中考压轴题四边形

中考压轴题四边形

中考压轴题中的特殊四边形 例1．如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF．‎ 请回答下列问题：‎ ‎（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形．‎ 练习1：．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：‎ ‎（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？‎ ‎（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？‎ 例2. （2012四川资阳8分）（1）(3分)如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD∶GC∶EB的结果（不必写计算过程）；‎ ‎（2）(3分)将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD∶GC∶EB；‎ ‎（3）(2分)把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知ＤA∶AB＝HA∶AE＝m: n，此时HD∶GC∶EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．‎ 练习2. （2012山东济南9分）如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD= ，AC，BD相交于点O．‎ ‎（1）求边AB的长；‎ ‎（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．‎ ‎①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；‎ ‎②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．‎ ‎3. （2012山东莱芜9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90º，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转角(0º＜＜180º)，得到△AB′C′(如图2)．‎ ‎(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；‎ ‎(2)当DB′∥AE时，试求旋转角的度数．‎ 例3. （2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△BCF；‎ ‎（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；‎ ‎（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．‎ 练习4 （2012广东珠海7分） 如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．‎ 求证：（1）△ADA′≌△CDE；‎ ‎（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．‎ ‎5. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=900，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论 ‎①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，‎ 其中正确结论的个数是【 】‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4. （2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．‎ ‎（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；‎ ‎（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．‎ 练习6‎ ‎(1）求G点坐标；‎ ‎（2）求直线EF解析式；‎ ‎（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 练习7．（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．‎ ‎（1）求证：∠APB=∠BPH；‎ ‎（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；‎ ‎（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．‎ 练习8、（2011湖南永州，25，10分）探究问题：‎ ‎⑴方法感悟：‎ 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．[来源:学#科#网]‎ 感悟解题方法，并完成下列填空：‎ 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：‎ AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,‎ ‎∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，‎ 因此，点G，B，F在同一条直线上．‎ ‎∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．‎ ‎∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．‎ 即∠GAF=∠_________．‎ 又AG=AE，AF=AF ‎∴△GAF≌_______．‎ ‎∴_________=EF，故DE+BF=EF． ‎ ‎[来源:学§科§网]‎ ‎（第25题）①‎ ‎⑵方法迁移：‎ 如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．‎ ‎（第25题）②‎ ‎⑶问题拓展：‎ 如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．‎ ‎（第25题）③‎ 练习9.（2011湖北武汉,24,10分）‎ ‎（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：. ‎ ‎（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点.     ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；     ②如图3，求证MN2=DM·EN.    ‎ ‎ ‎ 中考压轴题中的特殊四边形 例1．如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF．‎ 请回答下列问题：‎ ‎（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形．‎ 考点：‎ 平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定．‎ 专题：‎ 证明题；探究型．‎ 分析：‎ ‎1、本题可根据三角形全等证得DE=AF，AD=EF，即可知四边形ADEF是平行四边形 ‎2、要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°‎ 解答：‎ 证明：（1）∵等边△ABD、△BCE、△ACF，‎ ‎∴DB=AB，BE=BC．又∠DBE=60°﹣∠EBA，∠ABC=60°﹣∠EBA，‎ ‎∴∠DBE=∠ABC．∴△DBE≌△CBA．∴DE=AC．‎ 又∵AC=AF，∴AF=DE．同理可证：△ABC≌△FCE，证得EF=AD．‎ ‎∴四边形ADEF是平行四边形．‎ ‎（2）假设四边形ABCD是矩形，∵四边形ADEF是矩形，∴∠DAF=90°．‎ 又∵等边△ABD、△BCE、△ACF，∴∠DAB=∠FAC=60°．‎ ‎∴∠BAC=360﹣∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB=150°．‎ 当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．‎ 点评：‎ 此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定．‎ 练习1：．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：‎ ‎（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？‎ ‎（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？‎ 考点：‎ 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定．‎ 分析：‎ ‎（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的对应边DE=AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG=180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；‎ ‎（2）根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG=90°．