北师大初中中考数学压轴题及答案

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北师大初中中考数学压轴题及答案

中考数学专题复习(压轴题)‎ ‎1.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B(0,3)两点,其顶点为D.‎ (1) 求该抛物线的解析式;‎ (2) 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积;‎ (3) ‎△AOB与△BDE是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.‎ ‎(注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为)‎ ‎2. 如图,在中,,,,分别是边的中点,点从点出发沿方向运动,过点作于,过点作交于 ‎,当点与点重合时,点停止运动.设,.‎ ‎(1)求点到的距离的长;‎ ‎(2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);‎ ‎(3)是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由.‎ A B C D E R P H Q ‎3在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x. ‎ ‎(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S; ‎ ‎(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切? ‎ ‎(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?‎ A B C M N P 图 3‎ O A B C M N D 图 2‎ O A B C M N P 图 1‎ O ‎4.如图1,在平面直角坐标系中,己知ΔAOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连结AP,并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.(1)求直线AB的解析式;(2)当点P运动到点(,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;(3)是否存在点P,使ΔOPD的面积等于,若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎5如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.‎ ‎(1)求证:△BDE≌△BCF; ‎ ‎(2)判断△BEF的形状,并说明理由;‎ ‎(3)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.‎ ‎6如图,抛物线交轴于A、B两点,交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线,交轴于C、D两点.‎ ‎(1)求抛物线对应的函数表达式;‎ ‎(2)抛物线或在轴上方的部分是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)若点P是抛物线上的一个动点(P不与点A、B重合),那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上,请说明理由.‎ ‎7.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F.‎ ‎(1)求梯形ABCD的面积; ‎ ‎(2)求四边形MEFN面积的最大值. ‎ ‎(3)试判断四边形MEFN能否为正方形,若能,‎ 求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由. ‎ C D A B E F N M ‎8.如图,点A(m,m+1),B(m+3,m-1)都在反比例函数的图象上. ‎ x O y A B ‎(1)求m,k的值; ‎ ‎(2)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点, ‎ 以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形, ‎ 友情提示:本大题第(1)小题4分,第(2)小题7分.对完成第(2)小题有困难的同学可以做下面的(3)选做题.选做题2分,所得分数计入总分.但第(2)、(3)小题都做的,第(3)小题的得分不重复计入总分.  ‎ 试求直线MN的函数表达式. ‎ x O y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ Q P ‎2‎ P1‎ Q1‎ ‎(3)选做题:在平面直角坐标系中,点P的坐标 为(5,0),点Q的坐标为(0,3),把线段PQ向右平 移4个单位,然后再向上平移2个单位,得到线段P1Q1,‎ 则点P1的坐标为 ,点Q1的坐标为 .‎ ‎9.如图16,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过三点.‎ ‎(1)求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标;‎ ‎(2)在抛物线上是否存在点,使为直角三角形,若存在,直接写出点坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)试探究在直线上是否存在一点,使得的周长最小,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ A O x y B F C 图16‎ ‎10.