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文档介绍
中考复习三角形专题一含答案
2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷 一.选择题(共12小题) 1.如图,两个三角形的面积分别是9,6,对应阴影部分的面积分别是m,n,则m﹣n等于( ) A.2 B.3 C.4 D.无法确定 2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( ) A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.组成∠E的角平分线 D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外) 3.如图,AD是△ABC的角平分线,则AB:AC等于( ) A.BD:CD B.AD:CD C.BC:AD D.BC:AC 4.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 6.如图,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是( ) A.10 B.8 C.6 D.4 7.如图,在下列三角形中,若AB=AC,则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( ) A. B. C. D. 8.如图,P为边长为2的正三角形内任意一点,过P点分别作三边的垂线,垂足分别为D,E,F,则PD+PE+PF的值为( ) A. B. C.2 D.2 9.如图,△ABC的面积为20,点D是BC边上一点,且BD=BC,点G是AB上一点,点H在△ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形,则图中阴影部分的面积是( ) A.5 B.10 C.15 D.20 10.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E、F分别是AD、CD的中点,连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为( ) A.2 B. C. D.3 二.填空题(共14小题) 11.如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE= . 12.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:S△BCO:S△CAO= . 13.如图,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= . 14.如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上,若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=EH,那么EH的长为 . 15.在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B,C重合)是BC上任意一点,将此三角形纸片按下列方式折叠,若EF的长度为a,则△DEF的周长为 (用含a的式子表示). 16.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=3,AC的垂直平分线DE分别交AB,AC于D,E两点,则CD的长为 . 17.如图,△ABC中,∠C=90°,CA=CB,点M在线段AB上,∠GMB=∠A,BG⊥MG,垂足为G,MG与BC相交于点H.若MH=8cm,则BG= cm. 18.如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10= . 19.如图,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A、D关于点F对称,过点F作FG∥CD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则△CEG的周长为 . 20.如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如果这样连续经过2017次变换后,等边△ABC的顶点C的坐标为 . 21.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为 . 22.如图,在一张长为7cm,宽为5cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为 . 23.在△ABC中,AB=13,AC=20,BC边上的高为12,则△ABC的面积为 . 24.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5,则四边形ABCD的面积为= ,BD的长为 . 三.解答题(共4小题) 25.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°. (1)若AD=2,求AB; (2)若AB+CD=2+2,求AB. 26.如图:在矩形ABCD中,AD=60cm,CD=120cm,E、F为AB边的三等分点,以EF为边在矩形内作等边三角形MEF,N为AB边上一点,EN=10cm; 请在矩形内找一点P,使△PMN为等边三角形(画出图形,并直接写出△PMF的面积). 27.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD、CB相交于点H、E,AH=2CH. (1)求sinB的值; (2)如果CD=,求BE的值. 28.如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE. (1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50° ①求证:AD=BE; ②求∠AEB的度数. (2)如图2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高,BN为△ABE中AE边上的高,试证明:AE=2CM+BN. 2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一.选择题(共12小题) 1.