四川省泸州市2018届高三第二次教学质量诊断性考试数学理试题

四川省泸州市2018届高三第二次教学质量诊断性考试数学理试题

泸州市高2015级（2018届）第二次教学质量诊断性考试 数 学（理科） ‎ ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 第I卷1至2页，第II卷3至4‎ 页.共150分.考试时间120分钟. ‎ 第I卷 （选择题 共60分）‎ 一、 选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．‎ ‎1．复数的虚部是 ‎ A． B．1 C． D．‎ ‎2．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎3．在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法为 ‎ A．6 B．12 C．18 D．24 ‎ ‎4．抛物线C：的焦点为F，为C上一点，过点P作其准线的垂线，垂足为Q，若，则的长度为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．将函数的图像向右平移m个长度单位后得到函数，若与的零点重合，则m的一个可能的值为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是 ‎ A．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个 ‎ B．与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长 ‎ C．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元 ‎ D．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省 ‎7．设a，b是两条不同的直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 ‎8．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是 ‎ A．甲被录用了 B．乙被录用了 ‎ C．丙被录用了 D．无法确定谁被录用了 ‎9．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如 ‎ ‎．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的等于 ‎ A．20 B．21‎ ‎ C．22 D．23‎ ‎10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎11．双曲线的左右焦点分别为、，点P是双曲线右支上一点，若双曲线的一条渐近线垂直平分，则该双曲线的离心率是 ‎ A． B． C．2 D． ‎ ‎12．已知函数，（e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有两个不等实根、，且，则的最小值为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 （非选择题　共90分）‎ 注意事项：‎ ‎(1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.‎ ‎(2)本部分共10个小题，共90分.‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知变量满足约束条件，则的最大值为 ．‎ ‎14．二项式展开式中的常数项是 （用数字做答）．‎ ‎15．已知函数，若，则实数a的取值范围是 ． ‎ ‎16．如图，在中，角的对边分别为，.‎ 若，为外一点，，，则四边形面积的最大值为 ． ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为满足．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项的和．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某企业库存有某批产品若干件，现从中随机抽取该种产品500件，测量出了这些产品的质量指标值，由测量数据经整理获得如下统计表（质量指标值满分为135）：‎ 质量指标值X 频数Y ‎10‎ ‎45‎ ‎110‎ ‎165‎ ‎120‎ ‎40‎ ‎10‎ 已知该批产品的质量指标值，其中近似为样本的平均数，近似为样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）当产品的质量指标值时，称该产品为一等品.某商家面向全社会招标采购该类产品，期望所购买的该类产品中一等品的件数不得低于10℅，以此期望为决策依据，试问该企业的该类产品是否可以参与该商家的招标采购？请说明理由.‎ 参考数据：≈12.2. ‎ 若，则，，.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，三棱锥的侧面是等腰直角三角形，，，，且．‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（II）求二面角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，若到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为4． ‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，证明：直线、的交点在直线上．