2019年辽宁省辽南协作体高考数学一模试卷(文科)解析版

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文档介绍

2019年辽宁省辽南协作体高考数学一模试卷(文科)解析版

‎2019年辽宁省辽南协作体高考数学一模试卷(文科)‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.(5分)命题“∀x∈R,ax+b≤0“的否定是(  )‎ A.∃x∈R,ax+b≤0 B.∃x∈R,ax+b>0 ‎ C.∀x∈R,a+b≤0 D.∀x∈R,ax+b>0‎ ‎2.(5分)已知i是虚数单位,复数z=,则z对应的点在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.(5分)若集合A={x|1≤x<2}是集合B={x|x>b}的子集,则实数b的范围是(  )‎ A.b≥2 B.1<b≤2 C.b≤2 D.b<1‎ ‎4.(5分)已知cosα=,α∈(﹣,0),则cotα的值为(  )‎ A.﹣ B. C.﹣ D.‎ ‎5.(5分)已知正方体的棱长为1.则该正方体外接球的半径为(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎6.(5分)将函数f(x)=sin(2x﹣)图象上的所有点向左平移t(t>0)个单位长度,到的函数g(x)是奇函数.则下列结论正确的是(  )‎ A.t的最小值是,g(x)的对称中心为是(),k∈Z ‎ B.t的最小值为,g(x)的对称轴为x=,k∈Z ‎ C.t的最小值为,g(x)的单调增区间为(kπ﹣,kπ+),k∈Z ‎ D.t的最小值为,g(x)的周期为π ‎7.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出的结果为42,则判断框中的条件可以是(  )‎ A.n≤6? B.n>6? C.n≤5? D.n>5?‎ ‎8.(5分)若m、n为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列命题中正确的是(  )‎ A.若m、n都平行于平面α,则m、n一定不是相交直线 ‎ B.若m、n都垂直于平面α,则m、n一定是平行直线 ‎ C.已知α、β互相平行,m、n互相平行,若m∥α,则n∥β ‎ D.若m、n在平面α内的射影互相平行,则m、n互相平行 ‎9.(5分)函数f(x)=e|x|﹣2|x|﹣1的图象大致为(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.(5分)关于圆周率,数学发展史上出现过许多银有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验,受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:第一步,请n名学生,每个学生随机写下一个都小于1的正实数对(x,y);第二步,统计两数能与1构成纯角三角形边的数对(x,y)的个数m;第三步,估计π的值.若n=100,m=31,则估计π的值(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.(5分)若两个非零向量,满足||=||=||,则向量与的夹角是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.(5分)斜率为且过抛物线C:y2=4x焦点的直线交抛物线C于A、B两点,若,则实数λ为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.(5分)已知:x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最小值为   .‎ ‎14.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cosC(acosB+bcosA)=c,则角C=   .‎ ‎15.(5分)设F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上的一点,若|PF1|+|PF2|=4a,且△PF1F2的最小内角的正弦值为,则C的离心率为   .‎ ‎16.(5分)若直线y=x+1是曲线f(x)=x+(a∈R)的切线,则a的值是   .‎ 三、解答题(5个小题共60分)‎ ‎17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=(),求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎18.(12分)从某校高三年中机抽取100名学生,对其棵眼视力情况进行统计(两眼视力不同,取较低者线计),得到如图所示的率分布直方图,已知从这100人中随机抽取1人,其视力在[4.1,4.3)的概率为.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)用每组中的中间数值代表每组的数值,估计样本的平均值;‎ ‎(3)若某大学C专业的报考要求之一是裸眼视力在4.9以上,D专业的报考要求之一是裸眼现力在5.1以上,从这100人中用分层抽样的方法在[4.9,5.1]和[5.1,5.3]抽取4人,再从这4个人中随机抽取2人,求抽到的2名学生中恰好有1人既能报考C专业也能报考D专业的概率.