2018年广东省广州市荔湾区中考模拟卷

2018年广东省广州市荔湾区中考模拟卷

‎2018年广东省广州市荔湾区中考数学模拟试卷（3月份）‎ 一．选择题（共10小题，满分27分）‎ ‎1．有一个数值转换器，原来如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　）‎ A．8 B．2 C．2 D．3‎ ‎2．（3分）同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（　　）‎ A．x≠﹣4，且x≠﹣2 B．x=﹣4，或x=2 C．x=﹣4 D．x=2‎ ‎3．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．（m﹣n）2=m2﹣n2 B．（2ab3）2=2a2b6 C．2xy+3xy=5xy D． =2a ‎4．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．3‎ ‎5．（3分）七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，现在从七年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况如下表：‎ 节水量（m3）‎ ‎0.2‎ ‎0.25‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.5‎ 家庭数 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ 那么这组数据的众数和平均数分别是（　　）‎ A．0.4m3和0.34m3 B．0.4m3和0.3m3‎ C．0.25m3和0.34m3 D．0.25m3和0.3m3‎ ‎6．（3分）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（　　）‎ A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（﹣3，4） D．（﹣3，﹣4）‎ ‎7．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎8．（3分）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2， 3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎9．（3分）16的算术平方根和25的平方根的和是（　　）‎ A．9 B．﹣1 C．9或﹣1 D．﹣9或1‎ ‎10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（0，2），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（　　）‎ A．（2，4） B．（2，3） C．（3，4） D．（3，3）‎ ‎　‎ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）‎ ‎11．（3分）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若∠DBC=56°，则∠1=　 　°．‎ ‎12．（3分）分解因式： a2﹣a+2=　 　．‎ ‎13．（3分）如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是　 　．‎ ‎14．（3分）⊙O的半径为1cm，弦AB=cm，AC=cm，则∠BAC的度数为　 　．‎ ‎15．（3分）如图，已知动点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC，直线DE分别交x轴，y轴于点P，Q，当QE：DP=9：25时，图中的阴影部分的面积等于　 　．‎ ‎16．（3分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE，tan∠ACB=，BC=2cm．以下结论：‎ ‎①CD=cm； ②AE=DE； ③CE是⊙O的切线； ④⊙O的面积等于．其中正确的结论有　 　．（填序号）‎ ‎　‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎17．（1）解方程：x﹣2（5﹣x）=3（2x﹣1）；‎ ‎（2）解方程：﹣1=．‎ ‎18．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：AB=CF；‎ ‎（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．‎ ‎19．计算 ‎（1）‎ ‎（2）．‎ ‎20．如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高．‎ ‎（1）尺规作图：作∠C的平分线，交AB于点E，交AD于点F（不写作法，必须保留作图痕迹，标上应有的字母）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，过F画BC的平行线交AC于点H，线段FH与线段CH的数量关系如何？请予以证明；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连结DE、DH．求证：ED⊥HD．[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎21．某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院，B．小小数学家，C．小小外交家，D．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：‎ ‎（1）这次被调查的学生共有　 　人；‎ ‎（2）请你将条形统计图（2）补充完整；‎ ‎（3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．‎ ‎22．如图，一次函数y=x+k图象过点A（1，0），交y轴于点B，C为y轴负半轴上一点，且OB=BC，过A，C两点的抛物线交直线AB于点D，且CD∥x轴．‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）直接写出使一次函数值小于二次函数值时x的取值范围．‎ ‎23．某商店欲购进一批跳绳，若同时购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，则共需395元，若同时购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，共需185元．