2014年版高考数学理55不等式选讲二轮考点专练

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2014年版高考数学理55不等式选讲二轮考点专练

考点55 不等式选讲 一、选择题 ‎1.(2013·安徽高考理科·T4)“a≤0”“是函数在区间内单调递增”的 ( )‎ A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解题指南】 画出函数的简图,数形结合判断。‎ ‎【解析】选C.由函数在区间内单调递增可得其图象如图所示,,由图象可知选项C正确。‎ 二、填空题 ‎2. (2013·陕西高考理科·T15)已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为 . ‎ ‎【解题指南】利用柯西不等式求解.‎ ‎【解析】,且仅当 时取最小值 2.‎ ‎【答案】 2.‎ ‎3. (2013·陕西高考文科·T15)设a, b∈R, |a-b|>2, 则关于实数x的不等式的解集是 .‎ ‎【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识表示数轴上某点到a,b的距离之和即可得解.‎ ‎【解析】函数的值域为: .‎ 所以,不等式的解集为R。‎ ‎【答案】 R. ‎ ‎4.(2013·江西高考理科·T15)在实数范围内,不等式的解集为___________.‎ ‎【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.‎ ‎【解析】由绝对值的意义,等价于,即 ‎,即.‎ ‎【答案】.‎ ‎5. (2013·重庆高考理科·T16)若关于实数的不等式无解,则实数的取值范围是 ‎ ‎【解题指南】 利用绝对值不等式的性质进行求解.‎ ‎【解析】不等式无解,即 因为,所以 ‎【答案】 .‎ ‎6. (2013·湖北高考理科·T13)设x,y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,则x+y+z= ‎ ‎【解题指南】根据柯西不等式等号成立的条件,求出相应的x,y,z的值。‎ ‎【解析】由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32),当且仅当时取等号,此时y=2x,z=3x,x+2y+3z=14x=,所以,,,x+y+z=‎ ‎【答案】 .‎ ‎7. (2013·湖南高考理科·T10)已知a,b,c∈R,a+2b+‎3c=6,则a2+4b2+‎9c2的最小值为    .‎ ‎【解题指南】本题是利用柯西不等式求最值 ‎ ‎【解析】因为,所以 ‎【答案】 12.‎ 三、解答题 ‎8.(2013·辽宁高考文科·T24)与(2013·辽宁高考理科·T24)相同 已知函数 当时,求不等式的解集;‎ 已知关于的不等式的解集为,求的值。‎ ‎【解题指南】利用绝对值的意义,去掉绝对值号,转化为整式不等式问题,是常用的化归方法.‎ ‎【解析】当时,‎ 当时,由;‎ 当时,由,不成立;‎ 当时,由;‎ 综上,‎ 所以,当时,不等式的解集为 记 则 由得,‎ 即 由已知不等式的解集为 亦即的解集为 所以解得24. ‎ ‎9.(2013·新课标Ⅰ高考文科·T24)与(2013·新课标Ⅰ高考理科·T24)相同 已知函数,‎ ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)设,且当)时,,求的取值范围.‎ ‎【解析】当时,不等式化为.‎ 设函数,则 其图象如图所示,‎ 从图象可知,当且仅当时,.所以原不等式的解集是.‎ ‎(Ⅱ)当时,.‎ 不等式化为.‎ 所以对都成立,故,即.‎ 从而的取值范围为 ‎10. (2013·湖南高考理科·T20)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.‎ ‎(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明).‎ ‎(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.‎ ‎【解题指南】(1)本题必须根据题目中图的提示弄清“L路径”是由直线段构成,所以只能用绝对值来表示.‎ ‎(2)先写出点P到三个居民区的“L路径”,则点P到三个居民区的“L路径”长度值和的最小值为三个“L路径”的最小值之和,再利用绝对值知识去处理. ‎ ‎【解析】设点P的坐标为(x,y),‎ ‎(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).‎ ‎(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.‎ ‎①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,‎ 因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|, (*)‎ 当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立,‎ 又因为|x+10|+|x-14|≥24. (**)‎ 当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立.‎ 所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立,‎ d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.‎ ‎②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|.‎ 此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,‎ d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.‎ 由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.‎ 综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.‎ ‎11.(2013·安徽高考理科·T20)‎ 设函数,证明:‎ ‎(1)对每个,存在唯一的,满足;‎ ‎(2)对任意,由(1)中构成的数列满足。‎ ‎【解题指南】 (1)利用导数证明在内单调递增,证明在内有零点;(2)利用(1)得的递减函数,联立与得的关系式,适当放缩证明。‎ ‎【解析】(1)对每个,当x>0时,内单调递增,由于,当,‎ 又 ‎=,所以存在唯一的满足。‎ (2) 当x>0时,,故 由内单调递增知,‎ 为单调递减数列,从而对任意,,对任意,由于 ①‎ ‎ ②‎ ①式减去②式并移项,利用得 ‎,‎ 因此,对任意,都有。‎ ‎12.(2013·福建高考理科·T21)设不等式的解集为A,且 ‎(Ⅰ)求的值 (Ⅱ)求函数的最小值 ‎【解析】(Ⅰ)因为,且,所以,且 解得,又因为,所以 ‎(Ⅱ)因为 当且仅当(x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2时取到等号,所以f(x)的最小值为3.‎ ‎13.. (2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T24)与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T24)相同 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎【解题指南】(1)将两边平方,化简整理,借助不等式的性质,即得结论.‎ ‎(2) 证,也即证 可分别证然后相加即得.‎ ‎【解析】(1)由得 由题设得即 所以,即当且仅当“ ”时等号成立。‎ ‎(2)因为 当且仅当“”时等号成立.‎ 故,即 所以.‎
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