普通高中毕业班质量检查卷 理科数学

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理科数学 第 1页 共 6 页 2020 届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4） 理 科 数 学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 6 页． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．考生要认真核对答题 卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在 答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．设集合 { | ln 0}A x x  ， { | 1}B x x   ，则 A BRI ð = A．{ | 1 1}x x   B. { | 0 1}x x  C. { | 1 1}x x   D. { | 1}x x  2．设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 3 3a  ， 7 13a  ，则 9S  A．36 B．70 C．72 D．144 3．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合 称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所 对应干支的程序框图．例如公元 1988 年，即输入 1988N  ，执行 该程序框图，运行相应的程序，输出 5x  ，从干支表中查出对应 的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元 429 年， 则该年所对应的干支为 A. 己巳 B. 庚午 C. 壬戌 D. 癸亥 4．  51 1 2xx      的展开式中， 3x 的系数是 A． 50 B． 30 C． 50 D．30 开始 输入 N 是 否 1i i  输出 x 60x  结束 1i  3 60*x N i   六十干支表（部分） 5 6 7 戊辰 己巳 庚午 58 59 60 辛酉 壬戌 癸亥 理科数学 第 2页 共 6 页 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．  B． 9 C．12 D． 36 6．已知 ,02       ，且 3sin 2 cos2 1   ，则 cos  A． 0 B． 1 2 C． 3 2 D． 0 或 3 2 7．在复平面内O 为坐标原点，复数 1 i( 3 i)z   ， 1 2 3 i zz   对应的 点分别为 1Z ， 2Z ，则 1 2Z OZ 的大小为 A． 5 12  B． 1 2  C． 7 12  D． 11 12  8．函数 ( ) ln 0f x ax x   ( )a Î R 恒成立的一个充分不必要条件是 A． 1 ,ea     B．  0,a  C．  1,a  D． ( ,e]a  9．已知O 为坐标原点， AB 是 :C 2 2( 3) ( 4) 1x y    的直径．若点Q 满足 2OQ  ，则 QA QB  的最小值为 A． 2 B． 3 C．8 D．15 10．方程  2 2: 2( 1)( 3) e ex xx x y      的曲线有下列说法： ①该曲线关于 2x = 对称； ②该曲线关于点 (2, 1) 对称； ③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数． 其中正确的是 A．②③ B．①④ C．②④ D．①③ 11．如图，四边形 ABCD 为正方形，四边形 EFBD 为矩形， 且平面 ABCD 与平面 EFBD 互相垂直．若多面体 ABCDEF 的体积为 16 3 ，则该多面体外接球表面积的最小值为 A．16 B．12 C．8 D． 6 12．双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，O 为坐标原点． P 为 曲线 C 右支上的点，点 M 在 1 2F PF 外角平分线上，且 2 0F M PM  uuuuv uuuv ．若 2OF M 恰为 顶角为120o 的等腰三角形，则该双曲线的离心率为 A． 2 3 B． 4 3 3 C． 2 D． 3 E D C B A F 4 正视图 侧视图 3 3 俯视图 理科数学 第 3页 共 6 页 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．若抛物线经过点 11, 2     ， (2,2) ，则该抛物线的标准方程为___________． 14 ． 记 nS 为 正 项 数 列 { }na 的 前 n 项 和 ， 2 1 2n n na a a   ． 若 1 1a  ， 3 7S  ， 则 5a  ___________． 15．宁德市中学生篮球比赛中，右图为某球队 8场比赛得分的茎叶 图，其中有两个数字不慎被墨迹污染（分别用 ,m n 标注）.目前得 知这组数据的平均值为 58 ，则方差 2S 最大时 m n 的值为_________． 16．已知函数 1 2 , 0, ( ) , 0.2 1 xx e x f x xx x        „ 若关于 x 的不等式 2 ( ) 2 ( ) 2 0f x af x a    的解集非空，且 为有限集，则实数 a 的取值集合为___________． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须做答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共 60 分 17．（12 分） 如图，在平面四边形 ABCD 中，AB BC ， 3 3AB  ， 3CD  ， 1cos 7BDC   ， 3C   . （1）求 sin DBC ； （2）求 AD 的长. 理科数学 第 4页 共 6 页 18．（12 分） 如图，在棱柱 ' ' ' 'ABCD A B C D 中，底面 ABCD 为平行四边形， ' 4,DD CD  2AD  , 3BAD   ,且 'D 在底面上的投影 H 恰为 CD 的中点. （1）过 D H 作与 BC 垂直的平面 ，交棱 BC 于点 N ，试确定点 N 的位置，并说明理由； （2）若点 P 满足 D P D C    ，试求  的值，使二面角 P BH A  为 3 4  . 