2010年数学试题分类汇编辽宁卷

2010年数学试题分类汇编辽宁卷

‎2010年数学试题分类汇编辽宁卷 一、选择题 ‎1、已知集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2、已知a>0，则x0满足关于x的方程ax=6的充要条件是 ‎ (A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎3、已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},B∩A={9},则A=‎ ‎（A）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}‎ ‎4、已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 ‎ (A)[0,) (B) （C） (D) ‎ ‎5、设，且，则 ‎（A） （B）10 （C）20 （D）100‎ ‎6、已知，函数，若满足关于的方程 ‎，则下列选项的命题中为假命题的是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎7、已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是 ‎ (A)[0,) (B) (D) ‎ 二、填空题 ‎8、（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）设.如果对任意，，求的取值范围。‎ ‎9、（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：对任意，.‎ 三、选择题 ‎10、（2010辽宁文数）（11）已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于 ‎（A）4 （B）3 （C）2 （D）‎ ‎11、（2010辽宁理数）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 ‎ (A)（0,） (B)（1,）‎ ‎ (C) (,） (D) （0,）‎ 四、填空题 ‎12、如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为 。‎ ‎13、如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.‎ ‎14、如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的 长为 .‎ 五、选择题 ‎15、如果执行右面的程序框图，输入，那么输出的等于 ‎（A）720 ‎ ‎ （B） 360 ‎ ‎ （C） 240 ‎ ‎ （D） 120‎ ‎16、如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的P等于 ‎（A） ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎17、两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是 ‎ 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ‎（A） (B) (C) (D)‎ 六、填空题 ‎18、（本小题满分12分）‎ 为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组。每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的实验结果。（疱疹面积单位：）‎ ‎（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；‎ ‎（Ⅱ）完成下面列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。 ‎ 附： ‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ ‎ 为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。‎ ‎ （Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；‎ ‎（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）‎ 表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表 ‎（ⅰ ‎）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；‎ ‎（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.‎ 表3： ‎ ‎20、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=____▲_____。‎ 七、解答题 ‎21、（本小题满分12分）‎ ‎ 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 ‎ （Ⅰ）求A的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ ‎22、（本小题满分12分）‎ 在中，分别为内角的对边，‎ 且 ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，试判断的形状.‎ ‎23、（本小题满分12分）‎ ‎ 在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，‎ ‎ AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.‎ 八、选择题 ‎24、平面上O,A,B三点不共线，设，则△OAB的面积等于 ‎ (A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎25、平面上三点不共线，设,则的面积等于 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ 九、填空题 ‎26、（2010浙江理数）（14）设 ‎，‎ 将的最小值记为，则 其中=__________________ .‎ ‎27、（2010辽宁理数）（16）已知数列满足则的最小值为__________.‎ ‎28、设为等差数列的前项和，若，则 。‎ ‎29、（2010陕西文数）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝‎ ‎（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.‎ 十、选择题 ‎30、设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么 ‎（A） （B） 8 （C） （D） 16‎ ‎31、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎32、设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=‎ ‎ (A) (B)8 (C) (D) 16‎ ‎33、设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎34、设a,b为实数，若复数，则 ‎（A） (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ 十一、解答题 ‎35、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E ‎（I）证明：‎ ‎（II）若的面积，求的大小。‎ ‎36、（本小题满分12分）‎ 设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.‎ ‎(I) 求椭圆C的离心率；‎ ‎(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.‎ ‎37、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ ‎ 已知P为半圆C： （为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），‎ ‎ ‎ O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。‎ ‎（I）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；‎ ‎（II）求直线AM的参数方程。‎ ‎38、已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.‎ ‎（1）若点满足，求点的坐标；‎ ‎（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；‎ ‎（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.‎ ‎39、（本小题满分13分）‎ 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距‎8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过‎10Km的区域。‎ ‎（I） 求考察区域边界曲线的方程：‎ ‎（II） 如图4所示，设线段 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动‎0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？‎ ‎40、（（本题满分15分）已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆 的左、右焦点. ‎ ‎（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. ‎ 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。‎ ‎41、（本小题满分12分） ‎ 设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的焦距；‎ ‎（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.‎ ‎42、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D. ‎ 在集合中，去掉，剩下的元素构成 ‎2、C ‎【命题立意】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力。‎ ‎【解析】由于a>0,令函数，此时函数对应的开口向上，当x=时，取得最小值，而x0满足关于x的方程ax=b,那么x0==,ymin=，那么对于任意的x∈R,都有≥=‎ ‎3、D ‎【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力。‎ ‎【解析】因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为 B∩A={9}，所以9∈A，所以选D。本题也可以用Venn图的方法帮助理解。‎ ‎4、D ‎，，‎ 即，‎ ‎5、A 解析：选A.又 ‎6、C 函数的最小值是 等价于，所以命题错误.‎ ‎7、D ‎【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。‎ ‎【解析】因为，即tan a≥-1,所以 二、填空题 ‎8、解：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .‎ 当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；‎ 当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；‎ 当-1＜＜0时，令=0，解得.