高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 三十六　利用二分法求方程的近似解

高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 三十六　利用二分法求方程的近似解

温馨提示：‎ ‎ 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 课时素养评价 ‎ 三十六　利用二分法求方程的近似解 ‎　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　25分)‎ ‎1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)‎ ‎【解析】选B.利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点,由于A,C,D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.‎ ‎2.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f>0,则 (　　)‎ A.f(x)在上有零点 B.f(x)在上有零点 C.f(x)在上无零点 D.f(x)在上无零点 ‎【解析】选B.由f(a)f(b)<0,f(a)f>0可知ff(b)<0,根据零点存在定理可知f(x)在上有零点,在上有无零点无法判断.‎ ‎3.用二分法求关于x的方程ln x+2x-6=0的近似解时,能确定为解所在的初始区间的是 (　　)‎ A.(2,3) B.(0,2)‎ C.(1,2) D.(0,+∞)‎ ‎【解析】选A.令函数f(x)=ln x+2x-6,可判断在(0,+∞)上单调递增,所以f(1)=-4<0,f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以根据函数的零点存在定理可得:零点在(2,3)内,即方程ln x+2x-6=0的近似解在(2,3)内.‎ ‎4.已知函数f(x)=x3-x2+1.‎ ‎(1)证明方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解;‎ ‎(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内.‎ ‎【解析】(1)因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,‎ 所以f(0)·f(2)<0,由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解.‎ ‎(2)取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,‎ 由此可得f(1)·f(2)<0,下一个有解区间为(1,2).‎ 再取x2=(1+2)=,得f=-<0,‎ 所以f(1)·f<0,下一个有解区间为.‎ 再取x3==,得f=>0,‎ 所以f·f<0,下一个有解区间为.‎ 综上所述,所求的实数解x0在区间内.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　40分)‎ 一、单选题(每小题5分,共15分)‎ ‎1.下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为 (　　)‎ ‎①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;‎ ‎②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;‎ ‎③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点.‎ A.0 B‎.1 ‎C.2 D.3‎ ‎【解析】选A.①中x0∈[a,b]且f(x0)=0,‎ 所以x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),故①错误;‎ ‎②由于x0两侧函数值不一定异号,故②错误;③方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,故③错误.‎ ‎2.下列函数不宜用二分法求零点的是 (　　)‎ A.f(x)=x3-1‎ B.f(x)=ln x+3‎ C.f(x)=x2+2x+2‎ D.f(x)=-x2+4x-1‎ ‎【解析】选C.因为f(x)=x2+2x+2=(x+)2≥0,不存在小于0的函数值,所以不能用二分法求零点.‎ ‎3.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到表格:‎ x ‎1.00‎ ‎1.25‎ ‎1.375‎ ‎1.50‎ f(x)‎ ‎1.079 4‎ ‎0.191 8‎ ‎-0.360 4‎ ‎-0.998 9‎ 则由表中的数据,可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为 (　　)‎ A.1.125 B.1.312 5‎ C.1.437 5 D.1.468 75‎ ‎【解析】选B.因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解.‎ ‎【补偿训练】‎ ‎　　某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是　　　　. ‎ ‎【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).‎ 答案:1.5,1.75,1.875,1.812 5‎ 二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)‎ ‎4.函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为 (　　)‎ A.(0,1) B.(1,3)‎ C.(3,4) D.(4,8)‎ ‎【解析】选AD.设y1=lox,y2=4-x,则f(x)的零点个数,即函数y1与y2的图象的交点个数,作出两函数图象如图.‎ 由图知y1与y2在区间(0,1)内有一个交点,‎ 当x=4时,y1=-2,y2=0;当x=8时,y1=-3,‎ y2=-4,所以在(4,8)内两曲线又有一个交点.‎ 即函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为(0,1)和(4,8).‎ 三、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是　　　　. ‎ ‎【解题指南】函数有零点,但不能用二分法,说明函数在零点两侧同号,结合二次函数的性质,说明函数f(x)的图象与x轴只有一个交点.‎ ‎【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴只有一个交点,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b.‎ 答案:a2=4b ‎6.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1在区间[0,1]内的零点时,第一次经计算得f(0)<0,f(0.5)>0,f(1)>0,可得其中一个零点x0∈　　　　,第二次应计算　　　　. ‎ ‎【解析】因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)·f(0.5)<0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),利用二分法,则第二次应计算f=f(0.25).‎ 答案:(0,0.5)　f(0.25)‎ 四、解答题 ‎7.(10分)已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.‎ ‎【证明】因为f(1)>0,所以‎3a+2b+c>0,‎ 即3(a+b+c)-b‎-2c>0.因为a+b+c=0,所以-b‎-2c>0,则-b-c>c,即a>c.因为f(0)>0,所以c>0,则a>0.‎ 在区间[0,1]内选取二等分点,则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.因为f(0)>0,f(1)>0,所以函数f(x)在区间和上各有一个零点.又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.‎ 关闭Word文档返回原板块