如图,两个三角形的面积分别是9,6,对应阴影部分的面积分别是m,n,则m﹣n等于( ) A.2 B.3 C.4 D.无法确定 【分析】设空白出的面积为x,根据题意列出关系式,相减即可求出m﹣n的值. 【解答】解:设空白出图形的面积为x, 根据题意得:m+x=9,n+x=6, 则m﹣n=9﹣6=3. 故选B. 【点评】本题考查了三角形的面积;设出未知数,根据三角形的面积得出关系式是解决问题的关键. 2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( ) A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.组成∠E的角平分线 D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外) 【分析】根据角平分线的性质分析,作∠E的平分线,点P到AB和CD的距离相等,即可得到S△PAB=S△PCD. 【解答】解:作∠E的平分线, 可得点P到AB和CD的距离相等, 因为AB=CD, 所以此时点P满足S△PAB=S△PCD. 故选D. 【点评】此题考查角平分线的性质,关键是根据AB=CD和三角形等底作出等高即可. 3.如图,AD是△ABC的角平分线,则AB:AC等于( ) A.BD:CD B.AD:CD C.BC:AD D.BC:AC 【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E,由于BE∥AC,利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质,可得∴△BDE∽△CDA,∠E=∠DAC,再利用相似三角形的性质可有=,而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD,于是BE=AB,等量代换即可证. 【解答】解:如图 过点B作BE∥AC交AD延长线于点E, ∵BE∥AC, ∴∠DBE=∠C,∠E=∠CAD, ∴△BDE∽△CDA, ∴=, 又∵AD是角平分线, ∴∠E=∠DAC=∠BAD, ∴BE=AB, ∴=, ∴AB:AC=BD:CD. 故选:A. 【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论.关键是作平行线. 4.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数,再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形. 【解答】解:∵AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形; ∵AB=AC,∠A=36°, ∴∠ABC=∠C=72°, ∵BD是△ABC的角平分线, ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°, ∴∠A=∠ABD=36°, ∴BD=AD, ∴△ABD是等腰三角形; 在△BCD中,∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°, ∴∠C=∠BDC=72°, ∴BD=BC, ∴△BCD是等腰三角形; ∵BE=BC, ∴BD=BE, ∴△BDE是等腰三角形; ∴∠BED=(180°﹣36°)÷2=72°, ∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°, ∴∠A=∠ADE, ∴DE=AE, ∴△ADE是等腰三角形; ∴图中的等腰三角形有5个. 故选D. 【点评】此题考查了等腰三角形的判定,用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等,解题时要找出所有的等腰三角形,不要遗漏. 5.平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【分析】由点A、B的坐标可得到AB=2,然后分类讨论:若AC=AB;若BC=AB;若CA=CB,确定C点的个数. 【解答】解:∵点A、B的坐标分别为(2,2)、B(4,0). ∴AB=2, ①若AC=AB,以A为圆心,AB为半径画弧与坐标轴有3个交点(含B点),即(0,0)、(4,0)、(0,4), ∵点(0,4)与直线AB共线, ∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个; ②若BC=AB,以B为圆心,BA为半径画弧与坐标轴有2个交点(A点除外),即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个; ③若CA=CB,作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点,即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个; 综上所述:点C在坐标轴上,△ABC是等腰三角形,符合条件的点C共有5个. 故选A 【点评】本题考查了等腰三角形的判定,也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论思想的运用. 6.如图,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ ADC的面积是( ) A.10 B.8 C.6 D.4 【分析】延长BD交AC于点E,则可知△ABE为等腰三角形,则S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE,可得出S△ADC=S△ABC. 【解答】解:如图,延长BD交AC于点E, ∵AD平分∠BAE,AD⊥BD, ∴∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE, 在△ABD和△AED中, , ∴△ABD≌△AED(ASA), ∴BD=DE, ∴S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE, ∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC, ∴S△ADC═S△ABC=×12=6, 故选C. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用,由BD=DE得到S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE是解题的关键. 