‎ ‎（1）求A、B两种跳绳的单价各是多少？‎ ‎（2）若该商店准备同时购进这两种跳绳共100根，且A种跳绳的数量不少于跳绳总数量的．若每根A种跳绳的售价为26元，每根B种跳绳的价为30元，问：该商店应如何进货才可获取最大利润，并求出最大利润．‎ ‎24．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．‎ ‎（1）求n的值和抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；‎ ‎（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．‎ ‎25．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．‎ ‎（1）如图1，求证：KE=GE；‎ ‎（2）如图2，连接CABG，若∠FGB=∠ACH，求证：CA∥FE；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE=，AK=，求CN的长．‎ ‎　‎ ‎2018年广东省广州市荔湾区中考数学模拟试卷（3月份）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共10小题，满分27分）‎ ‎1．‎ ‎【解答】解：将64输入，由于其平方根是8，‎ 为有理数，需要再次输入，‎ 得到，为2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．[来源:学科网]‎ ‎【解答】解：由题意得：x2+6x+8≠0，且（x+1）2﹣9=0，‎ ‎（x+2）（x+4）≠0，x+1=3或﹣3，‎ x≠﹣2且x≠﹣4，x=2或x=﹣4，‎ ‎∴x=2，故选D．‎ ‎　‎ ‎3．‎ ‎【解答】解：A、（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2，故本选项错误；‎ B、（2ab3）2=4a2b6，故本选项错误；‎ C、2xy+3xy=5xy，故本选项正确；‎ D、=，故本选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．‎ ‎【解答】解：由0＜2a＜b，得x0=﹣＜﹣1，‎ 由题意，如图，过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1，‎ 连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB﹣yC，CD=1，‎ 过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），‎ 则∠FAA1=∠CBD．‎ 于是Rt△AFA1∽Rt△BCD，‎ 所以=，即=，‎ 过点E作EG⊥AA1于点G，‎ 易得△AEG∽△BCD．‎ 有=，即=，‎ ‎∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，‎ 得yA=a+b+c，yB=c，yC=a﹣b+c，yE=ax12+bx1+c，‎ ‎∴==1﹣x1，‎ 化简，得x12+x1﹣2=0，解得x1=﹣2（x1=1舍去），‎ ‎∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜﹣1，‎ 则1﹣x2≥1﹣x1，即1﹣x2≥3．‎ ‎∴≥3，‎ ‎∴的最小值为3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．‎ ‎【解答】解：将数据按从大到小的顺序排列为：0.2，0.25，0.25，0.3，0.3，0.4，0.4，0.4，0.4，0.5，‎ 则众数为：0.4m3；‎ 平均数为：（0.2+0.25+0.25+0.3+0.3+0.4+0.4+0.4+0.4+0.5）=0.34m3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．‎ ‎【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（﹣4，3）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC=3，AE平分∠BAC，‎ ‎∴BE=CE=BC=2，‎ 又∵D是AB中点，‎ ‎∴BD=AB=，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE=AC=，‎ ‎∴△BDE的周长为BD+DE+BE=++2=5．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．‎ ‎【解答】解：因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，‎ 这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，‎ k（k+1）﹣7p=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，‎ 若7＜k≤10，设k=7+t（t=1，2，3）代入可得， k（k+1）﹣7p=7m+t（t+1），‎ 由此可知，停棋的情形与k=t时相同，‎ 故第2，4，5格没有停棋，‎ 即：这枚棋子永远不能到达的角的个数是3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．‎ ‎【解答】解：根据题意得：16的算术平方根为4；25的平方根为5或﹣5，‎ 则16的算术平方根和25的平方根的和是9或﹣1，‎ 故选：C．‎ ‎　[来源:Zxxk.Com]‎ ‎10．‎ ‎【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴，过A'作A'C⊥x轴，‎ ‎∵△AOB是等边三角形，点B的坐标为（0，2），‎ ‎∴AO=BO=2，∠AOB=60°，‎ ‎∴∠AOD=30°，‎ ‎∴AD=AO=1，OD=，‎ 即A（，1），‎ 又∵OC=3，‎ ‎∴A'C=tan30°×OC=3，‎ ‎∴A'（3，3），‎ ‎∴CD=2，A'C﹣AD=3﹣1=2，‎ ‎∴点A向右平移2个单位，向上平移2个单位可得点A'，‎ 又∵B的坐标为（0，2），‎ ‎∴点B′的坐标为（2，4），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）‎ ‎11．