惠州市2020届高三第三次调研考试数学理试题（含解析）

惠州市2020届高三第三次调研考试数学理试题（含解析）

惠州市2020届高三第三次调研考试 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 惠州市2020届高三第三次调研考试 理科数学参考答案及评分细则 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B D A C A D D A D B C ‎1.【解析】，，故选D.‎ ‎2.【解析】，所以对应的点在第二象限，故选B.‎ ‎3.【解析】，，，所以.故选D.‎ ‎4.【解析】因为角θ终边落在直线上，所以，，‎ 所以故选A.‎ ‎5.【解析】如图所示，＝－＝－＝－(＋)‎ ‎＝－(＋)＝－－.故选C.‎ ‎6.【解析】依题意，知－＝－，且－≠，解得a＝±.故选A.‎ ‎7.【解析】‎ ‎，所以，故选D.‎ ‎8.【解析】故选D.‎ ‎9.【解析】是偶函数，排除C、D，又故选A.‎ ‎10.【解析】如图：α//‎面CB‎1‎D‎1‎，α∩‎面ABCD=m，α∩‎面ABA‎1‎B‎1‎=n，可知n//CD‎1‎，m//‎B‎1‎D‎1‎，因为△CB‎1‎D‎1‎是正三角形，所成角为60°．‎ 则m、n所成角的正弦值为‎3‎‎2‎．故选D．‎ 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 ‎11.【解析】设直线AB的方程为：x=ty+m，点A(x‎1‎,y‎1‎)‎,B(x‎2‎,y‎2‎)‎， 直线AB与x轴的交点为M(m,0)‎， 由x=ty+my‎2‎‎=x‎⇒y‎2‎-ty-m=0‎，根据韦达定理有y‎1‎‎⋅y‎2‎=-m, ‎∵OA⋅OB=2‎，‎∴x‎1‎⋅x‎2‎+y‎1‎⋅y‎2‎=2‎， 结合y‎1‎‎2‎‎=‎x‎1‎及y‎2‎‎2‎‎=‎x‎2‎，得‎(y‎1‎⋅y‎2‎‎)‎‎2‎+y‎1‎⋅y‎2‎-2=0‎，‎∵‎点A、B位于x轴的两侧，‎ ‎ ∴y‎1‎⋅y‎2‎=-2‎‎，故m=2‎．不妨令点A在x轴上方，则y‎1‎‎>0‎,又F(‎1‎‎4‎,0)‎, ‎∴S‎△ABO+S‎△AFO=‎1‎‎2‎×2×(y‎1‎-y‎2‎)+‎1‎‎2‎×‎1‎‎4‎y‎1‎=‎9‎‎8‎y‎1‎+‎2‎y‎1‎≥2‎9‎‎8‎y‎1‎‎⋅‎‎2‎y‎1‎=3‎． 当且仅当‎9‎‎8‎y‎1‎‎=‎‎2‎y‎1‎，即y‎1‎‎=‎‎4‎‎3‎时，取“‎=‎”号，‎∴△ABO与‎△AFO面积之和的最小值是3．故选B．‎ ‎12.【解析】‎ (x‎0‎,x‎0‎+1)‎区间中点为x‎0‎‎+‎‎1‎‎2‎，根据正弦曲线的对称性知f(x‎0‎+‎1‎‎2‎)=-1‎,‎①‎正确。 若x‎0‎‎=0‎，则f(x‎0‎)=f(x‎0‎+1)=-‎‎1‎‎2‎，即sinφ=-‎‎1‎‎2‎，不妨取φ=-‎π‎6‎，此时f(x)=sin(2πx-π‎6‎)‎，满足条件，但f(‎1‎‎3‎)=1‎为‎(0,1)‎上的最大值，不满足条件，故‎②‎错误。‎ 不妨令ωx‎0‎+φ=2kπ-‎‎5π‎6‎，ω(x‎0‎+1)+φ=2kπ-‎π‎6‎，两式相减得ω=‎‎2π‎3‎, 即函数的周期T=‎2πω=3‎，故‎③‎正确。 区间‎(0,2019)‎的长度恰好为673个周期，当f(0)=0‎时，即φ=kπ时，f(x)‎在开区间‎(0,2019)‎上零点个数至少为‎673×2-1=1345‎，故‎④‎错误。 故正确的是‎①③‎，故选C．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分。‎ ‎13、6 14、‎-‎3 15、 1（2分）；121（3分） 16、‎ ‎13.【解析】①②③故答案为6.‎ ‎14.【解析】令，得，令x=1‎，则a‎0‎‎+a‎1‎+a‎2‎+…+a‎8‎=-2‎．所以 ‎15.【解析】由n=1‎时，a‎1‎‎=‎S‎1‎，可得a‎2‎‎=2S‎1‎+1=2a‎1‎+1‎，又S‎2‎‎=4‎，即a‎1‎‎+a‎2‎=4‎，即有‎3a‎1‎+1=4‎，解得a‎1‎‎=1‎；由an+1‎‎=Sn+1‎-‎Sn，可得Sn+1‎‎=3Sn+1‎，由S‎2‎‎=4‎，可得S‎3‎‎=3×4+1=13‎，S‎4‎‎=3×13+1=40‎，S‎5‎‎=3×40+1=121‎．‎ ‎16.