如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABOC的边在轴的负半轴上,边在轴的正半轴上,且,,矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形.点的对应点为点,点的对应点为点,点的对应点为点,抛物线过点.‎ ‎(1)判断点是否在轴上,并说明理由;‎ ‎(2)求抛物线的函数表达式;‎ ‎(3)在轴的上方是否存在点,点,使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍,且点在抛物线上,若存在,请求出点,点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ y x O D E C F A B 压轴题答案 ‎1. 解:( 1)由已知得:解得 c=3,b=2‎ ‎∴抛物线的线的解析式为 ‎(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)‎ 所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称,所以E(3,0)‎ 设对称轴与x轴的交点为F 所以四边形ABDE的面积=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=9‎ ‎(3)相似 如图,BD=‎ BE=‎ DE=‎ 所以, 即: ,所以是直角三角形 所以,且,‎ 所以.‎ ‎2 解:(1),,,.‎ 点为中点,.‎ ‎,.‎ ‎,‎ ‎,.‎ ‎(2),.‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 即关于的函数关系式为:.‎ ‎(3)存在,分三种情况:‎ A B C D E R P H Q M ‎2‎ ‎1‎ ‎①当时,过点作于,则.‎ ‎,,‎ ‎.‎ ‎,,‎ A B C D E R P H Q ‎,.‎ A B C D E R P H Q ‎②当时,,‎ ‎.‎ ‎③当时,则为中垂线上的点,‎ 于是点为的中点,‎ ‎.‎ ‎,‎ A B C M N P 图 1‎ O ‎,.‎ 综上所述,当为或6或时,为等腰三角形.‎ ‎3解:(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C. ‎ ‎ ∴ △AMN ∽ △ABC.‎ ‎∴ ,即.‎ ‎∴ AN=x. ……………2分 ‎∴ =.(0<<4) ……………3分 A B C M N D 图 2‎ O Q ‎(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO =OD =MN.‎ 在Rt△ABC中,BC ==5.‎ ‎ 由(1)知 △AMN ∽ △ABC. ‎ ‎∴ ,即. ‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ . …………………5分 过M点作MQ⊥BC 于Q,则. ‎ 在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,‎ ‎∴ △BMQ∽△BCA.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ,. ‎ ‎∴ x=. ‎ ‎∴ 当x=时,⊙O与直线BC相切.…………………………………7分 A B C M N P 图 3‎ O ‎(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点.‎ ‎∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC.‎ ‎∴ △AMO ∽ △ABP. ‎ ‎∴ . AM=MB=2. ‎ 故以下分两种情况讨论: ‎ ① 当0<≤2时,. ‎ A B C M N P 图 4‎ O E F ‎∴ 当=2时, ……………………………………8分 ② 当2<<4时,设PM,PN分别交BC于E,F.‎ ‎∵ 四边形AMPN是矩形, ‎ ‎∴ PN∥AM,PN=AM=x. ‎ 又∵ MN∥BC, ‎ ‎∴ 四边形MBFN是平行四边形. ‎ ‎∴ FN=BM=4-x. ‎ ‎∴ . ‎ 又△PEF ∽ △ACB. ‎ ‎∴ .‎ ‎∴ . ……………………………………………… 9分 ‎=.……………………10分 当2<<4时,. ‎ ‎∴ 当时,满足2<<4,. ……………………11分 综上所述,当时,值最大,最大值是2. …………………………12分 ‎4 解:(1)作BE⊥OA,∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o=,∴B(,2)‎ ‎∵A(0,4),设AB的解析式为,所以,解得,‎ 以直线AB的解析式为 ‎(2)由旋转知,AP=AD, ∠PAD=60o,‎ ‎∴ΔAPD是等边三角形,PD=PA=‎ 如图,作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°‎ ‎∴GD=BD=,DH=GH+GD=+=,‎ ‎∴GB=BD=,OH=OE+HE=OE+BG=‎ ‎∴D(,)‎ ‎(3)设OP=x,则由(2)可得D()若ΔOPD的面积为:‎ 解得:所以P(,0)‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7解:(1)分别过D,C两点作DG⊥AB于点G,CH⊥AB于点H. ……………1分 ‎∵ AB∥CD, ‎ ‎∴ DG=CH,DG∥CH. ‎ ‎∴ 四边形DGHC为矩形,GH=CD=1. ‎ C D A B E F N M G H ‎∵ DG=CH,AD=BC,∠AGD=∠BHC=90°,‎ ‎∴ △AGD≌△BHC(HL). ‎ ‎∴ AG=BH==3. ………2分 ‎ ‎∵ 在Rt△AGD中,AG=3,AD=5, ‎ ‎∴ DG=4. ‎ ‎∴ . ………………………………………………3分 C D A B E F N M G H ‎(2)∵ MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB, ‎ ‎∴ ME=NF,ME∥NF. ‎ ‎∴ 四边形MEFN为矩形. ‎ ‎∵ AB∥CD,AD=BC, ‎ ‎∴ ∠A=∠B. ‎ ‎∵ ME=NF,∠MEA=∠NFB=90°, ‎ ‎∴ △MEA≌△NFB(AAS).‎ ‎∴ AE=BF. ……………………4分 ‎ 设AE=x,则EF=7-2x. ……………5分 ‎ ‎∵ ∠A=∠A,∠MEA=∠DGA=90°, ‎ ‎∴ △MEA∽△DGA.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ME=. …………………………………………………………6分 ‎∴ . ……………………8分 当x=时,ME=<4,∴四边形MEFN面积的最大值为.……………9分 ‎(3)能. ……………………………………………………………………10分 由(2)可知,设AE=x,则EF=7-2x,ME=. ‎ 若四边形MEFN为正方形,则ME=EF. ‎ ‎ 即 7-2x.解,得 . ……………………………………………11分 ‎∴ EF=<4. ‎ ‎∴ 四边形MEFN能为正方形,其面积为.‎ ‎8解:(1)由题意可知,.‎ 解,得 m=3. ………………………………3分 ‎ x O y A B M1‎ N1‎ M2‎ N2‎ ‎∴ A(3,4),B(6,2); ‎ ‎∴ k=4×3=12. ……………………………4分 ‎ ‎(2)存在两种情况,如图: ‎ ‎①当M点在x轴的正半轴上,N点在y轴的正半轴 上时,设M1点坐标为(x1,0),N1点坐标为(0,y1). ‎ ‎∵ 四边形AN‎1M1B为平行四边形,‎ ‎∴ 线段N‎1M1可看作由线段AB向左平移3个单位,‎ 再向下平移2个单位得到的(也可看作向下平移2个单位,再向左平移3个单位得到的).‎ 由(1)知A点坐标为(3,4),B点坐标为(6,2), ‎ ‎∴ N1点坐标为(0,4-2),即N1(0,2); ………………………………5分 M1点坐标为(6-3,0),即M1(3,0). ………………………………6分 设直线M1N1的函数表达式为,把x=3,y=0代入,解得.‎ ‎∴ 直线M1N1的函数表达式为. ……………………………………8分 ‎②当M点在x轴的负半轴上,N点在y轴的负半轴上时,设M2点坐标为(x2,0),N2点坐标为(0,y2). ‎ ‎∵ AB∥N‎1M1,AB∥M2N2,AB=N‎1M1,AB=M2N2,‎ ‎∴ N‎1M1∥M2N2,N‎1M1=M2N2. ‎ ‎∴ 线段M2N2与线段N‎1M1关于原点O成中心对称. ‎ ‎∴ M2点坐标为(-3,0),N2点坐标为(0,-2). ………………………9分 设直线M2N2的函数表达式为,把x=-3,y=0代入,解得,‎ ‎∴ 直线M2N2的函数表达式为.    ‎ 所以,直线MN的函数表达式为或. ………………11分 ‎(3)选做题:(9,2),(4,5). ………………………………………………2分 ‎9解:(1)直线与轴交于点,与轴交于点.‎ ‎, 1分 点都在抛物线上,‎ ‎ ‎ 抛物线的解析式为 3分 顶点 4分 ‎(2)存在 5分 ‎ 7分 ‎ 9分 ‎(3)存在 10分 理由:‎ 解法一:‎ 延长到点,使,连接交直线于点,则点就是所求的点.‎ ‎ 11分 A O x y B F C 图9‎ H B M 过点作于点.‎ 点在抛物线上,‎ 在中,,‎ ‎,,‎ 在中,,‎ ‎,, 12分 设直线的解析式为 ‎ 解得 ‎ 13分 ‎ 解得 ‎ 在直线上存在点,使得的周长最小,此时. 14分 解法二:‎ A O x y B F C 图10‎ H M G 过点作的垂线交轴于点,则点为点关于直线的对称点.连接交于点,则点即为所求. 11分 过点作轴于点,则,.‎ ‎,‎ 同方法一可求得.‎ 在中,,,可求得,‎ 为线段的垂直平分线,可证得为等边三角形,‎ 垂直平分.‎ 即点为点关于的对称点. 12分 设直线的解析式为,由题意得 ‎ 解得 ‎ 13分 ‎ 解得 ‎ 在直线上存在点,使得的周长最小,此时. 1‎ ‎10解:(1)点在轴上 1分 理由如下:‎ 连接,如图所示,在中,,,‎ ‎,‎ 由题意可知:‎ 点在轴上,点在轴上. 3分 ‎(2)过点作轴于点 ‎,‎ 在中,,‎ 点在第一象限,‎ 点的坐标为 5分 由(1)知,点在轴的正半轴上 点的坐标为 点的坐标为 6分 抛物线经过点,‎ 由题意,将,代入中得 ‎ 解得 所求抛物线表达式为: 9分 ‎(3)存在符合条件的点,点. 10分 理由如下:矩形的面积 以为顶点的平行四边形面积为.‎ 由题意可知为此平行四边形一边,‎ 又 边上的高为2 11分 依题意设点的坐标为 点在抛物线上 解得,,‎ ‎,‎ 以为顶点的四边形是平行四边形,‎ y x O D E C F A B M ‎,,‎ 当点的坐标为时,‎ 点的坐标分别为,;‎ 当点的坐标为时,‎ 点的坐标分别为,. 14分 ‎(以上答案仅供参考,如有其它做法,可参照给分)‎
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