(只考虑视力)‎ ‎19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,E为PD中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:PB∥平面EAC;‎ ‎(Ⅱ)求证:PA⊥平面ABCD;‎ ‎(Ⅲ)若PA=2,求几何体P﹣ABE的体积..‎ ‎20.(12分)已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,点P(,)满足=0.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)直线1经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M,N两点,设O为坐标原点,直线OM,直线l,直线ON的斜分别为k1,k,k2,且k1,k,k2成等比数列,求k1•k2的值.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=lnx﹣ax+.‎ ‎(1)若1是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值;‎ ‎(2)若函数f(x)在(0,+∞)单调递减,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)在(1)的条件下证明:f(x)≤xex﹣x+﹣1.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.(满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)在平面直角坐标系中,直线l过原点且倾斜角为;曲线C1的参数方程(α为参数);曲线C2的参数方程为(α为参数).‎ ‎(1)求直线1的极坐标方程,曲线C1和曲线C2的普通方程;‎ ‎(2)若直线1与曲线C1和曲线C2在第一象限的交点分别为M、N,求M、N之间的距离.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.(10分)设函数f=|x+1|﹣|2x﹣4|.‎ ‎(1)求不等式f(x)>2的解集;‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)>t2+2t解集非空,求实数t的取值范围.‎ ‎2019年辽宁省辽南协作体高考数学一模试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.(5分)命题“∀x∈R,ax+b≤0“的否定是(  )‎ A.∃x∈R,ax+b≤0 B.∃x∈R,ax+b>0 ‎ C.∀x∈R,a+b≤0 D.∀x∈R,ax+b>0‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.‎ ‎【解答】解:命题是全称命题,则命题的否定是特称命题,‎ 即∃x∈R,ax+b>0,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键.比较基础.‎ ‎2.(5分)已知i是虚数单位,复数z=,则z对应的点在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.‎ ‎【解答】解:∵z==1﹣i,‎ ‎∴z对应的点的坐标为(1,﹣1),在第四象限.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.‎ ‎3.(5分)若集合A={x|1≤x<2}是集合B={x|x>b}的子集,则实数b的范围是(  )‎ A.b≥2 B.1<b≤2 C.b≤2 D.b<1‎ ‎【分析】由集合A是集合B的子集,可得b的取值范围.‎ ‎【解答】解:由题意得A⊆B,‎ 则b<1,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查集合间的关系,属于基础题.‎ ‎4.(5分)已知cosα=,α∈(﹣,0),则cotα的值为(  )‎ A.﹣ B. C.﹣ D.‎ ‎【分析】由已知求得sinα,再由商的关系求解cotα.‎ ‎【解答】解:∵cosα=,α∈(﹣,0),‎ ‎∴sinα=,‎ ‎∴cotα=.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础题.‎ ‎5.(5分)已知正方体的棱长为1.则该正方体外接球的半径为(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【分析】由已知求出正方体的对角线长,则答案可求.‎ ‎【解答】解:∵正方体的棱长为1,‎ ‎∴正方体的对角线长为,‎ 则正方体外接球的半径为.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查正方体的外接球,明确正方体的对角线为外接球的直径是关键,是基础题.‎ ‎6.(5分)将函数f(x)=sin(2x﹣)图象上的所有点向左平移t(t>0)个单位长度,到的函数g(x)是奇函数.则下列结论正确的是(  )‎ A.t的最小值是,g(x)的对称中心为是(),k∈Z ‎ B.t的最小值为,g(x)的对称轴为x=,k∈Z ‎ C.t的最小值为,g(x)的单调增区间为(kπ﹣,kπ+),k∈Z ‎ D.t的最小值为,g(x)的周期为π ‎【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变变换,把函数的图象进行平移变换,利用奇函数的性质,求出t的最小值,进一步求出函数的最小正周期.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=sin(2x﹣)图象上的所有点向左平移t(t>0)个单位长度,得到 g(x)=sin(2x+2t﹣),‎ 由于函数g(x)是奇函数.