与二次函数有关的中考综合题含答案和解析

与二次函数有关的中考综合题含答案和解析

与《二次函数》有关的中考综合题 ‎　‎ 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；‎ ‎（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．‎ ‎①求S与m的函数关系式；‎ ‎②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2．（孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．‎ ‎（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；‎ ‎（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．‎ ‎①AE=EF是否总成立？请给出证明；‎ ‎②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．‎ ‎　‎ ‎3．（铜仁地区）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90．‎ ‎（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．‎ ‎（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？‎ ‎　‎ ‎4．（泰州）已知：关于x的二次函数y=﹣x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．‎ ‎（1）y1=y2，请说明a必为奇数；‎ ‎（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；‎ ‎（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎5．（十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．‎ ‎（1）求D点的坐标；‎ ‎（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；‎ ‎（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．‎ ‎　‎ ‎6．（晋江市）将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．‎ ‎（1）当m=3时，点B的坐标为　_________　，点E的坐标为　_________　；‎ ‎（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．‎ ‎（3）如图，若点E的纵坐标为﹣1，抛物线（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎7．（济南）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），tan∠BAO=2，以线段BC为直径作⊙M交AB与点D，过点B作直线l∥AC，与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．‎ ‎（1）求该抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求点C的坐标和线段EF的长；w W w .X k b 1.c O m ‎（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎8．（湘潭）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；‎ ‎（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．‎ ‎　‎ ‎9．（宁德）如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 ‎（1）直接写出点A、B的坐标：A（　_________　，　_________　）、B（　_________　，　_________　）；‎ ‎（2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是　_________　；‎ ‎（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎10．（眉山）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．‎ ‎（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；X|k |B | 1 . c |O |m ‎（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎11．（莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；‎ ‎（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎12．（河池）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．‎ ‎（1）写出点A、点B的坐标；‎ ‎（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎13．（贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M（2，﹣1），交x轴于点A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个点为D，且直线CD和直线CA关于直线CB对称，求直线CD的解析式；‎ ‎（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2+PB2+PC2=35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．‎ ‎ w W w .x K b 1.c o M ‎　‎ ‎14．（抚顺）如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．‎ ‎①用含y的代数式表示CD2，并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；‎ ‎②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎15．（恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．‎ ‎（1）抛物线及直线AC的函数关系式；‎ ‎（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；‎ ‎（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；‎ ‎（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎16．（大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴相交于D．该抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴相交于点N，连接PM、DN，若PM=2DN，求点N的坐标（直接写出结果）．‎ ‎　‎ ‎17．（朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（﹣1，0）．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；‎ ‎（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；‎ ‎（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎18．（徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．‎ ‎（1）请直接写出点D的坐标：　_________　；‎ ‎（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；‎ ‎（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎19．（台州）如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．‎ ‎（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；‎ ‎（2）设交点C的横坐标为m．‎ ‎ ①交点C的纵坐标可以表示为：　_________　或　_________　，由此进一步探究m关于h的函数关系式；‎ ‎ ②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．‎ ‎　‎ ‎20．（齐齐哈尔）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）‎ ‎（1）求此二次函数的解析式；‎ ‎（2）设此二次函数的对称轴为直线l，该图象上的点P（m，n）在第三象限，其关于直线l的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，若四边形OAPN的面积为20，求m、n的值．‎ ‎　‎ ‎21．（宁夏）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．‎ ‎　‎ ‎22．（唐山一模）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足z=﹣3x+3000‎ ‎（1）求出政府补贴政策实施后，种植亩数y与政府补贴数额x 之间的函数关系式；‎ ‎（2）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？‎ ‎（3）要使全市这种蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴数额X定为多少？并求出总收益W的最大值．‎ ‎（4）该市希望这种蔬菜的总收益不低于7200 000元，请你在坐标系中画出3中的函数图象的草图，利用函数图象帮助该市确定每亩补贴数额的范围，在此条件下要使总收益最大，说明每亩补贴数额应定为多少元合适？‎ ‎　‎ ‎23．（上海模拟）某产品每千克的成本价为20元，其销售价不低于成本价，当每千克售价为50元时，它的日销售数量为100千克，如果每千克售价每降低（或增加）一元，日销售数量就增加（或减少）10千克，设该产品每千克售价为x（元），日销售量为y（千克），日销售利润为w（元）．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（2）写出w关于x的函数解析式及函数的定义域；‎ ‎（3）若日销售量为300千克，请直接写出日销售利润的大小．‎ ‎　‎ ‎24．（溧水县二模）我区的某公司，用1800万元购得某种产品的生产技术、生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到200元之间为合理．当单价在100元时，销售量为20万件，当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件；设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为W（万元）．‎ ‎（年利润=年销售总额﹣生产成本﹣投资成本）‎ ‎（1）直接写出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）求第一年的年获利W与x之间的函数关系式，并请说明不论销售单价定为多少，该公司投资的第一年肯定是亏损的，最小亏损是少？‎ ‎（3）在使第一年亏损最小的前提下，若该公司希望到第二年的年底，弥补第一年的亏损后，两年的总盈利为1490万元，且使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？‎ ‎　‎ ‎25．（高淳县二模）某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y=60+2x，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用．