2020年高中数学第三章不等式
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第 2 课时 一元二次不等式及其解法（习题课）
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．已知 A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x－a>0}，A∩B＝∅ ，则 a 的取值范围是( )
A．a＝3 B．a≥3
C．a<3 D．a≤3
解析：A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|(x－3)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－a>0}＝
{x|x>a}，因为 A∩B＝∅ ，所以 a≥3.故选 B.
答案：B
2．已知 x＝2 是不等式 m2x2＋(1－m2)x－4m≤0 的解，则 m 的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意知，4m2＋(1－m2)·2－4m≤0，
∴m2－2m＋1≤0.
即(m－1)2≤0，∴m＝1.
答案：A
3．已知关于 x 的不等式 ax＋b>0 的解集是(1，＋∞)，则关于 x 的不等式ax－b
x－2
>0 的解集是
( )
A．{x|x<－1 或 x>2} B．{x|－1
2}
解析：依题意，a>0 且－b
a
＝1.
ax－b
x－2
>0⇔(ax－b)(x－2)>0⇔
x－b
a (x－2)>0，
即(x＋1)(x－2)>0⇒x>2 或 x<－1.
答案：A
4．不等式x2－2x－2
x2＋x＋1
＜2 的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C．∅ D．{x|x＜－2 或 x＞2}
解析：∵x2＋x＋1＝(x＋1
2
)2＋3
4
＞0，原不等式⇔x2－2x－2＜2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4＞0⇔(x
＋2)2＞0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．
2
答案：A
5．设集合 P＝{m|－10.
解析：原不等式可化为 x
mx－1
>0，即 x(mx－1)>0.
当 m>0 时，解得 x<0 或 x>1
m
；
当 m<0 时，解得1
m
0 时，不等式的解集为 x | x<0 或 x>1
m ；
当 m<0 时，不等式的解集为 x | 1
m
0 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
解析：当 a＝0 时，原不等式可化为 2x＋2>0，其解集不为 R，故 a＝0 不满足题意，舍去；
当 a≠0 时，要使原不等式的解集为 R，只需
a>0，
Δ＝22－4×2a<0，
解得 a>1
2
.
综上，所求实数 a 的取值范围为
1
2
，＋∞
.
[B 组 能力提升]
1．对任意 a∈[－1,1]，函数 f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a 的值恒大于零，则 x 的取值范围是
( )
A．1＜x＜3 B．x＜1 或 x＞3
C．1＜x＜2 D．x＜1 或 x＞2
解析：设 g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
g(a)＞0 恒成立且 a∈[－1,1]
⇔
g 1 ＝x2－3x＋2＞0
g －1 ＝x2－5x＋6＞0
⇔
x＜1 或 x＞2
x＜2 或 x＞3
⇔x＜1 或 x＞3.
答案：B
2．已知 f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a－1，
即 x2－4x＋2<0.解得 2－ 217
6
，
a<7
2
，
10 恒成立，求实数 a 的取值范围；
(2)若对任意 a∈[－1,1]，f(x)>4 恒成立，求实数 x 的取值范围．
解析：(1)对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，
即x2＋2x＋a
x
>0 对 x∈[1，＋∞)恒成立，
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亦即 x2＋2x＋a>0 对 x∈[1，＋∞)恒成立，
即 a>－x2－2x 对 x∈[1，＋∞)恒成立，
即 a>(－x2－2x)max(x∈[1，＋∞))．
∵－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，
∴当 x＝1 时，(－x2－2x)max＝－3(x∈[1，＋∞))，
∴a>－3.
(2)∵当 a∈[－1,1]时，f(x)>4 恒成立，
则x2＋2x＋a
x
－4>0 对 a∈[－1,1]恒成立，
即 x2－2x＋a>0 对 a∈[－1,1]恒成立．
把 g(a)＝a＋(x2－2x)看成 a 的一次函数，
则 g(a)>0 对 a∈[－1,1]恒成立的条件是 g(－1)>0，
即 x2－2x－1>0，解得 x<1－ 2或 x> 2＋1.
又∵x≥1，∴x> 2＋1.
