2013新课标全国卷Ⅰ（文）数学试题
2013·新课标全国卷Ⅰ(文科数学)
1． 已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( )
A．{1，4} B．{2，3}
C．{9，16} D．{1，2}
1．A [解析] 集合B＝{1，4，9，16}，所以A∩B＝{1，4}．
2． ＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1＋i D．1－i
2．B [解析] ＝＝－1＋i.
3． 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A. B. C. D.
3．B [解析] 基本事件是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，其中两数之差的绝对值为2的基本事件是(1，3)，(2，4)，共2个，根据古典概型公式得所求的概率是＝.
4． 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
4．C [解析] ＝＝，所以＝，故所求的双曲线渐近线方程是y＝±x.
5． 已知命题p：x∈，2x＜3x；命题q：x∈，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q
5．B [解析] 命题p假、命题q真，所以p∧q为真命题．
6． 设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
6．D [解析] an＝，Sn＝＝3(1－an)＝3－2an.
图1－1
7． 如图1－1所示的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于( )
A．[－3，4]
B．[－5，2]
C．[－4，3]
D．[－2，5]
7．A [解析] 当－1≤t<1时，输出的s＝3t∈[－3，3)；当1≤t≤3时，输出的s＝4t－t2∈[3，4]．故输出的s∈[－3，4]．
8． O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4 x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4 ，则△POF的面积为( )
A．2 B．2 C．2 D．4
8．C [解析] 设P(x0，y0)，根据抛物线定义得|PF|＝x0＋，所以x0＝3 ，代入抛物线方程得y2＝24，解得|y|＝2 ，所以△POF的面积等于·|OF|·|y|＝××2 ＝2 .
9． 函数f(x)＝(1－cos x)·sin x在[－π，π]的图像大致为( )
图1－2
9．C [解析] 函数f(x)是奇函数，排除选项B.当x∈[0，π]时f(x)≥0，排除选项A.对函数f(x)求导，
得f′(x)＝sin xsin x＋(1－cos x)cos x＝－2cos2 x＋cos x＋1＝－(cos x－1)(2cos x＋1)，当0
0，若0时，y＝ln (x＋1)的图像不可能恒在直线y＝ax的上方，故a≤0；由于直线y＝ax与曲线y＝x2－2x均过坐标原点，所以满足条件的直线y＝ax的极端位置是曲线y＝x2－2x在点(0，0)处的切线，y′＝2x－2，当x＝0时y′＝－2.所以－2≤a≤0.
13． 已知两个单位向量，的夹角为60°，＝t＋(1－t)，若·＝0，则t＝________．
13．2 [解析] ·＝·[t＋(1－t)]＝t·＋(1－t)2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，即t＝2.
14． 设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为________．
14．3 [解析] 点(x，y)是平面内平行线x＝1，x＝3与平行线x－y＝－1，x－y＝0围成的平行四边形区域，区域的四个顶点坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，4)，(3，3)，分别代入得z＝0，1，2，3，所以z＝2x－y的最大值为3.
15． 已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
15. [解析] 截面为圆，由已知得该圆的半径为1.设球的半径为r，则AH＝r，所以OH＝r，所以(r)2＋12＝r2，r2＝，所以球的表面积是4πr2＝.
16．、、 设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________．
16．－ [解析] f(x)＝sin x－2cos x＝
，令cos α＝，sin α＝，
则f(x)＝sin(x－α)．当θ－α＝2kπ＋，
即θ＝2kπ＋＋α(上述k为整数)时，
f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－.
17．、 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
17．解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得 解得a1＝1，d＝－1.
故{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知＝＝，
数列的前n项和为＝.
18．、 为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
图1－4
18．解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.
由观测结果可得
x＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
y＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得x>y, 因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
A药
B药
6
0.
5
5
6
8
9
8
5
5
2
2
1.
1
2
2
3
4
6
7
8
9
9
8
7
7
6
5
4
3
3
2
2.
1
4
5
6
7
5
2
1
0
3.
2
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好．
19． 如图1－5所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
图1－5
19．解：(1)取AB的中点O，联结OC，OA1，A1B，
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝.
又A1C＝，则A1C2＝OC2＋OA，故OA1⊥OC.
因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．
又△ABC的面积S△ABC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC·OA1＝3.
20．、 已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
20．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x.
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
21．、、 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
21．解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2 .
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，
则＝，可求得Q(－4，0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．
由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.
当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1，2＝，
所以|AB|＝|x2－x1|＝.
当k＝－时，由图形的对称性得|AB|＝.
综上，|AB|＝2 或|AB|＝.
22． 选修4－1：几何证明选讲如图1－6，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
图1－6
22．解：(1)联结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.
而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.
又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，
由勾股定理可得DB＝DC.
(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC的中垂线，所以BG＝.
设DE的中点为O，联结BO，则∠BOG＝60°，
从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.
23． 选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．
23．解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0，
由解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
24． 选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)
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