【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试39数学归纳法作业
考点测试 39 数学归纳法
高考概览
高考在本考点的常考题型为解答题，分值 12 分，中等以上难度
考纲研读
1．了解数学归纳法的原理
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
一、基础小题
1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1
2n(n－3)条时，第一步检验
第一个值 n0 等于( )
A．1 B．2 C．3 D．0
答案 C
解析 边数最少的凸 n 边形是三角形．
2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＝1－an＋1
1－a
，a≠1，n∈N*”，在验
证 n＝1 时，左边是( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
答案 B
解析 当 n＝1 时，代入原式有左边＝1＋a．故选 B．
3．对于不等式 n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：
①当 n＝1 时， 12＋1≤1＋1，不等式成立．
②假设 n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 k2＋k≤k＋1，则 n＝k＋1 时，
(k＋1)2＋(k＋1)＝ k2＋3k＋2< (k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝ (k＋2)2＝ (k ＋ 1) ＋
1．所以当 n＝k＋1 时，不等式成立．
上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1 检验不正确
C．归纳假设不正确
D．从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正确
答案 D
解析 n＝1 的验证及归纳假设都正确，但从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理中没有
使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，
故选 D．
4．利用数学归纳法证明不等式 1＋1
2
＋1
3
＋…＋ 1
2n－1
127
64 (n∈N*)成立，其初始值至少
应取( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 B
解析 左边＝1＋1
2
＋1
4
＋…＋ 1
2n－1
＝
1－ 1
2n
1－1
2
＝2－ 1
2n－1
，代入验证可知 n 的最小
值是 8．故选 B．
7．下列代数式(其中 k∈N*)能被 9 整除的是( )
A．6＋6·7k B．2＋7k－1
C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)
答案 D
解析 ①当 k＝1 时，显然只有 3(2＋7k)能被 9 整除．
②假设当 k＝n(n∈N*)时，命题成立，即 3(2＋7n)能被 9 整除，那么 3(2＋7n＋
1)＝21(2＋7n)－36，
这就是说，k＝n＋1 时命题也成立．
由①②可知，命题对任何 k∈N*都成立．故选 D．
8．设 f(n)＝ 1
n＋1
＋ 1
n＋2
＋…＋ 1
n＋n
，n∈N＋，那么 f(n＋1)－f(n)＝( )
A． 1
2n＋1 B． 1
2n＋2
C． 1
2n＋1
＋ 1
2n＋2 D． 1
2n＋1
－ 1
2n＋2
答案 D
解 析 f(n ＋ 1) － f(n) ＝ 1
(n＋1)＋1
＋ 1
(n＋1)＋2
＋ … ＋ 1
(n＋1)＋n
＋
1
(n＋1)＋(n＋1)－ 1
n＋1
－ 1
n＋2
－…－ 1
n＋n
＝ 1
2n＋1
＋ 1
2n＋2
－ 1
n＋1
＝ 1
2n＋1
－ 1
2n＋2
．
9．用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xn＋yn 能被 x＋y 整除”的第二步
是( )
A．假使 n＝2k＋1 时正确，再推 n＝2k＋3 正确(k∈N*)
B．假使 n＝2k－1 时正确，再推 n＝2k＋1 正确(k∈N*)
C．假使 n＝k 时正确，再推 n＝k＋1 正确(k∈N*)
D．假使 n≤k(k≥1)时正确，再推 n＝k＋2 时正确(k∈N*)
答案 B
解析 因为 n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第 k
个正奇数也成立，本题即假设 n＝2k－1 正确，再推第 k＋1 个正奇数，即 n＝2k＋
1 正确．
10．已知 1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c 对一切 n∈N*
