高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 六 必要条件与充分条件
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课时素养评价
六 必要条件与充分条件
(15分钟 35分)
1.(2020·天津高考)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解题指南】首先求解一元二次不等式,然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立.
【解析】选A.解一元二次不等式a2>a可得:a>1或a<0,据此可知:“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件.
2.有以下说法,其中正确的个数为 ( )
(1)“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.
(2)“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.
(3)“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选D.(1)由于“m是自然数”⇒“m是整数”,因此“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.
(2)由三角形全等可推出这两个三角形对应角相等,所以“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.
(3)由(a+b)·(a-b)=0,得:|a|=|b|,推不出a=b,由a=b,能推出|a|=|b|,故“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.
3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.当a=3时,A={1,3},故A⊆B,若A⊆B⇒a=2或a=3,不一定有a=3,故“a=3”是“A⊆B”的充分条件.
4.下列不等式:①x<1;②0
1,q:x2>1.
(3)p:b2=ac,q:=.
(4)p:A∩B=A,q:UB⊆UA.
【解析】(1)数a能被6整除,则一定能被3整除,反之不一定成立.即p⇒q,q不能推出p,
所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.
(2)因为x2>1⇒x>1或x<-1,
所以p⇒q,且q不能推出p.
所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.
(3)b2=ac不能推出=,如b=0,c=0时,b2=ac,而,无意义.但=⇒b2=ac,
所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.
(4)画出Venn图(如图).
结合图形可知,A∩B=A⇒A⊆B⇒UB⊆UA,
反之也成立,所以p是q的充分条件,且p是q的必要条件.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在如图电路中,条件p:开关A闭合,条件q:灯泡B亮,则p是q的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.若开关A闭合,则灯泡B亮,所以p⇒q;若灯泡B亮,则开关A闭合或开关C闭合,所以q不能推出p,所以p是q的充分条件,故选A.
2.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆UC”是“A∩B=∅”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.依题意,若A⊆C,则UC⊆UA,当B⊆UC,可得A∩B=∅;若A∩B=∅,不妨令C=A,显然满足A⊆C,B⊆UC,故满足条件的集合C是存在的.所以“存在集合C使得A⊆C,B⊆UC”是“A∩B=∅”的充要条件.
3.若“-10”的充分条件的是 ( )
A.a>0,b>0
B.a<0,b<0
C.a=3,b=-2
D.a>0,b<0且|a|>|b|
【解析】选ACD.问题是“谁”是“a+b>0”的充分条件;因为“a>0,b>0”⇒“a+b>0”,
“a<0,b<0”不能推出“a+b>0”,“a=3,b=-2”⇒“a+b>0”.
“a>0,b<0且|a|>|b|”⇒“a+b>0”,所以A,C,D中的条件均是“a+b>0”的充分条件,B中的条件不是“a+b>0”的充分条件.
6.对任意实数a,b给出下列命题,其中真命题是 ( )
A.“|a|=|b|”是“a=b”的充要条件
B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
C.“a<5”是“a<3”的必要条件
D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
【解析】选CD.若a=1,b=-1,则|a|=|b|,但a≠b,
所以“|a|=|b|”推不出“a=b”,A错误;
若a=1,b=-1,则a>b,但a2=b2;
所以“a>b”推不出“a2>b2”,所以B错误;
“a<3”可推出“a<5”,所以C正确;
“a+5是无理数”⇔“a是无理数”所以D正确.
【补偿训练】
(多选题)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是 ( )
A.Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B.Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件
C.Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D.Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
【解析】选A、B、D.A正确,Δ=b2-4ac≥0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根;
B正确,Δ=b2-4ac=0⇒方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根;
C错误,Δ=b2-4ac>0⇒方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根;
D正确,Δ=b2-4ac<0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实根.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.用“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”填空:
(1)“x=1”是“=1”的 条件.
(2)“x≠1”是“x2+2x-3≠0”的 条件.
【解析】(1)设A={1},B={x|=1},
则B={-1,1},因为A B,所以“x=1”是“=1”的充分条件.
(2)设A={x|x≠1},B={x|x2+2x-3≠0},
则B={x|x≠1且x≠-3},
因为BA,所以“x≠1”是“x2+2x-3≠0”的必要条件.
答案:(1)充分 (2)必要
8.“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的 条件.(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分也不必要”)
【解析】当k>4,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示.
显然图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴.
由一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,即x=0,y=b-5<0,所以b<5.当y=0时,x=>0,因为b<5,所以k>4.故填“充要”.
答案:充要
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:
(1)s是q的什么条件?
(2)r是q的什么条件?
(3)p是q的什么条件?
【解题指南】可将r,p,q,s的关系用图表示,然后利用关系图解答.
【解析】r,p,q,s的关系如图,
(1)因为q⇒s,s⇒r⇒q,所以s是q的充分条件,同时s是q的必要条件.
(2)因为r⇒q,q⇒s⇒r,所以r是q的充分条件,同时r是q的必要条件.
(3)因为q⇒s⇒r⇒p,pq,所以p是q的必要条件,p不是q的充分条件.
10.(2020·青岛高一检测)已知P={x|-2≤x≤10},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)若x∈P是x∈S的必要条件,求出m的取值范围.
(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
【解析】(1)因为x∈P是x∈S的必要条件,
所以S⊆P,
所以解得0≤m≤3,
所以m的取值范围是{m|0≤m≤3}.
(2)x∈P是x∈S的充分条件时,P⊆S,
所以解得m≥9,
由(1)知,x∈P是x∈S的必要条件是0≤m≤3,
由此知x∈P是x∈S的充要条件时,m的值不存在.
1.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 ( )
A.m=-2 B.m=1
C.m=-1 D.m=0
【解析】选A.当m=-2时,f(x)=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.
2.已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
(提示:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))
【证明】设p:a3+b3+ab-a2-b2=0,q:a+b=1.
(1)充分性(p⇒q):
因为a3+b3+ab-a2-b2=0,
所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0,
因为ab≠0,a2-ab+b2=+b2>0,
所以a+b-1=0,即a+b=1.
(2)必要性(q⇒p):
因为a+b=1,所以b=1-a,所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0,
综上所述,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
【补偿训练】
设x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【证明】设p:xy≥0,q:|x+y|=|x|+|y|.
(1)充分性(p⇒q):
如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况,当xy=0时,不妨设x=0,
则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,所以等式成立.
当xy>0时,即x>0,y>0或x<0,y<0,
又当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,所以等式成立.
当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),
|x|+|y|=-x-y,所以等式成立.
总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.
(2)必要性(q⇒p):
若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R,
则|x+y|2=(|x|+|y|)2,
即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,
所以|xy|=xy,所以xy≥0.
由(1)(2)可知,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.
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