‎ 所以:2t﹣(k∈Z),‎ 解得:t=,‎ 由于t>0,‎ 所以:当k=0时,t的最小值为,‎ 且函数的最小正周期为π.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.‎ ‎7.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出的结果为42,则判断框中的条件可以是(  )‎ A.n≤6? B.n>6? C.n≤5? D.n>5?‎ ‎【分析】根据程序框图进行模拟运算即可得到结论.‎ ‎【解答】解:第一次,s=2,a=4,不满足条件.n=2,‎ 第二次,s=2+4=6,a=6,不满足条件.n=3,‎ 第三次,s=6+6=12,a=8,不满足条件.n=4,‎ 第四次,s=12+8=20,a=10,不满足条件.n=5,‎ 第五次,s=20+10=30,a=12,不满足条件.n=6,‎ 第六次,s=30+12=42,a=14,满足条件.‎ 输出S=42,‎ 即n=6满足条件.,n=5不满足条件.‎ 则条件应该为n>5?,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用,根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键.‎ ‎8.(5分)若m、n为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列命题中正确的是(  )‎ A.若m、n都平行于平面α,则m、n一定不是相交直线 ‎ B.若m、n都垂直于平面α,则m、n一定是平行直线 ‎ C.已知α、β互相平行,m、n互相平行,若m∥α,则n∥β ‎ D.若m、n在平面α内的射影互相平行,则m、n互相平行 ‎【分析】A,平行于同一平面的两条直线可能相交,也可能平行; ‎ B,垂直于同一平面的两条直线一定平行; ‎ C,α、β互相平行,m、n互相平行,若m∥α,则n∥β或 n⊂β; ‎ D,m、n在平面α内的射影互相平行,则m、n互相平行或相交,‎ ‎【解答】解:对于A,平行于同一平面的两条直线可能相交,也可能平行,故错; ‎ 对于B,垂直于同一平面的两条直线一定平行,故正确; ‎ 对于C,α、β互相平行,m、n互相平行,若m∥α,则n∥β或 n⊂β,故错; ‎ 对于D,m、n在平面α内的射影互相平行,则m、n互相平行或相交,故错,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了空间线线、线面、面面位置关系,属于中档题.‎ ‎9.(5分)函数f(x)=e|x|﹣2|x|﹣1的图象大致为(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【分析】判断函数的奇偶性,排除选项,通过函数的导数,判断函数的单调性,然后判断函数的图象即可.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=e|x|﹣2|x|﹣1是偶函数,排除选项B,‎ 当x>0时,函数f(x)=ex﹣2x﹣1,可得f′(x)=ex﹣2,‎ 当x∈(0,ln2)时,f′(x)<0,函数是减函数,当x>ln2时,函数是增函数,‎ 排除选项A,D,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的图象的判断,是中档题.‎ ‎10.(5分)关于圆周率,数学发展史上出现过许多银有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验,受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:第一步,请n名学生,每个学生随机写下一个都小于1的正实数对(x,y);第二步,统计两数能与1构成纯角三角形边的数对(x,y)的个数m;第三步,估计π的值.若n=100,m=31,则估计π的值(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】两个数能与1构成钝角三角形的数对(x,y)满足x2+y2﹣1<0,且,x+y>1,从而不等式组表示图形的面积为﹣.由此能估计π的值.‎ ‎【解答】解:由题意,100对都小于1的正实数对(x,y)满足,其表示图形的面积为1.‎ 两个数能与1构成钝角三角形的数对(x,y)满足x2+y2﹣1<0,且,x+y>1,‎ 则不等式组表示图形的面积为﹣.‎ 则:.解得.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查几何概型,古典概型等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题.‎ ‎11.(5分)若两个非零向量,满足||=||=||,则向量与的夹角是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据即可得出,从而得出,,从而可求出,根据向量夹角的范围即可求出与的夹角.‎ ‎【解答】解:∵;‎ ‎∴;‎ ‎∴;‎ ‎∴;‎ ‎∴,且;‎ ‎∴=;‎ 又;‎ ‎∴与的夹角是:.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】考查向量数量积的运算,向量长度的求法,向量夹角的余弦公式,以及向量夹角的范围.‎ ‎12.