都成立，则 a，b，c 的值为( )
A．a＝1
2
，b＝c＝1
4 B．a＝b＝c＝1
4
C．a＝0，b＝c＝1
4 D．不存在这样的 a，b，c
答案 A
解析 ∵等式对一切 n∈N*均成立，∴n＝1，2，3 时等式成立，即Error!整
理得Error!解得 a＝1
2
，b＝c＝1
4
．
11．在数列{an}中，a1＝1
3
且 Sn＝n(2n－1)an，通过计算 a2，a3，a4，猜想 an
的表达式是________．
答案 an＝ 1
(2n－1)(2n＋1)
解析 因为 Sn＝n(2n－1)an，当 n＝2，3，4 时，得出 a2＝ 1
15
，a3＝ 1
35
，a4＝
1
63
．
a1＝1
3
＝ 1
1 × 3
，a2＝ 1
15
＝ 1
3 × 5
，a3＝ 1
35
＝ 1
5 × 7
，
a4＝ 1
63
＝ 1
7 × 9
．
∴an＝ 1
(2n－1)(2n＋1)．
12．已知 f(n)＝1＋1
2
＋1
3
＋…＋1
n(n∈N*)，用数学归纳法证明 f(2n)>n
2
时，f(2k＋
1)－f(2k)＝________．
答案 1
2k＋1
＋ 1
2k＋2
＋…＋ 1
2k＋1
解析 ∵f(2k＋1)＝1＋1
2
＋1
3
＋…＋ 1
2k
＋ 1
2k＋1
＋ 1
2k＋2
＋…＋ 1
2k＋1
，f(2k)＝1＋1
2
＋1
3
＋…＋1
2k
，
∴f(2k＋1)－f(2k)＝ 1
2k＋1
＋ 1
2k＋2
＋…＋ 1
2k＋1
．
二、高考小题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
三、模拟小题
13．(2018·山东淄博质检)设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：
当 f(k)≥k＋1 成立时，总能推出 f(k＋1)≥k＋2 成立，那么下列命题总成立的是
( )
A．若 f(1)<2 成立，则 f(10)<11 成立
B．若 f(3)≥4 成立，则当 k≥1 时，均有 f(k)≥k＋1 成立
C．若 f(2)<3 成立，则 f(1)≥2 成立
D．若 f(4)≥5 成立，则当 k≥4 时，均有 f(k)≥k＋1 成立
答案 D
解析 当 f(k)≥k＋1 成立时，总能推出 f(k＋1)≥k＋2 成立，说明如果当 k＝
n 时，f(n)≥n＋1 成立，那么当 k＝n＋1 时，f(n＋1)≥n＋2 也成立，所以如果当 k
＝4 时，f(4)≥5 成立，那么当 k≥4 时，f(k)≥k＋1 也成立．
一、高考大题
1．(2017·浙江高考)已知数列{x n}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln (1＋xn＋1)(n∈
N*)．
证明：当 n∈N*时，
(1)00．
当 n＝1 时，x1＝1>0．
假设 n＝k 时，xk>0，
那么 n＝k＋1 时，
若 xk＋1≤0，则 00．
因此 xn>0(n∈N*)．
所以 xn＝xn＋1＋ln (1＋xn＋1)>xn＋1．
因此 00(x>0)，
函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)≥f(0)＝0，
因此 x 2n＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln (1＋xn＋1)
＝f(xn＋1)≥0，
故 2xn＋1－xn≤xnxn＋1
2 (n∈N*)．
(3)因为 xn＝xn＋1＋ln (1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，
所以 xn≥ 1
2n－1
．
由xnxn＋1
2
≥2xn＋1－xn 得 1
xn＋1
－1
2
≥2(1
xn－1
2)>0，
所以1
xn
－1
2
≥2( 1
xn－1－1
2)≥…≥2n－1(1
x1－1
2)＝2n－2，
故 xn≤ 1
2n－2
．
综上， 1
2n－1
≤xn≤ 1
2n－2(n∈N*)．
2．(2015·江苏高考)已知集合 X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，
设 Sn＝{(a，b)|a 整除 b 或 b 整除 a，a∈X，b∈Yn}．令 f(n)表示集合 Sn 所含元素
的个数．
(1)写出 f(6)的值；
(2)当 n≥6 时，写出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
解 (1)f(6)＝13．
(2)当 n≥6 时，
f(n)＝Error!(t∈N*)．
下面用数学归纳法证明：
①当 n＝6 时，f(6)＝6＋2＋6
2
＋6
3
＝13，结论成立；
②假设 n＝k(k≥6)时结论成立，那么 n＝k＋1 时，Sk＋1 在 Sk 的基础上新增加
的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：