19．（12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 2 2 ， 1 2,F F 分别为椭圆的左、右焦点，点 P 为椭圆 C 上的一动点， 1 2PF F 面积的最大值为 2. （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 2PF 与椭圆C 的另一个交点为 Q ，点  2 2,0A ，证明：直线 PA 与直线QA 关 于 x 轴对称. 20．（12 分） 已知函数 2( ) ln ( 1)2 af x x x a x    （ aR ）． （1）讨论函数 ( )f x 的单调性； （2）求证： 3 2 2 6 (1 ln ) 2 3 5 0 1 x x x x x       ． 理科数学 第 5页 共 6 页 21．（12 分） 某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通（年 卡）．为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了 2019 年到本市景区 旅游的 1000 个游客的年旅游消费支出（单位：百元），并制成如下频率分布直方图： 由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分 布 2( , 3.2 )N  ，其中  近似为样本平均数 x （同一组数据用该组区间的中点值作代表）. (1) 若 2019 年到本市景区旅游游客为 500 万人，试估计 2019 年有多少游客在本市的年 旅游消费支出不低于 1820 元； (2) 现依次抽取 n 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件 A 表示“连续 3 人的旅游消费支出超出  ”．若 nP 表示 A 的概率， 1 2 3 1 ( 3, ,4n n n nP aP P bP n a b      为常数），且 1210  PPP . （i）求 3P ， 4P 及 a ，b ； （ii）判断并证明数列 nP 从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义． ( 参考数据： ( ) 0.6826P X        ， ( 2 2 ) 0.9544P X        ， ( 3 3 ) 0.9973)P X        理科数学 第 6页 共 6 页 (二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的 第一题记分． 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为  cos , sin x y      为参数 ．以坐标原点 O 为 极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 A 的极坐标为 1, 2      ，直线 l 的极坐标方 程为 cos 2 sin 8 0      ． (1)求 A 的直角坐标和 l 的直角坐标方程； (2)把曲线 1C 上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标伸长为原来的 3 倍，得到曲线 2C ， B 为 2C 上动点，求 AB 中点 P 到直线l 距离的最小值． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) 1 ,f x x m x m      N . 若存在实数 x 使得 ( ) 3f x  成立. (1)求 m 的值； (2)若 , 0   ，   4 1 1 m    ，求  的最小值. 扫码回复“宁德调研”查看答案 高三数学(文科)试卷 共 5 页 第 1页 2020 届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4） 文 科 数 学 本试卷共 5 页。满分 150 分。 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生 要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓 名是否一致。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合  2 3A x x    Z ，   lg 1B x y x   ，则 A B  A． 1 3x x  B． 2x x   C． 1,2,3 D． 2,3 2．已知 i 是虚数单位，复数 3 i iz  ，则 z 的共轭复数 z  A．1 3i B．1 3i C． 1 3i  D． 1 3i  3．已知向量 ,a b 的夹角为 60 ， 2a ， 1b ，则 2 a b A． 3 B． 2 C． 5 D． 4 4．设 x,y 满足约束条件 1 0, 2 4 0, 0, 0, x y x y x y           则 2z x y  的最大值为 A． 1 B． 0 C． 4 D． 6 5．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是 某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A． 30 B． 24 C．15 D． 9 高三数学(文科)试卷 共 5 页 第 2页 6．已知 (0, )   ， 2sin2 cos2 1   ，则 cos  A． 2 5 5 B． 5 5 C． 2 5 5  D． 5 5  7．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合 称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所 对应干支的程序框图．例如公元 1988 年，即输入 1988N  ，执行 该程序框图，运行相应的程序，输出 5x  ，从干支表中查出对应 的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元 429 年， 则该年所对应的干支为 A. 己巳 B. 庚午 C. 壬戌 D. 癸亥 8．在四面体 ABCS  中， ABCSA 平面 ， 2,3  SABCACAB ，则该四面体的外 接球的半径为 A．1 B． 3 C． 2 D． 4 9．