7.如图,在下列三角形中,若AB=AC,则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( ) A. B. C. D. 【分析】A、D是黄金三角形,C、过A点作BC的垂线即可;只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形. 【解答】解:A、中作∠B的角平分线即可; C、过A点作BC的垂线即可; D、中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可; 只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形. 故选B. 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握,此题的4个选项中只有D选项有点难度,所以此题属于中档题. 8.如图,P为边长为2的正三角形内任意一点,过P点分别作三边的垂线,垂足分别为D,E,F,则PD+PE+PF的值为( ) A. B. C.2 D.2 【分析】首先连接PA、PB、PC,再根据正三角形的面积的求法,求出边长为2的正三角形的面积是多少;然后判断出SABC=SAPB+SAPC+SBPC=PD+PE+PF,据此求出PD+PE+PF的值为多少即可. 【解答】解:如图,连接PA、PB、PC,, ∵△ABC是边长为2的正三角形, ∴△ABC的面积为: ; ∵SABC=SAPB+SAPC+SBPC =×2×PD+×2×PF+×2×PE =PD+PE+PF ∴PD+PE+PF=, 即PD+PE+PF的值为. 故选:B. 【点评】(1)此题主要考查了等边三角形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°.②等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;③它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴. (2)此题还考查了等边三角形的面积的求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:边长是a的等边三角形的面积是a2. 9.如图,△ABC的面积为20,点D是BC边上一点,且BD=BC,点G是AB上一点,点H在△ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形,则图中阴影部分的面积是( ) A.5 B.10 C.15 D.20 【分析】设△ABC底边BC上的高为h,△AGH底边GH上的高为h1,△CGH底边GH上的高为h2,根据图形可知h=h1+h2.利用三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可得出S阴影=S△ABC,由此即可得出结论. 【解答】解:设△ABC底边BC上的高为h,△AGH底边GH上的高为h1,△CGH底边GH上的高为h2, 则有h=h1+h2,S△ABC=BC•h=2, ∴S阴影=S△AGH+S△CGH=GH•h1+GH•h2=GH•(h1+h2)=GH•h. ∵四边形BDHG是平行四边形,且BD=BC, ∴GH=BD=BC, ∴S阴影=×( BC•h)=S△ABC=5. 故选A. 【点评】本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质,解题的关键是找出S阴影=S△ABC.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据三角形的面积公式找出阴影部分的面积与△ABC的面积之间的关系是关键. 10.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E、F分别是AD、CD的中点,连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为( ) A.2 B. C. D.3 【分析】连接AC,过B作EF的垂线,利用勾股定理可得AC,易得△ABC的面积,可得BG和△ADC的面积,三角形ABC与三角形ACD同底,利用面积比可得它们高的比,而GH又是△ACD以AC为底的高的一半,可得GH,易得BH,由中位线的性质可得EF的长,利用三角形的面积公式可得结果. 【解答】解:连接AC,过B作EF的垂线交AC于点G,交EF于点H, ∵∠ABC=90°,AB=BC=2, ∴AC===4, ∵△ABC为等腰三角形,BH⊥AC, ∴△ABG,△BCG为等腰直角三角形, ∴AG=BG=2 ∵S△ABC=•AB•BC=×2×2=4, ∴S△ADC=2, ∵=2, ∵△DEF∽△DAC, ∴GH=BG=, ∴BH=, 又∵EF=AC=2, ∴S△BEF=•EF•BH=×2×=, 故选C. 方法二:S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED, 易知S△ABE+S△BCF=S四边形ABCD=3,S△EDF=, ∴S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED=6﹣3﹣=. 故选C. 【点评】此题主要考查了三角形面积的运算,作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键. 二.填空题(共14小题) 11.如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE= 3 . 【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD,再根据全等三角形的性质得出结论. 【解答】解:△ABE和△ACD中, , ∴△ABE≌△ACD(AAS), ∴AD=AE=2,AC=AB=5, ∴CE=BD=AB﹣AD=3, 故答案为3. 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定,熟记定理是解题的关键. 12.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:S△BCO:S△CAO= 4:5:6 . 