然后由周角的定义求得∠BAC=135°；‎ ‎（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG=90°，且AG=AD．由□ABDI和□ACHG的性质证得，AC=AB．‎ 解答：‎ 解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：‎ ‎∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，‎ ‎∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．‎ 在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），‎ ‎∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，‎ ‎∴∠BDA=∠BAD=45°．∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°，‎ ‎∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°=225°﹣∠BAC ‎∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°∴DE∥AG，‎ ‎∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．‎ ‎（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．‎ 则∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，‎ 即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；‎ ‎（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD．‎ 由（2）知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．∵四边形ABDI是正方形，‎ ‎∴AD=AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴AC=AB．‎ ‎∴当∠BAC=135°且AC=AB时，四边形ABDI是正方形．‎ 点评：‎ 本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360°．‎ 例2. （2012四川资阳8分）（1）(3分)如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD∶GC∶EB的结果（不必写计算过程）；‎ ‎（2）(3分)将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD∶GC∶EB；‎ ‎（3）(2分)把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知ＤA∶AB＝HA∶AE＝m: n，此时HD∶GC∶EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．‎ ‎【答案】解：（1）HD:GC:EB＝１: :1。‎ ‎（2）连接AG、AC，‎ ‎∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，‎ ‎∴AD:AC＝AH:AG＝１:，∠DAC=∠HAG=45°。‎ ‎∴∠DAH=∠CAG。∴△DAH∽△CAG。‎ ‎∴HD:GC＝AD:AC＝１:。‎ ‎∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE。‎ 又∵AD＝AB，AH＝AE，∴△DAH≌△BAE（SAS）。∴HD=EB。‎ ‎∴HD:GC:EB＝１::1。‎ ‎（3）有变化，HD:GC:EB＝。‎ ‎【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）连接AG，‎ ‎∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，‎ ‎∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD。‎ ‎∴A，G，C共线，AB－AE=AD－AH，∴HD=BE。‎ ‎∵ ‎ ‎∴GC=AC－AG=AB－AE= （AB－AE）= BE。‎ ‎∴HD：GC：EB=1：：1。‎ ‎（2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值。‎ ‎（3）连接AG、AC，‎ ‎∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，‎ DA：AB=HA：AE=m：n，‎ ‎∴∠ADC=∠AHG=90°，∴△ADC∽△AHG。‎ ‎∴AD：AC=AH：AG=，∠DAC=∠HAG。‎ ‎∴∠DAH=∠CAG。∴△DAH∽△CAG。‎ ‎∴HD：GC=AD：AC=。‎ ‎∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE。‎ ‎∵DA：AB=HA：AE=m：n，∴△ADH∽△ABE。∴DH：BE=AD：AB=m：n。‎ ‎∴HD：GC：EB=。‎ 练习2. （2012山东济南9分）如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD= ，AC，BD 相交于点O．‎ ‎（1）求边AB的长；‎ ‎（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．‎ ‎①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；‎ ‎②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．‎ ‎【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴△AOB为直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD= 3。在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=。 （2）①△AEF是等边三角形。理由如下：‎ ‎∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，∴△ABC与△ACD均为等边三角形。‎ ‎∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°。又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF。‎ 在△ABE与△ACF中，∵∠BAE=∠CAF ，AB=AC=2 ，∠EBA=∠FCA=60°，‎ ‎∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴AE=AF。∴△AEF是等腰三角形。‎ 又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。‎ ‎②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，∴CE=，BE=。‎ 由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE=。‎ ‎∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），‎ ‎∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），∠EGA=∠CGF（对顶角），∴∠EAC=∠GFC。‎ 在△CAE与△CFG中，∵ ∠EAC=∠GFC ，∠ACE=∠FCG=60°，‎ ‎∴△CAE∽△CFG 。∴，即。解得：CG=。‎ ‎【考点】‎ 旋转的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度。‎ ‎（2）①确定一对全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根据已知条件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等边三角形。‎ ‎②确定一对相似三角形△CAE∽△CFG，由对应边的比例关系求出CG的长度。‎ ‎3. （2012山东莱芜9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90º，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转角(0º＜＜180º)，得到△AB′C′(如图2)．‎ ‎(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；‎ ‎(2)当DB′∥AE时，试求旋转角的度数．‎ ‎【答案】解：（1）DB′=EC′。证明如下：‎ ‎∵D、E分别是AB、AC边的中点．∴AD=AB，AE=AC。∵AB=AC，∴AD=AE。