2015高考数学人教A版本（8-1直线的方程与两条直线的位置关系）一轮复习学案
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-1直线的方程与两条直线的位置关系课后强化作业 新人教A版
基础巩固强化
一、选择题
1．(2013·山东潍坊一中月考)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
[答案] C
[解析] 若k＝3，则两直线为y＝－1，y＝，此时两直线平行，所以满足条件．当k≠3时，要使两直线平行，则有＝≠，即＝≠，解得k＝5，综上满足条件的k值为k＝3或k＝5，选C.
2．(文)直线xcos140°＋ysin140°＝0的倾斜角是( )
A．40° B．50°
C．130° D．140°
[答案] B
[解析] 直线的斜率k＝－
＝＝＝tan50°，
∴倾斜角为50°.
(理)已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线l的斜率是( )
A．0 B.
C. D．－
[答案] C
[解析] 由条件知，直线PQ的倾斜角为120°，旋转后所得直线l与直线PQ夹角为60°，因此直线l的倾斜角为60°，∴斜率k＝.
3．(文)(2013·陕西检测)经过抛物线y＝x2的焦点和双曲线－＝1的右焦点的直线方程为( )
A．x＋48y－3＝0 B．x＋80y－5＝0
C．x＋3y－3＝0 D．x＋5y－5＝0
[答案] D
[解析] 易知抛物线的焦点坐标为(0,1)，双曲线的右焦点坐标为(5,0)，则过这两点的直线方程为y－0＝(x－5)，即x＋5y－5＝0.
(理)(2013·河南安阳一模)平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D点在直线3x－y＋1＝0上移动，则B点的轨迹方程为( )
A．3x－y－20＝0 B．3x－y－10＝0
C．3x－y－9＝0 D．3x－y－12＝0
[答案] A
[解析] 设AC的中点为O，则O(，－2)．
设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，
即D(x0，y0)，则
由3x0－y0＋1＝0得3x－y－20＝0.
4．(2013·保定调研)若实数x，y满足x|x|－y|y|＝1，则点(x，y)到直线y＝x的距离的取值范围是( )
A．[1，) B．(0，]
C．(，1) D．(0,1]
[答案] D
[解析]
①当x≥0且y≥0时，x|x|－y|y|＝x2－y2＝1；②当x>0且y<0时，x|x|－y|y|＝x2＋y2＝1；③当x<0且y>0时，无意义；④当x<0且y<0时，x|x|－y|y|＝y2－x2＝1.作出图象如图所示，因为直线y＝x为两段等轴双曲线的渐近线，四分之一个单位圆上的点到直线y＝x的距离的最大值为1，所以选D.
5．(文)曲线y＝k|x|及y＝x＋k(k>0)能围成三角形，则k的取值范围是( )
A．0
1 D．k≥1
[答案] C
[解析] 数形结合法．在同一坐标系中作出两函数的图象，可见k≤1时围不成三角形，k>1时能围成三角形．
(理)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，当x<0时，f(x)>1，方程y＝ax＋表示的直线是( )
[答案] C
[解析] ∵x<0时，ax>1，∴01.故选C.
6．(文)(2013·南宁调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
[答案] A
[解析] 与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
(理)一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为( )
A．2x＋y－6＝0 B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0 D．x＋2y－9＝0
[答案] B
[解析] 取直线2x－y＋2＝0上一点A(0,2)，设点A(0,2)关于直线x＋y
－5＝0对称的点为B(a，b)，
则解得∴B(3,5)．
由解得∴直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P(1,4)，∴反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上，其直线方程为y－4＝(x－1)，整理得x－2y＋7＝0，故选B.
二、填空题
7．若三直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＋k＋＝0能围成三角形，则k不等于________．
[答案] 、－1和－
[解析] 由得交点P(－1，－2)，
若P在直线x＋ky＋k＋＝0上，则k＝－.
此时三条直线交于一点；
若k＝或k＝－1，则在三条直线中存在两条直线平行．
综上知k≠－，和－1.