(5分)斜率为且过抛物线C:y2=4x焦点的直线交抛物线C于A、B两点,若 ‎,则实数λ为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【分析】抛物线C:y2=4x焦点F(1,0),设A(x1,y1),y1>0,B(x2,y2).直线方程为:y=(x﹣1),与抛物线方程联立解出坐标,再根据,利用向量坐标相等得出.‎ ‎【解答】解:抛物线C:y2=4x焦点F(1,0),设A(x1,y1),y1>0,B(x2,y2).‎ 直线方程为:y=(x﹣1),联立,化为:y2﹣3y﹣4=0,‎ 解得y1=4,y2=﹣1.‎ ‎∵,∴4=﹣λ×(﹣1),解得λ=4.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量相等,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.(5分)已知:x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最小值为  .‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可.‎ ‎【解答】解:x,y满足约束条件,目标函数 画出图形:z=2x﹣y.点A(,),‎ z在点A处有最小值:z=2×=,‎ 故答案为:;‎ ‎【点评】本题主要考查了简单的线性规划,将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解,是常用的一种方法.‎ ‎14.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cosC(acosB+bcosA)=c,则角C=  .‎ ‎【分析】由已知及正弦定理,两角和的正弦函数公式,诱导公式,三角形内角和定理化简已知可得2sinCcosC=sinC,由sinC≠0,可求cosC,结合C的范围即可得解.‎ ‎【解答】解:由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,‎ 即2cosCsin(A+B)=sinC,‎ 故2sinCcosC=sinC,‎ 由sinC≠0,可得cosC=,‎ 由于C∈(0,π),‎ 所以C=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,诱导公式,三角形内角和定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题.‎ ‎15.(5分)设F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上的一点,若|PF1|+|PF2|=4a,且△PF1F2的最小内角的正弦值为,则C的离心率为  .‎ ‎【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|,|F1F2|,|PF2|,然后利用最小内角的正弦值为 ‎,其余弦值为,结合余弦定理,求出双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:因为F1、F2是双曲线的两个焦点,P是双曲线上一点,且满足|PF1|+|PF2|=4a,‎ 不妨设P是双曲线右支上的一点,由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a,‎ 所以|F1F2|=2c,|PF1|=3a,|PF2|=a,‎ ‎△PF1F2的最小内角的正弦值为,其余弦值为,‎ 由余弦定理,可得|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2,‎ 即a2=4c2+9a2﹣2×2c×3a×,‎ c2﹣2ca+2a2=0,‎ 即c=a,‎ 所以e==.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的定义,双曲线的离心率的求法,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎16.(5分)若直线y=x+1是曲线f(x)=x+(a∈R)的切线,则a的值是 ﹣1 .‎ ‎【分析】设切点的横坐标为x0,求出导函数,利用直线y=x+1与曲线y=f(x)相切,转化求解切点横坐标以及a的值即可.‎ ‎【解答】解:设切点的横坐标为x0,f′(x)=1﹣﹣==1⇒x0=﹣⇒﹣a=,‎ 则有:f(x0)=x0+﹣alnx0=x0+1⇒lnx0﹣x0+1=0,‎ 令h(x)=lnx﹣x+1⇒h′(x)=﹣1=0⇒x=1,‎ 则h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,‎ 又因为h(1)=0,所以x0=1⇒a=﹣1;‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎【点评】‎ 本题考查函数的导数的应用,函数的切线方程的求法.考查转化思想以及计算能力.‎ 三、解答题(5个小题共60分)‎ ‎17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=(),求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(1)首先求出数列的通项公式,‎ ‎(2)利用(1)的通项,进一步求出数列的通项公式,进一步求出数列的和 ‎【解答】解:数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2.‎ 当n=1时,a1=S1=1,‎ 当n≥2时,=2n﹣1(首项符合通项),‎ 故:an=2n﹣1.