山东省烟台市中考数学试题详尽解析

山东省烟台市中考数学试题详尽解析

‎2011年烟台市初中学生学业考试 数 学 试 题 说明：‎ ‎1．本试题分为Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．考试时间120分钟，满分150分．‎ ‎2．答题前将密封线内的项目填写清楚．‎ ‎3．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ 请考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如要改动，必须用橡皮擦干净，再选涂其它答案．‎ 一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．‎ ‎1. （2011山东烟台，1，4分） (－2)0的相反数等于（ ）‎ A.1 B.－‎1 C.2 D.－2‎ ‎【答案】B ‎【思路分析】（－2）0=1，1的相反数是－1，故选B.‎ ‎【方法规律】此题考查实数的基础知识. 任何非零数的零次幂为1；互为相反数两数符号相反，绝对值相同.‎ ‎【易错点分析】对零次幂的意义把握不牢，可致错.‎ ‎【关键词】实数：零次幂，相反数 ‎【难度】★☆☆☆☆‎ ‎【题型】常规题 ‎2. （2011山东烟台，2，4分） 从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是（ ）‎ A B C D ‎【答案】A ‎【思路分析】俯视图是从上面看到的平面图形，也是在水平投影面上的正投影. 易判断选A.‎ ‎【方法规律】此题考查三视图的判断. 试题选材生活，给试卷平添亮点，具有一定的 吸引力.解此类题需具有将立体图形与平面图形相互转化的能力. 画物体的三视图时，应遵循这样的画图规则：“主、俯两图长对正，主、左两图高平齐，左、俯两图宽相等”. 另外要注意看得见部分的轮廓线画成实线，看不见部分的轮廓线画成虚线.‎ ‎【易错点分析】易忽略应有的轮廓线.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【关键词】三视图 ‎【难度】★☆☆☆☆[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎【题型】常规题，新题 ‎3. （2011山东烟台，3，4分）下列计算正确的是（ ）‎ A.a2＋a3＝a5 B. a6÷a3＝a2 ‎ C. 4x2－3x2＝1 D.(－2x2y)3＝－8 x6y3‎ ‎【答案】D ‎【思路分析】A不能合并；B结果应为a3 ；C 结果应为x2 ；D正确. 故选D ‎【方法规律】此题考查整式运算的基础知识，需全面掌握合并同类项、幂的运算等整式运算的基础知识.‎ ‎【易错点分析】A、B、C三个选项都有可能误选.‎ ‎【关键词】整式运算：合并同类项，幂的运算性质.‎ ‎【难度】★☆☆☆☆[来源:学科网]‎ ‎【题型】常规题 ‎4. （2011山东烟台，4，4分）不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有（ ）‎ A.1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【思路分析】解不等式得x≤2，其非负整数解为0，1，2，故选C.[来源:学科网][来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎【方法规律】此题考查一元一次不等式的解法及特殊解的判断. 需会解一元一次不等式，会判断其特殊解.‎ ‎【易错点分析】易忽略0，误选B.‎ ‎【关键词】一元一次不等式解法，特殊解 ‎【难度】★☆☆☆☆‎ ‎【题型】常规题 ‎5. （2011山东烟台，5，4分）如果，则（ ）‎ A．a＜ B. a≤ C. a＞ D. a≥‎ ‎【答案】B ‎【思路分析】因为二次根式具有非负性，所以1－‎2a≥0，解得a≤，故选B.‎ ‎【方法规律】此题考查二次根式性质及其应用，同时考查不等式的解法. 当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝－a．此题可直接利用非负性列不等式求解. 具有非负思想是解此类题的关键.‎ ‎【易错点分析】对知识掌握不灵活，错列不等式，误选B.‎ ‎【关键词】二次根式的非负性 ‎【难度】★★☆☆☆‎ ‎【题型】常规题，易错题 ‎6. （2011山东烟台，6，4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点. 已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（ ）‎ A.8 B‎.9 C.10 D.12‎ A B C D E F G ‎（第6题图）‎ ‎【答案】B ‎【思路分析】连BF与DC相交，易证EF等于两底差的一半；由三角形中位线定理，可得EG+FG等于两腰和的一半. 这样可得△EFG的周长是9，故选B.‎ ‎【方法规律】此题考查三角形中位线定理，及梯形知识. 灵活添加辅助线，得到“两对角线中点的连线是两底差的一半”是解此题关键，另外具有整体思想，也是解此类题所必不可少的思想方法.‎ ‎【易错点分析】因不会解致错.