2020学年高二数学下学期期中试题 理 新版 新人教版

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‎2019学年高二数学下学期期中试题 理 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 复数对应的点在复平面上 （ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2. 已知条件的解，的解，则是的（ ）条件．‎ A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既不充分又不必要 ‎3. 在中，，，分别是三外内角、、的对边，，，，则 （ ）‎ A.‎ B.或 C.‎ D.或 ‎4. 已知等比数列中，，，则 （ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎5. 下列命题正确的是 （ ） A.命题“，使得”的否定是：，均有 B.命题“若，则”的否命题是：若，则C.“”是“”的必要而不充分条件 D.命题“，则”的逆否命题是真命题 ‎6. 已知等差数列中，，是方程的两根，则 （ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象 （ ）‎ A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 ‎8. 已知数列中，，，则在数列的前项中最小项和最大项分别是 （ ）‎ A.，‎ B.，‎ C.，‎ D.，‎ ‎9. 圆：和圆：交于，两点，则的垂直平分线的方程是 （ ）‎ 8‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎10. 正三棱柱的正视图的面积是（如图所示），则侧视图的面积为（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎11. 已知函数，则的值为 （ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎12. 已知函数是上的偶函数，当时，，函数满足，则实数的取值范围是 （ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 8‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）‎ ‎13 .用数字，组成四位数，且数字，至少都出现一次，这样的四位数共有________________个．（用数字作答）‎ ‎14 .已知，，，则________．‎ ‎15. 已知向量，，在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为________．‎ ‎16 .由动点引圆的两条切线，，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为______________________________________．‎ 三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. (10分)设函数 写出函数的最小正周期及单调递减区间； 当时，函数的最大值与最小值的和为，求的值．‎ ‎18. (12分) 已知等差数列满足，，数列的前项和．‎ 求及；‎ 令，求数列的前项和．‎ ‎ ‎ ‎19. (12分) 如图，三棱柱中，，，．‎ 证明；‎ 若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎20. (12分) 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求： 至少有人面试合格的概率； 签约人数的分布列和数学期望．‎ 8‎ ‎21. （12分） 已知抛物线过点．‎ 求抛物线的方程，并求其准线方程；‎ 过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，求线段的长度．‎ ‎22. (12分) 已知函数． 若，求函数在上的最大值； 若对任意，有恒成立，求的取值范围．‎ 8‎ 数学理科答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 C A D D B D B C C B C D 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13、14； 14、；‎ ‎15、； 16、；‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 解： 所以． 由，得． 所以的单调递减区间是． 因为，所以， 所以． 当时，， 解得，所以．‎ ‎18.（本题满分12分）解：设等差数列的公差为，∵，， ∴，解得，． ∴． ∴数列的前项和．， ∴数列的前项和．‎ ‎19.（本题满分12分）解：取的中点，连接，，， 因为，所以，由于，， ‎ 8‎ 所以为等边三角形，所以， 又因为，所以平面， 又平面，故；由知，，又平面平面，交线为，‎ ‎ 所以平面，故，，两两垂直． 以为坐标原点，的方向为轴的正向，为单位长，建立如图所示的坐标系， 可得，，，， 则，，， 设为平面的法向量，则，即， 可取，可得，故，， 又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值， 故直线与平面所成角的正弦值为：．‎ 20. ‎（本题满分12分）‎ 解：用，，分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知，，相互独立， 且． 至少有人面试合格的概率是．‎ 的可能取值为，，，， ． ． ． 所以，的分布列是 ‎ 8‎ ‎  ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的期望．‎ 21. ‎（本题满分12分）‎ 解：将代入，得， ∴． 故所求的抛物线的方程为，其准线方程为．由焦点， 直线方程为． 由， 消去得，设直线与抛物线交于不同的两点，， 则，， 易求得．或 ‎ ‎22.（本题满分12分）解：当时，，， 令，得，， 列表： ‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎∴当时，最大值为．‎ ‎， 令，得，， ①若，在上，，单调递减，在上，，单调递增． 所以，在时取得最小值， 因为，，所以． 所以当时，对任意，不成立； ②若，，所以在上是增函数， 所以当时，有； ‎ 8‎ ‎③若，在上，，单调递减，在上，，单调递增． 所以，在时取得最小值， 令，由，得，，  所以当时，对任意，都成立． 综上，的取值范围是 8‎