四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题（解析版）

四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题（解析版）

绵阳市高中2019届高三第二次诊断性考试理科数学 一、选择题（60分）‎ ‎1.在复平面内，复数对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ z＝＝－i ‎2.己知集合A={0, 1，2, 3，4}，B={x ｜＞1｝，则A∩B＝( )‎ A. {1，2，3，4} B. {2，3，4} C. {3，4} D. {4}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合B，由此能求出A∩B．‎ ‎【详解】＞1＝，所以，x－1＞0，即x＞1，集合A中，大于1的有：{2，3，4} ，‎ 故A∩B＝{2，3，4} .‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、指数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎3.下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题5分，共8道题）．已知两组数据的中位数相同，则m的值为（ ）‎ A. 0 B. 2 C. 3 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图中的数据，直接写出甲、乙两个班级的中位数，得出30+m＝35，求出m的值．‎ ‎【详解】甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为：35，‎ 乙班成绩：30、30、30+m、35、40，‎ 因为中位数相同，所以30+m＝35，解得：m＝5‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了利用茎叶图求中位数的应用问题，是基础题．‎ ‎4.“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ a＝b＝1时，两条直线平行成立，但由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得ab＝1，不一定是a＝b＝1．‎ ‎【详解】a＝b＝1时，两条直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行， ‎ 反之由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得：ab＝1，显然不一定是a＝b＝1，‎ 所以，必要性不成立，‎ ‎∴“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎5.设是互相垂直的单位向量，且（＋）⊥（＋2），则实数的值是（ ）‎ A. 2 B. －2 C. 1 D. －1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量垂直的充要条件：向量垂直数量积等于0，列出方程求出λ．‎ ‎【详解】依题意，有：｜a｜＝｜b｜＝1，且a•b＝0，‎ 又（a＋b）⊥（a＋2b），所以，（a＋b）（a＋2b）＝0，即 a2＋2b2＋（2＋1）a•b＝0，即＋2＝0，所以，＝－2‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查两向量垂直的充要条件：数量积等于0；单位向量的定义，属于基础题.‎ ‎6.执行如图的程序框图，其中输入的，，则输出a的值为（ ）‎ A. －1 B. 1 C. D. －‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件结构的特点，先判断，再执行，计算出a，即可得到结论．‎ ‎【详解】由a＝，b＝，a＞b，‎ 则a变为﹣＝1，‎ 则输出的a＝1．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查条件结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．‎ ‎7.抛物线的焦点为F，P是抛物线上一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若｜PF｜＝，则△PQF的面积为（ ）‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件结合抛物线定义可知P的横坐标为x＝3，代入抛物线方程得点P的纵坐标的绝对值，则可求△PQF的面积.‎ ‎【详解】依题意，得F（，0），因为｜PF｜＝4，由抛物线的性质可知：‎ ‎｜PQ｜＝4，即点P的横坐标为x＝3，代入抛物线，得 点P的纵坐标的绝对值为：｜y｜＝2，‎ 所以，△PQF的面积为：S＝，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的简单应用．涉及抛物线的焦点问题时一般要考虑到抛物线的定义，考查计算能力．‎ ‎8.已知⊙O：与⊙O1：‎ 相交于A、B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且｜AB｜=4，则⊙O1的方程为（ ）‎ A. ＝20 B. ＝50‎ C. ＝20 D. ＝50‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两圆相交，在A处的切线互相垂直，即可得到结论．‎ ‎【详解】依题意，得O（0,0），R＝，O1（，0），半径为r 两圆在A点处的切线互相垂直，则由切线的性质定理知：两切线必过两圆的圆心，如下图，‎ OC＝，OA⊥O1A，OO1⊥AB，‎ 所以由直角三角形射影定理得：OA2＝OC×OO1，‎ 即　5＝1×OO1，所以OO1＝5，r＝AO1＝＝2，‎ 即＝5，得＝5，所以，圆O1的方程为：＝20，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两圆位置关系的应用，根据切线垂直关系建立方程关系是解决本题的关键．‎ ‎9.在边长为2的等边三角形内随机取一点，该点到三角形三个顶点距离均大于1的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C 的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．‎ ‎【详解】满足条件的正三角形ABC如下图所示：‎ 其中正三角形ABC的面积S三角形4‎ 满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，‎ 则S阴影π 则使取到点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是 P．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型概率公式，涉及三角形的面积公式、扇形的面积公式，属于基础题．‎ ‎10.已知是焦距为8的双曲线的左右焦点，点关于双曲线的一条渐近线的对称点为点，若，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知AF2＝=4，结合点到直线的距离与双曲线中a、b、c间得关系得到，解得结果.‎ ‎【详解】如下图，因为A为F2关于渐近线的对称点，所以，B为AF2的中点，又O为F1F2的中点，所以，OB为三角形AF1F2的中位线，所以，OB∥AF1，由AF2⊥OB，可得AF2⊥AF1，‎ AF2＝=4，点F2（4,0），渐近线：x，‎ 所以，解得：b＝2，＝2，所以离心率为e＝2,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎11.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（ ）‎ A. P1•P2＝ B. P1＝P2＝ C. P1+P2＝ D. P1＜P2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.