‎ ‎（1）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为　_________　（元/千克），获得的总利润为　_________　（元）；‎ ‎（2）设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w（元）与保存时间x（天）之间的函数关系式；‎ ‎（3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润．‎ ‎　‎ ‎26．（大丰市二模）某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y=a（x﹣h）2+k，二次函数y=a（x﹣h）2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20．‎ ‎（1）试确定函数关系式y=a（x﹣h）2+k；‎ ‎（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；‎ ‎（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？‎ ‎　‎ ‎27．（遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；‎ ‎（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．‎ ‎　‎ ‎28．（威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．‎ ‎（1）求点A，B的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；‎ ‎（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎29．（呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为　_________　；‎ ‎（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．‎ ‎①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．‎ ‎　‎ ‎30．（鄂州）在平面直角坐标系中，已知M1（3，2），N1（5，﹣1），线段M1N1平移至线段MN处（注：M1与M，N1与N分别为对应点）．‎ ‎（1）若M（﹣2，5），请直接写出N点坐标．‎ ‎（2）在（1）问的条件下，点N在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式．‎ ‎（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值．‎ ‎（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的，求此时BP的长度．‎ ‎　‎ 九年级数学《二次函数》综合练习题 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；‎ ‎（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．‎ ‎①求S与m的函数关系式；‎ ‎②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；‎ ‎（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；‎ ‎（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，‎2m+6），F（m，﹣m2﹣‎2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意可知：‎ 解得：‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；‎ ‎（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC ‎∵BC是定值，‎ ‎∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，‎ ‎∵点A、点B关于对称轴I对称，‎ ‎∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点 ‎∵AP=BP ‎∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC ‎∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），‎ ‎∴AC=3，BC=；‎ 故△PBC周长的最小值为3+．‎ ‎（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）‎ ‎∵A（﹣3，0）‎ ‎∴直线AD的解析式为y=2x+6‎ ‎∵点E的横坐标为m，‎ ‎∴E（m，‎2m+6），F（m，﹣m2﹣‎2m+3）‎ ‎∴EF=﹣m2﹣‎2m+3﹣（‎2m+6）‎ ‎=﹣m2﹣‎4m﹣3‎ ‎∴S=S△DEF+S△AEF ‎=EF•GH+EF•AG ‎=EF•AH ‎=（﹣m2﹣‎4m﹣3）×2‎ ‎=﹣m2﹣‎4m﹣3；‎ ‎②S=﹣m2﹣‎4m﹣3‎ ‎=﹣（m+2）2+1；‎ ‎∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1‎ 此时点E的坐标为（﹣2，2）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．‎ ‎　‎ ‎2．（孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．‎ ‎（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；‎ ‎（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．‎ ‎①AE=EF是否总成立？请给出证明；‎ ‎②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）取AB的中点G，连接EG，利用ASA能得到△AGE与△ECF全等；‎ ‎（2）①在AB上截取AM=EC，证得△AME≌△ECF即可证得AE=EF；‎ ‎②过点F作FH⊥x轴于H，根据FH=BE=CH设BH=a，则FH=a﹣1，然后表示出点F的坐标，根据点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上得到有关a的方程求得a值即可求得点F的坐标；‎ 解答：‎ ‎（1）解：如图1，取AB的中点G，连接EG． ‎ ‎△AGE与△ECF全等．　 ‎ ‎（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．‎ 证明：如图2，在AB上截取AM=EC．‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴BM=BE，‎ ‎∴△MBE是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AME=180°﹣45°=135°，‎ 又∵CF平分正方形的外角，‎ ‎∴∠ECF=135°，‎ ‎∴∠AME=∠ECF． ‎ 而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，‎ ‎∴∠BAE=∠CEF，‎ ‎∴△AME≌△ECF．‎ ‎∴AE=EF． ‎ ‎②过点F作FH⊥x轴于H，‎ 由①知，FH=BE=CH，‎ 设BH=a，则FH=a﹣1，‎ ‎∴点F的坐标为F（a，a﹣1）‎ ‎∵点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，‎ ‎∴a﹣1=﹣a2+a+1，‎ ‎∴a2=2，（负值不合题意，舍去），‎ ‎∴．‎ ‎∴点F的坐标为．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了全等的知识，还渗透了方程思想，是一道好题．‎ ‎　‎ ‎3．（铜仁地区）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90．‎ ‎（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．‎ ‎（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？‎ 考点：‎ 一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．4387773‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用“总利润=月利润的平均值×月数”列出函数关系式即可；‎ ‎（2）根据总利润等于1620列出方程求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）y=w•x=（10x+90）x=10x2+90x（x为正整数），‎ ‎（2）设前x个月的利润和等于1620万元，‎ ‎10x2+90x=1620‎ 即：x2+9x﹣162=0‎ 得x=‎ x1=9，x2=﹣18（舍去），‎ 答：前9个月的利润和等于1620万元．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程的应用及根据实际问题列出二次函数关系式的知识，解题的关键是弄清总利润与月平均利润和月数之间的关系．‎ ‎　‎ ‎4．（2013•泰州）已知：关于x的二次函数y=﹣x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．‎ ‎（1）y1=y2，请说明a必为奇数；‎ ‎（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；‎ ‎（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，利用y1=y2得到用n表示a的式子，即可得到答案；‎ ‎（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解；‎ ‎（3）本问为存在型问题．如解答图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点B为抛物线的顶点，点A、C关于对称轴对称．于是得到n+1=，从而可以求出n=﹣1．‎ 解答：‎ 解：（1）∵点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在二次函数y=﹣x2+ax（a＞0）的图象上，‎ ‎∴y1=﹣n2+an，y2=﹣（n+1）2+a（n+1）‎ ‎∵y1=y2，‎ ‎∴﹣n2+an=﹣（n+1）2+a（n+1）‎ 整理得：a=2n+1‎ ‎∴a必为奇数；‎ ‎（2）当a=11时，∵y1≤y2≤y3‎ ‎∴﹣n2+11n≤﹣（n+1）2+11（n+1）≤﹣（n+2）2+11（n+2）‎ 化简得：0≤10﹣2n≤18﹣4n，‎ 解得：n≤4，‎ ‎∵n为正整数，‎ ‎∴n=1、2、3、4．‎ ‎（3）假设存在，则BA=BC，如右图所示．‎ 过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E．‎ ‎∵xA=n，xB=n+1，xC=n+2，‎ ‎∴AD=CE=1．‎ 在Rt△ABD与Rt△CBE中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．‎ ‎∴∠ABD=∠CBE，即BN为顶角的平分线．‎ 由等腰三角形性质可知，点A、C关于BN对称，‎ ‎∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，‎ ‎∴n+1=，‎ ‎∴n=﹣1．‎ ‎∴a为大于2的偶数，存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，n=﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合知识，涉及二次函数的图象与性质、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知识点，有一定的难度，是一道好题．‎ ‎　‎ ‎5．（十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．