2018-2019学年湖南省益阳市第六中学高二下学期期中考试数学（理）试题

2018-2019学年湖南省益阳市第六中学高二下学期期中考试数学（理）试题

湖南省益阳市第六中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（理）‎ 时量：120分钟 总分：150分 ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 设全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部是（ ）‎ A．1 B．i C．－1 D．－i ‎3. 函数的图象与函数的图象的交点个数是( )‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5 ‎ ‎4. 若向量的夹角为，且，则向量与向量的夹角为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）‎ A．9 B．‎12 ‎C．18 D．24‎ ‎6.已知，且，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记, ‎ 则 的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.直线分别与交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）‎ 输出 开始 否 结束 是 A． B． C. D．‎ ‎10. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数是定义在R上的偶函数，设函数的导数为，若对任意的都有成立，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12.设双曲线的左、右焦点分别为、。若直线与双曲线C交于两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若实数满足则的最大值是 ．‎ ‎14. 的展开式中，的系数是 。（用数字填写答案）‎ ‎15.来自甲，乙，丙3个班级的5名同学站成一排照相，其中甲班有2名同学，乙班有2名同学，丙班有1名同学，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数有 。（用数字作答）‎ ‎16. 已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. (10分) 若数列的前项和为，且 ．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若 ，令，求数列的前项和．‎ ‎18. （12分）已知函数 ‎（1）求函数在上的单调递减区间；‎ ‎（2）在锐角中，内角的对边分别为，已知,‎ ‎,求的面积．‎ ‎19. （12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入(单位:千元)的数据如下表:‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入 ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（1）求关于t的线性回归方程.‎ ‎（2）利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:‎ ‎.‎ ‎20.（12分） 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，‎ ‎，平面，点E在上，。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设，若所成的二面角为，求的长．‎ B E A C D ‎21.（12分） 已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为。‎ ‎（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值;‎ ‎（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由。‎ ‎22. （12分）已知函数 ‎（1）若函数处取得极值，求实数的值，并求此时上的最大值;‎ ‎（2）若函数不存在零点，求实数的取值范围。‎ ‎2019年益阳市六中高二期中考试试题参考答案 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 设全集，集合，则（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部是（ A ）‎ A．1 B．i C．－1 D．－i ‎3. 函数的图象与函数的图象的交点个数是( B )‎ A．2 B．3 C．4 D．5 ‎ ‎4. 若向量的夹角为，且，则向量与向量的夹角为（ B ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 已知， ，若不等式恒成立，则m的最大值为（ B ）‎ A．9 B．12 C．18 D．24‎ ‎6.已知，且，则等于（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记, ‎ 则 的大小关系为（ C ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.直线分别与交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ A ）‎ A． B． C. D．‎ 输出 开始 否 结束 是 ‎10. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ D ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数是定义域在R上的偶函数，设函数的导数为，若对任意的都有成立，则（ A ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12.设双曲线的左、右焦点分别为、。若直线与双曲线C交于两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（ D ） ‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若实数满足则的最大值是 2 ．‎ ‎14. 的展开式中，的系数是 10 。（用数字填写答案）‎ ‎15.来自甲，乙，丙3个班级的5名同学站成一排照相，其中甲班有2名同学，乙班有2名同学，丙班有1名同学，则仅有一个班的同学相邻的站法种数有 48 。（用数字作答）‎ ‎16. 已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .‎ 三、解答题（本题共7道题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,第7题12分）‎ ‎17.若数列的前项和为，首项且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，令，求数列的前项和．‎ 解：（1）或；（2）．‎ 解析：（1）当时，，则 ‎ ‎ 当时，，‎ 即或 或 ‎ ‎（2）由，，‎ ‎ ‎ ‎18. 已知函数 ‎（1）求函数在上的单调递减区间；‎ ‎（2）在锐角中，内角的对边分别为，已知,‎ ‎,求的面积．‎ 答：（1） ‎ ‎（2）‎ ‎19. 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎(1)求y关于t的线性回归方程.‎ ‎(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:‎ ‎.‎ ‎【解析】(1)因为==4,‎ ‎==4.3,‎ 设回归方程为y=bt+a,代入公式,经计算得 b===,‎ a=-b=4.3-×4=2.3,‎ 所以,y关于t的回归方程为y=0.5t+2.3.‎ ‎(2)因为b=>0,所以2007年至2013年该地区人均纯收入稳步增长,预计到2015年,‎ 该地区人均纯收入y=0.5×9+2.3=6.8(千元),‎ 所以,预计到2015年,该地区人均纯收入约6800元左右.‎