‎ ‎【关键词】三角形中位线，梯形 ‎【难度】★★☆☆☆‎ ‎【题型】常规题 ‎7. （2011山东烟台，7，4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为‎6m和‎8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）‎ A‎2m B‎.3m ‎ C‎.6m D‎.9m O ‎（第7题图）‎ ‎【答案】C ‎【思路分析】此题可转化为求三角形内切圆的半径. 由勾股定理可得斜边为10，设内切圆半径为r，则利用面积法可得：r(6+8+10)=×6×8，解得r=2. 从而管道为2×3=6‎ ‎（m），故选C.‎ ‎【方法规律】命题者独具匠心，试题设计新颖别致，为试卷又一亮点. 解此题需具有一定的数学功底，能够进行数学建模，并巧用面积法解题，或利用切线长定理解决.‎ ‎【易错点分析】因不会致错.‎ ‎【关键词】三角形内切圆，勾股定理 ‎【难度】★★☆☆☆‎ ‎【题型】新题 ‎8. （2011山东烟台，8，4分）体育课上测量立定跳远，其中一组六个人的成绩（单位：米）分别是：1.0，1.3，2.2，2.0，1.8，1.6，,则这组数据的中位数和极差分别是（ ）‎ A.2.1‎‎，0.6 B. 1.6，‎1.2 C.1.8，1.2 D.1.7，1.2‎ ‎【答案】D ‎【思路分析】将数据按顺序排列：1.0，1.3，1.6，1.8，2.0，2.2，易判断中位数为=1.7； 极差为2.2－1.0=1.2. 故选D.‎ ‎【方法规律】此题考查统计量的计算. 掌握中位数、极差的概念即可获解.‎ ‎【易错点分析】易忽略将数据按大小顺序排列，误选A.‎ ‎【关键词】统计量：中位数，极差 ‎【难度】★☆☆☆☆‎ ‎【题型】常规题 ‎9. （2011山东烟台，9，4分）如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ）‎ A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形 C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是锐角三角形 ‎【答案】C ‎【思路分析】因为sinA=cosB=，所以∠A=∠B=45°，所以△ABC是等腰直角三角形. 故选C.‎ ‎【方法规律】此题考查特殊角的三角函数，及三角形的分类. 掌握特殊角的三角函数值即可获解.‎ ‎【易错点分析】易判断不全面，可能误选A或B.‎ ‎【关键词】特殊角的三角函数，三角形分类.‎ ‎【难度】★☆☆☆☆‎ ‎【题型】常规题 ‎10. （2011山东烟台，10，4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）‎ A．m＝n，k＞h B．m＝n ，k＜h ‎ C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（第10题图）‎ ‎【答案】A ‎【思路分析】由两抛物线的解析式可判断其顶点坐标，再根据坐标意义即可判断答案选A ‎【方法规律】此题主要考查二次函数的基础知识，会根据顶点式判断出顶点坐标便易获解.‎ ‎【易错点分析】有可能混淆横、纵坐标，误选D.‎ ‎【关键词】二次函数 ‎【难度】★☆☆☆☆‎ ‎【题型】常规题 ‎11. （2011山东烟台，11，4分）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（ ）‎ A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4个 ‎（第11题图）‎ ‎20‎ ‎【答案】C ‎【思路分析】利用图象可判断①②④正确，③错误，故选C.‎ ‎【方法规律】此题赋常规题以新背景，体现了数学与现实生活的紧密联系性. 试题考查函数图象的识别. 解题关键是能够将实际问题情境与函数图象相互转换，能够从图象的横、纵两个方向分别获取信息，判断相应的实际意义. ‎ ‎【易错点分析】误判①错误，从而错选B.‎ ‎【关键词】函数图象 ‎【难度】★☆☆☆☆‎ ‎【题型】常规题 ‎12. （2011山东烟台，12，4分） 如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线 FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，……的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…….当AB＝1时，l2 011等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎（第12题图）‎ A B C D E F K1‎ K2‎ K3‎ K4‎ K5‎ K6‎ K7‎ ‎【答案】B ‎【思路分析】可以发现规律：每段弧的度数都等于60°，的半径为n，所以l2 011‎ ‎==.‎ ‎【方法规律】此题考查弧长计算，正六边形知识，以及规律探索的能力，为本卷亮点试题. 从简单的特殊情形中探索得到变化规律是解此类题的关键.