【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,由OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,根据角平分线的性质,可得OD=OE=OF,又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,即可求得S△ABO:S△BCO:S△CAO的值. 【解答】解:过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F, ∵OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线, ∴OD=OE=OF, ∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60, ∴S△ABO:S△BCO:S△CAO=(AB•OD):(BC•OF):(AC•OE)=AB:BC:AC=40:50:60=4:5:6. 故答案为:4:5:6. 【点评】此题考查了角平分线的性质.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用. 13.如图,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= 70° . 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=(∠B+∠B+∠1+∠2);最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数. 【解答】解:∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E, ∴∠EAC=∠DAC,∠ECA=∠ACF; 又∵∠B=40°(已知),∠B+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理), ∴∠DAC+∠ACF=(∠B+∠2)+(∠B+∠1)=(∠B+∠B+∠1+∠2)=110°(外角定理), ∴∠AEC=180°﹣(∠DAC+∠ACF)=70°. 故答案为:70°. 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质,熟练应用角平分线的性质是解题关键. 14.如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上,若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=EH,那么EH的长为 . 【分析】设EH=3x,表示出EF,由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高,根据三角形AEH与三角形ABC相似,利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值,即为EH的长. 【解答】解:如图所示: ∵四边形EFGH是矩形, ∴EH∥BC, ∴△AEH∽△ABC, ∵AM⊥EH,AD⊥BC, ∴, 设EH=3x,则有EF=2x,AM=AD﹣EF=2﹣2x, ∴, 解得:x=, 则EH=. 故答案为:. 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,以及矩形的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键. 15.在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B,C重合)是BC上任意一点,将此三角形纸片按下列方式折叠,若EF的长度为a,则△DEF的周长为 3a (用含a的式子表示). 【分析】由折叠的性质得出BE=EF=a,DE=BE,则BF=2a,由含30°角的直角三角形的性质得出DF=BF=a,即可得出△DEF的周长. 【解答】解:由折叠的性质得:B点和D点是对称关系,DE=BE, 则BE=EF=a, ∴BF=2a, ∵∠B=30°, ∴DF=BF=a, ∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a; 故答案为:3a. 【点评】本题考查了翻折变换的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形周长的计算;熟练掌握翻折变换的性质,由含30°角的直角三角形的性质得出DF=a是解决问题的关键. 16.如图,Rt△ABC中,∠ B=90°,AB=4,BC=3,AC的垂直平分线DE分别交AB,AC于D,E两点,则CD的长为 . 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD,故AB=BD+AD=BD+CD,设CD=x,则BD=4﹣x,在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可. 【解答】解:∵DE是AC的垂直平分线, ∴CD=AD, ∴AB=BD+AD=BD+CD, 设CD=x,则BD=4﹣x, 在Rt△BCD中, CD2=BC2+BD2,即x2=32+(4﹣x)2, 解得x=. 故答案为:. 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质,熟知垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键. 17.如图,△ABC中,∠C=90°,CA=CB,点M在线段AB上,∠GMB=∠A,BG⊥MG,垂足为G,MG与BC相交于点H.若MH=8cm,则BG= 4 cm. 【分析】如图,作MD⊥BC于D,延长DE交BG的延长线于E,构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD,利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到:BE=MH,所以BG=MH=4. 