‎ ‎（1）求D点的坐标；‎ ‎（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；‎ ‎（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定顶点D的坐标；‎ ‎（2）连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，首先求得点C的坐标，然后证得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°；‎ ‎（3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点，增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性质求得ON的长，从而求得点N的坐标，进而求得直线PQ的解析式，设Q（m，n），根据点Q在y=x2﹣2x﹣3上，得到﹣m﹣2=m2﹣‎2m﹣3，求得m、n的值后即可求得点Q的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）把x=﹣1，y=0代入y=x2﹣2x+c得：1+2+c=0‎ ‎∴c=﹣3‎ ‎∴y=x2﹣2x﹣3=y=（x﹣1）2﹣4‎ ‎∴顶点坐标为（1，﹣4）；‎ ‎（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，‎ 由x2﹣2x﹣3=0得x=﹣1或x=3‎ ‎∴B（3，0）‎ 当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3‎ ‎∴C（0，﹣3）‎ ‎∴OB=OC=3‎ ‎∵∠BOC=90°，‎ ‎∴∠OCB=45°，‎ BC=3‎ 又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，‎ ‎∴∠FCD=45°，CD=，‎ ‎∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°．‎ ‎∴∠BCD=∠COA 又∵‎ ‎∴△DCB∽△AOC，‎ ‎∴∠CBD=∠OCA 又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB ‎∴∠E=∠OCB=45°，‎ ‎（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点 ‎∵∠PMA=45°，‎ ‎∴∠EMH=45°，‎ ‎∴∠MHE=90°，‎ ‎∴∠PHB=90°，‎ ‎∴∠DBG+∠OPN=90°‎ 又∴∠ONP+∠OPN=90°，‎ ‎∴∠DBG=∠ONP ‎∴∠DGB=∠PON=90°，‎ ‎∴△DGB∽△PON ‎∴=，‎ 即：=‎ ‎∴ON=2，‎ ‎∴N（0，﹣2）‎ 设直线PQ的解析式为y=kx+b 则 解得：‎ ‎∴y=﹣x﹣2‎ 设Q（m，n）且n＜0，‎ ‎∴n=﹣m﹣2‎ 又∵Q（m，n）在y=x2﹣2x﹣3上，‎ ‎∴n=m2﹣‎2m﹣3‎ ‎∴﹣m﹣2=m2﹣‎2m﹣3‎ 解得：m=2或m=﹣‎ ‎∴n=﹣3或n=﹣‎ ‎∴点Q的坐标为（2，﹣3）或（﹣，﹣）．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二次函数与相似三角形的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一．‎ ‎　‎ ‎6．（晋江市）将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．‎ ‎（1）当m=3时，点B的坐标为　（3，4）　，点E的坐标为　（0，1）　；‎ ‎（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．‎ ‎（3）如图，若点E的纵坐标为﹣1，抛物线（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；‎ ‎（2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可；‎ ‎（3）过点E作EF⊥AB于F，EF分别与 AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，首先利用勾股定理求得线段DP的长，从而求得线段BF的长，再利用△AFG∽△ABD得到比例线段求得线段FG的长，最后求得a的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）点B的坐标为（3，4），点E的坐标为（0，1）；‎ ‎（2）点E能恰好落在x轴上．理由如下：∵四边形OABC为矩形，‎ ‎∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°，‎ 由折叠的性质可得：DE=BD=OA﹣CD=4﹣1=3，AE=AB=OC=m，‎ 如图1，假设点E恰好落在x轴上，在Rt△CDE中，由 勾股定理可得，‎ 则有，‎ 在Rt△AOE中，OA2+OE2=AE2即 解得…（7分）‎ ‎（3）如图2，过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP=PH+EH=DC+EH=2，‎ 在Rt△PDE中，由勾股定理可得 ‎∴，‎ 在Rt△AEF中，，EF=5，AE=m ‎∵AF2+EF2=AE2∴‎ 解得，‎ ‎∴，，E（，﹣1）‎ ‎∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD ‎∴△AFG∽△ABD ‎∴‎ 即，‎ 解得FG=2，‎ ‎∴EG=EF﹣FG=3‎ ‎∴点G的纵坐标为2，‎ ‎∵‎ ‎∴此抛物线的顶点必在直线上，‎ 又∵抛物线的顶点落在△ADE的内部，‎ ‎∴此抛物线的顶点必在EG上，‎ ‎∴﹣1＜10﹣‎20a＜2，‎ 解得 故a的取值范围为．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合知识，是一道有关折叠的问题，主要考查二次函数、矩形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．‎ ‎　‎ ‎7．（济南）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），tan∠BAO=2，以线段BC为直径作⊙M交AB与点D，过点B作直线l∥AC，与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．‎ ‎（1）求该抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求点C的坐标和线段EF的长；‎ ‎（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 分析：‎ ‎（1）根据点A的坐标和tan∠BAO=2求得AO=2，BO=4，从而求得点B的坐标为（0，4），利用待定系数法求得二次函数的解析式即可．‎ ‎（2）首先根据抛物线的对称轴求得点A的对称点C的坐标，然后求得点B的对称点E的坐标为（﹣1，4），从而求得BE的长，得到EF的长即可；‎ ‎（3）作点D关于直线l的对称点D1（1，6），点C向右平移2个单位得到C1（﹣1，0），连接C1D1与直线l交于点P，点P向左平移两个单位得到点Q，四边形CDPQ即为周长最小的四边形．‎ 解答：‎ 解：（1）∵点A（2，0），tan∠BAO=2，‎ ‎∴AO=2，BO=4，‎ ‎∴点B的坐标为（0，4）．‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A，B，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴此抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+4．‎ ‎（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣，‎ ‎∴点A的对称点C的坐标为（﹣3，0），‎ 点B的对称点E的坐标为（﹣1，4），‎ ‎∵BC是⊙M的直径，‎ ‎∴点M的坐标为（﹣，2），‎ 如图2，过点M作MG⊥FB，则GB=GF，‎ ‎∵M（﹣，2），‎ ‎∴BG=，‎ ‎∴BF=2BG=3，‎ ‎∵点E的坐标为（﹣1，4），‎ ‎∴BE=1，‎ ‎∴EF=BF﹣BE=3﹣1=2．‎ ‎（3）四边形CDPQ的周长有最小值．‎ 理由如下：∵BC=‎ ‎==5，AC=CO+OA=3+2=5，‎ ‎∴AC=BC，‎ ‎∵BC为⊙M直径，‎ ‎∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，‎ ‎∴D为AB中点，‎ ‎∴点D的坐标为（1，2）．‎ 作点D关于直线l的对称点D1（1，6），点C向右平移2个单位得到C1（﹣1，0），连接C1D1与直线l交于点P，点P向左平移两个单位得到点Q，四边形CDPQ即为周长最小的四边形．‎ 设直线C1D1的函数表达式为y=mx+n，‎ ‎∴，，‎ ‎∴直线C1D1的表达式为y=3x+3，‎ ‎∵yp=4，‎ ‎∴xp=，‎ ‎∴点P的坐标为（，4）；‎ C四边形CDPQ最小=2+2+2．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合知识，特别是题目中求根据对称轴求某点关于对称轴的对称点更是中考的热点考题之一，应加强训练．‎ ‎　‎ ‎8．（湘潭）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；‎ ‎（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 压轴题；转化思想．‎ 分析：‎ ‎（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．‎ ‎（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．‎ ‎（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．‎ 解答：‎ 解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：‎ ‎0=‎16a﹣×4﹣2，即：a=；‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．‎ ‎（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；‎ ‎∴OA=1，OC=2，OB=4，‎ 即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，‎ ‎∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；‎ ‎∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；‎ 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．‎ ‎（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；‎ 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：‎ x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；‎ ‎∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；‎ ‎∴直线l：y=x﹣4．‎ 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：‎ ‎，‎ 解得：‎ 即 M（2，﹣3）．‎ 过M点作MN⊥x轴于N，‎ S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．‎ 点评：‎ 考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强．熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（宁德）如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 ‎（1）直接写出点A、B的坐标：A（　6　，　0　）、B（　0　，　﹣8　）；‎ ‎（2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是　y=﹣x2+x﹣8　；‎ ‎（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 计算题；压轴题；数形结合；分类讨论．