高中数学人教a必修5学业分层测评12等比数列word版含解析

高中数学人教a必修5学业分层测评12等比数列word版含解析

学业分层测评（十二） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．2＋ 3与 2－ 3的等比中项是( ) A．1 B．－1 C．±1 D．2 【解析】 2＋ 3与 2－ 3的等比中项为 G＝± 2＋ 32－ 3＝±1，故选 C. 【答案】 C 2．在等比数列{an}中，a2 016＝8a2 015，则公比 q 的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．8 【解析】 因为 a2 016＝8a2 015， 所以 a1q2 015＝8a1·q2 014， 解得 q＝8. 【答案】 D 3．已知一等比数列的前三项依次为 x,2x＋2,3x＋3，那么－13 1 2 是此数列的 ( ) A．第 2 项 B．第 4 项 C．第 6 项 D．第 8 项 【解析】 由 x,2x＋2,3x＋3 成等比数列， 可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得 x＝－1 或－4，又当 x＝－1 时，2x＋2＝0， 这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4， ∴该数列是首项为－4，公比为3 2 的等比数列，其通项 an＝－4 3 2 n－1，由－4 3 2 n －1＝－131 2 ，得 n＝4. 【答案】 B 4．已知 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标是(b，c)， 则 ad 等于( ) A．3 B．2 C．1 D．－2 【解析】 由 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 得 b＝1，c＝2. 又 a，b，c，d 成等比数列，即 a,1,2，d 成等比数列， 所以 d＝4，a＝1 2 ，故 ad＝4×1 2 ＝2. 【答案】 B 5．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则 a3＋ a5＋a7＝( ) A．21 B．42 C．63 D．84 【解析】 ∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21， ∴1＋q2＋q4＝7，解得 q2＝2 或 q2＝－3(舍去)． ∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选 B. 【答案】 B 二、填空题 6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且 a4a6＝4a27，则 a3＝ . 【解析】 设等比数列{an}的公比为 q，由已知条件得 a25＝4·a25q4. ∴q4＝1 4 ，q2＝1 2 ， ∴a3＝a1q2＝2×1 2 ＝1. 【答案】 1 7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项 an＝ . 【解析】 由已知得a10 a3 ＝a1q9 a1q2 ＝q7＝128＝27，故 q＝2. 所以 an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3. 【答案】 3×2n－3 8．在等比数列{an}中，an>0，且 a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则 a4＋a5＝ . 【解析】 由已知 a1＋a2＝1，a3＋a4＝9， ∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3 舍)， ∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27. 【答案】 27 三、解答题 9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且 a2·a5＝ 8 27. (1)求数列{an}的通项公式； (2)－16 81 是否为该数列的项？若是，为第几项？ 【解】 (1)因为 2an＝3an＋1， 所以an＋1 an ＝2 3 ，数列{an}是公比为2 3 的等比数列，又 a2·a5＝ 8 27 ， 所以 a21 2 3 5＝ 2 3 3，由于各项均为负， 故 a1＝－3 2 ，an＝－ 2 3 n－2. (2)设 an＝－16 81 ，则－16 81 ＝－ 2 3 n－2， 2 3 n－2＝ 2 3 4，n＝6，所以－16 81 是该数列 的项，为第 6 项． 10．数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝an＋an＋1 2 ，bn＝an＋1 －an. (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求{bn}的通项公式． 【解】 (1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1， ∴bn＋1 bn ＝an＋2－an＋1 an＋1－an ＝ an＋an＋1 2 －an＋1 an＋1－an ＝－1 2. ∴{bn}是等比数列． (2)∵b1＝a2－a1＝1，公比 q＝－1 2 ， ∴bn＝1× －1 2 n－1＝ －1 2 n－1. [能力提升] 1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且 a1，1 2a3,2a2 成等差数列，则a6＋a7 a8＋a9 等于( ) A. 2＋1 B．3＋2 2 C．3－2 2 D．2 2－3 【解析】 设等比数列{an}的公比为 q， 由于 a1，1 2a3,2a2 成等差数列， 则 2 1 2a3 ＝a1＋2a2，即 a3＝a1＋2a2， 所以 a1q2＝a1＋2a1q. 由于 a1≠0， 所以 q2＝1＋2q，解得 q＝1± 2. 又等比数列{an}中各项都是正数， 所以 q>0，所以 q＝1＋ 2. 所以a6＋a7 a8＋a9 ＝a1q5＋a1q6 a1q7＋a1q8 ＝ 1 q2 ＝ 1 1＋ 22 ＝3－2 2. 【答案】 3－2 2 2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝1 4 ，a3a5＝4(a4－1)，则 a2＝ ( ) A．2 B．1 C.1 2 D．1 8 【解析】 法一 ∵a3a5＝a24，a3a5＝4(a4－1)，∴a24＝4(a4－1)， ∴a24－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝a4 a1 ＝2 1 4 ＝8， ∴q＝2，∴a2＝a1q＝1 4 ×2＝1 2 ，故选 C. 法二 ∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)， 将 a1＝1 4 代入上式并整理，得 q6－16q3＋64＝0， 解得 q＝2， ∴a2＝a1q＝1 2 ，故选 C. 【答案】 C 3．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差 d 不为零．若 a2，a3，a7 成 等比数列，且 2a1＋a2＝1，则 a1＝ ，d＝ . 【解析】 ∵a2，a3，a7 成等比数列，∴a23＝a2a7， ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即 2d＋3a1＝0.① 又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.② 由①②解得 a1＝2 3 ，d＝－1. 【答案】 2 3 －1 4．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)求证：数列{an＋1}是等比数列； (2)求 an 的表达式. 【导学号：05920070】 【解】 (1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)． 由 a1＝1，故 a1＋1≠0， 由上式易知 an＋1≠0，∴an＋1＋1 an＋1 ＝2. ∴{an＋1}是等比数列． (2)由(1)可知{an＋1}是以 a1＋1＝2 为首项，以 2 为公比的等比数列， ∴an＋1＝2·2n－1，即 an＝2n－1.