高三数学高考总复习15导数的综合应用理配套相应练习与解析基础知识梳理

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高三数学高考总复习15导数的综合应用理配套相应练习与解析基础知识梳理

导数的综合应用 ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数;‎ ‎2.理解可导函数的单调性与其导数的关系,能利用导数研究函数的单调性;‎ ‎3.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号),会求给定函数的极大值、极小值,会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值;‎ ‎4.提高应用知识解决实际问题的能力。‎ ‎【知识网络】‎ ‎ 导数的应用 极值与最值问题 函数的单调性问题 切线斜率、方程 ‎【考点梳理】‎ ‎【高清课堂:导数的应用(理)394572 知识要点】‎ 考点一、求切线方程的一般方法 ‎(1)求出函数在处的导数;‎ ‎(2)利用直线的点斜式得切线方程。‎ 要点诠释:求切线方程,首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上,可用上法求解;若不在曲线上,可设出切点,写出切线方程,结合已知条件求出切点坐标,从而得方程.‎ ‎ 考点二、判定函数的单调性 ‎(1)函数的单调性与其导数的关系 设函数y=f(x)在某个区间内可导,则当时,y=f(x)在相应区间上为增函数;当时,y=f(x) 在相应区间上为减函数;当恒有时,y=f(x)在相应区间上为常数函数。‎ 要点诠释:①在区间(a,b)内,是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件!例如:而f(x)在R上递增。‎ ‎②学生易误认为只要有点使,则f(x)在(a,b)上是常函数,要指出个别导数为零不影响函数的单调性,同时要强调只有在这个区间内恒有,这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。‎ ‎③要关注导函数图象与原函数图象间关系。‎ ‎(2)利用导数判断函数单调性的基本步骤 ‎①确定函数f(x)的定义域;‎ ‎②求导数;‎ ‎③在定义域内解不等式;‎ ‎④确定f(x)的单调区间。‎ 要点诠释:函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数,应根据问题的具体条件适当选用方法,有时须将区间(a,b)划分成若干小区间,在每个小区间上分别判定单调性。‎ 考点三、函数的极值 ‎(1)极值的概念 一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,‎ ‎①如果对于x0附近的所有点,都有:f(x)f(x0),称f(x0)为函数f(x)的—个极小值,记作y极小值=f(x0)。‎ 极大值与极小值统称极值。在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。‎ 要点诠释:‎ ‎①在函数的极值定义中,一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,否则无从比较。‎ ‎②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,是一个局部概念,在函数的整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。‎ ‎③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。‎ ‎④函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。‎ ‎⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题,但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点,再如y=|x|,x=0。‎ ‎⑥可导函数在某点取得极值,则该点的导数一定为零,反之不成立。在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有。但反过来不一定。如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小。‎ ‎(2)求极值的步骤 ‎①确定函数的定义域;‎ ‎②求导数;‎ ‎③求方程的根;‎ ‎④检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)‎ 要点诠释:函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个,而且极小值未必小于极大值。f'(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件,点x0是f(x)的极值点,当且仅当在x0的左右f'(x)的符号产生变化。‎ 考点四、函数的最值 函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值,但是最值点可以不唯一;但在开区间(a,b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。‎ ‎(1)最值与极值的区别与联系:‎ ‎ ①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的,是整个定义区间上的一个概念,而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的,是局部的概念;‎ ‎②极值可以有多个,最大(小)值若存在只有一个;‎ ‎ ③极值只能在区间内取得,不能在区间端点取得;而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。‎ ‎ ④有极值的函数不一定有最值,有最值的函数未必有极值,极值可能成为最值。‎ ‎(2)在区间[a,b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤 ‎①求函数y=f(x)在(a,b)内的导数 ‎②求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 ‎③将函数y=f(x)在(a,b)内的极值与区间两端的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。‎ 要点诠释:①函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值,但是最值点可以不唯一。‎ ‎②在实际问题中,要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域,当在定义域内只有一个解时,并且最值一定存在,则此点即为函数f(x)的最值点。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一:函数的切线问题 例1.求曲线的分别满足下列条件的切线:‎ ‎ (1)在点的切线;(2)过点的切线;‎ ‎【解析】‎ ‎(1)时,在点的切线的切线的斜率,‎ ‎∴在点的切线为,即.