‎ ‎【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321‎ 方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；‎ 方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；‎ 所以P1+P2＝‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.‎ ‎12.函数在（一∞，十∞）上单调递增，则实数a的范围是（ ）‎ A. {1} B. (－1，1) C. (0. 1) D. {－1，1}‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据f′（x），结合结论，即进行放缩求解，求得实数a的取值范围．‎ ‎【详解】f′（x）=恒成立，即 恒成立，‎ 由课本习题知：，即，‎ 只需要x，即(a-1)(x-1)恒成立，所以a＝1‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的性质的问题，属于中档题．‎ 二、填空题、（20分）‎ ‎13.(2+)(2＋x)5的展开式中x2的系数是____．(用数字作答）‎ ‎【答案】200‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出(2＋x)5展开式的通项公式，要求x2的系数，只需求出(2＋x)5展开式中x2和x3的系数即可．‎ ‎【详解】(2+)(2＋x)5展开式中，含x2的项为2+=(2+)＝200x2，所以系数为200,‎ 故答案为200.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的基本应用，利用展开式的通项公式确定具体的项是解决本题的关键．‎ ‎14.一个盒子装有3个红球和2个蓝球（小球除颜色外其它均相同），从盒子中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．重复50次这样的实验．记“取出的3个小球中有2个红球，1个蓝球”发生的次数为，则的方差是_____．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由二项分布的方差公式计算即可.‎ ‎【详解】由题意知,其中n=50，p==，D（）=50=12，故答案为12.‎ ‎【点睛】本题考查了二项分布的概念及方差的计算，属于基础题.‎ ‎15.若f（x)＝，则满足不等式f(3x-1)十f(2)＞0的x的取值范围是__．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断奇偶性，再直接利用函数的单调性及奇函数可得3x一1>-2，由此求得x的取值范围．‎ ‎【详解】根据f（x）＝ex﹣e﹣x．在R上单调递增，且f（-x）＝e﹣x﹣ex =- f（x），得f（x）为奇函数，f(3x一1)＞-f(2)=f(-2)，3x一1>-2，解得，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．‎ ‎16.已知椭圆C：‎ 的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点。若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的最大值是___．‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆的左焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，运用三点共线取得最值，解不等式可得m的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围．‎ ‎【详解】椭圆C：的右焦点F（2，0），‎ 左焦点为F'（﹣2，0），‎ 由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，‎ 即|PF'|＝2﹣|PF|，‎ 可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，‎ 由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|＝2，‎ 可得﹣2≤8﹣2≤2，‎ 解得，所以,①‎ 又A在椭圆内，‎ 所以,所以8m-16e，进行的换元，则t∈．由，解得 构造，t∈，利用导函数转化求解即可．‎ ‎【详解】（1）由题意得，x>0．‎ 由题知=0有两个不等的实数根， ‎ 即有两个不等的实数根．令，则．‎ 由>0，解得，故在(0，e)上单调递增；‎ 由<0，解得x>e，故在(e，+∞)上单调递减；‎ 故在x=e处取得极大值，且，‎ 结合图形可得.‎ ‎∴当函数f(x)有两个极值点时，实数m的取值范围是(0，)． ‎ ‎（2）因为g(x)=xlnx-mx2-elnx+mex=(x-e)(lnx-mx)，‎ 显然x=e是其零点．‎ 由（1）知lnx-mx=0的两个根分别在(0，e)，(e，+∞)上，‎ ‎∴ g(x)的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0e． ‎ 令，则t∈．‎ 则由 解得 ‎ 故，t∈． ‎ 令，则．‎ 令，则．‎ 所以在区间上单调递增，即>．所以，即在区间上单调递增，即≤=，所以，即x1x3≤.‎ 所以x1x3的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值以及函数的极值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22, 23题中任选一题做答。如果多做．则按所做的第一题记分。‎ ‎22.在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线θ＝与直线l交于点M，与曲线C交于P，Q两点，已知｜OM｜•｜OP｜•｜OQ）＝10，求t的值。‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程，再将其化为极坐标方程． ‎ ‎（2）将代入中，求得|OM|，将代入中，得，得到|OP||OQ|=5．再根据|OM||OP||OQ|=10，解得t值即可.‎ ‎【详解】（1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程为，‎ 即． ∵ ，，‎ 故曲线C的极坐标方程为． ‎ ‎（2）将代入中，得，则．‎ ‎∴ |OM|=．将代入中，得．‎ 设点P的极径为，点Q的极径为，则． 所以|OP||OQ|=5．又|OM||OP||OQ|=10，则5=10．∴ t=或 ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了利用极坐标解决长度问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎23.已知函数 ‎（1）m＝1时，求不等式f（x－2）+f（2x）＞4的解集；‎ ‎（2）若t＜0，求证：≥．‎ ‎【答案】（1）{x|x<0或x>2}；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将不等式|x-3|+|2x-1|>4去绝对值 ，按当x≥3、及x≤分三类分别解不等式.‎ ‎（2）由绝对值三角不等式直接证明.‎ ‎【详解】（1）由m=1，则|x-1|，即求不等式|x-3|+|2x-1|>4的解集．‎ 当x≥3时，|x-3|+|2x-1|=3x-4>4恒成立；‎ 当 时，x+2>4，解得x>2，综合得；当x≤时，4-3x>4，解得x<0，综合得x<0；所以不等式的解集为{x|x<0或x>2}．‎ ‎（2）∵ t<0，‎ ‎∴ ≤==．所以≥．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值三角不等式的应用，考查了不等式的证明，难度中档．‎ ‎ ‎