【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版5-4三角函数与平面向量的难点问题集释作业

【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版5-4三角函数与平面向量的难点问题集释作业

课时跟踪检测(三十二)　三角函数与平面向量的难点问题集释 ‎1．在非等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D． 解析：选D　由题意得sin2A＜sin2B＋sin2C，由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0，则cos A＝＞0.因为0＜A＜π，所以0＜A＜，又a为最大边，所以A＞，即角A的取值范围为.‎ ‎2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A－sin B＝，b＝，则△ABC的面积的最大值为(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选A　根据正弦定理由sin A－sin B＝，可得a－b＝，得a2－b2＝c(a－c)，即a2＋c2－b2＝ac，故＝＝cos B，∵B∈(0，π)，∴B＝.又由b＝，可得a2＋c2＝ac＋3，故a2＋c2＝ac＋3≥2ac，即ac≤3，当且仅当a＝c＝时取等号，故ac的最大值为3，这时△ABC的面积取得最大值，为×3×sin＝.‎ ‎3．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A＝bsin A，则sin A＋sin C的最大值为(　　)‎ A. B. C．1 D． 解析：选B　∵acos A＝bsin A，由正弦定理可得，sin Acos A＝sin Bsin A，∵sin A≠0，∴cos A＝sin B，又B为钝角，∴B＝A＋，sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋cos 2A＝sin A＋1－2sin2A＝－22＋，‎ ‎∴sin A＋sin C的最大值为.‎ ‎4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝bcos C＋csin B，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为(　　)‎ A．2 B.3‎ C. D． 解析：选A　由a＝bcos C＋csin B及正弦定理，得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，即sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Csin B，得sin Ccos B＝sin Csin B，又sin C≠0，所以tan B＝1.因为B∈(0，π)，所以B＝.由S△ABC＝acsin B＝1＋，得ac＝2＋4.又b2＝a2＋c2－2accos B≥2ac－ac＝(2－)(4＋2)＝4，当且仅当a＝c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2，故选A.‎ ‎5．(2019·合肥质检)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是(　　)‎ A．(5,6] B.(3,5)‎ C．(3,6] D．[5,6]‎ 解析：选A　由正弦定理可得，(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，则A＝.又＝＝＝2，所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝4＝sin 2B－cos 2B＋4＝2sin＋4.又△ABC是锐角三角形，所以B∈，所以2B－∈.所以b2＋c2的取值范围是(5,6]．‎ ‎6.如图，△ABC是边长为2的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则·的取值范围是(　　)‎ A．[1,13] B.(1,13)‎ C．(4,10) D．[4,10]‎ 解析：选A　取AB的中点D，连接CD，CP，则＋＝2，所以·＝(－)·(－)＝·－2·＋1＝(2)2cos－2×3×1×cos〈，〉＋1＝7－6cos〈，〉，所以当cos〈，〉＝1时，·取得最小值为1；当cos〈，〉＝－1时，·取得最大值为13，因此·的取值范围是[1,13]．‎ ‎7．已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D．(2,3)‎ 解析：选A　以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)．设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)．设P(x，y)，因为点P在△IBC内部(不含边界)，所以0＜x＜1.因为＝(－3,0)，＝(－3,4)，＝(x－3，y)，且＝λ＋μ，所以得所以λ＋μ＝1－x，又0＜x＜1，所以λ＋μ∈，故选A.‎ ‎8．(2019·唐山模拟)在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．‎ 解析：因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，即(－3)·(－)＝0，整理得2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2 ＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0＜A＜π，所以0＜A≤，即角A的最大值为.‎ 答案： ‎9．(2018·沈阳质监)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值为__________．‎ 解析：由题意得，4×bcsin A＝a2－b2－c2＋2bc，又a2＝b2＋c2－2bccos A，代入上式得，2bcsin A＝－2bccos A＋2bc，即sin A＋cos A＝1，sin＝1.∵0＜A＜π，∴＜A＋＜，∴A＋＝，∴A＝，S＝bcsin A＝bc.又b＋c＝8≥2，当且仅当b＝c时取“＝”，∴bc≤16，∴S的最大值为8.‎ 答案：8‎ ‎10.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝4，O为BC的中点，以O为圆心，1为半径的半圆与BC交于点D，P为半圆上任意一点，则·的最小值为________．‎ 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－2,0)，A(0,2)，D(1,0)，设P(x，y)，故＝(x＋2，y)，＝(1，－2)，所以·＝x－2y＋2.令x－2y＋2＝t，根据直线的几何意义可知，当直线x－2y＋2＝t与半圆相切时，t取得最小值，由点到直线的距离公式可得＝1，t＝2－，即·的最小值是2－.‎ 答案：2－ ‎11．(2019·长沙长郡中学月考)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝－4(其中O为坐标原点)，则△ABO面积的最小值是________．‎ 解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，由·＝－4，即x1x2＋y1y2＝－4得yy＋y1y2＝－4，得y1y2＝－8.所以S△ABO＝|x1y2－x2y1|＝|y1－y2|≥4，当y1＝2，y2＝－2时取等号，故△ABO面积的最小值为4.‎ 答案：4 ‎12．(2018·武汉调研)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足cos 2A－cos 2B＋2coscos＝0.‎ ‎(1)求角A的值；‎ ‎(2)若b＝且b≤a，求a的取值范围．‎ 解：(1)由cos 2A－cos 2B＋2coscos＝0，‎ 得2sin2B－2sin2A＋2＝0，‎ 化简得sin A＝，又△ABC为锐角三角形，故A＝.‎ ‎(2)∵b＝≤a，∴c≥a，∴≤C＜，＜B≤，‎ ‎∴＜sin B≤.‎ 由正弦定理＝，得＝，∴a＝，‎ 由sin B∈得a∈[，3)．‎ 故a的取值范围为[，3)．‎