‎ 分析：‎ ‎（1）由OB长，能直接得到点B的坐标；在Rt△OAB中，已知OB、BA（即BC长）长，由勾股定理可得到OA的长，即可确定点A的坐标．‎ ‎（2）根据（1）的结论，利用待定系数法能求出抛物线的解析式．‎ ‎（3）根据OA、OB以及AD、CD的长，不难发现∠BAO=∠CAD，那么若题干提到的两个三角形若相似，必须满足夹这对相等角的两组对应边成比例，所以分两种情况，列比例式求解即可．‎ ‎（4）此题涉及的情况较多，大致分三种情况：点P在x轴下方（分左右两侧共两种情况）、点P在x轴上方；可过点P作x轴的垂线，通过规则图形间的面积和差关系得出关于△ABP的函数关系式，再由函数的性质得到△ABP的面积最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）由OB=8，得：B（0，﹣8）．‎ ‎∵BA由BC旋转所得，∴BA=BC=10；‎ 在Rt△BAO中，OB=8，BA=10，则：OA==6，即：A（6，0）．‎ ‎∴A（6，0）、B（0，﹣8）．‎ 新 课 标 第 一 网 ‎（2）抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则：‎ ‎，‎ 解得 ‎ 故这条抛物线的解析式：y=﹣x2+x﹣8．‎ ‎（3）存在．‎ 设M（m，﹣m2+m﹣8），则N（m，0），MN=|﹣m2+m﹣8|，NA=6﹣m，又DA=4，CD=8；‎ ‎①若点M在N上方，=，则△AMN∽△ACD；‎ ‎∴=，即 m2﹣‎16m+60=0，解得 m=6或m=10．‎ 与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符．‎ ‎∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似．‎ ‎②若点M在点N下方，=，则△AMN∽△ACD；‎ ‎∴=，即 ‎2m2‎﹣‎17m+30=0，解得 m=或m=6；‎ 当m=时符合条件；‎ ‎∴此时存在点M（，﹣），使△AMN与△ACD相似．‎ 综上所述，存在点M（，﹣），使得△AMN与△ACD相似． ‎ ‎（4）设P（p，﹣p2+p﹣8），在y=﹣x2+x﹣8中，令y=0，得x=4或x=6；‎ ‎∴≤x≤7分为≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论：‎ ‎①如图，当≤x＜4时，过点P作PH⊥x轴于点H，则OH=p，HA=6﹣p，PH=p2﹣p+8；‎ ‎∴S△ABP=S△OAB﹣S梯形OBPH﹣S△APH=•6•8﹣•（p2﹣p+8）•p﹣•（6﹣p）•（p2﹣p+8）‎ ‎=﹣p2+6p=﹣（p﹣3）2+9‎ ‎∴当≤x＜4时，S△ABP随p的增大而减小；‎ ‎∴当x=时，S△ABP取最大值，且最大值为．‎ ‎②如图，当4≤x＜6时，过点P作PH⊥BC于点H，过点A作AG⊥BC于点G；‎ 则BH=p，HG=6﹣p，PH=﹣p2+p﹣8+8=﹣p2+p．‎ ‎∴S△ABP=S△BPH+S梯形PHGA﹣S△ABG ‎=•（﹣p2+p）•p+•（﹣p2+p+8）•（6﹣p）﹣•6•8‎ ‎=﹣p2+6p=﹣（p﹣3）2+9‎ ‎∴当4≤x＜6时，S△ABP随p的增大而减小；‎ ‎∴当x=4时，S△ABP取得最大值，且最大值为8．‎ ‎③如图，当6≤x≤7时，过点P作PH⊥x轴于点H；则OH=p，HA=p﹣6，PH=p2﹣p+8．‎ ‎∴S△ABP=S梯形OBPH﹣S△OAB﹣S△APH=•（p2﹣p+8）•p﹣•6•8﹣•（p﹣6）•（p2﹣p+8）‎ ‎=p2﹣6p=（p﹣3）2﹣9‎ ‎∴当6≤x≤7时，S△ABP随p的增大而增大；‎ ‎∴当x=7时，S△ABP取得最大值，最大值为7；‎ 综上所述，当x=时，S△ABP取得最大值，最大值为．X|k |B | 1 . c |O |m 点评：‎ 该题主要考查了矩形的性质、函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质以及图形面积的求法等重要知识；后两个小题涉及了多种情况，容易出现漏解的情况，是本题易错的地方．‎ ‎　‎ ‎10．（眉山）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．‎ ‎（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；‎ ‎（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）求得直线y=3x+3与坐标轴的两交点坐标，然后根据OB=OA即可求得点B的坐标，然后利用待定系数法求得经过A、B、C三点的抛物线的解析式即可；‎ ‎（2）首先利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后根据CD∥AB得到两直线的k值相等，根据直线CD经过点C求得直线CD的解析式，然后求得直线CD和抛物线的交点坐标即可；‎ ‎（3）本问关键是求出△ABP的面积表达式．这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）令y=3x+3=0得：x=﹣1，‎ 故点C的坐标为（﹣1，0）；‎ 令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3‎ 故点A的坐标为（0，3）；‎ ‎∵△OAB是等腰直角三角形．‎ ‎∴OB=OA=3，‎ ‎∴点B的坐标为（3，0），‎ 设过A、B、C三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+c，‎ 解得： 新 |课 |标|第 |一| 网 ‎∴解析式为：y=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴‎ 解得：‎ ‎∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3‎ ‎∵线CD∥AB ‎∴设直线CD的解析式为y=﹣x+b ‎∵经过点C（﹣1，0），‎ ‎∴﹣（﹣1）+b=0‎ 解得：b=﹣1，‎ ‎∴直线CD的解析式为：y=﹣x﹣1，‎ 令﹣x﹣1=﹣x2+2x+3，‎ 解得：x=﹣1，或x=4，‎ 将x=4代入y=﹣x2+2x+3=﹣16+2×4+3=﹣5，‎ ‎∴点D的坐标为：（4，﹣5）；‎ ‎（3）存在．如图1所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，‎ 过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，BN=OB﹣ON=3﹣x．‎ S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB﹣S△AOB ‎=（OA+PN）•ON+PN•BN﹣OA•OB ‎=（3+y）•x+y•（3﹣x）﹣×3×3‎ ‎=（x+y）﹣，‎ ‎∵P（x，y）在抛物线上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得：‎ S△ABP=（x+y）﹣=﹣（x2﹣3x）=﹣（x﹣）2+，‎ ‎∴当x=时，S△ABP取得最大值．‎ 当x=时，y=﹣x2+2x+3=，‎ ‎∴P（，）．X|k |B | 1 . c |O |m 所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；‎ P点的坐标为（，）．‎ 点评：‎ 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、图形面积的表示方法等重要知识点，难度不是很大．注意第（3）问中图形面积的表示方法﹣并非直接用底乘以高，而是通过其他图形组合转化而来﹣这是压轴题中常见的技巧，需要认真掌握．‎ ‎　‎ ‎11．（莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；‎ ‎（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 计算题；压轴题；动点型；数形结合．‎ 分析：‎ ‎（1）已知抛物线的顶点，可先将抛物线的解析式设为顶点式，再将点C的坐标代入上面的解析式中，即可确定待定系数的值，由此得解．‎ ‎（2）可先求出A、C、D三点坐标，求出△ACD的三边长后，可判断出该三角形的形状，进而得到该三角形的面积．（也可将△ACD的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积差）‎ ‎（3）由于直线EF与y轴平行，那么∠OCB=∠FED，若△OBC和△EFD相似，则△EFD中，∠EDF和∠EFD中必有一角是直角，可据此求出点F的横坐标，再代入直线BC的解析式中，即可求出点E的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 y=a（x﹣2）2﹣1，代入C（O，3）后，得：‎ a（0﹣2）2﹣1=3，a=1‎ ‎∴抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．‎ ‎（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；‎ 设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：‎ ‎3k+3=0，k=﹣1‎ ‎∴直线BC：y=﹣x+3；‎ 由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；‎ ‎∴AD==，AC==，CD==2，‎ 即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；‎ ‎∴S△ACD=AD•CD=××2=2．‎ ‎（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：‎ ‎①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；‎ 将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：‎ x2﹣4x+3=1，解得 x=2±；‎ 当x=2+时，y=﹣x+3=1﹣；‎ 当x=2﹣时，y=﹣x+3=1+；w W w .x K b 1.c o M ‎∴E1（2+，1﹣）、E2（2﹣，1+）．‎ ‎②∠EDF=90°；‎ 易知，直线AD：y=x﹣1，联立抛物线的解析式有：‎ x2﹣4x+3=x﹣1，‎ x2﹣5x+4=0，‎ 解得 x1=1、x2=4；‎ 当x=1时，y=﹣x+3=2；‎ 当x=4时，y=﹣x+3=﹣1；‎ ‎∴E3（1，2）、E4（4，﹣1）；‎ 综上，存在符合条件的点E，且坐标为：（2+，1﹣）、（2﹣，1+）、（1，2）或（4，﹣1）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了函数解析式的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和性质等知识；需要注意的是，已知两个三角形相似时，若对应边不相同，那么得到的结果就不一定相同，所以一定要进行分类讨论．‎ ‎　‎ ‎12．（河池）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．‎ ‎（1）写出点A、点B的坐标；‎ ‎（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 计算题；压轴题；数形结合．‎ 分析：‎ ‎（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定点B的坐标；令y=0，能确定点A的坐标．‎ ‎（2）四边形PBCA可看作△ABC、△PBA两部分；△ABC的面积是定值，关键是求出△PBA的面积表达式；若设直线l与直线AB的交点为Q，先用t表示出线段PQ的长，而△PAB的面积可由（PQ•OA）求得，在求出S、t的函数关系式后，由函数的性质可求得S的最大值．新 |课 |标|第 |一| 网 ‎（3）△PAM中，∠APM是锐角，而PM∥y轴，∠AMP=∠ACO也不可能是直角，所以只有∠PAC是直角一种可能，即 直线AP、直线AC垂直，此时两直线的斜率乘积为﹣1，先求出直线AC的解析式，联立抛物线的解析式后可求得点P的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）抛物线y=﹣x2+x+4中：‎ 令x=0，y=4，则 B（0，4）；‎ 令y=0，0=﹣x2+x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，则 A（8，0）；‎ ‎∴A（8，0）、B（0，4）．