析】设t=sinx（﹣1≤t≤1），则y=﹣t3﹣2t，∴y′=﹣3t2﹣2＜0，函数单调递减，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设t=sinx（﹣1≤t≤1），则y=﹣t3﹣2t，∴y′=﹣3t2﹣2＜0，函数单调递减，‎ ‎∴t=1时，函数y=﹣sin3x﹣2sinx的最小值是﹣3‎ 故答案为﹣3．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的最值，考查函数的单调性，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．若函数在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围　[1，）　．‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】求导函数，利用函数的定义域及函数在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，建立不等式组，即可确定实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：求导函数可得（x＞‎ ‎0），令f′（x）=0，可得x=‎ ‎∵函数在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，‎ ‎∴‎ ‎∴1≤k＜‎ ‎∴实数k的取值范围[1，）‎ 故答案为：[1，）‎ ‎【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（17--21每题12分，22，23二选一10分，共70分）‎ ‎17．（12分）（2017春•桥西区校级月考）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}，‎ ‎（Ⅰ）当m=0时，求A∩B．‎ ‎（Ⅱ）若p：x2﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（Ⅰ）化简A，B，根据交集的定义求出即可，‎ ‎（Ⅱ）根据又q是p的必要不充分条件，即p⇒q，即可求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}=（﹣1，3），B={x|（x+1）（x﹣1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），‎ ‎∴A∩B=[1，3），‎ ‎（Ⅱ） P为：（﹣1，3），而q为：（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞），又q是p的必要不充分条件，即p⇒q 所以m+1≤﹣1或m﹣1≥3，‎ 解得m≥4或m≤﹣2．‎ ‎【点评】本题考查了集合的运算和充分必要条件，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2013•南开区二模）设函数．‎ ‎（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎（2）当时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求a的值．‎ ‎【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）根据二倍角公式，和辅助角公式，我们易将函数的解析化简为正弦型函数的形式，进而求出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎（2）当时，根据函数f（x）的最大值与最小值的和为，我们可构造出关于a的方程，解方程即可得到a的值．‎ ‎【解答】解（1），（2分）‎ ‎∴T=π．（4分）‎ ‎．‎ 故函数f（x）的单调递减区间是． （6分）‎ ‎（2）∵，∴．∴．（8分）‎ 当时，原函数的最大值与最小值的和=，∴a=0（12分）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的值域，正弦函数的单调性，其中根据二倍角公式，和辅助角公式，化简函数的形式，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017春•桥西区校级月考）已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax．‎ ‎（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=ex﹣x2+x，再由f（0）=1求得b值；‎ ‎（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即ex﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣2x恒成立．令h（x）=ex﹣2x，利用导数求其最小值得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax，∴f′（x）=ex﹣2x﹣a，则f′（0）=1﹣a．‎ 由题意知1﹣a=2，即a=﹣1．‎ ‎∴f（x）=ex﹣x2+x，则f（0）=1．‎ 于是1=2×0+b，b=1．‎ ‎（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即ex﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣2x恒成立．‎ 设h（x）=ex﹣2x，则h′（x）=ex﹣2．‎ ‎∴当x∈（﹣∞，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；‎ 当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．‎ ‎∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．‎ ‎∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值为2﹣2ln2．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2012•山东）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．‎ ‎（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．‎ ‎【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．‎ ‎【分析】（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证 ‎（II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求．‎ ‎【解答】（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC ‎∴sinB（）=‎ ‎∴sinB•=‎ ‎∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc ‎∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，‎ ‎∵A+B+C=π ‎∴sin（A+C）=sinB 即sin2B=sinAsinC，‎ 由正弦定理可得：b2=ac，‎ 所以a，b，c成等比数列．