‎ ‎(2)由于an=2n﹣1,‎ 所以:bn=()=,‎ 则:,‎ 所以:数列{bn}是以首项为,公比为的等比数列.‎ 故:.‎ ‎【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,数列的前n项和公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.‎ ‎18.(12分)从某校高三年中机抽取100名学生,对其棵眼视力情况进行统计(两眼视力不同,取较低者线计),得到如图所示的率分布直方图,已知从这100人中随机抽取1人,其视力在[4.1,4.3)的概率为.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)用每组中的中间数值代表每组的数值,估计样本的平均值;‎ ‎(3)若某大学C专业的报考要求之一是裸眼视力在4.9以上,D 专业的报考要求之一是裸眼现力在5.1以上,从这100人中用分层抽样的方法在[4.9,5.1]和[5.1,5.3]抽取4人,再从这4个人中随机抽取2人,求抽到的2名学生中恰好有1人既能报考C专业也能报考D专业的概率.(只考虑视力)‎ ‎【分析】(1)从这100人中随机抽取1人,其视力在[4.1,4.3)的概率为.由频率分布直方图的性质能求出a,b的值.‎ ‎(2)用每组中的中间数值代表每组的数值,能估计样本的平均值.‎ ‎(3)从这100人中用分层抽样的方法在[4.9,5.1]和[5.1,5.3]抽取4人,则视力在[4.9,5.1)有3人,分别记为A,B,C,[5.1,5.3]有1人,记为a,再从这4个人中随机抽取2人,利用列举法能求出抽到的2名学生中恰好有1人既能报考C专业也能报考D专业的概率.‎ ‎【解答】解:(1)从这100人中随机抽取1人,其视力在[4.1,4.3)的概率为.‎ 由频率分布直方图得:b×0.2=,解得b=0.5,‎ ‎∴(0.5+0.75+a+1.75+0.75+0.25)×0.2=1,‎ 解得a=1.‎ ‎(2)用每组中的中间数值代表每组的数值,估计样本的平均值为:‎ ‎4.2×0.1+4.4×0.15+4.6×0.35+4.8×0.2+5.0×0.15+5.2×0.05=4.66.‎ ‎(3)从这100人中用分层抽样的方法在[4.9,5.1]和[5.1,5.3]抽取4人,‎ 则视力在[4.9,5.1)有3人,分别记为A,B,C,[5.1,5.3]有1人,记为a,‎ 再从这4个人中随机抽取2人,基本事件总数n==6,分别为:‎ ‎(AB),(AC),(Aa),(BC),(Ba),(Ca),‎ 抽到的2名学生中恰好有1人既能报考C专业也能报考D专业的包含的基本事件个数m=3,分别为:‎ ‎(Aa),(Ba),(Ca),‎ ‎∴抽到的2名学生中恰好有1人既能报考C专业也能报考D专业的概率p=.‎ ‎【点评】本题考查频率、概率的求法,考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,E为PD中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:PB∥平面EAC;‎ ‎(Ⅱ)求证:PA⊥平面ABCD;‎ ‎(Ⅲ)若PA=2,求几何体P﹣ABE的体积..‎ ‎【分析】(Ⅰ)判断EO∥PB,EO⊂平面ACE;PB⊄平面ACE得出:PB∥平面ACE;‎ ‎(Ⅱ)判断PB⊥BC,且PB∩AB=B,PA⊥平面ABCD;‎ ‎(Ⅲ)AB⊥面PAD,VP﹣ABE=VB﹣PAE=S△PAE•AB,运用求解即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:连接BD交AC与O,连接EO,‎ ‎∵底面ABCD是正方形,‎ ‎∴O为BD的中点,‎ ‎∵又E为PD的中点,‎ ‎∴在△PBD中,EO为其中位线,‎ ‎∴EO∥PB,‎ ‎∵EO⊂平面ACE;PB⊄∴‎ ‎∴PB∥平面ACE;‎ ‎(Ⅱ)证明:∵底面ABCD是边长为2的正方形,‎ ‎∴AB⊥BC,‎ ‎∵PB⊥BC,且PB∩AB=B,‎ ‎∴BC⊥面PAB,‎ ‎∵PA⊂平面PAB,∴PA⊥BC,‎ 同理可证PA⊥CD,‎ ‎∵BC∩CD=C,BC⊂面ABCD,CD⊂面ABCD,‎ ‎∴PA⊥平面ABCD;‎ ‎(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知PA⊥AB,‎ 又AB⊥AD,‎ ‎∴AB⊥面PAD,‎ ‎∵PA=2,在Rt△PAD中,E为PD的中点,‎ ‎∴S△PAE=═=1,‎ ‎∴VP﹣ABE=VB﹣PAE=S△PAE•AB==,‎ ‎【点评】本题考查空间几何体的性质,证明直线平面的垂直,求解体积问题,属于中档题.‎ ‎20.(12分)已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,点P(,)满足=0.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)直线1经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M,N两点,设O为坐标原点,直线OM,直线l,直线ON的斜分别为k1,k,k2,且k1,k,k2成等比数列,求k1•k2的值.