‎ ‎（2）△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．‎ 由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=﹣x+4；‎ 依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；‎ ‎∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；‎ S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；‎ ‎∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64．‎ ‎（3）∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°；‎ 而∠APM是锐角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°；‎ 由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直线AC：y=x﹣4；‎ 所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得：‎ ‎﹣16+h=0，h=16‎ ‎∴直线AP：y=﹣2x+16，联立抛物线的解析式，得：‎ ‎，解得 、‎ ‎∴存在符合条件的点P，且坐标为（3，10）．‎ 点评：‎ 此题主要考查的是函数图象与坐标轴的交点坐标的求法、图形面积的解法以及直角三角形的判定；最后一题中，先将不可能的情况排除掉可大大的简化解答过程．‎ ‎　‎ ‎13．（贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M（2，﹣1），交x轴于点A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个点为D，且直线CD和直线CA关于直线CB对称，求直线CD的解析式；‎ ‎（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2+PB2+PC2=35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 计算题；压轴题；数形结合．‎ 分析：‎ ‎（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，将已知的两点坐标代入其中进行求解即可．‎ ‎（2）由C、B两点的坐标不难判断出OB=OC，即∠CBO=45°，那么若取BE⊥x轴交CD于E，结合“直线CD和直线CA关于直线CB对称”可得出A、E关于直线BC对称，结合点B的坐标以及AB的长即可得到点E的坐标，在明确C、E两点坐标的情况下，直线CD的解析式即可由待定系数法求得．‎ ‎（3）先设出点P的坐标，而M、B、C三点坐标已知，即可得到PM2、PB2、PC2的表达式，结合题干的已知条件即可求出点P的坐标，从而进一步判断出直线OP与抛物线的交点个数．‎ 解答：‎ 解：（1）将M（2，﹣1）、B（3，0）代入抛物线的解析式中，得：‎ ‎，‎ 解得．‎ 故抛物线的解析式：y=x2﹣4x+3．X|k |B | 1 . c |O |m ‎（2）由抛物线的解析式知：B（3，0）、C（0，3）；‎ 则△OBC是等腰直角三角形，∠OBC=45°．‎ 过B作BE⊥x轴，交直线CD于E（如右图），则∠EBC=∠ABC=45°；‎ 由于直线CD和直线CA关于直线CB对称，所以点A、E关于直线BC对称，则BE=AB=2；‎ 则E（3，2）．‎ 由于直线CD经过点C（0，3），可设该直线的解析式为 y=kx+3，代入E（3，2）后，得：‎ ‎3k+3=2，k=﹣‎ 故直线CD的解析式：y=﹣x+3．‎ ‎（3）设P（2，m），已知M（2，﹣1）、B（3，0）、C（0，3），则：‎ PM2=（2﹣2）2+（m+1）2=m2+‎2m+1，PB2=（3﹣2）2+（0﹣m）2=m2+1，PC2=（0﹣2）2+（3﹣m）2=m2﹣‎6m+13；‎ 已知：PM2+PB2+PC2=35，则：m2+‎2m+1+m2+1+m2﹣‎6m+13=35，化简得：‎3m2‎﹣‎4m﹣20=0‎ 解之得：m1=﹣2，m2=；‎ 则P1（2，﹣2）、P2（2，）‎ 当点P坐标为（2，）时，由图可知，直线OP与抛物线必有两个交点；‎ 当点P坐标为（2，﹣2）时，直线OP：y=﹣x，联立抛物线的解析式有：‎ x2﹣4x+3=﹣x，即 x2﹣3x+3=0‎ ‎△=（﹣3）2﹣4×3＜0，‎ 故该直线与抛物线没有交点；‎ 综上，直线OP与抛物线的解析式有两个交点．‎ 点评：‎ 这道二次函数综合题考查的内容较为常见，主要涉及到：函数解析式的确定、轴对称图形的性质、坐标系两点间的距离公式以及函数图形交点坐标的求法等知识，着重基础内容的考查．‎ ‎　‎ ‎14．（抚顺）如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．‎ ‎①用含y的代数式表示CD2，并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；‎ ‎②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 计算题；代数几何综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．‎ 分析：‎ ‎（1）已知抛物线的顶点坐标，可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入B点的坐标求解即可．‎ ‎（2）①由坐标系两点间的距离公式不难得到CD2和DE2的表达式，再将（1）的抛物线解析式代入CD2的表达式中，用y替换掉x后，比较两者的大小关系即可；‎ ‎②∠EDC是钝角，那么点D一定在x轴的上方，且抛物线对称轴的左右两侧各一个（它们关于抛物线对称轴对称），延长ED交x轴于F，在Rt△CDF中，∠DCF=30°，那么DC=2DF、CF=DF，设出DF的长后，可以表示出CD、DE的长，由EF=ED+DF=2即可得出DF的长，从而求出点D的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）依题意，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+1，代入B（4，0），得：‎ a（4﹣2）2+1=0，解得：a=﹣‎ ‎∴抛物线的解析式：y=﹣（x﹣2）2+1．‎ ‎（2）①猜想：CD2=DE2；‎ 证明：由D（x，y）、C（2，0）、E（x，2）知：‎ CD2=（x﹣2）2+y2，DE2=（y﹣2）2；‎ 由（1）知：（x﹣2）2=﹣4（y﹣1）=﹣4y+4，代入CD2中，得：‎ CD2=y2﹣4y+4=（y﹣2）2=DE2．‎ ‎②由于∠EDC=120°＞90°，所以点D必在x轴上方，且抛物线对称轴左右两侧各有一个，以左侧为例：‎ 延长ED交x轴于F，则EF⊥x轴；‎ 在Rt△CDF中，∠FDC=180°﹣120°=60°，∠DCF=30°，则：‎ CD=2DF、CF=DF；‎ 设DF=m，则：CF=m、CD=DE=‎2m；‎ ‎∵EF=ED+DF=‎2m+m=2，‎ ‎∴m=，DF=m=，CF=m=，OF=OC﹣CF=2﹣，‎ ‎∴D（2﹣，）；‎ 同理，抛物线对称轴右侧有：D（2+，）；‎ 综上，存在符合条件的D点，且坐标为（2﹣，）或（2+，）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了抛物线解析式的确定、坐标系两点间的距离公式、解直角三角形等重要知识；（2）题中，由于①题为②题做了铺垫使得总体的难度降低了不少，最后一题中，一定要注意所求点的位置可能有多种情况．‎ ‎　‎ ‎15．（恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．‎ ‎（1）抛物线及直线AC的函数关系式；‎ ‎（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；‎ ‎（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；‎ ‎（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；‎ ‎（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小；‎ ‎（3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；‎ ‎（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=﹣x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；‎ 方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；‎ 解答：‎ 解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，‎ ‎，‎ 解得，‎ 故抛物线为y=﹣x2+2x+3‎ 又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得 ‎，‎ 解得 故直线AC为y=x+1；‎ ‎（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），‎ 故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，‎ 当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，‎ 则m=﹣×=；‎ ‎（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），‎ ‎∵点E在直线AC上，‎ 设E（x，x+1），‎ ‎①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，‎ 则F（x，x+3），‎ ‎∵F在抛物线上，‎ ‎∴x+3=﹣x2+2x+3，‎ 解得，x=0或x=1（舍去）‎ ‎∴E（0，1）；‎ ‎②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，‎ 则F（x，x﹣1）‎ 由F在抛物线上 ‎∴x﹣1=﹣x2+2x+3‎ 解得x=或x=‎ ‎∴E（，）或（，）‎ 综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（，）或（，）；‎ ‎（4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）‎ ‎∴PQ=（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）‎ ‎=﹣x2+x+2‎ 又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ ‎=PQ•AG ‎=（﹣x2+x+2）×3‎ ‎=﹣（x﹣）2+‎ ‎∴面积的最大值为．‎ 方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，‎ 设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）‎ 又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC ‎=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3‎ ‎=﹣x2+x+3‎ ‎=﹣（x﹣）2+‎ ‎∴△APC的面积的最大值为．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数综合题．解答（3）题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解．‎ ‎　‎ ‎16．（大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴相交于D．该抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴相交于点N，连接PM、DN，若PM=2DN，求点N的坐标（直接写出结果）．