高中数学必修2教案:3_2_1直线的点斜式方程

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高中数学必修2教案:3_2_1直线的点斜式方程

‎3.2.1 直线的点斜式方程 ‎(一)教学目标 ‎1.知识与技能 ‎(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围;‎ ‎(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程;‎ ‎(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.‎ ‎2.过程与方法 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上,通过师生探讨,得出直线的点斜式方程,学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.‎ ‎3.情态与价值观 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,进一步培养学生数形结合的思想,渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题.‎ ‎(二)教学重点、难点:‎ ‎(1)重点:直线的点斜式方程和斜截式方程.‎ ‎(2)难点:直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.‎ ‎(三)教学设想 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 ‎1.在直角坐标系内确定一条直线,应知道哪些条件?‎ 学生回顾,并回答. 然后教师指出,直线的方程,就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式.‎ 使学生在已有知识和经验的基础上,探索新知.‎ 概念形成 ‎2.直线l经过点P0 (x0, y0),且斜率为k. 设点P (x, y)是直线l上的任意一点,请建立x,y与k,x0, y0之间的关系.‎ 学生根据斜率公式,可以得到,当x≠x0时,,即y – y0 = k (x – x0) (1)‎ 老师对基础薄弱的学生给予关注、引导,使每个学生都能推导出这个方程.‎ 培养学生自主探索的能力,并体会直线的方程,就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式,从而掌握根据条件求直线方程的方法.‎ ‎3.(1)过点P0 (x0, y0),斜率是k的直线l上的点,其坐标都满足方程(1)吗?‎ 学生验证,教师引导.‎ 使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.‎ ‎(2)坐标满足方程(1)的点都在经过P0 (x0, y0),斜率为k的直线l上吗?‎ 学生验证,教师引导. 然后教师指出方程(1)由直线上一定点及其斜率确定,所以叫做直线的点斜式方程,简称点斜式(point slope form).‎ 使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.‎ 概念深化 ‎4.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?‎ 学生分组互相讨论,然后说明理由.‎ 使学生理解直线的点斜式方程的适用范围.‎ ‎5.(1)x轴所在直线的方程是什么?Y轴所在直线的方程是什么?‎ ‎(2)经过点P0 (x0, y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么?‎ ‎(3)经过点P0 (x0, y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么?‎ 教师引导学生通过画图分析,求得问题的解决.‎ 进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围,掌握特殊直线方程的表示形式.‎ 应用举例 ‎6.例1. 直线l经过点P0 (– 2,3),且倾斜角= 45° . 求直线l的点斜式方程,并画出直线l.‎ 教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知哪些条件?题目那些条件已经直接给予,那些条件还有待已去求. 在坐标平面内,要画一条直线可以怎样去画.‎ x y ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎–1‎ ‎–2‎ ‎0‎ P0‎ P1‎ ‎ 例1 解析:直线l经过点P0 (–2,3),斜率k = tan45°=1代入点斜式方程得 y – 3 = x + 2‎ 画图时,只需再找出直线l上的另一点P1 (x1,y1),例如,取x1= –1,y1 = 4,得P1 的坐标为(–‎ 学生会运用点斜式方程解决问题,清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件:‎ ‎(1)一个定点;‎ ‎(2)有斜率. 同时掌握已知直线方程画直线的方法.‎ ‎ 1,4),过P0 ,P1的直线即为所求,如右图.‎ 概念深化 ‎7.已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0, b),求直线l的方程.‎ 学生独立求出直线l的方程:y = kx + b (2)‎ 再此基础上,教师给出截距的概念,引导学生分析方程(2)由哪两个条件确定,让学生理解斜截式方程概念的内涵.‎ 引入斜截式方程,让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程,是点斜式方程的一种特殊情形.‎ ‎8.观察方程y = kx + b,它的形式具有什么特点?‎ 学生讨论,教师及时给予评价.‎ 深入理解和掌握斜截式方程的特点?‎ ‎9.直线y = kx + b在x轴上的截距是什么?‎ 学生思考回答,教师评价.‎ 使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.‎ 方法探究 ‎10.你如何从直线方程的角度认识一次函数y = kx + b?一次函数中k和b的几何意义是什么?你能说出一次函数y = 2x – 1,y = 3x,y = –x + 3图象的特点吗?‎ 学生思考、讨论,教师评价. 归纳概括.‎ 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.‎ 应用举例 ‎11.例2 已知直线l1:y = k1 + b1,l2:y2 = k2 x + b2 . 试讨论:‎ ‎(1)l1∥l2的条件是什么?‎ ‎(2)l1⊥l2的条件是什么?‎ 教师引导学生分析:用斜率判断两条直线平行、垂直结论. 思考(1)l1∥l2时,k1,k2;b1,b2有何关系?(2)l1⊥l2时,k1,k2;b1,b2有何关系?在此由学生得出结论;l1∥l2k1 = k2,且b1≠b2;l1⊥l2k1k2 = –1.‎ 例2 解析:(1)若l1∥l2,则k1 = k2,此时l1、l2与y轴的交点不同,即b1 = b2;反之,k1 = k2,且b1 = b2时,l1∥l2 .‎ 于是我们得到,对于直线 l1:y = k1x + b1,l2:y = kx + b2‎ l1∥l2k1 = k2,且b1≠b2;l1⊥l2k1k2 = –1.‎ 掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行,或相互垂直;进一步理解斜截式方程中k,b的几何意义.‎ ‎12.课堂练习第100页练习第1,2,3,4题.‎ 学生独立完成,教师检查反馈.‎ 巩固本节课所学过的知识.‎ 归纳 ‎13.小结 教师引导学生概括:(1)本节课我们学过哪些知识点;(2)直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么?(3)求一条直线的方程,要知道多少个条件?‎ 使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识,了解知识的来龙去脉.‎ 课后作业 见习案3.2的第一课时 学生课后独立完成.‎ 巩固深化 备选例题 例1 求倾斜角是直线的倾斜角的,且分别满足下列条件的直线方程是.‎ ‎(1)经过点; (2)在y轴上的截距是–5.‎ ‎【解析】∵直线的斜率, ∴其倾斜角=120°‎ 由题意,得所求直线的倾斜角.故所求直线的斜率.‎ ‎(1)∵所求直线经过点,斜率为,‎ ‎∴所求直线方程是,即.‎ ‎(2)∵所求直线的斜率是,在y轴上的截距为–5,‎ ‎∴所求直线的方程为, 即 ‎【点评】(1)由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k来表示的,故这两类方程不能用于垂直于x轴的直线.如过点(1,2),倾斜角为90°的直线方程为x – 1 = 0.‎ ‎(2)截距和距离是两不同的概念,y轴上的截距是指直线与y轴交点的纵坐标,x轴上的截距是指直线与x轴交点的横坐标.若求截距可在方程中分别令x = 0或y = 0求对应截距.‎ 例2 直线l过点P(–2,3)且与x轴,y轴分别交于A、B两点,若P恰为线段AB的中点,求直线l的方程.‎ ‎【解析】设直线l的斜率为k,‎ ‎∵直线l过点(–2,3), ‎ ‎∴直线l的方程为y – 3 = k[x – (–2)],令x = 0,得y = 2k + 3;令y = 0得.‎ ‎∴A、B两点的坐标分别为A,B(0,2k + 3). ∵AB的中点为(–2,3)‎ ‎∴ ‎ ‎∴直线l的方程为,即直线l的方程为3x – 2y +12 = 0.‎
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