8．已知指数函数y＝2x的图象与y轴交于点A，对数函数y＝lgx的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点M(0，－2)，则|MP|的最小值为________．
[答案]
[解析] A(0,1)，B(1,0)，∴直线AB：x＋y－1＝0，
又M(0，－2)，当|MP|取最小值时，MP⊥AB，
∴|MP|的最小值为M到直线AB的距离
d＝＝.
9．已知00)，则|PN|＝x0，|PM|＝＝，因此|PM|·|PN|＝1.
(2)直线PM的方程为y－x0－＝－(x－x0)，
即y＝－x＋2x0＋，解方程组
得x＝y＝x0＋，∴M(x0＋，x0＋)．连接OP，
S四边形OMPN＝S△NPO＋S△OPM＝|PN||ON|＋|PM||OM|＝x0(x0＋)＋··(x0＋)＝＋(x＋)≥1＋，
当且仅当x＝，即x0＝1时等号成立，因此四边形OMPN面积的最小值为1＋.
能力拓展提升
一、选择题
11．(2013·福建龙岩一模)已知直线l1的方向向量a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)，若直线l2过点(0,5)，且l1⊥l2，则直线l2的方程是( )
A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0
C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0
[答案] B
[解析] 因为直线l2经过点(0,5)，
且方向向量为b＝(－1，k)，
所以直线l2的方程为y－5＝－kx.
又因为直线l1的方向向量为a＝(1,3)，且l1⊥l2，
所以－k·3＝－1⇒k＝，
所以直线l2的方程为y－5＝－x，即x＋3y－15＝0.
12．(文)(2013·海口模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( )
A．(3,0) B．(－3,0)
C．(0，－3) D．(0,3)
[答案] D
[解析] 由题意知，直线l2的方程为y－1＝2(x＋1)，
令x＝0，得y＝3，即点P的坐标为(0,3)．
(理)(2013·湖南长沙一模)过点(1,3)作直线l，若经过点(a,0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的直线l的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 由题意得＋＝1⇒(a－1)(b－3)＝3.
又a∈N*，b∈N*，
所以有两个解或
13．(文)经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )
A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0
C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0
[答案] B
[解析] 设直线方程为＋＝1，
由条件知a>0，b>0，＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝5＋＋
≥5＋2＝9，
等号在＝，即b＝2a时成立．
∵＋＝1，b＝2a，∴
∴直线方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0.
(理)(2013·山西六校模拟)设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积最小值为( )
A．1 B.
C．2 D.
[答案] D
[解析] 依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1,1)，半径是1，易知|PC|的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝2，而四边形PACB的面积等于2S△PAC＝2×(|PA|·|AC|)＝|PA|·|AC|＝|PA|＝，
因此四边形PACB的面积的最小值是＝，选D.
二、填空题
14．(文)(2013·皖南八校联考)已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为________．
[答案] 2
[解析] ∵两直线互相垂直，
∴a2b－(a2＋1)＝0且a≠0，
∴a2b＝a2＋1，
∴ab＝＝a＋，
∴|ab|＝|a＋|＝|a|＋≥2.(当且仅当a＝±1时取“＝”)．
(理)(2013·潍坊质检)已知直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝xlnx相切，则直线l的方程为________．
[答案] x－y－1＝0
[解析] y′＝1＋lnx，设切点坐标为(x1，y1)，则有y1＝x1lnx1，直线l的斜率为1＋lnx1，从而直线l的方程为y＝(1＋lnx1)·(x－x1)＋x1lnx1，又直线l过点(0，－1)，所以－1＝－x1(1＋lnx1)＋x1lnx1，解得x1＝1，y1＝0，故直线l的方程为x－y－1＝0.
15．(文)如果f ′(x)是二次函数，且f ′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，－)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．
[答案] [0，)∪(，π)
[解析] 由题意f ′(x)＝a(x－1)2－，
∵a>0，∴f ′(x)≥－，因此曲线y＝f(x)上任一点的切线斜率k＝tanα≥－，
∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α<或<α<π.
(理)(2013·福州质检)已知曲线y＝，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．
[答案]
[解析] y′＝＝，因为ex>0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，所以ex＋＋2≥4，故y′＝≥－(当且仅当x＝0时取等号)．所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0，)，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.