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）若在上恒成立，求正数a的取值范围；‎ ‎（II）证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为，的极坐标方程为． ‎ ‎（I）求直线l和的普通方程；‎ ‎（II）直线l与有两个公共点A、B，定点P，求的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 设函数．‎ ‎（I）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）若关于x的不等式有解，求的取值范围．‎ 泸州市高2015级（2018届）第二次教学质量诊断性考试 数 学（理科）参考答案及评分意见 评分说明：‎ ‎1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A C B A D ‎ A C ‎ C B D 二、填空题 ‎13．2； 14．28； 15. ； 16．.‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）当时，，‎ 所以， 1分 因为，，‎ 所以时，， 2分 两式相减得：，即， 4分 因为，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 5分 ‎ 所以 ； 6分 ‎（Ⅱ）由 可知，‎ 当为奇数时，； 7分 当为偶数时， 8分 则 9分 ‎ 10分 ‎. 12分 ‎18．解： (Ⅰ) 由题得各组频率如下：‎ ‎ 0.02， 0.09， 0.22， 0.33，‎ ‎ 0.24， 0.08， 0.02‎ 所以，抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 ‎， 2分 ‎， 4分 所以，由题得，‎ 从而 ； 6分 ‎（Ⅱ）因一件产品中一等品的概率为， 7分 设商家欲购产品的件数为m,且其中一等品可能的件数为，‎ 所以， 8分 所以m件产品中一等品的期望， 10分 又因商家欲购m产品中一等品的期望为 ， 11分 ‎ 因，‎ 所以该批产品不能达到商家要求，不能参与招标. 12分 ‎19．证明：（I）如图，取BD中点E，连结、， 1分 因为是等腰直角三角形，‎ 所以， 2分 设，则， 3分 在中，由余弦定理得：‎ ‎， 4分 因为，，‎ 所以，即， 5分 又，，‎ 所以平面，‎ 所以平面平面； 6分 ‎（II）解法一：过点E在平面内作交于点F，由（I）知平面，‎ 分别以为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系， 7分 不妨设，‎ 则：， 8分 则，，， 9分 设平面的法向量，‎ 则，取， 10分 设平面的法向量， ‎ 则，取， 11分 所以， ‎ 因为二面角的平面角是锐角，‎ 所以二面角的余弦值为. 12分 解法二：过点D作DN⊥AC于点N，‎ 设D在平面ABC上的射影为M，连接MN，‎ 则AC⊥MN，所以∠DNM为所求二面角的平面角， 7分 设AB=1,则AD=1,BD=CD=，AC=2，BC=,‎ 在△ADC中，cos∠DAC=,‎ 所以DN=, 8分 在△ABC中，cos∠BAC=,所以sin∠BAC=, 9分 由,‎ 所以,‎ 即, 11分 在△DMN中，sin∠DNM=,‎ 所以cos∠DNM=,‎ 所以二面角的余弦值为. 12分 ‎20．解：（Ⅰ）的坐标分别为，， 其中，‎ 过椭圆的左焦点、斜率为的直线的方程为：， 1分 到直线的距离为3，所以有， 解得， 2分 所以有，‎ 由题意知: ， 即， 3分 解得：，，‎ 所求椭圆C的方程为； 4分 ‎（Ⅱ）设直线l的方程为，代入椭圆C的方程消去x整理得：‎ ‎， 5分 设，，‎ 所以，， 6分 直线方程为，直线方程为， 7分 解法一：要证明直线、的交点在直线上，‎ 只需证明， 8分 即证明， 9分 只需证明， 10分 即证明，而成立，‎ 所以直线、的交点在直线上． 12分 解法二：， 8分 解得： 9分 因为， 10分 即 11分 所以 ‎. 12分 ‎21. 解：（Ⅰ）因为，，则， 1分 ‎. 2分 ‎①当 ，时，此时， 3分 ‎ 当，则，在上是减函数，所以在上存在x0，‎ 使得，‎ 在上不恒成立； 4分 ‎②当时，，在上成立， ‎ 在上是增函数，， 5分 在上恒成立，‎ ‎ 综上所述，所求a的取值范围为； 6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，在上恒成立，‎ ‎， 7分 令，有， 8分 当时，， 9分 令，有， 10分 ‎ 即，，‎ 将上述n个不等式依次相加得：‎ ‎， 11分 整理得. 12分 ‎22．解：（I）直线l的普通方程为：， 1分 因为圆的极坐标方程为，‎ 所以， 3分 所以圆的普通方程； 4分 ‎（II）直线l：的参数方程为：‎ ‎（t为参数）， 5分 代入圆的普通方程消去x、y整理得：‎ ‎， 6分 则，， 7分 ‎ 8分 ‎. 10分 ‎23．解：（I）当时，，即， 1分 ‎ 即或或， 4分 ‎ 所以或，‎ ‎ 所以原不等式的解集为； 5分 ‎（II）‎ ‎ 6分 ‎， 7分 因为不等式有解，‎ 所以，即， 9分 所以的取值范围是． 10分 ‎