高中数学必修2教案：3_2_1直线的点斜式方程

高中数学必修2教案：3_2_1直线的点斜式方程

‎3.2.1 直线的点斜式方程 ‎（一）教学目标 ‎1．知识与技能 ‎（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；‎ ‎（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；‎ ‎（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.‎ ‎2．过程与方法 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.‎ ‎3．情态与价值观 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.‎ ‎（二）教学重点、难点：‎ ‎（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.‎ ‎（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.‎ ‎（三）教学设想 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 ‎1．在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？‎ 学生回顾，并回答. 然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式.‎ 使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知.‎ 概念形成 ‎2．直线l经过点P0 (x0, y0)，且斜率为k. 设点P (x, y)是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0, y0之间的关系.‎ 学生根据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，，即y – y0 = k (x – x0) （1）‎ 老师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程.‎ 培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法.‎ ‎3．（1）过点P0 (x0, y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？‎ 学生验证，教师引导.‎ 使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.‎ ‎（2）坐标满足方程（1）的点都在经过P0 (x0, y0)，斜率为k的直线l上吗？‎ 学生验证，教师引导. 然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(point slope form).‎ 使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.‎ 概念深化 ‎4．直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？‎ 学生分组互相讨论，然后说明理由.‎ 使学生理解直线的点斜式方程的适用范围.‎ ‎5．（1）x轴所在直线的方程是什么？Y轴所在直线的方程是什么？‎ ‎（2）经过点P0 (x0, y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？‎ ‎（3）经过点P0 (x0, y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？‎ 教师引导学生通过画图分析，求得问题的解决.‎ 进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式.‎ 应用举例 ‎6．例1. 直线l经过点P0 (– 2，3)，且倾斜角= 45° . 求直线l的点斜式方程，并画出直线l.‎ 教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知哪些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求. 在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画.‎ x y ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎–1‎ ‎–2‎ ‎0‎ P0‎ P1‎ ‎ 例1 解析：直线l经过点P0 (–2，3)，斜率k = tan45°=1代入点斜式方程得 y – 3 = x + 2‎ 画图时，只需再找出直线l上的另一点P1 (x1，y1)，例如，取x1= –1，y1 = 4，得P1 的坐标为（–‎ 学生会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：‎ ‎（1）一个定点；‎ ‎（2）有斜率. 同时掌握已知直线方程画直线的方法.‎ ‎ 1，4），过P0 ，P1的直线即为所求，如右图.‎ 概念深化 ‎7．已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0, b)，求直线l的方程.‎ 学生独立求出直线l的方程：y = kx + b （2）‎ 再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵.‎ 引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形.‎ ‎8．观察方程y = kx + b，它的形式具有什么特点？‎ 学生讨论，教师及时给予评价.‎ 深入理解和掌握斜截式方程的特点？‎ ‎9．直线y = kx + b在x轴上的截距是什么？‎ 学生思考回答，教师评价.‎ 使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.‎ 方法探究 ‎10．你如何从直线方程的角度认识一次函数y = kx + b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y = 2x – 1，y = 3x，y = –x + 3图象的特点吗？‎ 学生思考、讨论，教师评价. 归纳概括.‎ 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.‎ 应用举例 ‎11．例2 已知直线l1：y = k1 + b1，l2：y2 = k2 x + b2 . 试讨论：‎ ‎（1）l1∥l2的条件是什么？‎ ‎（2）l1⊥l2的条件是什么？‎ 教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论. 思考（1）l1∥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？（2）l1⊥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？在此由学生得出结论；l1∥l2k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2k1k2 = –1.‎ 例2 解析：（1）若l1∥l2，则k1 = k2，此时l1、l2与y轴的交点不同，即b1 = b2；反之，k1 = k2，且b1 = b2时，l1∥l2 .‎ 于是我们得到，对于直线 l1：y = k1x + b1，l2：y = kx + b2‎ l1∥l2k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2k1k2 = –1.‎ 掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中k，b的几何意义.‎ ‎12．课堂练习第100页练习第1，2，3，4题.‎ 学生独立完成，教师检查反馈.‎ 巩固本节课所学过的知识.‎ 归纳 ‎13．小结 教师引导学生概括：（1）本节课我们学过哪些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？‎ 使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉.‎ 课后作业 见习案3.2的第一课时 学生课后独立完成.‎ 巩固深化 备选例题 例1 求倾斜角是直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程是.‎ ‎（1）经过点； （2）在y轴上的截距是–5.‎ ‎【解析】∵直线的斜率， ∴其倾斜角=120°‎ 由题意，得所求直线的倾斜角.故所求直线的斜率.‎ ‎（1）∵所求直线经过点，斜率为，‎ ‎∴所求直线方程是，即.‎ ‎（2）∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为–5，‎ ‎∴所求直线的方程为， 即 ‎【点评】（1）由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k来表示的，故这两类方程不能用于垂直于x轴的直线.如过点(1，2)，倾斜角为90°的直线方程为x – 1 = 0.‎ ‎（2）截距和距离是两不同的概念，y轴上的截距是指直线与y轴交点的纵坐标，x轴上的截距是指直线与x轴交点的横坐标.若求截距可在方程中分别令x = 0或y = 0求对应截距.‎ 例2 直线l过点P(–2，3)且与x轴，y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的方程.‎ ‎【解析】设直线l的斜率为k，‎ ‎∵直线l过点(–2，3)， ‎ ‎∴直线l的方程为y – 3 = k[x – (–2)]，令x = 0，得y = 2k + 3；令y = 0得.‎ ‎∴A、B两点的坐标分别为A，B(0，2k + 3). ∵AB的中点为(–2，3)‎ ‎∴ ‎ ‎∴直线l的方程为，即直线l的方程为3x – 2y +12 = 0.‎