已知函数 | |( ) e xf x  ， 1 3 (log 2)a f ， (2)b f ， 2(log 3)c f ，则 A． c a b  B． c b a  C． a b c  D． a c b  10．已知函数 π( ) sin( )( 0, )2f x ωx φ ω φ= + > < 的最小正周期为 π ，且图象向右平移 π 12 个 单位后得到的函数为偶函数，则 ( )f x 的图象 A．关于点 5π( ,0)12 对称 B．关于直线 π 6x = 对称 C．在[ , ]12 12   单调递增 D．在 π 7π[ , ]12 12 单调递减 11．已知可导函数 ( )f x 的定义域为 R ，且满足 ( 4) ( )f x f x   ，( 2) ( ) 0x f x  ，则对任 意的 1 2x x ，“ 1 2( ) ( )f x f x ”是“ 1 2 4x x  ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 开始 输入 N 是 否 1i i  输出 x 60?x  结束 1i  3 60*x N i   六十干支表（部分） 5 6 7 戊辰 己巳 庚午 58 59 60 辛酉 壬戌 癸亥 高三数学(文科)试卷 共 5 页 第 3页 12 ． 已 知 双 曲 线 C 的 两 个 顶 点 分 别 为 1 2,A A ， 若 C 的 渐 近 线 上 存 在 点 P ， 使 得 1 2| | 2 | |PA PA ，则 C 的离心率的取值范围是 A． 1,3 B． 3, C．  1,2 D． 2, 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．若抛物线经过点 11, 2     ， (2,2) ，则该抛物线的标准方程为_________． 14．甲、乙两位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏，两人各随机出锤子、剪刀、布中的一种．若 出相同则为平局；若出不同，则锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子．玩一次该游戏， 甲同学不输的概率为_________． 15．在平面四边形 ABCD 中， BC CD ， 135B   ， 3 2, 3 5, 5AB AC CD   ， 则 AD  _________． 16．已知函数 2 2 log , 0 , ( ) 2 1, , x x a f x x x x a       若存在实数 m ，使得方程 ( ) 0f x m  有两个不相等 的实数根，则 a 的取值范围是_________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(12 分) 已知公差不为 0 的等差数列 na 中， 1 3 9, ,a a a 成等比数列，且 5 82 2a a  ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 1 1 n n n b a a   ，求数列 nb 的前 n 项和 nS ． 高三数学(文科)试卷 共 5 页 第 4页 18．(12 分) A 、B 两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验,成绩（单位：分） 记录如下： A 71 62 72 76 63 70 85 83 B 73 84 75 73 7 8 76 85 B 同学的成绩不慎被墨迹污染（ , 分别用m，n表示）. （1）用茎叶图表示这两组数据，现从 A 、 B 两同学中选派一人去参加数学竞赛，你 认为选派谁更好？请说明理由（不用计算）； （2）若 B 同学的平均分为 78，方差 2 19s  ，求 m，n. 19．(12 分) 如 图 ， 在 四 棱 柱 ' ' ' 'ABCD A B C D 中 ， 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， ' 4, 2DD CD AD   , 60BAD   ，且点 'D 在底面上的投影 H 恰为 CD的中点． （1）棱 BC 上存在一点 N ，使得 AD  平面 'D HN ，试确定点 N 的位置，说明理由； （2）求三棱锥 ' 'C A HC 的体积． 20．(12 分) 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 2 2 ， 1 2,F F 分别为椭圆的左、右焦点， 点 M 为椭圆 C 上的一动点， 1 2MF F 面积的最大值为 2． （1）求 C 的方程； （2）过 2F 且与 x 轴不重合的直线l 交 C 于 ,P Q 两点，点  2 2,0A ，证明：直线 ,PA QA 关于 x 轴对称． 高三数学(文科)试卷 共 5 页 第 5页 21．(12 分) 已知 ( ) ( )(e 2)xf x ax b x    在点 (0, (0))f 处的切线方程为 6 0x y  ． （1）求实数 ,a b 的值； （2）当 0x  时，证明： ( ) 2ln 2 +3f x x x  ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做 的第一个题目计分． 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线  1 cos ,: sin xC y      为参数 ．以坐标原点O 为极点，x 轴的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 点 A 的 极 坐 标 为 1, 2      ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 cos 2 sin 8 0      ． （1）求点 A 的直角坐标和直线l 的直角坐标方程； （2）把曲线 1C 上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标伸长为原来的 3 倍，得到 曲线 2C ， B 为 2C 上动点，求 AB 中点 P 到直线l 距离的最小值． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) 1 ,f x x m x m      N , 若存在实数 x 使得   3f x  成立. （1）求 m 的值； （2）若 , 0   ，   4 1 1 m    ，求  的最小值. 扫码回复“宁德调研”查看答案