‎ ‎（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2，‎ ‎∴，‎ ‎∵0＜B＜π ‎∴sinB=‎ ‎∴△ABC的面积．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形的切化弦及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理的应用及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017•长沙模拟）已知函数f（x）=‎ ‎，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．‎ ‎（1）求f（x）的解析式及单调递减区间；‎ ‎（2）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，f（x）＞+2恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（I）令f′（e2）=解出m，得出f（x）的解析式，令f′（x）＜0解出f（x）的单调递减区间；‎ ‎（II）分离参数得出k＞2x﹣2lnx（0＜x＜1）或k＜2x﹣2lnx（x＞1），分情况讨论求出右侧函数的最大值或最小值，从而得出k的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ），‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直，‎ ‎∴f′（e2）==，‎ 解得m=2，∴，‎ ‎∴，令f'（x）＜0解得：0＜x＜1或1＜x＜e，‎ ‎∴函数f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e）． ‎ ‎（Ⅱ）∵恒成立，即，‎ ‎①当x∈（0，1）时，lnx＜0，则恒成立，‎ 令，则g′（x）=，‎ 再令，则h′（x）=＜0，所以h（x）在（0，1）内递减，‎ 所以当x∈（0，1）时，h（x）＞h（1）=0，故，‎ 所以g（x）在（0，1）内递增，g（x）＜g（1）=2‎ ‎∴k≥2．‎ ‎②当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，则恒成立，‎ 由①可知，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）内递增，‎ 所以当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，故，‎ 所以g（x）在（1，+∞）内递增，g（x）＞g（1）=2⇒k≤2； ‎ 综合①②可得：k=2．‎ ‎【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，函数恒成立问题，属于中档题．‎ ‎　‎ 以下两题只做一道，在答卷上标明题号 ‎22．（10分）（2017春•桥西区校级月考）已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ+4cosθ．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程和参数方程；‎ ‎（2）求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ，把互化公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角标准方程．利用cos2α+sin2α=1即可得出参数方程．‎ ‎（2）解法一：直线l的参数方程是，化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，可得直线l被圆C截得的弦长为2．‎ 解法二：将代入（x﹣2）2+（y﹣1）2=5得，，设直线l与曲线C的交点对应的参数分别为t1，t2，又直线l的参数方程可化为，可得直线l被曲线C截得的弦长为|2t1﹣2t2|=2．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ，‎ 由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ得x2+y2=2y+4x，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．‎ 参数方程为（α为参数）．‎ ‎（2）解法一：∵直线l的参数方程是，‎ ‎∴直线l的普通方程是．‎ ‎∴曲线C表示圆心为（2，1），半径为的圆，‎ 圆心（2，1）到直线l的距离为，‎ ‎∴直线l被圆C截得的弦长为．‎ 解法二：将代入（x﹣2）2+（y﹣1）2=5得，，设直线l与曲线C的交点对应的参数分别为t1，t2，∴t1+t2=，t1•t2=．‎ 又∵直线l的参数方程可化为，‎ ‎∴直线l被曲线C截得的弦长为．‎ ‎【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化公式、直线的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．（2016•太原二模）设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集．‎ ‎（Ⅱ）当a＜时，对于∀x∈（﹣∞，﹣]，都有f（x）+x≥3成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1））令|2x+1|=0，解得x=﹣，令|x﹣2|=0，解得x=2．对x分类讨论即可得出．‎ ‎（2）令g（x）=f（x）+x，当x≤时，g（x）=|x﹣a|﹣x﹣1，由a，可得g（x）=，对于∀x∈，使得f（x）+x≥3恒成立．只需[g（x）]min≥3，x∈，利用图象，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1））令|2x+1|=0，解得x=﹣，令|x﹣2|=0，解得x=2．‎ 当x≥2时，原不等式化为：2x+1+x﹣2＜4，解得x，此时无解；‎ 当＜x＜2时，原不等式化为：2x+1+2﹣x＜4，解得x＜1，可得＜x＜1；‎ 当时，原不等式化为：﹣2x﹣1+2﹣x＜4，解得x＞﹣1，可得﹣1＜x≤．‎ 综上可得：原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．‎ ‎（2）令g（x）=f（x）+x，当x≤时，g（x）=|x﹣a|﹣x﹣1，由a，‎ 可得g（x）=，对于∀x∈，‎ 使得f（x）+x≥3恒成立．只需[g（x）]min≥3，x∈，‎ 作出g（x）的图象，可得：[g（x）]min=g（a）=﹣a﹣1，‎ ‎∴﹣a﹣1≥3，可得a≤﹣4．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、不等式的解法、数形结合方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