‎ ‎【易错点分析】规律归纳错误 ‎【关键词】弧长计算，规律探索 ‎【难度】★☆☆☆☆‎ ‎【题型】新题，规律探索题 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，满分24分）．‎ ‎13. （2011山东烟台，13，4分）微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小.某种电子元件的面积大约为0.000 000 7平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米.‎ ‎【答案】7×10－7‎ ‎【思路分析】0.000 000 7=7×10－7，故填7×10－7.‎ ‎【方法规律】此题考查科学记数法. 此类试题一般背景新颖，与时俱进，解题需掌握科学记数法的形式，及a的取值范围，n的确定方法. ‎ ‎【易错点分析】可能忽略指数中的负号，误写成7×107‎ ‎【关键词】实数：科学记数法 ‎【难度】★☆☆☆☆‎ ‎【题型】常规题 ‎14. （2011山东烟台，14，4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .‎ ‎【答案】4或6‎ ‎【思路分析】此题应分两种情况讨论，4可能为底边，也可能为腰长，且两种情况都成立. ‎ ‎【方法规律】此题考查等腰三角形的概念，三角形三边关系，及分类讨论思想. 解题关键明确此类题需分类讨论，且注意检验各情况是否成立.‎ ‎【易错点分析】忽略4是底边的情况，只填6.‎ ‎【关键词】等腰三角形，三角形三边关系.‎ ‎【难度】★☆☆☆☆‎ ‎【题型】常规题 ‎15. （2011山东烟台，15，4分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是 .‎ O x y B C A ‎（第16题图）‎ ‎（第15题图）‎ ‎【答案】‎ ‎【思路分析】易判断黑色部分的面积为大圆的一半，故填.‎ ‎【方法规律】此题考查概率的简单计算. 对于此类几何概型问题，按照公式：计算即可. ‎ ‎【易错点分析】一般不会出错.‎ ‎【关键词】概率 ‎【难度】★☆☆☆☆‎ ‎【题型】常规题[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎16. （2011山东烟台，16，4分）如图，△ABC的外心坐标是__________.‎ ‎【答案】（－2，－1）‎ ‎【思路分析】三角形的外心为三边垂直平分线的交点，观察图形，画出AB、BC的垂直平分线，即可获解.‎ ‎【方法规律】此题综合考查三角形外心、平面直角坐标系等的知识. 解题关键是掌握三角形的外心为三边（任选两边）垂直平分线的交点，能利用网格特点，画出两边的垂直平分线. ‎ ‎【易错点分析】对外心概念不掌握致错.‎ ‎【关键词】三角形的外心 ‎【难度】★☆☆☆☆‎ ‎【题型】操作题 ‎17. （2011山东烟台，17，4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .‎ ‎（第17题图）‎ ‎【答案】2‎ ‎【思路分析】正方形为旋转对称图形，绕中心旋转每90°便与自身重合. 可判断每个阴影部分的面积为正方形面积的，这样可得答案填2.‎ ‎【方法规律】此题考查正方形的旋转对称性. 解题关键是掌握正n边形旋转与自身重合.‎ ‎【易错点分析】不掌握其中规律，不会做.‎ ‎【关键词】正方形 ‎【难度】★★★☆☆‎ ‎【题型】运动变换题 ‎18. （2011山东烟台，18，4分）通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【答案】‎ ‎【思路分析】观察图形，可发现规律：每个图形都是由两个英文大写字母构成的轴对称图形，且按顺序排列，其中奇数位置上下对称，偶数位置为左右对称.‎ ‎【方法规律】此题同12题，都是典型题变式而来，都属规律探索题. 考查规律探索能力，及轴对称的知识. 发现其中变化规律是解题关键.‎ ‎【易错点分析】因发现不了其中规律，或归纳规律不全面而致错.‎ ‎【关键词】探索规律 轴对称 ‎【难度】★★★★☆[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎【题型】探索规律 三、解答题（本大题共8各小题，满分78分）．‎ ‎19. （2011山东烟台，19，6分）先化简再计算：‎ ‎，其中x是一元二次方程的正数根.‎ ‎ 【解】原式===.‎ ‎ 解方程得得，‎ ‎ ，.‎ ‎ 所以原式==（或）. ‎ ‎【思路分析】应先进行分式的化简运算，再解一元二次方程，求出其正解，最后代值计算.‎ ‎【方法规律】此题综合考查分式计算，一元二次方程的解法，代数式的求值. 掌握相关计算方法即可获解.‎ ‎【易错点分析】“－”号处理错误，导致分式化简，解方程错误. 最易出错是 的化简.‎ ‎【关键词】分式计算，解一元二次方程，代数式求值 ‎【难度】★★☆☆☆‎ ‎【题型】计算题 ‎20. （2011山东烟台，20，8分）‎ 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走‎60米，下坡路每分钟走‎80米 ，上坡路每分钟走‎40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟.请问小华家离学校多远？