【精品】人教版 九年级下册数学 26

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第 1 页 共 8 页 第二十六章 反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 学习目标： 1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点) 2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式. (重 点、难点) 自主学习 一、知识链接 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. (1) 京沪线铁路全程为 1463 km，某次列车的平均速度 v (单位：km/h) 随此次列车的全程运 行时间 t (单位：h) 的变化而变化； (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单 位：m)的变化而变化； (3) 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单 位：人) 的变化而变化. 合作探究 第 2 页 共 8 页 一、要点探究 探究点 1：反比例函数的概念 问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 【要点归纳】一般地，形如 x ky  (k 为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x 是 自变量，y 是函数. 思考 1：反比例函数 x ky  (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 思考 2：反比例函数除了可以用 x ky  (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 【要点归纳】反比例函数有三种表达方式：① x ky  (k ≠ 0)；② 1 kxy (k ≠ 0)；③xy=k(k ≠ 0). 【针对训练】下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值. ①y=3x-1；② 13  xy ；③ 3 xy  ；④ xy 11 1 ；⑤ 2 1 xy  . 第 3 页 共 8 页 【典例精析】 例 1 已知函数   422 1  mmxmy 是反比例函数，求 m 的值. 【方法总结】已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的 x 的次数为－1，且系 数不等于 0. 【针对训练】1. 当 m= 时， 22  mxy 是反比例函数. 2. 已知函数    x kky 12  是反比例函数，则 k 必须满足 . 探究点 2：确定反比例函数的解析式 例 2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2 时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 【方法总结】用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例 函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程， 求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 【针对训练】已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值． 第 4 页 共 8 页 探究点 3：建立简单的反比例函数模型 例 3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态 的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为 100 km/h 时,视野的 度数. 例 4 如图，已知菱形 ABCD 的面积为 180 平方厘米，设它的两条对角线 AC，BD 的长 分别为 x，y. 写出变量 y 与 x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数. 二、课堂小结 第 5 页 共 8 页 当堂检测 1. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( ) A. xy 2 1 B. 2 1 xy  C. xy  2 1 D. xy 11 2. 下列实例中，x 和 y 成反比例函数关系的有 ( ) ① x 人共饮水 10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m 的圆柱形水桶的 体积为 10 m³；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；④在水龙头 前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间 y A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3. 填空： (1) 若 x my 1 是反比例函数，则 m 的取值范围是 . (2) 若   x mmy 2 是反比例函数，则 m 的取值范围是 . (3) 若 12 2   mmx my 是反比例函数，则 m 的值是 . 4. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3 时，y =－4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 y=6 时，求 x 的值. 5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上 学时的平均速度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min )． (1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式； (2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行车上学用了 8 min，那么他星期三上 学时的平均速度比星期二快多少？ 第 6 页 共 8 页 能力提升： 6. 已知 y = y1+y2，y1 与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成 反比例，当 x=0 时，y =－3； 当 x =1 时，y = －1，求： (1) y 关于 x 的关系式； (2) 当 x = 2 1 时，求 y 的值. 参考答案 自主学习 一、知识链接 解：(1) tv 1463 (2) xy 1000 (3) nS 41068.1  合作探究 一、要点探究 探究点 1：反比例函数的概念 【针对训练】 解：②是，k=3；④是 11 1k . 【典例精析】 例 1 解：因为   422 1  mmxmy 是反比例函数，所以      01 ,1422 m mm 解得 m =－3. 【针对训练】1. ±1 2. k≠2 且 k≠-1 . 探究点 2：确定反比例函数的解析式 第 7 页 共 8 页 例 2 解：（1）设 x ky  . 因为当 x=2 时，y=6，所以有 26 k ，解得 k =12. 因此 xy 12 . （2）把 x=4 代入 xy 12 ，得 34 12 y . 【针对训练】解：(1) 设 1 x ky ，因为当 x = 3 时，y =4 ， 所以有 134  k ，解得 k =16，因此 1 16  xy . (2) 当 x = 7 时， 217 16 y . 探究点 3：建立简单的反比例函数模型 例 3 解：设 v kf  . 由题意知，当 v =50 时，f =80，所以 5080 k 解得 k =4000. 因此 vf 4000 ，当 v=100 时，f =40.所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度. 例 4 解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以 1802 1  xyS ABCD菱形 . 所以变量 y 与 x 之间的关系式为 xy 360 ，它是反比例函数. 当堂检测 1. A 2.B 3.(1) m≠1 (2) m≠0 且 m≠-2 (3) -1 4. 解：(1) 设 x ky  . 因为当 x = 3 时，y =－4，所以有 34 k ，解得 k =－12. 因此，y 关于 x 的函数解析式为 xy 12 (2) 把 y=6 代入 xy 12 ，得 x 126  ，解得 x =－2. 5. 解：（1） tv 1000 (t>0)． （2）当 t＝25 时， 4025 1000 v ；当 t＝8 时， 1258 1000 v ，. 125－40＝85 ( m/min )． 答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. 能力提升： 第 8 页 共 8 页 6. 解：（1）设 y1 = k1(x－1) (k1≠0)， 1 2 2  x ky (k2≠0)， 则 y = k1(x－1) + 1 2 x k ， . ∵ x = 0 时，y =－3；x =1 时，y = －1，∴    ,2 1－=1－ ,+－=3－ 2 21 k kk ， ∴k1=1，k2=－2.∴y = x－1 1 2  x （2）把 x = 2 1 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 2 11 .