广东省广州市荔湾区2019-2020学年高二上学期期末教学质量检测数学答案与评分标准

广东省广州市荔湾区2019-2020学年高二上学期期末教学质量检测数学答案与评分标准

‎2019-2020学年第一学期期末教学质量监测 高二数学参考答案与评分标准 说明：‎ ‎1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．‎ ‎2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题，每小题5分,共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D D C B ‎ B C B A D B A 部分小题解答 ‎8. 解:由，得 ，所以，即，‎ ‎ 所以（舍去）．依题意得，即，所以．‎ ‎ 所以．故选B．‎ ‎9. 解:若是等比数列，则是与的等比中项，所以原命题是真命题，‎ 从而，逆否命题是真命题；‎ 反之，若，则当时，，所以是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题．故选A．‎ ‎10. 解:双曲线的渐近线方程为，无妨设，‎ 因为，，所以得，‎ 所以的面积为．故选D．‎ ‎11. 解:设，则，所以 ‎，‎ 当且仅当，即时，取“=”号，‎ 所以当时，最小．故选B．‎ ‎12. 解:取中点，易证：.‎ 如上图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.‎ 由已知得 ‎.‎ 设，‎ 则 .‎ 设平面的法向量.‎ 由得，‎ 可取，‎ 所以，‎ 解得（舍去），，‎ 所以．故选A．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎ 13. 14. 15. 16. ‎ ‎14. 解:因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数，‎ 所以座位数构成等差数列.‎ 因为，所以.‎ ‎15. 解法一: 如图,因为为正三角形，所以，‎ 所以是直角三角形.‎ 因为，，所以.‎ 因为，所以 即，所以. ‎ 解法二：如图，易得点，代入，得 ‎，解得.‎ ‎16. 解析: 因为，‎ 所以 ‎，‎ 所以.‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的最大值及对应的大小．‎ ‎17. 解：（1）设的公差为，且．‎ 由，得， ……………1分 ‎ 由，得， ……………2分 于是． ……………4分 所以的通项公式为 ． ……………5分 ‎（2）由（1）得 ……………6分 ‎ ……………7分 ‎ ……………8分 因为，‎ 所以当或时, ……………9分 有最大值为． ……………10分 ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点，抛物线的焦点为 ‎，准线为．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过且斜率为的直线与抛物线相交于两点、，过、分别作准 线的垂线，垂足分别为、，求四边形的面积． ‎ ‎18. 解：（1）根据题意，设抛物线为， ……………1分 因为点在抛物线上，所以，即． ……………2分 所以抛物线C的方程为． ……………3分 ‎（2）由（1）可得焦点，准线为． ……………4分 不妨设，‎ 过且斜率为的直线的方程为． ……………5分 由 得， ……………6分 所以，．代入，得，．‎ 所以， …………………………………………………7分 ‎． ……………………………………………………8分 ‎(注：A、B两点，算对一个得1分)‎ 所以， …………………………………………9分 ‎， ………………………………………………10分 ‎． …………………………………………11分 ‎(注：上面三条线段，算对一个得1分)‎ 因为四边形是直角梯形，所以四边形的面积为 ‎．……………………………………12分 ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图，四棱锥中，底面是菱形，‎ ‎．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，，‎ 求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎19. 解：（1）证明：记，连接．‎ 因为底面是菱形，‎ 所以，是的中点． ……………………………………1分 因为，所以． …………………………………………2分 因为，‎ 所以平面． ………………………………………………………3分 因为，所以平面平面． ……………………4分 ‎（2）因为底面是菱形，，，‎ 所以是等边三角形，即．‎ 因为，所以． ……………………………………5分 又，，所以，‎ 即． ………………………………………………………………6分 方法一：因为是的中点，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以和都是等腰三角形． ………………………………………7分 取中点，连接，则，且，‎ 所以是二面角的平面角． ……………………………………8分 因为，且，‎ 所以．…………………………………………………………9分 因为， ‎ ‎， ……………………………………………………………10分 所以． …………………………………11分 所以二面角的余弦值为． ……………………………………12分 方法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，………………………………………………………7分 则，，，，……………………7分 所以，，．……………………8分 设平面的法向量为 由，得，‎ 令，得． ……………9分 同理，可求平面的法向量． ……………10分 所以 ‎ …………11分 ‎． ………………………………12分 所以，二面角的余弦值为． ………………………………12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 数列的前项和为，且()，数列满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）求证：数列是等比数列；‎ ‎（3）设数列满足，其前项和为，证明：．‎ ‎20. 解：（1）当时，． ………………………………………1分 当时，=． …………………………2分 检验，当时符合． …………………………3分 所以． ………………………………………4分 ‎（2）当时，， ……………5分 而，所以数列是等比数列，且首项为，公比为．………6分 ‎（3）由（1）（2）得 = ，‎ ‎， …………………………7分 所以 ‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ 由①②得 ‎，…………8分 ‎ ………………………………9分 ‎ ， ………………………………10分 所以． ………………………………11分 因为，所以 ． ………………………………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意 一点，线段的垂直平分线和半径相交于点．‎ 当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与曲线相交于，两点 ‎（点在，两点之间）．是否存在直线使得 ‎？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21. 解：（1）因为圆的方程为，‎ 所以，半径． ………………………………1分 因为是线段的垂直平分线，所以．‎ 所以． ………………………………2分 因为，‎ 所以点Q的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆．………3分 因为，， ………………………………………………4分 所以曲线的方程为． ……………………………………………5分 ‎（2）存在直线使得． ……………………………………………6分 方法一：因为点在曲线外，直线与曲线相交，‎ 所以直线的斜率存在，设直线的方程为． ……………………7分 设，‎ 由 得． …………………8分 则， ① ‎ ‎， ② ……………………9分 由题意知，解得．‎ 因为，‎ 所以，即． ③ ……………………10分 把③代入①得 ， ④‎ 把④代入②得，得，满足． …………………11分 ‎ 所以直线的方程为：或． …………………12分 方法二：因为当直线的斜率为0时，，‎ 此时． ……………………………………7分 因此设直线的方程为：． ‎ 设，‎ 由 得 ． ……………………………8分 由题意知，解得或 ，‎ 则， ① ‎ ‎， ② …………………9分 因为，所以． ③ …………………10分 把③代入①得， ④‎ 把④代入②得， ，满足或． …………………11分 所以直线的方程为或． …………………12分 ‎22. (本小题满分12分)‎ 已知函数．‎ ‎（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）设，若不等式对都成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若且时，求函数的零点．‎ ‎22. 解：（1）因为不等式的解集为，所以为方程的两个根，‎ 由根与系数的关系得 ‎ ，即，．………………………………………2分 ‎ （2）当时，，‎ 因为不等式对都成立，‎ 所以不等式对任意实数都成立．‎ 令，‎ 所以． …………………………3分 当时，， …………………………4分 所以，即，得或，‎ 所以实数的取值范围为． …………………………5分 ‎（3）当时，，‎ 函数的图像是开口向上且对称轴为的抛物线，‎ ‎．‎ ①当，即时，恒成立，函数无零点． …………6分 ②当，即或时，‎ ‎（i）当时，，此时函数无零点． ……………7分 ‎（ii）当时，，此时函数有零点． ……………8分 ③当，即或时，令，得 ‎，‎ ‎． ………………………………………9分 ‎（i）当时，得，此时，‎ 所以当时，函数无零点． ………………………………………10分 ‎（ii）当时，得 ，此时，所以当时，函数有两个零点：． ……………………………11分 综上所述：当，时，函数无零点；当，时，函数有一个零点为；当，时，函数有两个零点：． ……………………………12分