‎ ‎【解】设平路有x米，坡路有y米 解这个方程组，得 所以x＋y＝700.‎ 所以小华家离学校‎700米.‎ ‎【思路分析】由题目中的两个等量关系“从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟”可列二元一次方程组求解.‎ ‎【方法规律】此题考查利用列方程解决实际问题. 找到等量关系，并明确基础数量关系：时间=路程/速度，便可列出方程组解决.‎ ‎【易错点分析】不会列方程组 ‎【关键词】二元一次方程组的应用 ‎【难度】★★☆☆☆‎ ‎【题型】实际应用题 ‎21. （2011山东烟台，21，8分）‎ 综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸AB∥CD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为‎10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走‎50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.‎ ‎（参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan72°≈3.08） ‎ ‎ ‎ A B C D E F M N R α β ‎【解】过点F作FG∥EM交CD于G.‎ 则MG＝EF＝‎20米. ‎ ‎∠FGN＝∠α＝36°.‎ ‎∴∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°.‎ ‎∴∠FGN＝∠GFN，‎ ‎∴FN＝GN＝50－20＝30（米）.‎ 在Rt△FNR中，‎ FR＝FN×sinβ＝30×sin72°＝30×0.95≈29（米）.‎ ‎【思路分析】观察图形，此题需添加辅助线，将EM平移至点F处，构造直角三角形，从而利用解直角三角形的知识解决.‎ ‎【方法规律】此题考查解直角三角形的应用. 解题关键是添加辅助线，构造直角三角形. 此题巧妙利用36°与72°之间的特殊关系，证明等腰三角形，从而简化了计算.‎ ‎【易错点分析】不会灵活添加辅助线，解不出 ‎【关键词】解直角三角形 三角函数 ‎【难度】★★☆☆☆‎ ‎【题型】实际应用题 ‎22. （2011山东烟台，22，8分）‎ 如图，已知反比例函数（k1＞0）与一次函数相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C. 若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2 .‎ ‎（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；‎ ‎（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？‎ ‎【解】（1）在Rt△OAC中，设OC＝m.‎ ‎∵tan∠AOC＝＝2，∴AC＝2×OC＝‎2m.‎ ‎∵S△OAC＝×OC×AC＝×m×‎2m＝1，∴m2＝1. ∴m＝1（负值舍去）.‎ ‎∴A点的坐标为（1，2）.‎ 把A点的坐标代入中，得k1＝2.‎ ‎∴反比例函数的表达式为.‎ 把A点的坐标代入中，得k2＋1＝2，∴k2＝1.‎ ‎∴一次函数的表达式.‎ ‎（2）B点的坐标为（－2，－1）.‎ 当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2.‎ ‎【思路分析】（1）由“△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝‎2”‎可求得点A的坐标，从而利用待定系数法求出两函数的关系式. （2）联立两函数关系式，通过解方程组可求得点B的坐标；反比例函数y1的值大于一次函数y2的值时的x值，即y1在y2的上方是时，所对应图象上点的横坐标的取值范围. 注意分象限讨论.‎ ‎【方法规律】此题主要考查一次函数与反比例函数，及其与方程、不等式的关系. 解答此题需全面掌握相关知识. 尤其是能够数形结合地观察图象，能从纵、横两个角度观察两函数图象的关系，知道上、下对应y值的大、小；左，右对应x值的小、大.‎ ‎【易错点分析】不会数形结合地观察图象，或忽略分类讨论，从而错找或找不全（2）‎ 题中x的取值范围.‎ ‎【关键词】一次函数，反比例函数 ‎【难度】★★★☆☆‎ ‎【题型】常规题 ‎23. （2011山东烟台，23，12分）‎ ‎“五·一”假期，某公司组织部分员工分别到A、B、C、D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票.下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题： ‎ ‎（1）若去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图；‎ ‎（2）若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？‎ ‎（3）若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李”.