‎ ‎∵△AB′C′是△ABC绕点A顺时针旋转得到，‎ ‎∴∠EA C′=∠DA B′=，A C′=AC= A B′=AB。∴△ADB′≌△AEC′（SAS）。∴DB′=EC′。‎ ‎（2）由（1）△ADB′≌△AEC′，∴∠C′EA =∠B′DA。‎ ‎∵DB′∥AE，∠BAC=900，∴∠B′DA =∠DAE =900。∴∠C′EA =∠B′DA =900。‎ ‎∵AE=A C′，∴。∴旋转角。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，平行的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）由三角形中位线定理和AB=AC可得AD=AE，由旋转的性质可得∠EA C′=∠DA B′=，A C′=AC= A B′=AB，从而由SAS得△ADB′≌△AEC′，因此得DB′=EC′。‎ ‎（2）由（1）△ADB′≌△AEC′可得∠C′EA =∠B′DA；由DB′∥AE，∠BAC=900可得∠B′DA ‎ =∠DAE =900，从而∠C′EA =900。在Rt△C′EA中，应用锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值即可求得旋转角的度数。‎ 例3. （2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△BCF；‎ ‎（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；‎ ‎（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。‎ 在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA）。 ‎ ‎（2）解：∵正方形面积为3，∴AB=。‎ 在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE。‎ ‎∴。又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。‎ ‎∴。‎ ‎（3）解：没有变化。理由如下：∵AB=，BE=1，∴。∴∠BAE=30°。‎ ‎∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′= AE′，∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，‎ ‎∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G。‎ 设BF与AE′的交点为H，‎ 则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG= AG，∴△BAG≌△HAG。‎ ‎∴。 ‎ ‎∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化。‎ ‎【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形。‎ ‎【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF。‎ ‎（2）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案。‎ ‎（3）由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，从而证得结论。‎ 练习4 （2012广东珠海7分） 如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．‎ 求证：（1）△ADA′≌△CDE；‎ ‎（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．‎ ‎【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°。∴∠A′DE=90°。‎ 根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，∴∠A′ED=45°。∴A′D=DE。‎ ‎∵在△AD A′和△CDE中，AD=CD，∠EDC=∠A′DA=90°，A′D=DE，‎ ‎∴△ADA′≌△CDE（SAS）。‎ ‎（2）∵AC=A′C，∴点C在AA′的垂直平分线上∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAE=45°。‎ ‎∵AC=A′C，CD=CB′，∴AB′=A′D。‎ ‎∵在△AEB′和△A′ED中，∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED，AB′=A′D，‎ ‎∴△AEB′≌△A′ED（AAS）。∴AE=A′E。‎ ‎∴点E也在AA′的垂直平分线上。∴直线CE是线段AA′的垂直平分线。‎ ‎【考点】正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定。‎ ‎【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，则∠A′DE=90°，再计算出∠A′ED=45°，根据等角对等边可得AD=ED，即可利用SAS证明△AA′D≌△CED。‎ ‎（2）首先由AC=A′C，可得点C在AA′的垂直平分线上；再证明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，从而得到点E也在AA′的垂直平分线上，根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线。‎ ‎5. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=900，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论 ‎①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，‎ 其中正确结论的个数是【 】‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，完全平方式的非负数性质，矩形的判定和性质，三角形边角关系，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=900，‎ ‎∴AD =DC，∠EAD=∠C=450，∠EDA=∠MDN－∠ADN =900－∠AND=∠FDC。‎ ‎∴△EDA≌△FDC（ASA）。∴AE=CF。∴BE+CF= BE+ AE=AB。‎ 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=BC。∴(BE+CF)= BC。∴结论①正确。‎ 设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= a－b。‎ ‎∴。‎ ‎∴。∴结论②正确。‎ 如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O。‎ ‎∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，‎ ‎∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD，‎ OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG。‎ ‎∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD。∴结论④错误。‎ ‎∵△EDA≌△FDC，‎ ‎∴。∴结论③错误。‎ 又当EF是Rt△ABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分。‎ ‎∴结论⑤正确。‎ 综上所述，结论①②⑤正确。故选C。‎ 例4. （2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．‎ ‎（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；‎ ‎（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．‎ ‎【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，‎ ‎∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF。∴EF=EG=AG。‎ ‎∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG）。‎ 又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形。‎ ‎（2）连接ON，‎ ‎∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，‎ ‎△AED的外接圆与BC相切于点N，‎ ‎∴ON⊥BC。‎ ‎∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线。‎ ‎∴点N是线段BC的中点。‎ ‎（3）∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径，∴OE=OA=ON=2。∴AE=AB=4。