【解答】解:如图,作MD⊥BC于D,延长MD交BG的延长线于E, ∵△ABC中,∠C=90°,CA=CB, ∴∠ABC=∠A=45°, ∵∠GMB=∠A, ∴∠GMB=∠A=22.5°, ∵BG⊥MG, ∴∠BGM=90°, ∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°, ∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°. ∵MD∥AC, ∴∠BMD=∠A=45°, ∴△BDM为等腰直角三角形 ∴BD=DM, 而∠GBH=22.5°, ∴GM平分∠BMD, 而BG⊥MG, ∴BG=EG,即BG=BE, ∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°, ∴∠MHD=∠E, ∵∠GBD=90°﹣∠E,∠HMD=90°﹣∠E, ∴∠GBD=∠HMD, ∴在△BED和△MHD中, , ∴△BED≌△MHD(AAS), ∴BE=MH, ∴BG=MH=4. 故答案是:4. 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的对应边相等.也考查了等腰直角三角形的性质. 18.如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10= π . 【分析】(1)图1,作辅助线构建正方形OECF,设圆O的半径为r,根据切线长定理表示出AD和BD的长,利用AD+BD=5列方程求出半径r=(a、b是直角边,c为斜边),运用圆面积公式=πr2求出面积=π; (2)图2,先求斜边上的高CD的长,再由勾股定理求出AD和BD,利用半径r=(a、b是直角边,c为斜边)求两个圆的半径,从而求出两圆的面积和=π; (3)图3,继续求高DM和CM、BM,利用半径r=(a、b是直角边,c为斜边)求三个圆的半径,从而求出三个圆的面积和=π; 综上所述:发现S1+S2+S3+…+S10=π. 【解答】解:(1)图1,过点O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足为E、F,则∠OEC=∠OFC=90° ∵∠C=90° ∴四边形OECF为矩形 ∵OE=OF ∴矩形OECF为正方形 设圆O的半径为r,则OE=OF=r,AD=AE=3﹣r,BD=4﹣r ∴3﹣r+4﹣r=5,r==1 ∴S1=π×12=π (2)图2,由S△ABC=×3×4=×5×CD ∴CD= 由勾股定理得:AD==,BD=5﹣= 由(1)得:⊙O的半径==,⊙E的半径== ∴S1+S2=π×+π×=π (3)图3,由S△CDB=××=×4×MD ∴MD= 由勾股定理得:CM==,MB=4﹣= 由(1)得:⊙O的半径=,:⊙E的半径==,:⊙F的半径== ∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π ∴图4中的S1+S2+S3+S4=π 则S1+S2+S3+…+S10=π 故答案为:π. 【点评】本题考查了直角三角形的内切圆,这是一个图形变化类的规律题,首先应找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解;解决此题的思路为:①先找出计算直角三角形内切圆半径的规律:半径r=(a、b是直角边,c为斜边);②利用面积相等计算斜边上的高;③运用勾股定理计算直角三角形的边长. 19.如图,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A、D关于点F对称,过点F作FG∥CD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则△CEG的周长为 27 . 【分析】先根据点A、D关于点F对称可知点F是AD的中点,再由CD⊥AB,FG∥CD可知FG是△ACD的中位线,故可得出CG的长,再根据点E是AB的中点可知GE是△ABC的中位线,故可得出GE的长,由此可得出结论. 【解答】解:∵点A、D关于点F对称, ∴点F是AD的中点. ∵CD⊥AB,FG∥CD, ∴FG是△ACD的中位线,AC=18,BC=12, ∴CG=AC=9. ∵点E是AB的中点, ∴GE是△ABC的中位线, ∵CE=CB=12, ∴GE=BC=6, ∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27. 故答案为:27. 【点评】本题考查的是三角形中位线定理,熟知三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解答此题的关键. 20.如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如果这样连续经过2017次变换后,等边△ABC的顶点C的坐标为 (﹣2015,﹣﹣1) . 【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴下方,然后求出点A纵坐标,再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标,最后写出即可. 【解答】解:∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2, ∴点C到x轴的距离为1+2×=+1, 横坐标为2, ∴C(2,+1), 第2017次变换后的三角形在x轴下方, 点C的纵坐标为﹣﹣1, 横坐标为2﹣2017×1=﹣2015, 所以,点C的对应点C′的坐标是(﹣2015,﹣﹣1), 故答案为:(﹣2015,﹣﹣1). 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移,等边三角形的性质,读懂题目信息,确定出连续2016次这样的变换得到三角形在x轴上方是解题的关键. 21.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为 2或2或2 . 【分析】利用分类讨论,当∠ABP=90°时,如图2,由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°,易得∠BPO=30°,易得BP的长,利用勾股定理可得AP的长;当∠APB=90°时,分两种情况讨论,情况一:如图1,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO,易得△BOP为等边三角形,利用锐角三角函数可得AP的长;易得BP,利用勾股定理可得AP的长;情况二:如图3,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论. 