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 计算题；压轴题；数形结合．‎ 分析：‎ ‎（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可．‎ ‎（2）由于点Q的位置可能有四处，所以利用几何法求解较为复杂，所以可考虑直接用SSS判定两三角形全等的方法来求解．那么，首先要证明CD=DP，设出点Q的坐标后，表示出QC、QD的长，然后由另两组对应边相等列方程来确定点Q的坐标．‎ ‎（3）根据B、D的坐标，容易判断出△CDE是等边三角形，然后通过证△CEM、△DEN全等来得出CM=DN，首先设出点M的坐标，表示出PM、CM的长，由PM=2DN=‎2CM列方程确定点M的坐标，进一步得到CM的长后，即可得出DN的长，由此求得点N的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+）（x﹣3），代入点C（0，3）后，得：‎ a（0+）（0﹣3）=3，解得 a=﹣‎ ‎∴抛物线的解析式：y=﹣（x+）（x﹣3）=﹣x2+x+3．‎ ‎（2）设直线BC的解析式：y=kx+b，依题意，有：‎ ‎，‎ 解得 ．‎ 故直线BC：y=﹣x+3．‎ 由抛物线的解析式知：P（，4），将点P的横坐标代入直线BC中，得：D（，2）．‎ 设点Q（x，y），则有：‎ QC2=（x﹣0）2+（y﹣3）2=x2+y2﹣6y+9、QD2=（x﹣）2+（y﹣2）2=x2+y2﹣2x﹣4y+7；‎ 而：PA2=（﹣﹣）2+（0﹣4）2=28、AD2=（﹣﹣）2+（0﹣2）2=16、CD=PD=2；‎ ‎△QCD和△APD中，CD=PD，若两个三角形全等，则：‎ ‎①QC=AP、QD=AD时，‎ ‎②QC=AD、QD=AP时，‎ 解①、②的方程组，得：、、、；‎ ‎∴点Q的坐标为（3，4）、（，﹣2）、（﹣2，1）或（0，7）．‎ ‎（3）根据题意作图如右图；‎ 由D（，2）、B（3，0）知：DF=2，BF=2；‎ ‎∴∠BDF=∠ADF=∠CDE=∠DCE=60°，即△CED是等边三角形；‎ 在△CEM和△DEN中，‎ ‎∴△CEM≌△DEN，则 CM=DN，PM=‎2CM=2DN；‎ 设点M（x，﹣x+3），则有：‎ PM2=（﹣x）2+（4+x﹣3）2=x2﹣x+4、CM2=x2+x2=x2；‎ 已知：PM2=‎4CM2，则有：‎ x2﹣x+4=4×x2，解得 x=；‎ ‎∴CM=DN=×x=×=；‎ 则：FN=DF﹣DN=2﹣=，‎ ‎∴点N（，）．‎ 点评：‎ 该题的难度较大，涉及到：函数解析式的确定、等边三角形的判定和性质、图形的旋转以及全等三角形的应用等重点知识．在解题时，一定要注意从图中找出合适的解题思路；能否将琐碎的知识运用到同一题目中进行解答，也是对基础知识掌握情况的重点考查．‎ ‎　‎ ‎17．（朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（﹣1，0）．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；‎ ‎（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；‎ ‎（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 计算题；压轴题；分类讨论．‎ 分析：‎ ‎（1）Rt△ABC中，AO⊥BC，且知道了OA、OB的长，由射影定理能求出OC的长，也就得到了点C的坐标．‎ ‎（2）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式，由x=﹣能求出抛物线的对称轴．‎ ‎（3）首先求出直线AC的解析式，过点P作x轴的垂线，交直线AC于Q，在知道抛物线和直线AC解析式的情况下，用m表示出点P、Q的坐标，两点纵坐标差的绝对值即为线段PQ的长，而S=AC•PQ，据此求得关于S、m的函数关系式，根据函数的性质即可确定S最大时点P的坐标．‎ ‎（4）首先设出点M的坐标，然后列出△MPC的三边长，若该三角形是等腰三角形，根据①MP=MC、②MP=PC、③MC=PC列出等式求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）在Rt△ABC中，AO⊥BC，OA=2，OB=1，‎ 则：OC==4，‎ ‎∴C（4，0）．‎ ‎（2）设抛物线的解析式：y=a（x+1）（x﹣4），代入点A的坐标，得：‎ a（0+1）（0﹣4）=2，a=﹣‎ ‎∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2，对称轴 x=．‎ ‎（3）设直线AC的解析式为：y=kx+2，代入点C（4，0），得：‎ ‎4k+2=0，k=﹣‎ ‎∴直线AC：y=﹣x+2；‎ 过点P作PQ⊥x轴于H，交直线AC于Q，设P（m，﹣m2+m+2）、‎ ‎∴S梯形AOHP=[2+（﹣m2+m+2）]m=﹣m3+m2+‎2m，‎ S△PHC=（4﹣m）（﹣m2+m+2）=m3﹣m2+‎2m+4，‎ S△AOC=×4×2=4，‎ S=S梯形AOHP+S△PHC﹣S△AOC=﹣m2+‎4m=﹣（m﹣2）2+4，‎ ‎∴当m=2，即 P（2，3）时，S的值最大．‎ ‎（4）依题意，设M（，b），已知P（2，3）、C（4，0），则有：‎ MP2=b2﹣6b+、MC2=b2+、PC2=13；‎ 当MP=MC时，b2﹣6b+=b2+，解得 b=；‎ 当MP=PC时，b2﹣6b+=13，解得 b=；‎ 当MC=PC时，b2+=13，解得 b=±；‎ 综上，存在符合条件的M点，且坐标为 （，）、（，）、（，）、（，）、（，﹣）．‎ 点评：‎ 题目主要考查了利用待定系数法确定函数解析式、三角形面积的求法以及等腰三角形的判定和性质．类似（4）题：在等腰三角形的腰和底不确定的情况下，一定要进行分类讨论．‎ ‎　‎ ‎18．（徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．‎ ‎（1）请直接写出点D的坐标：　（﹣3，4）　；‎ ‎（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；‎ ‎（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；‎ ‎（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；‎ ‎（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．‎ 解答：‎ 解：（1）（﹣3，4）；‎ ‎（2）设PA=t，OE=l 由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE ‎∴‎ ‎∴l=﹣+=﹣（t﹣）2+‎ ‎∴当t=时，l有最大值 即P为AO中点时，OE的最大值为；新 |课 |标|第 |一| 网 ‎（3）存在．‎ ‎①点P点在y轴左侧时，DE交AB于点G，‎ P点的坐标为（﹣4，0）‎ 由△PAD≌△OEP得OE=PA=1‎ ‎∴OP=OA+PA=4‎ ‎∵△ADG∽△OEG ‎∴AG：GO=AD：OE=4：1‎ ‎∴AG==‎ ‎∴重叠部分的面积==‎ ‎②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），‎ 此时重叠部分的面积为 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大．‎ ‎　‎ ‎19．（台州）如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．‎ ‎（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；‎ ‎（2）设交点C的横坐标为m．‎ ‎ ①交点C的纵坐标可以表示为：　（m﹣1）2+1　或　（m﹣h）2﹣h+2　，由此进一步探究m关于h的函数关系式；‎ ‎ ②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．新 课 标 第 一 网 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）首先求得点A的坐标，然后求得点B的坐标，用h表示出点D的坐标后代入直线的解析式验证即可；‎ ‎（2）根据两种不同的表示形式得到m和h之间的函数关系即可；过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F，证得△ACE∽△CDF，然后用m表示出点C和点D的坐标，根据相似三角形的性质求得m的值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）当x=0时候，y=﹣x+2=2，‎ ‎∴A（0，2），‎ 把A（0，2）代入，得1+k=2‎ ‎∴k=1，‎ ‎∴B（1，1）‎ ‎∵D（h，2﹣h）‎ ‎∴当x=h时，y=﹣x+2=﹣h+2=2﹣h ‎∴点D在直线l上；‎ ‎（2）①（m﹣1）2+1或（m﹣h）2﹣h+2‎ 由题意得（m﹣1）2+1=（m﹣h）2﹣h+2，‎ 整理得2mh﹣‎2m=h2﹣h ‎∵h＞1‎ ‎∴m==．‎ ‎②过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F ‎∵∠ACD=90°，‎ ‎∴∠ACE=∠CDF 又∵∠AEC=∠DFC ‎∴△ACE∽△CDF ‎∴‎ 又∵C（m，m2﹣‎2m+2），D（‎2m，2﹣‎2m），‎ ‎∴AE=m2﹣‎2m，DF=m2，CE=CF=m ‎∴=‎ ‎∴m2﹣‎2m=1‎ 解得：m=±+1‎ ‎∵h＞1‎ ‎∴m=＞‎ ‎∴m=+1‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合知识，特别是本题中涉及到的用点的坐标表示有关线段的长更是解决本题的关键，在中考中出现的频率很高．‎ ‎　‎ ‎20．（齐齐哈尔）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）‎ ‎（1）求此二次函数的解析式；‎ ‎（2）设此二次函数的对称轴为直线l，该图象上的点P（m，n）在第三象限，其关于直线l的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，若四边形OAPN的面积为20，求m、n的值．X|k |B | 1 . c |O |m 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 分析：‎ ‎（1）因为抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）代入求出其解析式即可；‎ ‎（2）由题可知，M、N点坐标分别为（﹣4﹣m，n），（m+4，n），根据四边形OAPF的面积为20，从而求出其m，n的值．‎ 解答：‎ 解：（1）将A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3），‎ 代入y=ax2+bx+c得：，‎ 解得：a=﹣1，b=﹣4，c=0，‎ 故此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x；‎ ‎（2）由题可知，M、N点坐标分别为（﹣4﹣m，n），（m+4，n），‎ 四边形OAPN的面积=（OA+NP）÷2×|n|=20，‎ 即4|n|=20，‎ ‎∴|n|=5．‎ ‎∵点P（m，n）在第三象限，‎ ‎∴n=﹣5，‎ 所以﹣m2﹣‎4m+5=0，‎ 解答m=﹣5或m=1（舍去）．‎ 故所求m、n的值分别为﹣5，﹣5．‎ 点评：‎ 此题主要考查二次函数的综合知识，此题是一道综合题，注意第二问难度比较大．‎ ‎　‎ ‎21．（宁夏）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式，然后代入已知的两点理由待定系数法求解即可；‎ ‎（2）首先求得点B的坐标，然后分CM=BM时和BC=BM时两种情况根据等腰三角形的性质求得点M的坐标即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设抛物线的解析式 把A（2，0）C（0，3）代入得：‎ 解得：‎ ‎∴‎ 即 ‎（2）由y=0得 ‎ ‎∴x1=2，x2=﹣3‎ ‎∴B（﹣3，0）‎ ‎①CM=BM时 ‎∵BO=CO=3 即△BOC是等腰直角三角形 ‎∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形 ‎∴M点坐标（0，0）‎ ‎②BC=BM时 在Rt△BOC中，BO=CO=3，‎ 由勾股定理得BC=‎ ‎∴BC=，‎ ‎∴BM=‎ ‎∴M点坐标（‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合知识，第一问考查了待定系数法确定二次函数的解析式，较为简单．