‎ ‎(2)当切点为点时,切线为 ‎ 当切点不是点时,设切点为,‎ 则, 解得或(舍去)‎ ‎∴切点为的切线为,即,‎ 故过点的切线为或.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】已知曲线,曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直,并写出这一点的切线方程。‎ ‎【解析】∵, 令,得x=4, ‎ 将x=4代入中得y=5‎ ‎ ∴切点坐标是(4,5), ∴切线方程为:.‎ ‎ 即:x-2y+6=0。‎ ‎【变式2】设函数的图象与直线相切于点(1,-11),求a,b的值.‎ ‎【解析】‎ ‎∵的图象与直线相切于点(1,-11).‎ ‎∴,即 解之得a=1,b=-3.‎ 类型二:函数单调性问题 例2.已知a∈R,求函数的单调区间.‎ ‎【解析】.‎ ‎(1)当a=0时,‎ 若x<0,则;若x>0,则.‎ 所以,当a=0时,‎ 函数在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数.‎ ‎(2)当a>0时,‎ 由2x+ax2>0,解得或x>0;由2x+ax2<0,解得.‎ 所以,当a>0时,‎ 函数在区间内为增函数,‎ 在区间内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数.‎ ‎(3)当a<0时,‎ 由2x+ax2>0,解得;由2x+ax2<0,解得x<0或.‎ 所以,当a<0时,‎ 函数在区间(-∞,0)内为减函数,‎ 在区间内为增函数,在区间内为减函数.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】设恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)当时,则恒成立,‎ 此时f(x)在R上为单调函数,只有一个单调区间为,不合题意;‎ ‎(2)当时,‎ ‎,‎ ‎∴当时,函数有三个单调区间,‎ 增区间为:;‎ 减区间为:,.‎ ‎【变式2】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-lf(x), 试问:是否存在实数l,使F(x)在(-¥,-1)上是减函数,且在(-1,0)上是增函数.‎ ‎【解析】假设存在实数l满足题设.‎ ‎ F(x)=g(x)-lf(x)=(x4+2x2+2)-l(x2+1)=x4-(l-2)x2+(2-l),‎ ‎ F¢(x)=4x3-2(l-2)x,‎ 令4x3-2(l-2)x=0,‎ ‎ (1)若l≤2,则x=0.‎ ‎ 当x∈(-∞,0)时,F¢(x)<0;当x∈(0,+∞)时,F¢(x)>0.‎ ‎ ∴F(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,显然不符合题设.‎ ‎ (2)若l>2,则x=0或,‎ ‎ 当时,F¢(x)<0;当时,F¢(x)>0;‎ 当时,F¢(x)<0;当时,F¢(x)>0.‎ ‎∴F(x)的单调增区间是,,‎ 单调减区间是,. ‎ 要使F(x)在(-∞,-1)上是减函数,且在(-1,0)上是增函数,‎ 则,即l=4.‎ ‎ 故存在实数l=4,使F(x)在(-∞,-1)上是减函数,且在(-1,0)上是增函数.‎ 类型三:函数的极值问题 例3. 已知函数在处取得极值,求函数以及的极大值和极小值.‎ ‎【解析】‎ 依题意,,‎ 即 ‎∴,‎ 令,得x=-1或x=1,‎ 当x变化时,与的变化情况如下表:‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴在处取得极大值,在处取得极小值.‎ ‎【总结升华】利用“在处取得极值,则必有导数”是本题的破题关键.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,求a,b的值.‎ ‎【解析】‎ ‎ 依题意得方程组 ‎ 解得.‎ ‎ 当a=-3,b=3时,‎ 令得x=1.‎ x ‎(-∞,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 无极值 ‎↗‎ ‎ 显然a=-3, b=3不合题意,舍去.‎ ‎ 当a=4, b=-11时,f´(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)‎ ‎ 令得或 x=1.‎ x ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ f(x)在x=1处有极小值10,合题意,‎ ‎∴a=4, b=-11.‎ ‎【变式2】已知函数,当且仅当时,取得极值,并且极大值比极小值大4.‎ ‎(1)求常数的值;‎ ‎(2)求的极值.‎ ‎【解析】,令得方程 ‎ ∵在处取得极值 ‎ ∴或为上述方程的根, ‎ ‎ ∴,即 ‎ ‎   ∴‎ ‎①当时,(不符合题意)‎ ‎②当时,当x变化时,与的变化情况如下表:‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ∴在处取得极大值,在处取得极小值.‎ ‎ 由题意得, 整理得,又 联立,解得,‎ ‎∴‎ 由表知道:,‎ ‎③当时,当x变化时,与的变化情况如下表:‎ ‎ 当x变化时,与的变化情况如下表:‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎ ∴在处取得极小值,在处取得极大值.‎ ‎ 由题意得, 整理得,又 联立,解得,‎ ‎∴‎ ‎,‎ 综上可得:‎ ‎(1),或,‎ ‎(2)当,时,,‎ 当,时,,‎ 类型四:函数的最值问题 ‎【高清课堂:导数的应用(理)394572 典型例题一】‎ 例4.已知函数 ‎ (1)若曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求的值;‎ ‎ (2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值。‎ ‎【解析】(1),‎ 由题意:‎ ‎(2)令 令 令 令 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大 ‎↘‎ 极小 ‎↗‎ 所以函数的单调增区间是,‎ 单调减区间是 结合函数单调性的草图知:‎ 当即时,‎ 在上单调增,‎ 当即时,‎ 在上单调增,在上单调减,‎ 当即时,‎ 由题意得,则 综上,当时,‎ 当时,.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】求函数在[0,2]上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】,‎ 令,化简为x2+x-2=0.‎ 解得x=-2(舍去)或x=1.‎ ‎,又因为,,‎ ‎,‎ 所以为函数在[0,2]上的最小值,‎ 为函数在[0,2]上的最大值.‎ ‎【变式2】设函数求的最小值;‎ ‎【解析】函数f(x)的定义域为(0,1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令 当时,, ∴在区间是减函数;‎ 当时,, ∴在区间是增函数.‎ ‎∴在时取得最小值且最小值为.‎
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