试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？‎ ‎【解】（1）设D地车票有x张，则x＝（x+20+40+30）×10%‎ 解得x＝10.‎ 即D地车票有10张. ‎ 补全统计图如图所示. ‎ ‎（2）小胡抽到去A地的概率为＝.‎ ‎（3）以列表法说明 小李掷得数字 小王掷 得数字 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎（1，1）‎ ‎（1，2）‎ ‎（1，3）‎ ‎（1，4）‎ ‎2‎ ‎（2，1）‎ ‎（2，2）‎ ‎（2，3）‎ ‎（2，4）‎ ‎3‎ ‎（3，1）‎ ‎（3，2）‎ ‎（3，3）‎ ‎（3，4）‎ ‎4‎ ‎（4，1）‎ ‎（4，2）‎ ‎（4，3）‎ ‎（4，4）‎ 或者画树状图法说明（如图）‎ 由此可知，共有16种等可能结果.其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.‎ ‎∴小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为＝.‎ 则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为＝.‎ 所以这个规则对双方不公平.‎ ‎【思路分析】（1）由统计图，可得其A、B、C三地的具体车票数量，根据“去D地的车票占全部车票的10%”列方程即可求解；（2）去A地的概率=A地车票数/车票总数；（3）先列表或画树状图列举出所有等可能结果，再进行判断.‎ ‎【方法规律】此题综合考查统计与概率的基础知识. 掌握并灵活运用相关知识即可获解. ‎ ‎【易错点分析】较简单，一般不会出错.‎ ‎【关键词】统计 概率 ‎【难度】★★☆☆☆‎ ‎【题型】综合题，常规题 ‎24. （2011山东烟台，24，10分）‎ 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．‎ ‎（1）求证：AB＝BC；‎ ‎（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．‎ A B C D E ‎【解】（1）证明：连接AC.‎ ‎∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.‎ ‎∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.‎ ‎∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2，‎ ‎∴AB＝BC.‎ ‎（2）证明：过C作CF⊥BE于F.‎ ‎∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形. ∴CD＝EF.‎ ‎∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，‎ ‎∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF. ∴AE＝BF.‎ ‎∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD.‎ ‎【思路分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明；（2）可采用“截长”法证明，过点C作CF⊥BE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF即可，这一点又可通过全等三角形获证.‎ ‎【方法规律】此题主要考查推理证明能力，涉及勾股定理、全等三角形、矩形等知识. 灵活添加辅助线，构造所需图形是证明关键所在.‎ ‎【易错点分析】不会添加辅助线，不会证明.‎ ‎【关键词】勾股定理，全等三角形，矩形 ‎【难度】★★★☆☆‎ ‎【题型】证明题 ‎25. （2011山东烟台，25，12分）‎ 已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.‎ ‎（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2‎ ‎（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.‎ A B C D E F P ‎.‎ O G ‎（图1）‎ ‎.‎ A B C D E ‎.‎ O G ‎（图2）‎ ‎【解】（1）证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ.‎ ‎∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°. ∴∠QFD＋∠Q＝90°. [来源:学+科+网]‎ ‎∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.‎ ‎∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.‎ ‎∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.