- 2021-04-14 发布 |
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文档介绍
【数学】2020届一轮复习(文理合用)选修4-4 坐标系与参数方程作业
对应学生用书[考案11理][考案11文] 选修4-4 综合过关规范限时检测 (时间:45分钟 满分100分) 1.(2019·唐山模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:(θ为参数),以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(2cosθ-sinθ)=6. (1)试写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程; (2)在曲线C上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值. [解析] (1)由题意知,直线l的直角坐标方程为2x-y-6=0. ∵曲线C的参数方程为(θ为参数), ∴曲线C的普通方程为()2+()2=1,即+=1. (2)设P(cosθ,2sinθ), d==, ∴当sin(60°-θ)=-1时,dmax==2,此时点P(-,1). 2.(2019·深圳模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线C1的方程为x+y+2=0,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ2+4ρsin(θ+)+1=0. (1)求圆C2的直角坐标系下的标准方程; (2)若直线C1与圆C2交于P,Q两点,求△OPQ的面积. [解析] (1)ρ2+4ρsin(θ+)+1=0,即ρ2+2ρsinθ+2ρcosθ+1=0, 即x2+y2+2x+2y+1=0,∴(x+)2+(y+1)2=3, 所以圆C2在直角坐标系下的标准方程为(x+)2+(y+1)2=3. (2)由(1)知圆心C2(-,-1),圆的半径r=, 又圆心C2到直线C1的距离 d==1, 则|PQ|=2=2. 又原点O到直线PQ的距离d1==1, 所以S△OPQ=|PQ|·d1=×2×1=. 3.(2019·青岛模拟)已知在直角坐标系xOy中,极点与坐标原点O重合,极轴与x 轴正半轴重合,直线l的极坐标方程为ρsinθ-4ρcosθ+2=0,曲线C2的参数方程为(t为参数). (1)求直线l的直角坐标方程和曲线C2的普通方程; (2)若A是直线l上一动点,B是曲线C2上一动点,求|AB|的最小值. [解析] (1)将ρsinθ=y,ρcosθ=x代入ρsinθ-4ρcosθ+2=0,得直线l的直角坐标方程为4x-y-2=0. 由(t为参数)消去参数t,得曲线C2的普通方程为y=4x2. (2)由题知|AB|的最小值就是曲线C2上的点B到直线l距离d的最小值. 设B(x,4x2), 则d===, 当x=时,dmin=,故|AB|的最小值为. 4.(2019·杭州模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=. (1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2交于P,Q两点,求+的值. [解析] (1)由(t为参数),消去参数t得x2=4y,即C1的普通方程为x2=4y. 由ρ=得mρsinθ+ρcosθ=1,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入得my+x-1=0即C2的直角坐标方程为my+x-1=0. (2)由可得=t(x≠0),故t的几何意义是抛物线x2=4y上的点(原点除外)与原点连线的斜率, 由题意知当m=0时,C2:x=1,则C1与C2只有一个交点,故m≠0. 把代入my+x-1=0得4mt2+4t-1=0, 设此方程的两根分别为t1,t2, 则t1+t2=-,t1t2=-, 所以+=+===4. 5.(2019·无锡模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系的长度单位相同.已知圆C1的极坐标方程为ρ=4(cosθ+sinθ),P是C1 上一动点,点Q在射线OP上且满足|OQ|=|OP|,点Q的轨迹为C2. (1)求曲线C2的极坐标方程,并化为直角坐标方程; (2)已知直线l的参数方程为(t为参数,0≤φ<π),l与曲线C2有且只有一个公共点,求φ的值. [解析] (1)设点P,Q的极坐标分别为(ρ0,θ),(ρ,θ),则ρ=ρ0=·4(cosθ+sinθ)=2(cosθ+sinθ), ∴点Q的轨迹C2的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ), 两边同乘以ρ,得ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ), ∴C2的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2. (2)将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程,得 (tcosφ+1)2+(tsinφ-1)2=2,即t2+2(cosφ-sinφ)t=0, t1=0,t2=2(sinφ-cosφ), 由直线l与曲线C2有且只有一个公共点,得sinφ-cosφ=0, 因为0≤φ<π,所以φ=. 6.(2019·临沂模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(r>0,φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ-)=1,且直线l与曲线C相切. (1)求曲线C的极坐标方程; (2)在曲线C上取两点M,N,与原点O构成△MON,且满足∠MON=,求△MON面积的最大值. [解析] (1)由题意可知直线l的直角坐标方程为y=x+2, 由曲线C的参数方程知,曲线C是圆心为(,1),半径为r的圆.由直线l与曲线C相切,可得r==2, 所以曲线C的直角坐标方程为(x-)2+(y-1)2=4, 又x=ρcosθ,y=ρsinθ, 所以曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=0, 即ρ=4sin(θ+). (2)不妨设M(ρ1,θ),N(ρ2,θ+),其中ρ1>0,ρ2>0, 则S△MON=||×||×sin=ρ1ρ2=×4sin(θ+)×4sin(θ+)=2sinθcosθ+2cos2θ =sin2θ+cos2θ+=2sin(2θ+)+≤2+, 所以△MON面积的最大值为2+. 7.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(φ为参数,实数a>0),曲线C2:(φ为参数,实数b>0).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α(ρ≥0,0≤α≤)与C1交于O,A两点,与C2交于O,B两点.当α=0时,|OA|=1;当α=时,|OB|=2. (1)求a,b的值; (2)求2|OA|2+|OA|·|OB|的最大值. [解析] (1)将C1的参数方程化为普通方程:(x-a)2+y2=a2, 其极坐标方程为ρ1=2acosθ, 由题意可得,当θ=α=0时,|OA|=2a=1,所以a=. 将C2的参数方程化为普通方程:x2+(y-b)2=b2, 其极坐标方程为ρ2=2bsinθ, 由题意可得,当θ=α=时,|OB|=2b=2,所以b=1. (2)由(1)可得C1,C2的方程分别为ρ1=cosθ,ρ2=2sinθ, 所以2|OA|2+|OA|·|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=sin(2θ+)+1. 因为θ=α,0≤α≤,所以0≤θ≤,所以2θ+∈[,]. 所以当2θ+=,即θ=时,sin(2θ+)+1取得最大值,为+1. 8.(2019·吉林模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ,直线l1:θ=(ρ∈R),直线l2:θ=(ρ∈R).以极点O为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系. (1)求直线l1,l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程; (2)若直线l1与曲线C交于O,A两点,直线l2与曲线C交于O,B两点,求△AOB的面积. [解析] (1)依题意,直线l1的直角坐标方程为y=x, 直线l2的直角坐标方程为y=x. 由ρ=2cosθ+2sinθ得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ, 因为ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y, 所以(x-)2+(y-1)2=4, 所以曲线C的参数方程为(α为参数). (2)联立得,所以|OA|=4, 同理,|OB|=2, 又∠AOB=, 所以S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB=×4×2×=2, 即△AOB的面积为2.查看更多