【解析】因为是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以，‎ 解得，所以抛物线的方程为：；‎ 由，，‎ 如图过作抛物线准线的垂线，垂足为，设，，‎ 则，∴．‎ 由，可得 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 在△中，，，，‎ 由余弦定理得 即，化简得 ‎，又，．故答案为．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）在中，因为，，‎ ‎，……………………………………1分 所以，解得．………………………………………2分 在中，由余弦定理得，……4分 因为，所以． …………………………………………………5分 ‎（2）设，则． ………………6分 在中，因为，所以． ……………7分 在中，， ………………………8分 ‎ 由正弦定理得，即，……9分 所以，所以， …………10分 即， …………………………………………………………11分 所以，即． ……………………………………12分 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）证明：连接BD，设AE的中点为O，‎∵AB//CE，AB=CE=‎1‎‎2‎CD，‎ ‎∴‎四边形ABCE为平行四边形，‎∴AE=BC=AD=DE………………………………1分 ‎∴△ADE‎，‎△ABE为等边三角形‎∴OD⊥AE，OB⊥AE……………………2分 又OP∩OB=O，OD⊂‎平面POB，OB⊂‎平面POB …3分【注】无写出此步骤不得分。‎ ‎∴AE⊥‎平面POB ……………………………………………………………4分 又PB⊂‎平面POB，‎∴AE⊥PB． …………………………………………5分 ‎（2）【解法一】向量法 在平面POB内作PQ⊥‎平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，‎ ‎∴‎直线PB与平面ABCE夹角为‎∠PBO=‎π‎4‎，又OP=OB，‎∴OP⊥OB，‎ ‎∴O‎、Q两点重合，即PO⊥‎平面ABCE, ……………6分 ‎【注】无证明此得分点不给分。 以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立如图空间直角坐标系， 则P(0,‎0,‎3‎‎2‎‎)‎，E(‎1‎‎2‎,‎0,‎0)‎，C(1,‎3‎‎2‎,0)‎，‎∴PE=(‎1‎‎2‎,‎0,‎-‎3‎‎2‎)‎，EC‎=(‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎,0)‎………………7分 设平面PCE的一个法向量为n‎1‎‎=(x,‎y,z)‎，则n‎1‎‎⋅PE=0‎n‎1‎‎⋅EC=0‎，即‎1‎‎2‎x-‎3‎‎2‎z=0‎‎1‎‎2‎x+‎3‎‎2‎y=0‎, ……………8分 令x=‎‎3‎，得n‎1‎‎=(‎3‎,-1,1)‎ ………………………………………………9分 又OB⊥‎平面PAE，‎∴n‎2‎=(0,‎1,‎0)‎为平面PAE的一个法向量 ……………………10分 设二面角A-EP-C为α，则‎|cosα|=|cos|=‎|n‎1‎⋅n‎2‎|‎‎|n‎1‎||n‎2‎|‎=‎1‎‎5‎=‎‎5‎‎5‎ ……11分 易知二面角A-EP-C为钝角，所以二面角A-EP-C的余弦值为‎-‎‎5‎‎5‎．…………12分 F ‎【解法二】几何法 在平面POB内作PQ⊥‎平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，‎ ‎∴‎直线PB与平面ABCE夹角为‎∠PBO=‎π‎4‎，又OP=OB，‎∴OP⊥OB，‎ ‎∴O‎、Q两点重合，即PO⊥‎平面ABCE，……………6分 ‎【注】无证明此得分点不给分。‎ 过点C作CH⊥AE交于点H，连结PH，则二面角A-PE-C与二面角H-PE-C互为补角。‎ 又因为CH⊥PO，所以CH⊥面PAE，‎ 过H作HF⊥PE交于点F，连结CF，由三垂线定理知CF⊥PE 所以∠CFH为二面角H-PE-C的平面角。