‎ ‎∴.∴OE·OP＝OF2＝r2.‎ ‎（2）解：（1）中的结论成立.‎ 理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.‎ ‎∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.‎ ‎∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.‎ ‎∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E. ‎ ‎∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.‎ ‎∴，∴OE·OP＝OF2＝r2.‎ ‎【思路分析】（1）要证等积式，需要将其化为比例式，再利用相似证明. 观察图形，此题显然要连半径OF，构造OE、OP所在的三角形， 这样问题便转化为证明△FOE∽△POF了. 而要证明△FOE∽△POF，由于已经存在一个公共角，因此只需再证明另一角对应相等即可，这一点利用圆周角定理及其推论可获证，且方法不惟一；（2）同（1）类似.‎ ‎【方法规律】此题综合考查圆的性质及相似的知识，解题关键是辅助线的灵活添加. 值得注意的是（2）问是（1）知识的变式，能开拓视野，提高思维深度、灵敏性，其证明同（1）类似，可不必证明.‎ ‎【易错点分析】（1）不会添加辅助线；（2）证不出相似所需一角对应相等的条件. ‎ ‎【关键词】圆，圆周角定理，相似.‎ ‎【难度】★★★★☆‎ ‎【题型】证明题. ‎ ‎26. （2011山东烟台，26，14分）‎ 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=－x+，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）.‎ ‎（1）求出点B、C的坐标；‎ ‎（2）求s随t变化的函数关系式；‎ ‎（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值.‎ O x y A B C D P Q ‎（备用图2）‎ ‎90‎ O x y A B C D O x y A B C D ‎（备用图1）‎ ‎90‎ ‎【解】（1）把y＝4代入y＝－x＋，得x＝1.‎ ‎ ∴C点的坐标为（1，4）. ‎ ‎ 当y＝0时，－x＋＝0，‎ ‎∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）.‎ ‎（2）作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3.‎ ‎∴BC＝＝＝5.‎ ‎∴sin∠ABC＝＝.‎ ‎①当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N，‎ 则QN＝BQ·sin∠ABC＝t.‎ ‎∴S＝OP·QN＝（4－t）×t ＝－t2＋t（0＜t＜4）.‎ ‎②当4＜t≤5时，（如备用图1），‎ 连接QO，QP，作QN⊥OB于N.‎ 同理可得QN＝t.‎ ‎∴S＝OP·QN＝×（t－4）×t.‎ ‎ ＝t2－t（4＜t≤5）.‎ ‎③当5＜t≤6时，（如备用图2），‎ 连接QO，QP.‎ S＝×OP×OD＝（t－4）×4. ‎ ‎ ＝2t－8（5＜t≤6）.‎ ‎（3）①在0＜t＜4时，‎ 当t＝＝2时，‎ S最大＝＝.‎ ‎②在4＜t≤5时，对于抛物线S＝t2－t，当t＝－＝2时，‎ S最小＝×22－×2＝－.‎ ‎∴抛物线S＝t2－t的顶点为（2，－）.‎ ‎∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大.‎ ‎∴当t＝5时，S最大＝×52－×5＝2.‎ ‎③在5＜t≤6时，‎ 在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.‎ ‎∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4.‎ ‎∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.‎ ‎（说明：（3）中的②也可以省略，但需要说明：在（2）中的②与③的△OPQ，③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的面积.）‎ ‎【思路分析】（1）点B、C的横、纵坐标分别已知，将其代入直线CB的表达式y=－x+，可求出点B、C的坐标. （2）根据三角形面积公式列函数关系式，注意需分三种情况讨论. （3）按（2）中的三种情况，结合所列函数的性质分别求出最大值，最后加以综合，得出结论.‎ ‎【方法规律】此题综合考查一次函数、二次函数、三角函数等知识，较以往压轴题难度降低，一改往年抛物线上架构几何图形的压轴题特点，令人耳目一新，也更实用. 解题关键是结合图形特征分类讨论；能灵活应用一次函数、二次函数的性质，结合自变量取值范围的限制条件求最值.‎ ‎【易错点分析】考虑问题不全面，只讨论其中一种或二种情况.‎ ‎【关键词】一次函数，二次函数 ‎【难度】★★★★☆‎ ‎【题型】压轴题