【解答】解:当∠APB=90°时(如图1), ∵AO=BO, ∴PO=BO, ∵∠AOC=60°, ∴∠BOP=60°, ∴△BOP为等边三角形, ∵AB=BC=4, ∴AP=AB•sin60°=4×=2; 当∠ABP=90°时(如图2), ∵∠AOC=∠BOP=60°, ∴∠BPO=30°, ∴BP===2, 在直角三角形ABP中, AP==2, 情况二:如图3,∵AO=BO,∠APB=90°, ∴PO=AO, ∵∠AOC=60°, ∴△AOP为等边三角形, ∴AP=AO=2, 故答案为:2或2或2. 【点评】本题主要考查了勾股定理,含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线,分类讨论,数形结合是解答此题的关键. 22.如图,在一张长为7cm,宽为5cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为 8cm2或2cm2或2cm2 . 【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确,所以分三种情况进行讨论: (1)△AEF为等腰直角三角形,直接利用面积公式求解即可; (2)先利用勾股定理求出AE边上的高BF,再代入面积公式求解; (3)先求出AE边上的高DF,再代入面积公式求解. 【解答】解:分三种情况计算: (1)当AE=AF=4时,如图: ∴S△AEF=AE•AF=×4×4=8(cm2); (2)当AE=EF=4时,如图: 则BE=5﹣4=1, BF===, ∴S△AEF=•AE•BF=×4×=2(cm2); (3)当AE=EF=4时,如图: 则DE=7﹣4=3, DF===, ∴S△AEF=AE•DF=×4×=2(cm2); 故答案为:8或2或2. 【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用,要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论,有一定的难度. 23.在△ABC中,AB=13,AC=20,BC边上的高为12,则△ABC的面积为 126或66 . 【分析】分两种情况:①∠B为锐角;②∠B为钝角;利用勾股定理求出BD、CD,即可求出BC的长. 【解答】解:分两种情况:①当∠B为锐角时,如图1所示, 在Rt△ABD中, BD===5, 在Rt△ADC中, CD===16, ∴BC=BD+CD=21, ∴△ABC的面积为×21×12=126; ②当∠B为钝角时,如图2所示, 在Rt△ABD中, BC=CD﹣BD=16﹣5=11, 所以△ABC的面积为×11×12=66; 故答案为:126或66. 【点评】本题主要考查了勾股定理;熟练掌握勾股定理,画出图形,分类讨论是解答此题的关键. 24.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5,则四边形ABCD的面积为= 31 ,BD的长为 2 . 【分析】连接AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理求出AC的长,利用勾股定理的逆定理,说明△ACD是直角三角形.利用Rt△ABC和Rt△ACD的面积和求出四边形ABCD的面积.过点D作DE⊥BC,交BC的延长线与点E.易证明△ABC∽△CED,求出DE、CE的长,再利用勾股定理求出BD的长, 【解答】解:连接AC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线与点E. 因为∠ABC=90°,AB=3,BC=4, ∴AC==5, 由于AC2+CD2=25+100=125,AD2=(5)2=125, ∴AC2+CD2=AD2. 所以∠ACD=90°. 所以S四边形ABCD=S△ABD+S△ACD = =×3×4+×5×10 =6+25=31. ∵∠DEC=90°,∴∠DCE+∠CDE=90°, 所以∠DCE+∠ACB=90°, ∴∠CDE=∠ACB,又∵∠ABC=90°, ∴△ABC∽△CED ∴CE=6,DE=8. ∴BE=BC+CE=10, 在Rt△DEB中, DB= ==2 故答案为:31,2 【点评】本题考查了直角三角形的勾股定理和逆定理及相似三角形的判定.解决本题的关键是连接AC利用直角三角形的面积求出四边形的面积. 三.解答题(共4小题) 25.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°. (1)若AD=2,求AB; (2)若AB+CD=2+2,求AB. 【分析】(1)在四边形ABCD中,由∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°,得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°,△ADE与△BCF为等腰直角三角形,求得AE,利用锐角三角函数得BE,得AB; (2)设DE=x,利用(1)的某些结论,特殊角的三角函数和勾股定理,表示AB,CD,得结果. 【解答】解:(1)过D点作DE⊥AB,过点B作BF⊥CD, ∵∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°, ∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°, ∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°, △ADE与△BCF为等腰直角三角形, ∵AD=2, ∴AE=DE==, ∵∠ABC=105°, ∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°, ∴BE===, ∴AB=; (2)设DE=x,则AE=x,BE===, ∴BD==2x, ∵∠BDF=60°, ∴∠DBF=30°, ∴DF==x, ∴BF===, ∴CF=, ∵AB=AE+BE=, CD=DF+CF=x, AB+CD=2+2, ∴AB=+1 【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质,解题的关键是作辅助线DE、BF,构造直角三角形,求出相应角的度数. 26.如图:在矩形ABCD中,AD=60cm,CD=120cm,E、F为AB边的三等分点,以EF为边在矩形内作等边三角形MEF,N为AB边上一点,EN=10cm; 请在矩形内找一点P,使△PMN为等边三角形(画出图形,并直接写出△PMF的面积). 【分析】如图,以MN为边容易作出等边三角形,结合等边三角形的性质,连接PE,可证明△MPE≌△MNF,可证明PE∥MF,容易求得S△PMF=S△MEF,可求得答案. 【解答】解:如图,以MN为边,可作等边三角形PMN; △PMF的面积为400.