- 2021-04-15 发布 |
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文档介绍
高中数学函数与方程知识点总结例题及解析高考真题及答案
函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。 （2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。 ②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。 ③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。 2、函数零点的判定 （1）零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。 （2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数的零点的根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。 （3）零点个数确定 有2个零点有两个不等实根； 有1个零点有两个相等实根； 无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定. 1、 二分法 （1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤: ① 确定区间,验证,给定精确度; ②求区间的中点; ③计算; (ⅰ)若,则就是函数的零点; (ⅱ) 若,则令(此时零点); (ⅲ) 若,则令(此时零点); ④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步. 【经典例题】 1．函数在区间内的零点个数是 （ ） A、0 B、1 C、2 D、3 2．函数 f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( ) A、(－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2) 3．若函数 (且)有两个零点，则实数的取值范围是 . 4．设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)= |xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为 （ ） A、5 B、6 C、7 D、8 5．函数在区间[0,4]上的零点个数为 （ ） A、4 B、5 C、6 D、7 6．函数在内 （ ） A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 7．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 ( ) A、(－∞，－2]∪ B、(－∞，－2]∪ C、∪ D、∪ 8．已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 . 9．求下列函数的零点： （1）； （2）. 10．判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)． 【课堂练习】 1、在下列区间中，函数的零点所在的区间为 （ ） A、 B、 C、 D、 2、若是方程的解，则属于区间 （ ） A、 B、 C、 D、 3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( ) 4、函数f=2+3x的零点所在的一个区间是 （ ） A．（-2,-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2） 5、设函数f=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数f不存在零点的是 （ ） A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4] 6、函数=-在[0，﹚内 （ ） A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 7、若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（ ） A、 B、 C、 D、 8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( ) A、 B、 C、 D、 9、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 （ ） A、 B、 C、 D、(1,2) 10、有解的区域是 （ ） A、 B、 C、 D、 11、在下列区间中，函数的零点所在的区间为 （ ） A、 B、 C、 D、 12、函数的零点所在区间为（ ） A、 B、 C、 D、 13、设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ） A、 B、 C、 D、不能确定 14、设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（ ） A、 B、 C、 D、 15、函数， 零点个数为（ ）A、3 B、2 C、1 D、0 16、若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f (1) = －2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = －0.054 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为 （ ） A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5 17、方程的实数解的个数为 . 18、已知函数的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数的取值范围。 19、判断函数在区间上零点的个数，并说明理由。 20 、求函数的一个正数零点(精确度0.1)． 【课后作业】 1、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( ) 2、设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是 ( ) A、[0,1] B、[1,2] C、[－2，－1] D、[－1,0] 3、已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的 （ ） A、函数在或内有零点 B、函数在内无零点 C、函数在内有零点 D、函数在内不一定有零点 4、若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是 （ ） A、 B、 C、 D、 5、函数的零点所在的区间为 （ ） A、（－1，0） B、（0，1） C、（1，2） D、（1，e） 6、求函数零点的个数为 （ ） A、 B、 C、 D、 7、如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是 （ ） A、 B、 C、 D、 8、方程根的个数为 （ ） A、无穷多 B、 C、 D、 9、用二分法求方程在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，则方程的根在区间 ( ) A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能确定 10、设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x) ( ) A、在区间，(1，e)内均有零点 B、在区间，(1，e)内均无零点 C、在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D、在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 11、设函数，则函数 ( ) A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点 B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点 C、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点 D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点 12、用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点 ， 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( ) A、（0，0.5）， B、（0，1）， C、（0.5，1）， D、（0，0.5）， 13、函数在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A、0 B、1 C、2 D、3 14、（已知函数当是，函数的零点则n= . 15、用二分法求函数在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________． 16、已知函数 f(x)＝若函数 g(x)＝ f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________． 17、函数的零点组成的集合是 . 18、用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 19、函数的零点个数为 . 20、证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)． 函数与方程 【考纲说明】 1、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 2、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。 （2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。 ②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。 ③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。 2、函数零点的判定 （1）零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。 （2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数的零点的根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。 （3）零点个数确定 有2个零点有两个不等实根； 有1个零点有两个相等实根； 无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定. 1、 二分法 （1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤: ① 确定区间,验证,给定精确度; ②求区间的中点; ③计算; (ⅰ)若,则就是函数的零点; (ⅱ) 若,则令(此时零点); (ⅲ) 若,则令(此时零点); ④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步. 【经典例题】 【例1】 函数在区间内的零点个数是 （ ） A、0 B、1 C、2 D、3 【答案】B 【解析】解法1：因为，，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1. 解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确. 【例2】 函数 f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( ) A、(－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2) 【答案】B 【解析】∵ f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－<0， f(0)＝20＋0＝1>0， ∴ f(－1) f(0)<0. ∴ f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)． 【例3】若函数 (且)有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数= (且)有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当 时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意. 【例4】设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)= |xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为 （ ） A、5 B、6 C、7 D、8 【答案】B 【解析】因为当时，f(x)=x3. 所以当时，，， 当时，；当时，，注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，故选B 【例5】函数在区间[0,4]上的零点个数为 （ ） A、4 B、5 C、6 D、7 【答案】C 【解析】：f(x)=0，则x=0或cosx2=0，x2=kπ+,k∈Z，又x∈[0,4]，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解．选C． 【例6】函数在内 （ ） A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 【答案】B 【解析】解法一：数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点； 解法二：在上，，，所以； 在，，所以函数是增函数，又因为，，所以在上有且只有一个零点． 【例7】对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 ( ) A、(－∞，－2]∪ B、(－∞，－2]∪ C、∪ D、∪ 【答案】B 【解析】f(x)＝ ＝ 则f的图象如图 ∵ y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点， ∴ y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点， 由图象知c≤－2，或－1查看更多