07广东高考文科数学试题
2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科)
一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M={x|}，N={x|}，则M∩N=
A．{x|-1≤x＜0} B．{x |x>1}
C．{x|-1＜x＜0} D．{x |x≥-1}
2．若复数是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则
A．-2 B． C. D．2
3．若函数()，则函数在其定义域上是
A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C．单凋递增的偶函数 D.单涮递增的奇函数
4．若向量、满足||=||=1，与的夹角为，则+
A． B． C. D．2
5．客车从甲地以60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以
80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达 丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是
6.若l、m、n是互不相同的空间直线，n、口是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
A．若，则 B．若，则
C. 若，则 D．若，则
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7．图l是某县参加2007年高考的
学生身高条形统计图，从左到右
的各条形表示的学生人数依次记
为、、…、(如
表示身高(单位：)在[150，
155)内的学生人数)．图2是统计
图l中身高在一定范围内学生人
数的一个算法流程图．现要统计
身高在160～180(含
160，不含180)的学生人
数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A． B． C． D．
8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是
A． B． C． D．
9．已知简谐运动的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为
A． B． C． D．
10．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、
B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D
四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在
相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(件
配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为)为
A．18 B．17 C．16 D．15
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．
11．在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．
12．函数的单调递增区间是 ．
13．已知数列{}的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 ．
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14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为 ．
15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，过作圆的切线，过A作的垂线AD，垂足为D， 则∠DAC= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．(本小题满分14分)
已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．
(1)若，求的值；
(2)若，求sin∠A的值．
17．(本小题满分12分)
已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
18.(本小题满分12分)
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗 (吨标准煤)的几组对照数据
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值：)
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19.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为2／2的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
(1)求圆的方程；
(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点F的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分14分)
已知函数，、是方程的两个根()，是的导数,设，，.
(1)求、的值；
(2)已知对任意的正整数有,记,.求数列{}的
前项和．
21．(本小题满分l4分)
已知是实数，函数．如果函数在区间上有
零点，求的取值范围．
2007年普通高考广东(文科数学)试卷(A卷)参考答案
一选择题: 1-10 CDBBC DBAAC
二填空题: 11. 12. 13. 2n-10 ; 8 14. 2 15.
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三解答题:
16.解: (1)
由 得
(2)
17解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的
四棱锥V-ABCD ;
(1)
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为
, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,
AB边上的高为
因此
18解: (1) 散点图略
(2)
;
所求的回归方程为
(3) ,
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨)
19解:(1) 设圆C 的圆心为 (m, n)
则 解得
所求的圆的方程为
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(2) 由已知可得
椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0) ;
假设存在Q点使,
整理得 代入 得:
,
因此不存在符合题意的Q点.
20解:(1) 由 得
(2)
又
数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列;
21解: 若 , ,显然在上没有零点, 所以
令 得
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当 时, 恰有一个零点在上;
当 即 时, 也恰有一个零点在上;
当 在上有两个零点时, 则
或
解得或
因此的取值范围是 或 ;
2008年普通高等学校统一考试（广东卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. B∪C = A D. A∩B = C
2、已知0
－1 C. a < －1/e D. a > －1/e
10、设a、b∈R，若a － |b| > 0，则下列不等式中正确的是（ ）
A. b － a > 0 B. a3 + b3 < 0 C. a2 － b2 < 0 D. b + a > 0
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（11～13题）
11、为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量。产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是_______
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12、若变量x、y满足，则
的最大值是_______
13、阅读右上的程序框图。若输入m = 4，n = 3，则输出a = ____，i =_____ 。（注：框图中的赋值符号“=”
也可以写成“←”或“：=”）
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14、（坐标系与参数方程）已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为，（，），则曲线C1与C2交点的极坐标为________
15、（几何证明选讲）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2。AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R = ________
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。
16、（本小题满分13分）已知函数，的最大值是1，其图像经过点M（π/3，1/2）。（1）求的解析式；（2）已知、，且，，求的值。
17、（本小题满分12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积）。
18、（本小题满分14分）如图所示，四棱锥
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P－ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP∽△BAD。
（1）求线段PD的长；（2）若PC = R，求三棱锥P-ABC的体积。
19、（本小题满分13分）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19。（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3）已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率。
20、（本小题满分14分）设b>0，椭圆方程为，
抛物线方程为。如图所示，过点F（0，b + 2）
作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G。已知抛
物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1。
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物
线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请
指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点
的坐标）。
21、（本小题满分14分）设数列满足，，（n = 3，4，…）。数列满足， （n = 2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有－1≤…
≤1。
（1）求数列和的通项公式；
（2）记（n = 1，2，…），求数列的前n项和。
2008年普通高考广东卷数学（文科）（B卷）参考答案
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一选择题：CCBBD CAAAD
二填空题：11. 13 12. 70 13. 12 3 14. ， 15. ；
三解答题：
16解：（1）依题意知 A=1
， 又 ；
即
因此 ；
（2） ，
且 ，
；
17解：设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则
令 得
当 时， ；当 时，
因此 当时，f（x）取最小值；
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
18解：（1） BD是圆的直径
又 ,
, ;
(2 ) 在中，
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又
底面ABCD
三棱锥的体积为
.