该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝×2×＝.
三、解答题
16．(文)过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．
[解析] 当k不存在时，B(3,0)，C(3,6)．
此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，
∴直线l的斜率存在，
∴设直线l的方程为：y＋1＝k(x－3)，
令y＝0得B(3＋，0)，
由得C点横坐标xc＝.
若|BC|＝2|AB|则|xB－xC|＝2|xA－xB|，
∴|－－3|＝2||，
∴－－3＝或－－3＝－，
解得k＝－或k＝.
∴所求直线l的方程为：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.
(理)
有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10min内只进水、不出水，在随后的30min内既进水又出水，得到容器内水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示，若40min后只放水不进水，求y与x的函数关系．
[解析] 当0≤x≤10时，直线过点O(0,0)，A(10,20)，∴kOA＝＝2，∴此时直线方程为y＝2x；
当1040时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v1，放水的速度为v2，在OA段时是进水过程，∴v1＝2.在AB段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v1＋v2＝，
∴2＋v2＝.∴v2＝－.
∴当x>40时，k＝－，又过点B(40,30)，
∴此时的直线方程为y＝－x＋.
令y＝0得，x＝58，此时到C(58,0)放水完毕．
综上所述：y＝
考纲要求
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．
3．掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．
4．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
5．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两平行直线间的距离．
补充说明
1．判断三点A、B、C共线的方法
(1)kAB＝kAC(斜率存在时)；
(2)∥；
(3)求出直线AB的方程，验证点C满足方程；
(4)计算|AB|，|BC|，|AC|，验证满足两个的和等于第三个．
2．若直线l1、l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2的充分条件是A1B2－A2B1＝0且A1C2≠A2C1；而l1⊥l2的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
3．分类讨论思想
在直线的方程中，涉及分类讨论的常见原因有：确定直线所经过的象限；讨论直线的斜率是否存在；直线是否经过坐标原点等．
4．对称思想
在许多解析几何问题中，常常涉及中心对称和轴对称的性质，许多问题，抓住了其对称性质，问题可迎刃而解．
备选习题
1．已知直线l1、l2的方程分别为x＋ay＋b＝0，x＋cy＋d＝0，其图象如图所示，则有( )
A．ac<0 B．ad
[答案] C
[解析] 由图可知，a、c均不为零．直线l1的斜率、在y轴上的截距分别为：－、－；直线l2的斜率、在y轴上的截距分别为：－、－，由图可知－<0，－>0，－<0，－<0，－>－，于是得a>0，b<0，c>0，d>0，a>c，所以只有bd<0正确．
2．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π) B．[0，]∪[，π)
C．[0，] D．[0，]∪(，π)
[答案] B
[解析] 设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，其中sinα∈[－1,1]，∴tanθ∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π.
3．如下图，定圆半径为a，圆心为C(b，c)，则直线ax＋by＋c＝0与直线x－y＋1＝0的交点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] 由已知－b>a>c>0，
∴a－c>0，a＋b<0，b＋c<0，
由得交点在第三象限，
∴选C.
4．(2013·辽宁五校联考)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，a)，N2(0，b)，且ab＝3.
(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；
(2)已知点F2(1,0)，设直线l：y＝kx＋m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．
[解析] (1)依题意知直线A1N1的方程为：y＝(x＋2)，①
直线A2N2的方程为：y＝－(x－2)，②
设R(x，y)是直线A1N1与A2N2交点，①×②得y2＝－(x2－4)．
将ab＝3代入整理得＋＝1.
∵点N1、N2不与原点重合，
∴点A1(－2,0)、A2(2,0)不在轨迹M上，
∴轨迹M的方程为＋＝1(x≠±2)．
(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为零，
联立方程消去y得，(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则
(*)且kF2P＝，kF2Q＝.
由已知α＋β＝π，得kF2P＋kF2Q＝0，
∴＋＝0，
化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，
将(*)式代入，得2k×－－2m＝0，
整理得m＝－4k.
∴直线l的方程为y＝k(x－4)，
∴直线l过定点，该定点的坐标为(4,0)．
