高考数学一轮复习第六章不等式6-3简单线性规划练习理北师大版
6.3 简单线性规划
核心考点·精准研析
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
1.(2020·佛山模拟)不等式组表示的平面区域是 ( )
2.已知实数x,y满足不等式组则点(x,y)构成的平面区域的面积是 ( )
A.3 B. C.2 D.
3.已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式2x+by-1<0表示的平面区域内,则实数b的取值范围是 .
【解析】1.选B.x-2y+4≥0表示的区域在直线x-2y+4=0的下方及直线上,x-y+
2<0表示的区域在直线x-y+2=0的上方,则对应的区域为选项B.
2.选A.根据题意作出不等式组所表示的平面区域,
分别求出三个点的坐标A(2,2),B(4,-2),C(1,1),求出点B到直线y=x的距离为3,|AC|=,所以S△ABC=×|AC|×d=××3=3.
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3.根据题意,设Q与P(1,-2)关于原点对称,则Q的坐标为(-1,2),若P,Q均在不等式2x+by-1<0表示的平面区域内,则有解得:
0,解得b<或b>.
答案:∪
1.点与平面区域的关系及应用
点在平面区域内,则点的坐标满足表示平面区域的不等式组,若点的坐标不满足不等式组中的任何一个不等式,则点不在平面区域内,这一关系可用于平面区域的判断和求参数的范围.
2.求平面区域的面积
首先作出平面区域,确定平面区域的形状,其次利用两点间距离公式求距离,点到直线的距离公式求高,进而求面积.
【秒杀绝招】
排除法解T1,根据选项图形中的特殊点排除不正确选项,如利用原点即可排除选项A.
考点二 简单线性规划问题中的最值
命
题
精
解
1.考什么:(1)考查求最大值、最小值,与平面区域面积相关的问题.
(2)考查数学运算、直观想象的核心素养及数形结合、分类与整合等思想方法.
2.怎么考:考查线性目标函数的最值为主,有时也涉及非线性目标函数的最值.
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读
学
霸
好
方
法
1.求最值问题的解题思路
按照作出可行域,确定并求出最优解,代入目标函数求最值的步骤解题.
2.交汇问题: 与基本初等函数交汇时,利用函数的图像与可行域的关系讨论,与向量交汇时借助向量的运算转化目标函数.
求线性目标函数的最值
【典例】(2020·新余模拟)已知实数x,y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为 .
【解析】由约束条件可得可行域如图:
由图得目标函数过可行域内的点A时值最小,联立直线AB、AC方程得点A(1,-1),所以z=x+2y最小值为-1.
答案:-1
目标函数对应的直线与边界直线倾斜程度大小如何确定?
提示:目标函数对应直线与边界直线斜率的大小决定倾斜程度的大小,当斜率同号时,斜率越大,倾斜角越大.
求非线性目标函数的最值
【典例】(2019·太原模拟)已知实数x,y满足则z=的取值范围为 ( )
A.(-∞,-2]∪
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B.(-∞,-3]∪
C.
D.
【解析】选B.z==-1+,设k=,
则k的几何意义是区域内的点与定点D(1,0)连线的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图,A(3,3),B(0,2),
由图形知,AD的斜率为=,此时z=,
BD的斜率为=-2,此时z=-3,
则z=的取值范围为(-∞,-3]∪.
分式形式的目标函数常见的几何意义是什么?
提示:分式形式的目标函数可以变形为两点连线的斜率形式,即转化为斜率求范围.
求参数的值或范围
【典例】(2020·绍兴模拟)给出平面区域如图所示,若目标函数z=x+ay仅在点(2,2)处取得最大值,则a的取值范围为 ( )
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A.0 D.00时,由目标函数z=x+ay得y=-x+,
由题意得-3=kAC<-<0,解得a>;
当a<0时,目标函数为y=-x+在A点处取不到最大值;综上所述,a的取值范围是a>.
本例中的参数a影响了目标函数的哪个性质?是如何进行讨论的?
提示:a的不同取值影响目标函数对应直线的斜率,将已知条件转化为目标函数对应的斜率与边界斜率的大小进行讨论.
1.(2020·咸阳模拟)已知x,y满足则目标函数z=-x+y的最大值是 ( )
A.- B.0 C.3 D.5
2.(2020·衡阳模拟)若实数x,y满足则z=(x-2)2+y2的最大值为 ( )
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A. B.2 C.10 D.12
3.(2019·芜湖模拟)已知x,y满足约束条件若目标函数z=3x+y的最小值为-5,则z的最大值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】1.选C.由不等式组画出可行域如图阴影部分.
