2019-2020学年山东省德州市第一中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省德州市第一中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省德州市第一中学高二上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．设命题P：nN，>，则P为（ ）‎ A．nN, > B．, ≤ C．nN, ≤ D．nN, =‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 原命题是特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，故C选项正确，A选项错误.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查特称命题的否定，属于基础题.‎ ‎2．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.‎ ‎3．方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）.‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】根据方程表示双曲线的条件列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由于方程表示双曲线，所以，解得或.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二元二次方程表示双曲线的条件，属于基础题.‎ ‎4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三视图还原几何体，可得该棱锥4个面中有2个为直角三角形，2个面是等腰三角形，利用三视图中的数据即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 该几何体是棱长分别为 的长方体中的三棱锥： ，‎ 其中： ，‎ 该几何体的表面积为： .‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎.‎ ‎5．已知三棱柱 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝‎ ‎6．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为：，即：.‎ 又因为光线与圆相切，所以，,‎ 整理：，解得：，或,故选D．‎ ‎【考点】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.‎ ‎7．抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线方程的标准方程即：，‎ 据此可得，抛物线的焦点位于轴上，其焦点坐标为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎8．设满足约束条件则的最大值为（ ）.‎ A．10 B．8 C．3 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解.‎ ‎【详解】‎ 作出可行域如图：‎ 化目标函数为，‎ 联立，解得.‎ 由图象可知，当直线过点A时，直线在y轴上截距最小，有最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.‎ ‎9．圆:上的点到直线的距离的最大值是( )‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先把圆的一般方程化为标准方程得到圆心，半径为1，利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离为，圆上一点到直线距离的最大值即为 ‎【详解】‎ 圆: 化为标准方程得，所以圆心为，半径为1.所以圆心到直线的距离，则所求距离的最大值为，故选B ‎【点睛】‎ 本题考查圆上一点到直线距离的最大值问题，其最大值应转化为圆心到直线距离与圆的半径的和。‎ ‎10．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．‎ ‎【考点】椭圆的几何性质．‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得 ‎，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．‎ 二、填空题 ‎11．在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点.若点到直线 的距离大于恒成立，则实数的最大值为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的一条渐近线为，直线与平行.根据双曲线渐近线的性质以及两条平行线间的距离公式，求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的一条渐近线为，而直线与平行.双曲线的图像无限接近于渐近线，所以直线与直线之间的距离，也即的最大值，即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线的渐近线，考查两平行线间的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12．已知直线与相互垂直，则实数=_______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据两条直线相互垂直的条件列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于两条直线垂直，故，即，解得或.‎ 故答案为：或 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两条直线垂直的条件，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎13．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，的右焦点与抛物线的焦点重合，是的准线与椭圆的两个交点，则___________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】抛物线的焦点为,准线方程为,故椭圆,由于,所以,椭圆方程为,将代入椭圆方程求得,故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程的求法,考查抛物线的定义与基本性质.由于抛物线的表达式是题目已经给出来的,故根据抛物线的定义可先求得抛物线的焦点和准线方程,抛物线的焦点为,准线方程为.再结合离心率即可求得椭圆的标准方程.‎ ‎14．圆锥的体积为，底面积为，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出圆锥的高和底面半径，利用体积和底面积求得圆锥的底面半径和高，求得母线长，由此求得圆锥侧面展开图的圆心角大小.‎ ‎【详解】‎ 设圆锥的高为，底面半径为，依题意，解得，所以圆锥母线.所以圆锥侧面展开图的圆心角大小为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查圆锥的体积和底面积有关计算，考查圆锥侧面展开图圆心角的求法，属于基础题.‎ ‎15．设..是三个不同的平面，..是三条不同的直线，则的一个充分条件为________．‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】对四个条件逐一分析，由此确定能够推导出的条件的序号.‎ ‎【详解】‎ 对于①，，此时可能在平面内，不能推出，故①不符合.‎ 对于②，由于，所以；由于，所以成立，故②符合.‎ 对于③，两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们相交的交线与第三个平面垂直，故③符合.证明如下：，设，，在平面内，过分别作的垂线，垂足分别为，如图所示.根据面面垂直的性质定理可知，所以，而，所以.‎ 对于④，，当时，可能在平面内，不能推出，故④不符合.‎ 故答案为：②③‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面垂直关系的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查充分条件的判断，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎16．