数学高考综合能力题选讲 南海实验学校

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数学高考综合能力题选讲23‎ 方案优化型综合问题 ‎100080 北京中国人民大学附中 梁丽平 题型预测 寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点．解决问题的方法涉及均值不等式、单调性等求最值的方法，有些时候也用穷举法．由于与实际问题联系较紧密，此类问题在高考中往往以应用题的面目出现．‎ 范例选讲 例1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．‎ ‎（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？‎ ‎（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？‎ 讲解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．‎ ‎（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：‎ ‎．‎ 整理得：．‎ 所以，当时，最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．‎ 点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围．‎ 例2．某工厂生产容积为立方米的圆柱形无盖容器，制造底面的材料每平方米30元，制造侧面的材料每平方米20元，设计时材料的厚度及损耗可以忽略不计．‎ ‎(Ⅰ) 把制造容器的成本y（元）表示成容器底面半径x（米）的函数，并指出当底面半径为多少时，制造容器的成本最低？求出最低成本；‎ ‎(Ⅱ) 若为某种特殊需要，要求容器的底面半径不小于2（米），此时最低成本为多少元？（精确到1元）‎ 讲解：（Ⅰ）设圆柱形容器的高为h，则．‎ 所以，．‎ 因为，所以，‎ ‎，‎ 等号当且仅当，即时取得．‎ ‎(Ⅱ) 当时，由（Ⅰ）可知，不能利用均值不等式来求解的最小值，所以，我们可以考虑函数的单调性．‎ 任取，且设，则 ‎，‎ 由于，所以，，所以，，‎ 所以，函数在区间上单调递增．‎ 所以，当时，取得最小值为：（元）．‎ ‎ 点评：运用均值不等式要注意等号成立的条件．‎ 例3．小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存20000元，作为5年后上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：‎ 项目 ‎1年期 ‎2年期 ‎3年期 ‎5年期 年利率 ‎1.98%‎ ‎2.25%‎ ‎2.52%‎ ‎2.79%‎ 利息税为20%，则小红父母应该选择怎样的存款方式，可使5年后所获收益最大．请说明理由．‎ 讲解：小红父母存款的方式可以有多种选择，但为了确保最大利润，应该遵循如下原则：（1）5年结束时，所存款项应该恰好到期（否则以活期记，损失较大）；（2）如果存两次（或两次以上），则第2次存款时，应该将第1次存款所得本息和全部存入银行．‎ 为叙述方便，用表示把元本金，先存一次n年期，再存一次m年期所得本息和．如：表示先存2个1年期，再存一个2年期所得本息和．‎ 首先，可以考虑下面的问题：是否成立？即把 元本金，先存一次n年期，再存一次m年期与先存一次m年期，再存一次n年期，所得本息和是否相同？‎ 因为，‎ 所以，‎ 根据以上分析，我们只需考虑下面的几种情况：，，，，．方法之一是直接计算，但运算量相对较大．为此，我们可以考虑下面的办法：‎ ‎（1）比较与的大小关系：‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以，<．所以，只需考虑上述八种情况中的：，，．‎ ‎（2）比较和的大小．‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，<．所以，只需比较，，．‎ 因为：，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以，最大，即小红父母应该选择先存一次1年期，再存一次5年期（或先存一次5年期，再存一次1年期）获利最多．这与我们通常的认识是一致的．‎ 点评：本题的目的是通过分析、计算寻找问题的最优解．然而，如果通过穷举得出结论，计算可能就较为复杂了，因此，需要优化的不只是结果，还有运算的过程．‎ 高考真题 ‎1．（2001年上海高考题）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．‎ ‎（Ⅰ）试规定的值，并解释其实际意义；‎ ‎（Ⅱ）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；‎ ‎（Ⅲ）设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．‎ ‎2．（2003年上海春季高考）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出他们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资的基础上递增5％．设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：‎ ‎（Ⅰ）若某人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？‎ ‎（Ⅱ）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择那家公司，为什么？‎ ‎（Ⅲ）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元），并说明理由．‎ ‎[答案与提示：1．（Ⅰ）表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量将保持原样；（Ⅱ）函数应该满足的条件和具有的性质是：且，在上单调递减；（Ⅲ）时，两次清洗后残留的农药量较少，时，效果相同，时，一次清洗残留的农药量较少． 2． （Ⅰ）在A公司和B公司第n年的月收入分别为；（Ⅱ）应选择A公司；（Ⅲ）826元．]‎