高三数学高考总复习15导数的综合应用理配套相应练习与解析基础知识梳理
导数的综合应用
【考纲要求】
1.了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数；
2.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；
3.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值；
4．提高应用知识解决实际问题的能力。
【知识网络】
导数的应用
极值与最值问题
函数的单调性问题
切线斜率、方程
【考点梳理】
【高清课堂：导数的应用（理）394572 知识要点】
考点一、求切线方程的一般方法
（1）求出函数在处的导数；
（2）利用直线的点斜式得切线方程。
要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
考点二、判定函数的单调性
（1）函数的单调性与其导数的关系
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。
要点诠释：①在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。
②学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。
③要关注导函数图象与原函数图象间关系。
（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤
①确定函数f(x)的定义域；
②求导数；
③在定义域内解不等式；
④确定f(x)的单调区间。
要点诠释：函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。
考点三、函数的极值
（1）极值的概念
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
①如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)
f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作y极小值=f(x0)。
极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
要点诠释：
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。
②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。
⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)
要点诠释：函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f＇(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f＇(x)的符号产生变化。
考点四、函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。
（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。
（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数
②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
要点诠释：①函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。
②在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。
【典型例题】
类型一：函数的切线问题
例1.求曲线的分别满足下列条件的切线：
（1）在点的切线；（2）过点的切线；
【解析】
（1）时，在点的切线的切线的斜率，
∴在点的切线为，即.
（2）当切点为点时，切线为
当切点不是点时，设切点为，
则， 解得或（舍去）
∴切点为的切线为，即，
故过点的切线为或.
举一反三：
【变式1】已知曲线，曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点的切线方程。
【解析】∵， 令，得x=4,
将x=4代入中得y=5
∴切点坐标是(4,5)， ∴切线方程为：.
即：x-2y+6=0。
【变式2】设函数的图象与直线相切于点（1，－11）,求a，b的值.
【解析】
∵的图象与直线相切于点（1，－11）.
∴，即
解之得a=1，b=－3.
类型二：函数单调性问题
例2．已知a∈R，求函数的单调区间.
【解析】.
（1）当a=0时，
若x＜0，则；若x＞0，则.
所以，当a=0时，
函数在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.
（2）当a＞0时，
由2x+ax2＞0，解得或x＞0；由2x+ax2＜0，解得.
所以，当a＞0时，
函数在区间内为增函数，
在区间内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.
（3）当a＜0时，
由2x+ax2＞0，解得；由2x+ax2＜0，解得x＜0或.
所以，当a＜0时，
函数在区间（－∞，0）内为减函数，
在区间内为增函数，在区间内为减函数.
举一反三：
【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
【解析】
（1）当时，则恒成立，
此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；
（2）当时，
，
∴当时，函数有三个单调区间，
增区间为：；
减区间为：，.
【变式2】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-lf(x), 试问：是否存在实数l，使F(x)在(-¥,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.
【解析】假设存在实数l满足题设.
F(x)=g(x)-lf(x)=(x4+2x2+2)-l(x2+1)=x4-(l-2)x2+(2-l),
F¢(x)=4x3-2(l-2)x,
令4x3-2(l-2)x=0,
（1）若l≤2，则x=0.
当x∈(-∞,0)时，F¢(x)<0；当x∈(0,+∞)时，F¢(x)>0.
∴F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，显然不符合题设.
（2）若l>2，则x=0或，
当时，F¢(x)<0；当时，F¢(x)>0；
当时，F¢(x)<0；当时，F¢(x)>0.
∴F(x)的单调增区间是，，
单调减区间是，.
要使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，
则，即l=4.
故存在实数l=4，使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.
类型三：函数的极值问题
例3. 已知函数在处取得极值，求函数以及的极大值和极小值.
【解析】
依题意，，
即
∴，
令，得x=-1或x=1，
当x变化时，与的变化情况如下表：
1
(1，+∞)
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴在处取得极大值，在处取得极小值.
【总结升华】利用“在处取得极值，则必有导数”是本题的破题关键.
举一反三：
【变式1】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.
【解析】
依题意得方程组
解得.
当a=-3,b=3时，
令得x=1.
x
(-∞,1)
1
(1,+∞)
+
0
+
↗
无极值
↗
显然a=-3, b=3不合题意，舍去.
当a=4, b=-11时，f´(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)
令得或 x=1.
x
1
（1，+∞）
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
f(x)在x=1处有极小值10，合题意，
∴a=4, b=-11.
【变式2】已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.
（1）求常数的值；
（2）求的极值.
【解析】，令得方程
∵在处取得极值
∴或为上述方程的根，
∴，即
∴
①当时，（不符合题意）
②当时，当x变化时，与的变化情况如下表：
1
(1，+∞)
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴在处取得极大值，在处取得极小值.
由题意得， 整理得，又
联立，解得，
∴
由表知道：，
③当时，当x变化时，与的变化情况如下表：
当x变化时，与的变化情况如下表：
1
(1，+∞)
-
0
+
0
-
↘
极小值
↗
极大值
↘
∴在处取得极小值，在处取得极大值.
由题意得， 整理得，又
联立，解得，
∴
，
综上可得：
（１），或，
（２）当，时，，
当，时，，
类型四：函数的最值问题
【高清课堂：导数的应用（理）394572 典型例题一】
例4.已知函数
（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求的值；
（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值。
【解析】（1），
由题意：
（2）令
令
令
令
+
0
-
0
+
↗
极大
↘
极小
↗
所以函数的单调增区间是，
单调减区间是
结合函数单调性的草图知：
当即时，
在上单调增，
当即时，
在上单调增，在上单调减，
当即时，
由题意得，则
综上，当时，
当时，.
举一反三：
【变式1】求函数在[0，2]上的最大值和最小值.
【解析】，
令，化简为x2+x－2=0.
解得x=－2（舍去）或x=1.
，又因为，，
，
所以为函数在[0，2]上的最小值，
为函数在[0，2]上的最大值.
【变式2】设函数求的最小值;
【解析】函数f（x）的定义域为（0，1）
令
当时，, ∴在区间是减函数；
当时，, ∴在区间是增函数.
∴在时取得最小值且最小值为.