‎ 在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。‎ 在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30°，∴。∴FG=。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而 判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，从而结合AG=GE，可得出结论。‎ ‎（2）连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。‎ ‎（3）根据（1）可得出AE=AB，从而在Rt△ADE中，可判断出∠AED为30°，在Rt△EFO中求出FO，从而可得出FG的长度。‎ ‎2013年中考压轴题复习(二)----特殊四边形篇(2)‎ 练习6‎ ‎(1）求G点坐标；‎ ‎（2）求直线EF解析式；‎ ‎（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1。‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°。‎ ‎∴。∴G点的坐标为（3，4－）。‎ ‎（2）设直线EF的解析式是y=kx+b，‎ 在Rt△BFG中，，∴∠BFG=60°。∴∠AFE=∠EFG=60°。‎ ‎∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2。∴E点的坐标为（0，4－2）。‎ 又F点的坐标是（2，4），‎ ‎∴， 解得。‎ ‎∴直线EF的解析式为。‎ ‎（3）存在。M点的坐标为M1（3－，），M2（1－，-），M3（1+，8－）‎ ‎【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB－AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标。‎ ‎（2）由题意，可知△AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式。‎ ‎（3）分FG为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四边形的形状： ‎ 若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：‎ ‎①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示。‎ 过M1点作M1H⊥x轴于点H，易证△M1HN1≌△GBF，‎ ‎∴M1H=GB=，即yM1=。‎ 由直线EF解析式，求出 ‎∴M1（3－，）‎ ‎②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示。‎ 仿照与①相同的办法，可求得M2（1－，-）‎ ‎③FG为平行四边形的对角线，如图3所示。‎ 过M3作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△M3FH≌△GN3C，‎ 则有M3H=CG=4，所以M3的纵坐标为8－。‎ 代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为。‎ ‎∴M3（1+，8－）‎ 综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为： M点的坐标为M1（3－，），M2（1－，-），M3（1+，8－）‎ 练习7．（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．‎ ‎（1）求证：∠APB=∠BPH；‎ ‎（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；‎ ‎（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．‎ 又∵∠EPH=∠EBC=90°，‎ ‎∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。‎ 又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。‎ ‎（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：‎ 如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。‎ 由（1）知∠APB=∠BPH，‎ 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，‎ ‎∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。‎ 又∵AB=BC，∴BC=BQ。‎ 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。‎ ‎∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。‎ 练习8、（2011湖南永州，25，10分）探究问题：‎ ‎⑴方法感悟：‎ 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．[来源:学#科#网]‎ 感悟解题方法，并完成下列填空：‎ 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：‎ AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,‎ ‎∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，‎ 因此，点G，B，F在同一条直线上．‎ ‎∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．‎ ‎∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．‎ 即∠GAF=∠_________．‎ 又AG=AE，AF=AF ‎∴△GAF≌_______．‎ ‎∴_________=EF，故DE+BF=EF． ‎ ‎[来源:学§科§网]‎ ‎（第25题）①‎ ‎⑵方法迁移：‎ 如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．‎ ‎（第25题）②‎ ‎⑶问题拓展：‎ 如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．‎ ‎（第25题）③‎ ‎⑴EAF、△EAF、GF．‎ ‎⑵DE+BF＝EF，理由如下：‎ 假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE， ∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，‎ ‎∴∠ABG+∠ABF＝90°+90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．‎ ‎∵∠EAF＝ ∴∠2+∠3＝∠BAD－∠EAF＝‎ ‎∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠3＝．即∠GAF＝∠EAF又AG＝AE，AF＝AF ‎∴△GAF≌△EAF．∴GF＝EF，又∵GF＝BG+BF＝DE+BF ∴DE+BF＝EF． ‎ ‎（第25题）②解得图 ‎⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF＝EF．‎ 评析：⑴中利用旋转作出了辅助线，再利用全等得到一条线段等于某两条线段的和，要仔细阅读，理解题意，掌握方法；（2）类比（1）的做法将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，再由全等得到；（3）由上面两小题可知，当∠B与∠D互补时，才能使得旋转后的点G，B，F在同一条直线上，也才能得出结论．‎ 练习9.（2011湖北武汉,24,10分）‎ ‎（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：. ‎ ‎（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点.     ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；     ②如图3，求证MN2=DM·EN.    ‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，    ‎ ‎∴．同理在△ACQ中，．∴．‎ ‎（2） ①．②证明：∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°．∴∠B＝∠CEF，‎ 又∵∠BGD＝∠EFC，∴△BGD∽△EFC．∴，∴DG·EF＝CF·BG 又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG 由（1）得 ‎∴∴MN2＝DM·EN 评析：（1）由求比例式或联想到利用三角形相似来求，根据题意利用中间比来证明结论．（2）①设DE＝EF＝FG＝DG＝BG＝CF＝x，则BC＝3x＝，所以x＝，而，故MN＝；②由题意易得△BGD∽△EFC从而DG·EF＝CF·BG，DG＝GF＝EF所以可得GF2＝CF·BG，由图1结论可得从而证明结论成立．‎