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ 由折叠可得：∠2=∠ABD，‎ ‎∵∠DBC=56°，‎ ‎∴∠2+∠ABD+56°=180°，‎ 解得：∠2=62°，‎ ‎∴∠1=62°，‎ 故答案为：62‎ ‎　‎ ‎12．‎ ‎【解答】解： a2﹣a+2‎ ‎=（a2﹣6a+9）‎ ‎=（a﹣3）2．‎ 故答案为：（a﹣3）2．‎ ‎　‎ ‎13．‎ ‎【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，则πr2=4π，解得r=2，‎ 因为圆锥的主视图是等边三角形，‎ 所以圆锥的母线长为4，‎ 所以它的左视图的高==2，‎ 所以左视图的面积为×4×2=4．‎ 故答案为4．‎ ‎　‎ ‎14．‎ ‎【解答】解：当圆心O在弦AC与AB之间时，如图（1）所示，‎ 过O作OD⊥AB，OE⊥AC，连接OA，‎ 由垂径定理得到：D为AB中点，E为AC中点，‎ ‎∴AE=AC=cm，AD=AB=cm，‎ ‎∴cos∠CAO==，cos∠BAO==，‎ ‎∴∠CAO=30°，∠BAO=45°，‎ 此时∠BAC=30°+45°=75°；‎ 当圆心在弦AC与AB一侧时，如图（2）所示，同理得：∠BAC=45°﹣30°=15°，‎ 综上，∠BAC=15°或75°．‎ 故答案为：15°或75°．‎ ‎　‎ ‎15．‎ ‎【解答】解：作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，‎ ‎∴△QEG∽△DPF，‎ ‎∴，‎ 设EG=9t，则PF=25t，‎ ‎∴A（9t，），‎ 由AC=AE AD=AB，‎ ‎∴AE=9t，AD=，DF=，PF=25t，‎ ‎∵△ADE∽△FPD，‎ ‎∴AE：DF=AD：PF，‎ ‎9t： =：25t，即t2=，‎ 图中阴影部分的面积=×9t×9t+××=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．‎ ‎【解答】解：tan∠ACB=，‎ ‎∴=，又BC=2cm，‎ 解得AB=cm，即CD=cm，①正确；‎ ‎∵∠ACB=∠DCE，tan∠ACB=，‎ ‎∴tan∠DCE=，即=，‎ 解得，DE=1，‎ ‎∵BC=2，[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴AE=1，‎ ‎∴AE=DE，②正确；‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；‎ 又∵∠ACB=∠DCE，‎ ‎∴∠DAC=∠DCE；‎ 连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；‎ ‎∵∠DCE+∠DEC=90°‎ ‎∴∠AE0+∠DEC=90°‎ ‎∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．‎ 又OE是⊙O的半径，‎ ‎∴直线CE与⊙O相切，③正确；‎ 在Rt△ADC中，AC==，‎ 在Rt△CEO中，CE2+OE2=OC2，即（）2+12+OE2=（﹣OE）2，‎ 解得，OE=，‎ ‎④⊙O的面积=π×（）2=π，④错误，‎ 故答案为：①②③．‎ ‎　‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎17．‎ ‎【解答】解：（1）x﹣2（5﹣x）=3（2x﹣1）‎ 去括号，得 x﹣10+2x=6x﹣3‎ 移项及合并同类项，得 ‎﹣3x=7‎ 系数化为1，得 x=﹣；‎ ‎（2）﹣1=‎ 去分母，得 ‎3（2x+1）﹣15=5（x﹣2）‎ 去括号，得 ‎6x+3﹣15=5x﹣10‎ 移项及合并同类项，得 x=2．‎ ‎　‎ ‎18．‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DF，‎ ‎∴∠ABE=∠FCE，‎ ‎∵E为BC中点，‎ ‎∴BE=CE，‎ 在△ABE与△FCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△FCE（ASA），‎ ‎∴AB=CF；[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD，‎ ‎∴AD=DF，‎ ‎∵△ABE≌△FCE，‎ ‎∴AE=EF，‎ ‎∴DE⊥AF．‎ ‎　‎ ‎19．‎ ‎【解答】解：（1）原式=﹣×=﹣=；‎ ‎（2）原式=×=．‎ ‎　‎ ‎20．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：‎ ‎（2）结论：FH=HC．‎ 理由：∵FH∥BC，‎ ‎∴∠HFC=∠FCB，‎ ‎∵∠FCB=∠FCH，‎ ‎∴∠FCH=∠HFC，‎ ‎∴FH=HC．‎ ‎（3）∵AD是Rt△ABC斜边BC上的高，‎ ‎∴∠ADC=∠BAC=90°，‎ ‎∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，‎ ‎∴∠B=∠CAD，‎ ‎∵∠AEF=∠B+∠ECB，∠AFE=∠CAD+∠ACF，∠ACF=∠ECB，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE，‎ ‎∴AE=AF，‎ ‎∵FH∥CD，‎ ‎∴=，∵AF=AE，CH=FH，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，∵∠BAD=∠DCH，‎ ‎∴△EAD∽△HCD，‎ ‎∴∠ADE=∠CDH，‎ ‎∴∠EDH=∠ADC=90°，‎ ‎∴ED⊥DH．‎ ‎　‎ ‎21．‎ ‎【解答】解：（1）∵A是36°，‎ ‎∴A占36°÷360=10%，‎ ‎∵A的人数为20人，‎ ‎∴这次被调查的学生共有：20÷10%=200（人），‎ 故答案为：200；‎ ‎（2）如图，C有：200﹣20﹣80﹣40=60（人），[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（3）画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况，‎ ‎∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为： =．‎ ‎　‎ ‎22．