(求解过程如下). 连接PE, ∵△MEF和△PMN为等边三角形, ∴∠PMN=∠EMF=∠MFE=60°,MN=MP,ME=MF, ∴∠PME=∠NMF, 在△MPE和△MNF中, , ∴△MPE≌△MNF(SAS), ∴∠MEP=∠MFE=60°, ∴∠PEN=60°, ∴PE∥MF, ∴S△PMF=S△MEF=EF2=400. 【点评】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的性质和判定,利用全等证得PE∥MF,得到S△PMF=S△MEF是解题的关键. 27.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD、CB相交于点H、E,AH=2CH. (1)求sinB的值; (2)如果CD=,求BE的值. 【分析】(1)根据∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,可得出CD=BD,则∠B= ∠BCD,再由AE⊥CD,可证明∠B=∠CAH,由AH=2CH,可得出CH:AC=1:,即可得出sinB的值; (2)根据sinB的值,可得出AC:AB=1:,再由AB=2,得AC=2,则CE=1,从而得出BE. 【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线, ∴CD=BD, ∴∠B=∠BCD, ∵AE⊥CD, ∴∠CAH+∠ACH=90°, 又∠ACB=90° ∴∠BCD+∠ACH=90° ∴∠B=∠BCD=∠CAH,即∠B=∠CAH, ∵AH=2CH, ∴由勾股定理得AC=CH, ∴CH:AC=1:, ∴sinB=; (2)∵sinB=, ∴AC:AB=1:, ∴AC=2. ∵∠CAH=∠B, ∴sin∠CAH=sinB==, 设CE=x(x>0),则AE=x,则x2+22=(x)2, ∴CE=x=1,AC=2, 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2, ∵AB=2CD=2, ∴BC=4, ∴BE=BC﹣CE=3. 【点评】本题考查了解直角三角形,以及直角三角形斜边上的中线,注意性质的应用,难度不大. 28.如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE. (1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50° ①求证:AD=BE; ②求∠AEB的度数. (2)如图2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高,BN为△ABE中AE边上的高,试证明:AE=2CM+BN. 【分析】(1)①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE,再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC,DC=EC”,利用全等三角形的判定(SAS)即可证出△ACD≌△BCE,由此即可得出结论AD=BE; ②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC,再通过角的计算即可算出∠AEB的度数; (2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数,即可得出底角的度数,利用(1)的结论,通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度,二者相加即可证出结论. 【解答】(1)①证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°, ∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°. ∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE, ∴∠ACD=∠BCE. ∵△ACB和△DCE均为等腰三角形, ∴AC=BC,DC=EC. 在△ACD和△BCE中,有, ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE. ②解:∵△ACD≌△BCE, ∴∠ADC=∠BEC. ∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°, ∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°, ∴∠BEC=130°. ∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°, ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°. (2)证明:∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=120°, ∴∠CDM=∠CEM=×(180°﹣120°)=30°. ∵CM⊥DE, ∴∠CMD=90°,DM=EM. 在Rt△CMD中,∠CMD=90°,∠CDM=30°, ∴DE=2DM=2×=2CM. ∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°,∠BEC=∠CEM+∠AEB, ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°, ∴∠BEN=180°﹣120°=60°. 在Rt△BNE中,∠BNE=90°,∠BEN=60°, ∴BE==BN. ∵AD=BE,AE=AD+DE, ∴AE=BE+DE=BN+2CM. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算,解题的关键是:(1)通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE;(2)找出线段AD、DE的长.本题属于中档题,难度不大,但稍显繁琐,解决该题型题目时,利用角的计算找出相等的角,再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角,最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键. 查看更多