第二问结合二次函数的图象考查了等腰三角形的性质，综合性较强．‎ ‎　‎ ‎22．（唐山一模）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足z=﹣3x+3000‎ ‎（1）求出政府补贴政策实施后，种植亩数y与政府补贴数额x 之间的函数关系式；‎ ‎（2）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？‎ ‎（3）要使全市这种蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴数额X定为多少？并求出总收益W的最大值．‎ ‎（4）该市希望这种蔬菜的总收益不低于7200 000元，请你在坐标系中画出3中的函数图象的草图，利用函数图象帮助该市确定每亩补贴数额的范围，在此条件下要使总收益最大，说明每亩补贴数额应定为多少元合适？‎ 考点：‎ 二次函数的应用；解一元二次方程-直接开平方法；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质．4387773‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）设种植亩数y与政府补贴数额x 之间的函数关系式是y=kx+b，把（0，800）和（50，1 200）代入即可求出解析式；‎ ‎（2）当x=0时，z=3 000，计算3 000×800即可得到答案；‎ ‎（3）w=yz=﹣24（x﹣450）2+7260 000，根据二次函数的性质即可求出答案；‎ ‎（4）列出方程﹣24（x﹣450）2+7260 000=7 200 000，求出方程的解，结合图象即可求出答案．‎ 解答：‎ ‎（1）解：设种植亩数y与政府补贴数额x 之间的函数关系式是y=kx+b，‎ 由图象可知：过（0，800），（50，1200），代入得：‎ ‎，‎ 解得：k=8，b=800，‎ ‎∴y=8x+800．‎ 答：政府补贴政策实施后，种植亩数y与政府补贴数额x 之间的函数关系式是y=8x+800．‎ ‎（2）解：z=﹣3x+3 000，‎ 当x=0时，z=3 000，‎ 总收益：3 000×800=2 400 000元．‎ 答：在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为2 400 000元．‎ ‎（3）解：w=yz，‎ ‎=（8x+800）（﹣3x+3 000），‎ ‎=﹣24（x﹣450）2+7 260 000，‎ ‎∵a=﹣24＜0，‎ ‎∴开口向下，有最大值，‎ ‎∴当x定为450元时，总收益最大值为7260 000元．‎ 答：要使全市这种蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为450元，总收益W的最大值是7 260 000元．‎ ‎（4）﹣24（x﹣450）2+7260 000=7 200 000，‎ ‎∴x1=400，x2=500．‎ 因此，定为400元到500元．‎ 答：每亩补贴数额应定为400元到500元最合适．‎ 点评：‎ 本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，用直接开平方法解一元二次方程等知识点，解此题的关键是综合运用性质进行计算．此题是一个拔高的题目，有一定的难度，综合性强．‎ ‎　‎ ‎23．（上海模拟）某产品每千克的成本价为20元，其销售价不低于成本价，当每千克售价为50元时，它的日销售数量为100千克，如果每千克售价每降低（或增加）一元，日销售数量就增加（或减少）10千克，设该产品每千克售价为x（元），日销售量为y（千克），日销售利润为w（元）．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（2）写出w关于x的函数解析式及函数的定义域；‎ ‎（3）若日销售量为300千克，请直接写出日销售利润的大小．‎ 考点：‎ 二次函数的应用．4387773‎ 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据日销售量=100千克﹣减少量列出函数关系式即可；‎ ‎（2）利用总利润=日销售量×销售单价列出函数关系式即可；‎ ‎（3）利用配方法或公式法求最值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）y=100+10（50﹣x），‎ y=600﹣10x，‎ 定义域为20≤x≤60；‎ ‎（2）w=（600﹣10x）（x﹣20），‎ w=﹣10x2+800x﹣12000，‎ 定义域为20≤x≤60；（7分）‎ ‎（3）当日销售量为300千克时，‎ y=600﹣10x=300，解得：x=30‎ 将x=30代入w=（600﹣10x）（x﹣20）=3000．‎ 点评：‎ 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用已知条件列出方程或二次函数，然后解方程或利用二次函数的性质即可解决问题．‎ ‎　‎ ‎24．（溧水县二模）我区的某公司，用1800万元购得某种产品的生产技术、生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到200元之间为合理．当单价在100元时，销售量为20万件，当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件；设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为W（万元）．‎ ‎（年利润=年销售总额﹣生产成本﹣投资成本）‎ ‎（1）直接写出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）求第一年的年获利W与x之间的函数关系式，并请说明不论销售单价定为多少，该公司投资的第一年肯定是亏损的，最小亏损是少？‎ ‎（3）在使第一年亏损最小的前提下，若该公司希望到第二年的年底，弥补第一年的亏损后，两年的总盈利为1490万元，且使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？‎ 考点：‎ 二次函数的应用；一元二次方程的应用．4387773‎ 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ ‎（1）销售量是用20万件减去因价格上涨而导致销量减小的量，据此可以列出函数关系式．‎ ‎（2）根据条件，求出二次函数解析式，从中找出最值以及相应的自变量范围．‎ ‎（3）根据两年的总盈利为1490万元列出一元二次方程求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）y=20﹣=﹣0.1x+30；‎ ‎（2）W=（x﹣40）（﹣0.1x+30）﹣1800‎ ‎=﹣0.1x2+34x﹣3000‎ ‎=﹣0.1（x﹣170）2﹣110…（5分）‎ ‎∵不论x取何值，﹣0.1（x﹣170）2≤0，‎ ‎∴W=﹣0.1（x﹣170）2﹣110＜0，‎ 即：不论销售单价定为多少，该公司投资的第一年肯定是亏损 ‎ ‎∵100＜x≤200‎ ‎∴当x=170时，第一年最少亏损110万元．‎ ‎（3）依题意得 ‎（x﹣40）（﹣0.1x+30）﹣110=1490 ‎ 解之得x1=140 x2=200 ‎ ‎∵k=﹣0.1＜0，∴y随x增大而减小，‎ ‎∴要使销量最大，售价要最低，即x=140元；‎ 点评：‎ 此题考查了二次函数的应用，为数学建模题，借助二次函数及一元二次方程解决实际问题．‎ ‎　‎ ‎25．（高淳县二模）某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y=60+2x，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用．‎ ‎（1）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为　62　（元/千克），获得的总利润为　10740　（元）；‎ ‎（2）设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w（元）与保存时间x（天）之间的函数关系式；‎ ‎（3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润．‎ 考点：‎ 二次函数的应用．4387773‎ 分析：‎ ‎（1）将x=1代入水果的售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y=60+2x即可求得该种水果的售价，然后乘以水果质量求得利润即可；‎ ‎（2）根据利润=售价×销售量﹣成本列出函数关系式即可；‎ ‎（2）利用配方法即可求出利润最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）当x=1时，y=60+2x=62元，‎ 利润为：（62﹣40）×（500﹣10）﹣40=10740元；‎ ‎（2）由题意得：w=（60+2x）（500﹣10x）﹣40x﹣500×40‎ ‎=﹣20x2+360x+10000；‎ ‎（3）w=﹣20x2+360x+10000=﹣20（x﹣9）2+11620‎ ‎∵0≤x≤8，x为整数，当x≤9时，w随x的增大而增大，‎ ‎∴x=8时，w取最大值，w最大=11600．‎ 答：批发商所获利润w的最大值为11600元．‎ 故答案为：62，10740．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题用函数表示出来，注意掌握配方法求二次函数最值得应用．‎ ‎　‎ ‎26．（大丰市二模）某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y=a（x﹣h）2+k，二次函数y=a（x﹣h）2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20．‎ ‎（1）试确定函数关系式y=a（x﹣h）2+k；‎ ‎（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；‎ ‎（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？‎ 考点：‎ 二次函数的应用．4387773‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意此抛物线的顶点坐标为（4，﹣16），设出抛物线的顶点式，把（10，20）代入即可求出a的值，把a的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式；‎ ‎（2）相邻两个月份的总利润的差即为某月利润．w W w .x K b 1.c o M ‎（3）根据前x个月内所获得的利润减去前x﹣1个月内所获得的利润，再减去16即可表示出第x个月内所获得的利润，为关于x的一次函数，且为增函数，得到x取最大为12时，把x=12代入即可求出最多的利润．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意可设：y=a（x﹣4）2﹣16，‎ 当x=10时，y=20，‎ 所以a（10﹣4）2﹣16=20，解得a=1，‎ 所求函数关系式为：y=（x﹣4）2﹣16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ ‎（2）当x=9时，y=（9﹣4）2﹣16=9，所以前9个月公司累计获得的利润为9万元，‎ 又由题意可知，当x=10时，y=20，而20﹣9=11，‎ 所以10月份一个月内所获得的利润11万元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ ‎（3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s（万元）‎ 则有：s=（n﹣4）2﹣16﹣[（n﹣1﹣4）2﹣16]=2n﹣9，‎ 因为s是关于n的一次函数，且2＞0，s随着n的增大而增大，‎ 而n的最大值为12，所以当n=12时，s=15，‎ 所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元．﹣﹣（4分）‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的应用，主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎27．（遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；‎ ‎（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标；‎ ‎（2）线段BC的长即为AP+CP的最小值；‎ ‎（3）连接ME，根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得△COD≌△MED，设OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣（a≠0）‎ ‎∵抛物线经过（0，2）‎ ‎∴a（0﹣4）2﹣=2‎ 解得：a=‎ ‎∴y=（x﹣4）2﹣‎ 即：y=x2﹣x+2‎ 当y=0时，x2﹣x+2=0 X|k |B | 1 . c |O |m 解得：x=2或x=6‎ ‎∴A（2，0），B（6，0）；‎ ‎（2）存在，‎ 如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，‎ 因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小 ‎∵B（6，0），C（0，2）‎ ‎∴OB=6，OC=2‎ ‎∴BC=2，‎ ‎∴AP+CP=BC=2‎ ‎∴AP+CP的最小值为2；‎ ‎（3）如图3，连接ME ‎∵CE是⊙M的切线 ‎∴ME⊥CE，∠CEM=90°‎ 由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE ‎∵在△COD与△MED中 ‎∴△COD≌△MED（AAS），‎ ‎∴OD=DE，DC=DM 设OD=x 则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x 则RT△COD中，OD2+OC2=CD2，‎ ‎∴x2+22=（4﹣x）2‎ ‎∴x=‎ ‎∴D（，0）‎ 设直线CE的解析式为y=kx+b ‎∵直线CE过C（0，2），D（，0）两点，‎ 则 解得：‎ ‎∴直线CE的解析式为y=﹣+2；‎ ‎ ‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合知识，特别是用顶点式求二次函数的解析式，更是中考中的常考内容，本题难度偏大．‎ ‎　‎ ‎28．（威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．‎ ‎（1）求点A，B的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；‎ ‎（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，列出方程组，通过解该方程组即可求得点A的坐标；根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=﹣x，则，通过解该方程组来求点B的坐标即可；‎ ‎（2）把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组即可求得该抛物线的解析式；‎ ‎（3）如图，作DN⊥x轴于点N．欲证明OD与CF平行，只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，得 ‎，‎ 解得，，‎ ‎∴点A的坐标是（3，3）．‎ ‎∵∠BOA=90°，‎ ‎∴OB⊥OA，‎ ‎∴直线OB的解析式为y=﹣x．‎ 又∵点B在直线y=x+上，‎ ‎∴，‎ 解得，，‎ ‎∴点B的坐标是（﹣1，1）．‎ 综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）．‎ ‎（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）．‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，‎ ‎∴，‎ 解得，，‎ ‎∴该抛物线的解析式为y=x2﹣x，或y=（x﹣）2﹣．‎ ‎∴顶点E的坐标是（，﹣）；‎ ‎（3）OD与CF平行．理由如下：‎ 由（2）知，抛物线的对称轴是x=．‎ ‎∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，‎ ‎∴C（，）．‎ 设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B（﹣1，1），C（，）代入，得 ‎，‎ 解得，，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+．‎ ‎∵直线BC与抛物线交于点B、D，‎ ‎∴﹣x+=x2﹣x，‎ 解得，x1=，x2=﹣1．‎ 把x1=代入y=﹣x+，得y1=，‎ ‎∴点D的坐标是（，）．‎ 如图，作DN⊥x轴于点N．‎ 则tan∠DON==．‎ ‎∵FE∥x轴，点E的坐标为（，﹣）．‎ ‎∴点F的纵坐标是﹣．‎ 把y=﹣代入y=x+，得x=﹣，‎ ‎∴点F的坐标是（﹣，﹣），‎ ‎∴EF=+=．‎ ‎∵CE=+=，‎ ‎∴tan∠CFE==，‎ ‎∴∠CFE=∠DON．‎ 又∵FE∥x轴，‎ ‎∴∠CMN=∠CFE，‎ ‎∴∠CMN=∠DON，‎ ‎∴OD∥CF，即OD与CF平行．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点．此题难度较大．‎ ‎　‎ ‎29．（呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为　（，0）　；‎ ‎（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．‎ ‎①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据已知的与x轴的两个交点坐标和经过的一点利用交点式求二次函数的解析式即可；‎ ‎（2）首先根据上题求得的函数的解析式确定顶点坐标，然后求得点C关于x轴的对称点的坐标C′，从而求得直线C′M的解析式，求得与x轴的交点坐标即可；‎ ‎（3）（3）①如果DE∥OC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围．如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t．‎ ‎②本题要分三种情况进行讨论：‎ 当E在OC上，D在OA上，即当0≤t≤1时，此时S=OE•OD，由此可得出关于S，t的函数关系式；‎ 当E在CA上，D在OA上，即当1＜t≤2时，此时S=OD×E点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；‎ 当E，D都在CA上时，即当2＜t＜相遇时用的时间，此时S=S△AOE﹣S△AOD，由此可得出S，t的函数关系式；‎ 综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式．‎ ‎③根据②的函数即可得出S的最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x﹣6）‎ ‎∵图象过点（0，﹣8）‎ ‎∴a=‎ ‎∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣8；‎ ‎（2）∵y=x2﹣x﹣8=（x2﹣4x+4﹣4）﹣8=（x﹣2）2﹣‎ ‎∴点M的坐标为（2，﹣）‎ ‎∵点C的坐标为（0，﹣8），‎ ‎∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为（0，8）‎ ‎∴直线C′M的解析式为：y=﹣x+8‎ 令y=0‎ 得﹣x+8=0‎ 解得：x=‎ ‎∴点K的坐标为（，0）；‎ ‎（3）①不存在PQ∥OC，‎ 若PQ∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，‎ 此时，1＜t＜2‎ ‎∵PQ∥OC，‎ ‎∴△APQ∽△AOC ‎∴‎ ‎∵AP=6﹣3t AQ=18﹣8t，‎ ‎∴‎ ‎∴t=‎ ‎∵t=＞2不满足1＜t＜2；‎ ‎∴不存在PQ∥OC；‎ ‎②分情况讨论如下，‎ 情况1：0≤t≤1‎ S=OP•OQ=×3t×8t=12t2；‎ 情况2：1＜t≤2‎ 作QE⊥OA，垂足为E，‎ S=OP•EQ=×3t×=﹣+‎ 情况3：2＜t＜‎ 作OF⊥AC，垂足为F，则OF=‎ S=QP•OF=×（24﹣11t）×=﹣+；‎ ‎③当0≤t≤1时，S=12t2，函数的最大值是12；‎ 当1＜t≤2时，S=﹣+，函数的最大值是；‎ 当2＜t＜，S=QP•OF=﹣+，函数的最大值为；‎ ‎∴S0的值为．‎ 点评：‎ 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．‎ ‎　‎ ‎30．（鄂州）在平面直角坐标系中，已知M1（3，2），N1（5，﹣1），线段M1N1平移至线段MN处（注：M1与M，N1与N分别为对应点）．‎ ‎（1）若M（﹣2，5），请直接写出N点坐标．‎ ‎（2）在（1）问的条件下，点N在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式．‎ ‎（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值．‎ ‎（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的，求此时BP的长度．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．4387773‎ 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）首先根据点M的移动方向和单位得到点N的平移方向和单位，然后按照平移方向和单位进行移动即可；‎ ‎（2）将点N的坐标代入函数的解析式即可求得k值；‎ ‎（3）配方后确定点B、A、E的坐标，根据CO：OF=2：用m表示出线段CO、FO和BF的长，利用S△BEC=S△EBF+S△BFC=得到有关m的方程求得m的值即可；‎ ‎（4）分当∠BPE＞∠APE时、当∠BPE=∠APE时、当∠BPE＜∠APE时三种情况分类讨论即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，‎ 由点M到点M′可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，‎ 故点N′的坐标为（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）．‎ N（0，2）；‎ ‎（2）∵N（0，2）在抛物线y=x2+x+k上 ‎∴k=2‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2+x+2 ‎ ‎（3）∵y=x2+x+2=（x+2）2‎ ‎∴B（﹣2，0）、A（0，2）、E（﹣，1）‎ ‎∵CO：OF=2：‎ ‎∴CO=﹣m，FO=﹣m，BF=2+m ‎∵S△BEC=S△EBF+S△BFC=‎ ‎∴（2+m）（﹣m+1）=‎ 整理得：m2+m=0‎ ‎∴m=﹣1或0 ‎ ‎∵m＜0‎ ‎∴m=﹣1 ‎ ‎（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO===‎ ‎∴∠ABO=30°，AB=2AO=4‎ ‎①当∠BPE＞∠APE时，连接A1B则对折后如图2，A1为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分．‎ ‎∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP ‎∵S△EHP=S△ABP ‎∴=S△EHP=S△BHP=S△ABP ‎∴A1H=HP，EH=HB=1‎ ‎∴四边形A1BPE为平行四边形 ‎∴BP=A1E=AE=2‎ 即BP=2 ‎ ‎②当∠BPE=∠APE时，重叠部分面积为△ABP面积的一半，不符合题意；‎ ‎③当∠BPE＜∠APE时．‎ 则对折后如图3，A1为对折后A的所落点．△EHP是重叠部分 ‎∵E为AB中点，‎ ‎∴S△AEP=S△BEP=S△ABP ‎∵S△EHP=S△ABP∴S△EBH=S△EHP==S△ABP ‎∴BH=HP，EH=HA1=1‎ 又∵BE=EA=2‎ ‎∴EHAP，‎ ‎∴AP=2‎ 在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．‎ ‎∴∠APB=90°，‎ ‎∴BP=，‎ 综合①②③知：BP=2或；‎ 点评：‎ 此题主要考查了点的平移、二次函数解析式的确定，图形折叠问题及图形面积等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．‎