【数学】2020届一轮复习人教B版(文)3-8解三角形应用举例作业

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【数学】2020届一轮复习人教B版(文)3-8解三角形应用举例作业

课时作业23 解三角形应用举例 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,选定一点C,测出AC的距离为‎50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点的距离为(  )‎ A.‎50 m   B.‎50 m C.‎25 m D. m 解析:由正弦定理得 AB===50 (m).‎ 答案:A ‎2.[2019·武汉三中月考]如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向上,灯塔B在观察站南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的(  )‎ A.北偏东10°方向上 B.北偏西10°方向上 C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上 解析:由条件及题图可知,∠A=∠ABC=40°,因为∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向上.‎ 答案:D ‎3.‎ 如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=‎30 m,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于(  )‎ A.‎5 m B.‎15 m C.‎5 m D.‎15 m 解析:在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.‎ 由正弦定理得=,解得BC=15(m).‎ 在Rt△ABC中,‎ AB=BCtan∠ACB=15×=15 (m).‎ 答案:D ‎4.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行‎15 km后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是(  )‎ A.‎5 km B.‎‎10 km C.‎5 km D.‎5 km 解析:作出示意图(如图),点A为该船开始的位置,点B为灯塔的位置,点C为该船后来的位置,所以在△ABC中,有∠BAC=60°-30°=30°,∠B=120°,AC=15,‎ 由正弦定理,得=,‎ 即BC==5,即这时船与灯塔的距离是‎5 km.‎ 答案:C ‎5.‎ 如图,在离地面高‎400 m的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,已知∠BAC=60°,则山的高度BC为(  )‎ A.‎700 m B.‎‎640 m C.‎600 m D.‎‎560 m 解析:根据题意,可得在Rt△AMD中,‎ ‎∠MAD=45°,MD=400,‎ 所以AM==400.‎ 因为△MAC中,∠AMC=45°+15°=60°,‎ ‎∠MAC=180°-45°-60°=75°,‎ 所以∠MCA=180°-∠AMC-∠MAC=45°,‎ 由正弦定理,得AC===400,‎ 在Rt△ABC中,BC=ACsin∠BAC=400×=600 (m).‎ 答案:C 二、填空题 ‎6.[2019·山东省,湖北省部分中学质量检测]如图,在某岛附近海底某处有一条海防警戒线,在警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻B点接收到发自水中P处的一个声波信号,8秒后A,C同时接收到该声波信号,假设声波在水中的传播速度是1.5千米/秒,则P到海防警戒线的距离为________千米.‎ 解析:通解 依题意知PA=PC,设PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12.在△PAB中,AB=20,则cos∠PAB===,在△PAC中,AC=50,则cos∠PAC= ‎==.因为cos∠PAB=cos∠PAC,所以=,解得x=31,过点P作PD⊥AC于点D,则AD=25,在Rt△ADP中,PD==4.故P到海防警戒线的距离为‎4千米.‎ 优解 过点P作PD⊥AC于点D,设PB=x,由题意知,PA=PC=x+1.5×8=x+12,AD=25,BD=5,在Rt△PAD中,PD2=PA2-AD2=(x+12)2-252,在Rt△PBD中,PD2=PB2-BD2=x2-52,则(x+12)2-252=x2-52,可得x=19,故PD==4,即P到海防警戒线的距离为‎4千米.‎ 答案:4 ‎7.[2019·南昌市模拟]已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处,以v公里/时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处,若cos(α-β)=,则v=________.‎ 解析:如图所示,AB=150,AC=200,根据题意可知∠B=α,∠C=β,因为cos(α-β)=,所以sin(α-β)==.‎ 在三角形ABC中,由正弦定理=,得=,‎ 得4sinβ=3sinα,所以4sinβ=3sin[β+(α-β)]=3[sinβcos(α-β)+cosβsin(α-β)]=3,整理得4sinβ=3cosβ.‎ 又sin2β+cos2β=1,所以sinβ=,进而sinα=,所以有sin2α+sin2β=1,所以α=90°-β,‎ 所以∠BAC=180°-(α+β)=90°,所以BC===250,故v==100.‎ 答案:100‎ ‎8.[2019·福建省高中质量检测]在平面四边形ABCD中,AB=1,‎ AC=,BD⊥BC,BD=2BC,则AD的最小值为________.‎ 解析:设∠BAC=α,∠ABD=β(β∈(0,π)),则∠ABC=β+.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosα=6-2cosα,由正弦定理,得=,即BC=.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+DB2-2AB·DBcosβ=1+4BC2-4BCcosβ=1+4(6-2cosα)-4··cosβ=25-8cosα-4sinα=25-20sin(α+θ),所以当sin(α+θ)=1,即sinα=,cosα=时,AD2取得最小值5,所以AD的最小值为.‎ 答案: 三、解答题 ‎9.[2019·石家庄高中摸底考试]‎ 某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=,∠BAE=,DE=3BC=3CD= km.‎ ‎(1)求道路BE的长度;‎ ‎(2)求生活区△ABE面积的最大值.‎ 解析:(1)如图,连接BD,在△BCD中,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=,∴BD= km.‎ ‎∵BC=CD,‎ ‎∠CDB=∠CBD==,‎ 又∠CDE=,∴∠BDE=.‎ ‎∴在Rt△BDE中,BE===(km).‎ 故道路BE的长度为 km.‎ ‎(2)设∠ABE=α,∵∠BAE=,‎ ‎∴∠AEB=-α.‎ 在△ABE中,易得====,‎ ‎∴AB=sin,AE=sinα.‎ ‎∴S△ABE=AB·AEsin=sinsinα=≤=(km2).‎ ‎∵0<α<,∴-<2α-<.‎ ‎∴当2α-=,即α=时,S△ABE取得最大值,最大值为 km2,‎ 故生活区△ABE面积的最大值为 km2.‎ ‎10.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=‎40 cm,求电视塔的高度.‎ 解析:如图,设电视塔AB高为x m,则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°得BC=x.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=x.‎ 在△BDC中,由余弦定理得,‎ BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°,‎ 即(x)2=x2+402-2·x·40·cos120°,‎ 即得x=40,‎ 所以电视塔高为‎40 m.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A处(-1)海里的B处有一艘走私船;在A处北偏西75°方向,距离A处2海里的C处的辑私船奉命在10海里/时的速度追截走私船.同时,走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间?‎ 解析:如图,设缉私船t时后在D处追上走私船,‎ 则有CD=10t,BD=10t.‎ 在△ABC中,AB=-1,AC=2,∠BAC=120°.‎ 利用余弦定理可得BC=.‎ 由正弦定理,得 sin∠ABC=sin∠BAC=×=,‎ 得∠ABC=45°,即BC与正北方向垂直.‎ 于是∠CBD=120°.‎ 在△BCD中,由正弦定理,得 sin∠BCD===,‎ 得∠BCD=30°,‎ ‎∴∠BDC=30°.‎ 又=,=,得t=.‎ 所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船,最少要花时.‎
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