‎ ‎【分析】(1)依题意F1(﹣c,0),由=﹣c2+3=0,即c=,根据离心率求出a,即可求出b,可得椭圆方程 ‎(2)设直线l的方程为y=k(x﹣),M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理,转化求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)依题意F1(﹣c,0),‎ ‎∴=﹣c2+3=0,即c=‎ ‎∵e==,‎ ‎∴a=2,‎ ‎∴b2=a2﹣c2=1,‎ ‎∴椭圆C的方程为+y2=1,‎ ‎(2)设直线l的方程为y=k(x﹣),M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 由,得(1+4k2)x2+8k2x+4(3k2﹣1)=0,‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ ‎∵k1,k,k2成等比数列,‎ ‎∴k1•k2=k2==,‎ 则(x1+x2)=3,‎ 即=,‎ 解得k2=‎ 故k1•k2=.‎ ‎【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查了椭圆的简单性质,直线的斜率,等比数列的性质,属于中档题.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=lnx﹣ax+.‎ ‎(1)若1是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值;‎ ‎(2)若函数f(x)在(0,+∞)单调递减,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)在(1)的条件下证明:f(x)≤xex﹣x+﹣1.‎ ‎【分析】(1)f′(x)=﹣a﹣,x>0.根据1是函数f(x)的一个极值点,可得f′(1)=0,解得a.‎ ‎(2)函数f(x)在(0,+∞)单调递减,可得f′(x)=﹣a﹣≤0,x>0.化为:a≥﹣=.利用二次函数的单调性即可得出.‎ ‎(3)在(1)的条件下,即a=0时证明:f(x)≤xex﹣x+﹣1⇔xex﹣x﹣lnx﹣1≥0.令g(x)=xex﹣x﹣lnx﹣1,x>0.利用导数研究其单调性可得其最小值,即可证明结论.‎ ‎【解答】(1)解:f′(x)=﹣a﹣,x>0.‎ ‎∵1是函数f(x)的一个极值点,‎ ‎∴f′(1)=1﹣a﹣1=0,解得a=0,‎ 经过验证满足条件,∴a=0.‎ ‎(2)解:∵函数f(x)在(0,+∞)单调递减,‎ ‎∴f′(x)=﹣a﹣≤0,x>0.‎ 化为:a≥﹣=.‎ ‎∴a≥,当且仅当x=2时取等号.‎ ‎(3)证明:在(1)的条件下,即a=0时证明:f(x)≤xex﹣x+﹣1⇔xex﹣x﹣lnx﹣1≥0.‎ 令g(x)=xex﹣x﹣lnx﹣1,x>0.‎ g′(x)=(x+1)ex﹣1﹣=(x+1)(ex﹣),‎ 令g′(x)=0,解得=,即x0=﹣lnx0,x0>0,‎ 可知:x=x0,函数g(x)取得极小值即最小值,‎ g(x0)=x0﹣x0+x0﹣1=0,‎ ‎∴g(x)≥0成立.‎ 因此:在(1)的条件下证明:f(x)≤xex﹣x+﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分析法、等价转化方法、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.(满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)在平面直角坐标系中,直线l过原点且倾斜角为;曲线C1的参数方程(α为参数);曲线C2的参数方程为(α为参数).‎ ‎(1)求直线1的极坐标方程,曲线C1和曲线C2的普通方程;‎ ‎(2)若直线1与曲线C1和曲线C2在第一象限的交点分别为M、N,求M、N之间的距离.‎ ‎【分析】(1)直线l的极坐标方程为θ=,(ρ∈R);利用sin2α+cos2α=1可得C1和 C2的普通方程;‎ ‎(2)将C1,C2化成极坐标方程后将θ=代入可求得|OM|,|ON|,再相加.‎ ‎【解答】解:(1)直线l的极坐标方程为θ=,(ρ∈R);‎ 曲线C1 的普通方程为+y2=1;‎ 曲线C2的普通方程为(x﹣3)2+(y﹣2)2=13.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为ρ2=,‎ 曲线C2的极坐标方程为:ρ=6cosθ+4sinθ,‎ ‎∴|OM|=6cos+4sin=5,|ON|==,‎ 可得|MN|=|ON|﹣|OM|=5﹣=.‎ ‎【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.(10分)设函数f=|x+1|﹣|2x﹣4|.‎ ‎(1)求不等式f(x)>2的解集;‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)>t2+2t解集非空,求实数t的取值范围.‎ ‎【分析】(1)运用分类讨论解不等式即可得到所求解集;‎ ‎(2)由题意可得t2+2t<f(x)max,由绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值,解不等式可得所求范围.‎ ‎【解答】解:(1)|x+1|﹣|2x﹣4|>2,‎ 等价为或或,‎ 可得x∈∅或<x≤2或2<x<3,‎ 即为<x<3,则原不等式的解集为(,3);‎ ‎(2)关于x的不等式f(x)>t2+2t解集非空,‎ 可得t2+2t<f(x)max,‎ 由f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|﹣|x﹣2|≤|x+1﹣x+2|﹣0=3,当且仅当x=2时取得最大值2,‎ 可得t2+2t<3,解得﹣3<t<1.‎ ‎【点评】本题考查不等式的解法和不等式有解的运用,考查运算能力,属于基础题.‎
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