‎ ‎【解答】解：（1）把A（1，0）代入y=x+k中，得k=﹣1，‎ ‎∴一次函数解析式为y=x﹣1，‎ 令x=0，得点B坐标为（0，﹣1），‎ ‎∵OB=BC，OB=1，‎ ‎∴BC=2，‎ ‎∴OC=3，‎ ‎∴C点坐标为（0，﹣3），‎ 又∵CD∥x轴，‎ ‎∴点D的纵坐标为﹣3，‎ 当y=﹣3时，x﹣1=﹣3，解得x=﹣2，‎ ‎∴点D的坐标为（﹣2，﹣3），‎ 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，‎ 将A（1，0），C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3）代入，得，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；‎ ‎（2）∵直线与抛物线交于D（﹣2，﹣3），A（1，0）两点，抛物线开口向上，‎ ‎∴当x＜﹣2或x＞1时，一次函数值小于二次函数值．‎ ‎　‎ ‎23．‎ ‎【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．‎ 根据题意，得　　　　　　　　‎ 解之，得　‎ 答：A种跳绳的单价为22元，B种跳绳的单价为25元．‎ ‎[来源:学|科|网]‎ ‎（2）设购进A种跳绳a根，则B种跳绳（100﹣a）根，该商店的利润为w元 则w=（26﹣22）a+（30﹣25）（100﹣a）=﹣a+500，‎ ‎∵﹣1＜0，∴a取最小值时，w取最大值，‎ 又∵a≥40，且a为整数，‎ ‎∴当a=40时，w最大=﹣40+500=460（元），‎ 此时，100﹣40=60，‎ 所以该商店购进A种跳绳40根，B种跳绳60根时，‎ 可获得最大利润，最大利润为460元．‎ ‎　‎ ‎24．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），‎ ‎∴m=﹣1，‎ ‎∴直线l的解析式为y=x﹣1，‎ ‎∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），‎ ‎∴n=×4﹣1=2，‎ ‎∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；‎ ‎（2）令y=0，则x﹣1=0，‎ 解得x=，‎ ‎∴点A的坐标为（，0），‎ ‎∴OA=，‎ 在Rt△OAB中，OB=1，‎ ‎∴AB===，‎ ‎∵DE∥y轴，‎ ‎∴∠ABO=∠DEF，‎ 在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，‎ DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，‎ ‎∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，‎ ‎∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），‎ ‎∴D（t， t2﹣t﹣1），E（t， t﹣1），‎ ‎∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，‎ ‎∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，‎ ‎∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，‎ ‎∴当t=2时，p有最大值；‎ ‎（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，‎ ‎∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，[来源:学.科.网]‎ ‎①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，‎ ‎∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，‎ 解得x=，‎ ‎②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，‎ ‎∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，‎ 解得x=﹣，‎ 综上所述，点A1的横坐标为或﹣．‎ ‎　‎ ‎25．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OG．‎ ‎∵EF切⊙O于G，‎ ‎∴OG⊥EF，‎ ‎∴∠AGO+∠AGE=90°，‎ ‎∵CD⊥AB于H，‎ ‎∴∠AHD=90°，‎ ‎∴∠OAG=∠AKH=90°，‎ ‎∵OA=OG，‎ ‎∴∠AGO=∠OAG，‎ ‎∴∠AGE=∠AKH，‎ ‎∵∠EKG=∠AKH，‎ ‎∴∠EKG=∠AGE，‎ ‎∴KE=GE．‎ ‎（2）设∠FGB=α，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠AGB=90°，‎ ‎∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，‎ ‎∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，‎ ‎∵∠FGB=∠ACH，‎ ‎∴∠ACH=2α，‎ ‎∴∠ACH=∠E，‎ ‎∴CA∥FE．‎ ‎（3）作NP⊥AC于P．‎ ‎∵∠ACH=∠E，‎ ‎∴sin∠E=sin∠ACH==，设AH=3a，AC=5a，‎ 则CH==4a，tan∠CAH==，‎ ‎∵CA∥FE，‎ ‎∴∠CAK=∠AGE，‎ ‎∵∠AGE=∠AKH，‎ ‎∴∠CAK=∠AKH，‎ ‎∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH==3，AK==a，‎ ‎∵AK=，‎ ‎∴a=，‎ ‎∴a=1．AC=5，‎ ‎∵∠BHD=∠AGB=90°，‎ ‎∴∠BHD+∠AGB=180°，‎ 在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，‎ ‎∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，‎ ‎∴∠AKH=∠ABG，‎ ‎∵∠ACN=∠ABG，‎ ‎∴∠AKH=∠ACN，‎ ‎∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，‎ ‎∵NP⊥AC于P，‎ ‎∴∠APN=∠CPN=90°，‎ 在Rt△APN中，tan∠CAH==，设PN=12b，则AP=9b，‎ 在Rt△CPN中，tan∠ACN==3，‎ ‎∴CP=4b，‎ ‎∴AC=AP+CP=13b，‎ ‎∵AC=5，‎ ‎∴13b=5，[来源:学。科。网]‎ ‎∴b=，‎ ‎∴CN==4b=．‎