19解：（1）
（2）初三年级人数为y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：
名
（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y，z）；
由（2）知 ，且 ,
基本事件空间包含的基本事件有：
（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个
事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个
；
20解：（1）由得
当时，，G点的坐标为（4，b＋2）
，
过点G的切线方程为，即，
令y＝0得 ，点的坐标为 （2-b，0）；
由椭圆方程得点的坐标为（b，0），
即 b＝1，
因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为和。
（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,
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以为直角的只有一个;
同理以为直角的只有一个;
若以为直角, 设P点的坐标为，则A、B坐标分别
为、
由得，
关于的一元二次方程有一解，x有二解，即以为直角的有二个;
因此抛物线上共存在4个点使为直角三角形。
21解：（1）由得
又 ，
数列是首项为1公比为的等比数列，
，
由 得 ，由 得 ，…
同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；
当n为偶数时
当n为奇数时
因此
当n为偶数时
当n为奇数时
（2）
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当n为奇数时，
当n为偶数时，
令 ……①
①×得: ……②
①-②得:
当n为偶数时
当n为奇数时
因此
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东A卷)
数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
参考公式：
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锥体的体积公式V=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛｝关系的韦恩（Venn）图是
2．下列n的取值中，使in =1(i是虚数单位)的是
A．n=2 B．n=3 C．n=4 D．n=5
3．已知平面向量a =(x，1)，b =(—x，x2 )，则向量a+b
A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
4．若函数是函数的反函数，且，则
A． B． C． D．
5．已知等比数列的公比为正数，且，，则
A． B． C． D．
6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。
其中，为真命题的是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
7．已知中，的对边分别为。若，且
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，则
A．2 B． C． D．
8．函数的单调递增区间是
A． B．（0，3） C．（1，4） D．
9．函数是
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
10．广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见右表。若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是
A．20.6 B．21 C．22 D．23
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
(一)必做题(11~13题)
11．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
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图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填
，输出的= 。
(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“：=”)
12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组(1~5号，6~10号，，196~200号)。若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人。
13．以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程是_______________________。
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）若直线（为参数）与直线垂直，则常数=________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
15．(几何证明选讲选做题)如图3，点A，B，C是圆上的点，且，，则圆的面积等于__________________。
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三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知向量与互相垂直，其中.
（1） 求和的值；
（2） 若，求的值。
17．（本小题满分13分）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线平面.
18．（本小题满分13分）
随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图7。
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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19．（本小题满分14分）
已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为和，椭圆G上一点到和的距离之和为12。圆：的圆心为点。
（1）求椭圆G的方程；
（2）求面积；
（3）问是否存在圆包围椭圆G？请说明理由。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
20．（本小题满分14分）
已知点是函数的图像上一点。等比数列的前n项和为。数列的首项为c，且前n项和满足
（1）求数列和的通项公式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）若数列的前项和为，问满足＞的最小正整数是多少？
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21．（本小题满分14分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值。设函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点。
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科） 参考答案
一、 选择题
1-10 BCCAB DADAB
1、【解析】由N= { x |x+x=0}得,选B.