a．若 k＋1＝6t，则 k＝6(t－1)＋5，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋k－1
2
＋k－2
3
＋3
＝(k＋1)＋2＋k＋1
2
＋k＋1
3
，结论成立；
b．若 k＋1＝6t＋1，则 k＝6t，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k
2
＋k
3
＋1＝(k＋1)＋2＋
(k＋1)－1
2
＋
(k＋1)－1
3
，结论
成立；
c．若 k＋1＝6t＋2，则 k＝6t＋1，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－1
2
＋k－1
3
＋2
＝(k＋1)＋2＋k＋1
2
＋
(k＋1)－2
3
，结论成立；
d．若 k＋1＝6t＋3，则 k＝6t＋2，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k
2
＋k－2
3
＋2
＝(k＋1)＋2＋
(k＋1)－1
2
＋k＋1
3
，结论成立；
e．若 k＋1＝6t＋4，则 k＝6t＋3，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－1
2
＋k
3
＋2
＝(k＋1)＋2＋k＋1
2
＋
(k＋1)－1
3
，结论成立；
f．若 k＋1＝6t＋5，则 k＝6t＋4，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k
2
＋k－1
3
＋1
＝(k＋1)＋2＋
(k＋1)－1
2
＋
(k＋1)－2
3
，结论成立．
综上所述，结论对满足 n≥6 的自然数 n 均成立．
二、模拟大题
3．(2018·常德月考)设 a>0，f(x)＝ ax
a＋x
，令 a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*．
(1)写出 a2，a3，a4 的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
解 (1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝ a
1＋a
；
a3＝f(a2)＝
a·
a
1＋a
a＋ a
1＋a
＝ a
2＋a
；
a4＝f(a3)＝
a·
a
2＋a
a＋ a
2＋a
＝ a
3＋a
．
猜想 an＝ a
(n－1)＋a
(n∈N*)．
(2)证明：①易知，n＝1 时，猜想正确．
②假设 n＝k(k∈N*)时猜想正确，即 ak＝ a
(k－1)＋a
，
则 ak＋1＝f(ak)＝ a·ak
a＋ak
＝
a·
a
(k－1)＋a
a＋ a
(k－1)＋a
＝ a
(k－1)＋a＋1
＝ a
[(k＋1)－1]＋a
．
这说明，n＝k＋1 时猜想正确．
由①②知，对于任何 n∈N*，都有 an＝ a
(n－1)＋a
．
4．(2018·福建三明月考)已知 xi>0(i＝1，2，3，…，n)，我们知道(x1＋x2)1
x1
＋
1
x2
≥4 成立．
(1)求证：(x1＋x2＋x3)1
x1
＋1
x2
＋1
x3
≥9；
(2)同理我们也可以证明出(x1＋x2＋x3＋x4)1
x1
＋1
x2
＋1
x3
＋1
x4
≥16．由上述几个不
等式，请你猜测一个与 x1＋x2＋…＋xn 和1
x1
＋1
x2
＋…＋ 1
xn(n≥2，n∈N*)有关的不
等式，并用数学归纳法证明．
解 (1)证法一：(x1＋x2＋x3)1
x1
＋1
x2
＋1
x3
≥33 x1x2x3·3 3 1
x1·
1
x2·
1
x3
＝9．
证法二：(x1＋x2＋x3)1
x1
＋1
x2
＋1
x3
＝3＋x2
x1
＋x1
x2
＋x3
x1
＋x1
x3
＋x3
x2
＋x2
x3
≥3＋2＋2＋2＝9．
(2)猜想(x1＋x2＋…＋xn)1
x1
＋1
x2
＋…＋1
xn
，
≥n2(n≥2，n∈N*)．
证明如下：
①当 n＝2 时，由已知得猜想成立．
②假设当 n＝k 时，猜想成立，即
(x1＋x2＋…＋xk)1
x1
＋1
x2
＋…＋1
xk
≥k2，
则当 n＝k＋1 时，
(x1＋x2＋…＋xk＋xk＋1)1
x1
＋1
x2
＋…＋1
xk
＋ 1
xk＋1
＝(x1＋x2＋…＋xk)1
x1
＋1
x2
＋…＋1
xk
＋(x1＋x2＋…＋xk) 1
xk＋1
＋xk＋1
1
x1
＋1
x2
＋…＋1
xk
＋1
≥k2＋(x1＋x2＋…＋xk) 1
xk＋1
＋xk＋1
1
x1
＋1
x2
＋…＋1
xk
＋1
＝k2＋ x1
xk＋1
＋xk＋1
x1
＋ x2
xk＋1
＋xk＋1
x2
＋…
＋ xk
xk＋1
＋xk＋1
xk
＋1≥k2＋2＋2＋…＋ 2
k 个 2＋1
＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2，
所以当 n＝k＋1 时原式成立．
结合①②可知，猜想成立．