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0‎ ‎（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．‎ ‎（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：，q：a≤x≤a+1，所以a=时，p：．由p∧q为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；‎ ‎（2）由p是q的充分不必要条件便可得到，解该不等式组即得实数a的取值范围．‎ 解：p：，q：a≤x≤a+1；‎ ‎∴（1）若a=，则q：；‎ ‎∵p∧q为真，∴p，q都为真；‎ ‎∴，∴；‎ ‎∴实数x的取值范围为；‎ ‎（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；‎ ‎∴，∴；‎ ‎∴实数a的取值范围为．‎ ‎【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎17．如图，在正方体的棱长为，为棱的中点.‎ ‎（1）求四棱锥的体积 ‎ ‎（2）求证：面 ‎ ‎（3）求证：面面 ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 ‎【解析】（1）由于平面，所以是四棱锥的高，由此利用计算出四棱锥的体积.‎ ‎（2）设是中点，为中点，通过证明四边形是平行四边形证得，即，由此证得面.‎ ‎（3）通过证明平面来证得面面.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：‎ 而 ‎ ‎.‎ ‎（2）设的中点为，连接，设，连接.‎ 在正方体中，为棱的中点，为中点，所以，且，所以,所以四边形是平行四边形，‎ 所以，即，由于平面，平面，‎ 所以面.‎ ‎（3）在正方体中，为棱的中点，所以，‎ 所以，‎ 又因为，， ‎ 所以，‎ 平面，‎ 又 平面，‎ 所以面面.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查四棱锥体积计算，考查线面平行的证明，考查面面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎18．有一椭圆形溜冰场，长轴长100米，短轴长为60米，现要在这溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？并求出此矩形的周长.‎ ‎【答案】在溜冰场椭圆的短轴两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点，矩形的周长为.‎ ‎【解析】分别以椭圆的长轴.短轴所在的直线为轴和轴建立坐标系，根据长轴长和短轴长求得椭圆方程.设矩形的顶点，且在第一象限，将点坐标代入椭圆方程，求得的关系式.求得矩形的面积，利用配方法求得的最大值，也即求得矩形的面积的最大值，并求得此时对应点的坐标，从而求得此时矩形的周长，以及矩形四个顶点的位置.‎ ‎【详解】‎ 分别以椭圆的长轴.短轴所在的直线为轴和轴建立坐标系，设矩形的各个顶点都在椭圆上，由题意，，则椭圆方程为，‎ 设顶点，，，则， ‎ 所以，‎ 矩形的面积，‎ 又因为=，‎ ‎=.‎ 因此当时，达到最大值，同时也达到最大值，‎ 此时，，矩形的周长为，‎ 所以在溜冰场椭圆的短轴两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点，这个矩形的周长为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据长轴长和短轴长求椭圆方程，考查椭圆中矩形面积的最值有关计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎19．已知点在平行于轴的直线上，且与轴的交点为，动点满足平行于轴，且.‎ ‎（1）求出点的轨迹方程.‎ ‎（2）设点，，求的最小值，并写出此时点的坐标.‎ ‎（3）过点的直线与点的轨迹交于.两点，求证.两点的横坐标乘积为定值.‎ ‎【答案】（1）点的轨迹方程为；（2）最小值为7，点坐标为；（3）证明见解析 ‎【解析】（1）设出点坐标，由此求出点坐标，利用则列方程，化简后求得点的轨迹方程.‎ ‎（2）由于是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知、、三点共线时的值最小，由点坐标和准线方程，求得最小值以及点的坐标.‎ ‎（3）设出过点的直线方程，与联立，利用韦达定理证得两点的横坐标乘积为定值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设动点，则由已知有，‎ 故，，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 即：.‎ ‎（2）由题意，点为抛物线的焦点，故即为点到准线的距离，‎ 所以、、三点共线时的值最小，‎ 即为点到准线的距离， 所以最小值为7，‎ 此时点的纵坐标为点的纵坐标，代入，，‎ 所以所求最小值为7，此时点的坐标为.‎ ‎（3）由题意可设点.过点的直线为与联立得：‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以 ，‎ 所以.两点的横坐标乘积为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查抛物线中与焦点有关的距离最小值问题的求解，考查抛物线中的定值问题，属于中档题.‎ ‎20．已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点为，一个定点，且，过点的直线与椭圆相交于两点..‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率.‎ ‎（2）如果以为直径的圆过原点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1），离心率为；（2）或 ‎【解析】（1）根据短轴长求得，根据列方程，求得，由此求得，从而求得椭圆的方程以及离心率.‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，不合题意.当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆方程联立，写出判别式和韦达定理.根据圆的直径有关的几何性质得到，化为，利用向量数量积的坐标运算进行化简，解方程求得直线的斜率，进而求得直线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：，‎ 所以 ， ，‎ 因为，即： ，‎ 解得：，所以，‎ 所以 ，‎ 所以椭圆的方程为：，离心率为.‎ ‎（2）由（1）可知，设 .显然当直线的斜率不存在时不适合题意，设直线的斜率为，‎ 则直线方程为：，与椭圆方程，‎ 联立得：，‎ ‎， ‎ ‎，，‎ 因为以为直径的圆过原点，‎ 所以，即，‎ 所以 ，即 ，‎ ‎，‎ 即：,‎ 解得：，即，‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量共线、数量积的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21．在平面直角坐标系中，已知圆经过， 两点，且圆心在直线上．‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）过圆内一点作两条相互垂直的弦，当时，求四边形的面积．‎ ‎（3）设直线与圆相交于两点， ，且的面积为，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）9；（3）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由圆的方程可采用待定系数法或利用圆的性质：弦的垂直平分线过圆心等来求解；（2）将四边形面积用弦长表示，利用直线与圆相交时弦长一半，圆的半径，圆心到直线的距离构成的直角三角形求解；（3）设出直线方程，将弦长和面积用表示，解方程可得到直线的方程 试题解析：（1）因为， ，所以，AB的中点为，‎ 故线段AB的垂直平分线的方程为，即，‎ 由，解得圆心坐标为．‎ 所以半径r满足．‎ 故圆的标准方程为．‎ ‎（2）∵∴到直线的距离相等，设为 则 ‎∴‎ ‎∴四边形的面积 ‎（3）设坐标原点到直线的距离为，因为．‎ ‎①当直线与x轴垂直时，由坐标原点到直线的距离为知，直线的方程为 或，经验证，此时，不适合题意；‎ ‎②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为，‎ 由坐标原点到直线的距离为，得（），‎ 又圆心到直线的距离为，所以，‎ 即（），‎ 由（），（）解得．‎ 综上所述，直线的方程为或．‎ ‎【考点】1．圆的方程；2．直线与圆相交的有关问题