画出目标函数并平移,显然过点A时目标函数的值最大,如图中虚线所示,由,解得点A(-1,2),
代入目标函数得zmax=1+2=3.
2.选C.实数x,y满足的可行域如图,
依题意目标函数z=(x-2)2+y2为可行域内点与点D(2,0)距离的平方,如图,观察计算,|DC|=|DB|=>|DA|=2,
则z=(x-2)2+y2的最大值为10.
3.选D.作出不等式组满足的可行域如图:
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可得直线x+y+a=0与直线x-2y+4=0的交点A,使目标函数z=3x+y取得最小值-5,
故由3x+y=-5和x-2y+4=0,解得 x=-2,y=1,可知A(-2,1)在直线x+y+a=0上,
即-2+1+a=0,所以a=1,
由x+y+1=0和2x+y-2=0可得C(3,-4),
当过点C(3,-4)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为5.
1.(2019·池州模拟)若实数x,y满足且2x+y-7≥c(x-3)恒成立,则c的取值范围是 ( )
A. B.(-∞,2]
C. D.[2,+∞)
【解析】选D.作出实数x,y满足对应的平面区域如图:
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由可行域可知x-3<0,由2x+y-7≥c(x-3)恒成立,可得c≥=2+恒成立,令z=2+,几何意义为区域内的点和D(3,1)连线的斜率加2.
由图形,可得A(0,2),B(0,1),
由图可知,直线BD的斜率为0,即斜率的最大值,
所以z的最大值为2,
所以c的取值范围是[2,+∞).
2.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物,太极图无不跃居其上,这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组或x2+(y-1)2≤1来表示,设(x,y)是阴影中任意一点,则z=x+y的最大值为 .
【解析】依题意,z=x+y,所以y=-x+z,z表示直线y=-x+z在y轴上的截距,
所以当直线y=-x+z与圆x2+(y-1)2=1切于如图的点A时,z最大(z>1),
因为直线y=-x+z与圆相切,所以点(0,1)到直线x+y-z=0的距离为1,即1=,因为z>1,所以=1,解得z=1+.
答案:1+
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考点三 简单线性规划的实际应用
【典例】(2020·蚌埠模拟)现在全国正在严格实施垃圾分类,经测算回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸,可节约用水约100吨,节约用煤约1.2吨,回收1吨废铅蓄电池可生产再生铅约0.6吨,可节约用煤约0.8吨,节约用水约120吨,回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元,回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元,在保证节约用煤不少于12吨的前提下,最多可节约用水约 吨
【解题导思】
序号
联想解题
(1)由回收废纸、废铅蓄电池,想到分别设为回收x,y吨.
(2)由费用不超过18万元,想到0.2x+0.9y≤18.
(3)由节约用煤不少于12吨,想到1.2x+0.8y≥12.
(4)由求节约用水,想到目标函数z=100x+120y
【解析】设回收废纸x吨,回收废铅蓄电池y吨,可节约用水z吨,
由已知条件可得z=100x+120y,
作出不等式组表示的可行域,如图所示.y=-x+,平移直线可得当直线过点A时,在y轴上的截距最大,即z最大,
由图可得点A(90,0),此时z取得最大值为9 000.
答案:9 000
利用线性规划解决实际问题的一般步骤
(1)审题:仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,借助表格或图形理清变量之间的关系.
(2)设元:设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量,并列出相应的不等式组和目标函数.
(3)作图:准确作出可行域,平移找点(最优解).
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(4)求解:代入目标函数求解(最大值或最小值).
(5)检验:根据结果,检验反馈.
(2020·清华附中模拟)A,B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生,利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个小区每位同学往返车费及服务老人的人数如表:
A小区
B小区
往返车费
3元
5元
服务老人的人数
5人
3人
根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人,则接受服务的老人最多有 人.
【解析】设A,B两小区参加活动同学的人数分别为x,y,受到服务的老人人数为z,
则z=5x+3y,且作出可行域,如图,平移直线z=5x+3y,由图可知,
当直线z=5x+3y过点M(4,5)时,最大,
所以当x=4,y=5时,取得最大值为35,
即接受服务的老人最多有35人.
答案:35
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