‎ 则当时，＞0；时，＜0.‎ 故在单调增加，在单调减少.‎ ‎（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 ‎ ，‎ 等价于 ‎， ①‎ 令，则 ‎①等价于在（0，+∞）单调减少，即 ‎ .‎ ‎ 从而 ‎ 故a的取值范围为（-∞，-2]. ……12分 ‎9、解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.‎ 当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；‎ 当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；‎ 当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；‎ x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.‎ ‎(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.‎ 所以等价于 ‎≥4x1－4x2,‎ 即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.‎ 令g(x)=f(x)+4x,则 ‎+4‎ ‎＝. ‎ 于是≤＝≤0.‎ 从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，‎ 即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，.　　‎ 三、选择题 ‎10、A.‎ 由已知，球的直径为，表面积为 ‎11、A ‎【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。‎ ‎【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有<2+，即，即有a<‎ ‎(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;‎ 综上分析可知a∈（0,）‎ 四、填空题 ‎12、‎ ‎【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。‎ ‎13、‎ ‎【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。‎ ‎【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为 ‎14、 ‎ 解析：填画出直观图：图中四棱锥即是，‎ 所以最长的一条棱的长为 五、选择题 ‎15、B.‎ ‎16、D ‎【命题立意】本题考查了循环结构的程序框图、排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力 ‎【解析】第一次循环：k=1,p=1,p=n-m+1;‎ ‎ 第二次循环：k=2,p=(n-m+1)(n-m+2)；‎ ‎ 第三次循环：k=3，p=(n-m+1) (n-m+2) (n-m+3)‎ ‎ ……‎ 第m次循环：k=3，p=(n-m+1) (n-m+2) (n-m+3)…(n-1)n ‎ 此时结束循环，输出p=(n-m+1) (n-m+2) (n-m+3)…(n-1)n=‎ ‎17、B ‎【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题 ‎【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则 P(A)=P(A1)+ P(A2)=‎ 六、填空题 ‎18、解：‎ ‎ （Ⅰ）‎ 图1注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图2注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 ‎ 可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。‎ ‎ （Ⅱ）表3‎ 疱疹面积小于 疱疹面积不小于 合计 注射药物 注射药物 合计 ‎ ‎ ‎ 由于，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.‎ ‎19、解：‎ ‎（Ⅰ）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为 ‎ ……4分 ‎（Ⅱ）（i）‎ 图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。 ……8分 ‎（ii）表3：‎ 由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异”。 ……12分 ‎20、[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。‎ ‎（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。‎ 当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，，‎ ‎，= 4。‎ ‎（方法二），‎ 七、解答题 ‎21、解：‎ ‎（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 即 ‎ ‎ 由余弦定理得 ‎ 故 ，A=120° ……6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分 ‎22、解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 ‎ 即 ‎ 由余弦定理得 ‎ 故 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎ 又，得 ‎ 因为，‎ ‎ 故 ‎ 所以是等腰的钝角三角形。‎ ‎23、解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,‎ ‎ 由余弦定理得 cos=,‎ ‎ ADC=120°, ADB=60°‎ ‎ 在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°，‎ ‎ 由正弦定理得,‎ ‎ AB=.‎ 八、选择题 ‎24、C ‎【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。‎ ‎【解析】三角形的面积S=|a||b|sin，而 ‎ ‎ ‎25、C.‎ ‎ ‎ 九、填空题 ‎26、解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题 ‎27、‎ ‎【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。‎ ‎【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n 所以 设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时有最小值。‎ 又因为，，所以，的最小值为 ‎28、填15. ,解得，‎ ‎29、解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方 所以第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.‎ 十、选择题 ‎30、B.‎ 利用抛物线定义，易证为正三角形，则 ‎31、D.‎ 不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，‎ 则一个焦点为 一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，，‎ ‎，解得.‎ ‎32、B ‎【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想。‎ ‎【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8‎ ‎33、D ‎【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。‎ ‎【解析】设双曲线方程为，则F（c,0）,B(0,b)‎ 直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac 所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去）‎ ‎34、A ‎【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。‎ ‎【解析】由可得，所以，解得，，故选A。‎ 十一、解答题 ‎35、证明：‎ ‎（Ⅰ）由已知条件，可得 因为是同弧上的圆周角，所以 故△ABE∽△ADC. ……5分 ‎（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.‎ 又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin= AD·AE.‎ 则sin=1，又为三角形内角，所以=90°. ……10分 ‎36、解：‎ 设，由题意知＜0，＞0.‎ ‎（Ⅰ）直线l的方程为 ，其中.‎ 联立得 解得 因为，所以.‎ 即 ‎ 得离心率 . ……6分 ‎（Ⅱ）因为，所以.‎ 由得.所以，得a=3，.‎ 椭圆C的方程为. ……12分 ‎37、解：‎ ‎（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，‎ 故点M的极坐标为（，）. ……5分 ‎（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（0,1），故直线AM的参数方程为 ‎（t为参数） ……10分 ‎38、解析：(1) ； (2) 由方程组，消y得方程， 因为直线交椭圆于、两点， 所以D>0，即， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， 则， 由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p， 又因为，所以， 故E为CD的中点； (3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程． ，直线OF的斜率，直线l的斜率， 解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)．‎ ‎39、‎ ‎40、 （Ⅰ）解：因为直线经过，所以,得，‎ 又因为，所以，‎ 故直线的方程为。‎ ‎（Ⅱ）解：设。‎ ‎ 由，消去得 ‎ 则由，知，‎ 且有。‎ 由于，‎ 故为的中点，‎ 由，‎ 可知 设是的中点，则，‎ 由题意可知 即 即 而 ‎ ‎ 所以 即 又因为且 所以。‎ 所以的取值范围是。‎ ‎41、解：（Ⅰ）设焦距为，由已知可得到直线l的距离 所以椭圆的焦距为4. ‎ ‎ （Ⅱ）设直线的方程为 ‎ 联立 ‎ 解得 ‎ 因为 ‎ 即 ‎ ‎ 得 故椭圆的方程为 ‎42、证明：（证法一）‎ 因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得 ‎ ①‎ 所以 ② ……6分 故.‎ 又 ③‎ 所以原不等式成立. ……8分 当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。‎ 即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 ……10分 ‎（证法二）‎ 因为a，b，c均为正数，由基本不等式得 所以 ①‎ 同理 ② ……6分 故 ‎ ③‎ 所以原不等式成立. ……8分 当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。‎ 即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 ……10分