2、【解析】因为,故选C.
3、【解析】,由及向量的性质可知,C正确.
4、【解析】函数的反函数是,又,即,
所以,,故,选A.
5、【解析】设公比为,由已知得,即,因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B
6、【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D
7、【解析】
由a=c=可知,,所以,
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由正弦定理得,故选A
8、【解析】,令,解得,故选D
9、【解析】因为为奇函数,,所以选A.
10、【解析】由题意知,所有可能路线有6种:
①,②,③,④,⑤,⑥,
其中, 路线③的距离最短, 最短路线距离等于,
故选B.
一、 填空题
11、【答案】,
【解析】顺为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所图中判断框应填，输出的s=.
12、【答案】37, 20
【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.
40岁以下年龄段的职工数为,则应抽取的人数为人.
13、【解析】将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
14、【答案】
【解析】将化为普通方程为,斜率,
当时,直线的斜率,由得;
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当时,直线与直线不垂直.
综上可知,.
15、【答案】
【解析】连结AO,OB,因为 ,所以,为等边三角形,故圆O的半径,圆O的面积.
一、 解答题
16、【解析】（１）,,即
又∵, ∴,即,∴
又 ,
(2) ∵
, ,即
又 , ∴ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
17、【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.
（２）该安全标识墩的体积为：
（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,平面EFGH ,
又 平面PEG
又 平面PEG；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
第32页，共32页
18、【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;
(2)
甲班的样本方差为
＝57
（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176）
（181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）
(178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；
；
19、【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;
则 , 解得 ,
所求椭圆G的方程为：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2 )点的坐标为
（3）若，由可知点（6，0）在圆外，
若，由可知点（-6，0）在圆外；
不论K为何值圆都不能包围椭圆G.
20、【解析】（1）, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
第32页，共32页
,,
.
又数列成等比数列， ，所以 ；
又公比，所以 ；
又,, ；
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，
当， ；
()；
（2）
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由得，满足的最小正整数为112.
21、【解析】（1）设，则；
又的图像与直线平行
又在取极小值， ，
， ；
， 设
第32页，共32页
则
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）由，
得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，
函数有两个零点；若，
，函数有两个零点；
当时，方程有一解, , 函数有一零点 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则集合
A. B. C. D.
解：并集，选A.
2.函数的定义域是
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A. B. C. D.
解：，得，选B.
3.若函数与的定义域均为R，则
A. 与与均为偶函数 B.为奇函数，为偶函数
C. 与与均为奇函数 D.为偶函数，为奇函数
解:由于,故是偶函数,排除B、C
由题意知，圆心在y轴左侧，排除A、C
在，，故，选D
7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A. B. C. D.
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10. 在集合上定义两种运算和如下
那么A. B. C. D.
解：由上表可知：,故，选A
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（11~13题）
11.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管
理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了
抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为
（单位：吨）。根据图2所示的程序框图，若分
别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果为 .
第一（）步：
第二（）步：
第三（）步：
第四（）步：，
第五（）步：，输出
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（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14.（几何证明选讲选做题）如图3，在直角
梯形ABCD中，DC∥AB,CB,AB=AD=,CD=,点E,F分别为线
段AB,AD的中点，则EF=
解：连结DE，可知为直角三角形。则EF是斜边上的中线，等于斜边的一半，为.
15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为 .
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17.（本小题满分12分）
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
18.（本小题满分14分）
如图4，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=
（1）证明：EBFD
（2）求点B到平面FED的距离.
（1）证明：点E为弧AC的中点
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19.（本题满分12分）
某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
解：设为该儿童分别预订个单位的午餐和个单位的晚餐，设费用为F，则F，由题意知：
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画出可行域：
变换目标函数：
（2）当时，
当时，
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当时，
f(x)=
c. 当时，
此时：
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