……………………………………………7分 在Rt△CHE中，∠CEH=60°，CE=1，所以HE=‎1‎‎2‎，CE=‎3‎‎2‎，……………………8分 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 在Rt△HFE中，∠FEH=60°，HE=‎1‎‎2‎，所以HF=‎3‎‎4‎……………………………………9分 在Rt△CHF中，由勾股定理知CF=‎15‎‎4‎…………………………………………………10分 故cos∠CFH=HFCF=‎5‎‎5‎……………………………………………………………………11分 所以二面角A-EP-C的余弦值为‎-‎‎5‎‎5‎．………………………………………………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）【解法一】‎ 记事件Ai‎={‎从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，i=0‎，1，2，‎3}‎；‎ 则A‎2‎与A‎3‎互斥………………………………………………………………………1分 故所求概率为P至少2人感兴趣=PA‎2‎‎+‎A‎3‎=PA‎2‎+PA‎3‎……………2分 ‎=C‎3‎‎2‎‎⋅‎C‎3‎‎1‎C‎6‎‎3‎+‎C‎3‎‎3‎‎⋅‎C‎3‎‎0‎C‎6‎‎3‎‎………………………………3分 ‎=‎10‎‎20‎=‎‎1‎‎2‎‎；…………………………………4分 ‎【解法二】记事件Ai‎={‎从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，i=0‎，1，2，‎3}‎；‎ 则A‎0‎与A‎1‎互斥………………………………………………………………………1分 故所求概率为P至少2人感兴趣=1-PA‎0‎‎+‎A‎1‎=1-PA‎0‎-PA‎1‎………2分 ‎=1-C‎3‎‎2‎‎⋅‎C‎3‎‎1‎C‎6‎‎3‎-‎C‎3‎‎3‎‎⋅‎C‎3‎‎0‎C‎6‎‎3‎‎………………………………3分 ‎=1-‎10‎‎20‎=‎‎1‎‎2‎‎；…………………………………4分 ‎（2）由题意知，随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3；………………………………5分 P(ξ=0)=C‎3‎‎2‎‎⋅‎C‎4‎‎2‎C‎5‎‎2‎‎⋅‎C‎5‎‎2‎=‎‎9‎‎50‎‎ …………………………………………………………6分 ‎ P(ξ=1)=C‎2‎‎1‎‎⋅C‎3‎‎1‎⋅C‎4‎‎2‎+C‎3‎‎2‎⋅‎C‎4‎‎1‎C‎5‎‎2‎‎⋅‎C‎5‎‎2‎=‎‎12‎‎25‎‎ ………………………………………………7分 P(ξ=2)=C‎2‎‎2‎‎⋅C‎4‎‎2‎+C‎3‎‎1‎⋅C‎2‎‎1‎⋅‎C‎4‎‎1‎C‎5‎‎2‎‎⋅‎C‎5‎‎2‎=‎‎3‎‎10‎‎ ………………………………………………8分 P(ξ=3)=C‎2‎‎2‎‎⋅‎C‎4‎‎1‎C‎5‎‎2‎‎⋅‎C‎5‎‎2‎=‎‎1‎‎25‎‎ …………………………………………9分 则ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎9‎‎50‎ ‎12‎‎25‎ ‎3‎‎10‎ ‎1‎‎25‎ ‎………10分 ‎【注】无列表此得分点不得分。‎ 数学期望为E(ξ)=0×‎9‎‎50‎+1×‎24‎‎50‎+2×‎15‎‎50‎+3×‎2‎‎50‎=‎‎6‎‎5‎． ………………………12分 ‎ 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）当x‎1‎‎=0‎时，代入椭圆方程可得A点坐标为(0,1)‎或‎(0,-1)‎……………………1分 若A点坐标为(0,1)‎，此时直线l：x+4y-4=0‎…………………………………2分 联立，消x整理可得‎5y‎2‎-8y+3=0‎……………………………3分 解得y‎1‎‎=1‎或，故B‎(‎8‎‎5‎,‎3‎‎5‎)‎……………………………………………………4分 所以‎△OAB的面积为‎1‎‎2‎‎×1×‎8‎‎5‎=‎‎4‎‎5‎ . …………………………………………………5分 若A点坐标为(0,-1)‎‎，由对称性知‎△OAB的面积也是，‎ 综上可知，当x‎1‎‎=0‎时，‎△OAB的面积为.……………………………………6分 ‎（2）【解法一】显然直线l的斜率不为0，设直线l：x=my+4‎……………………………7分 联立x=my+4‎x‎2‎‎+4y‎2‎=4‎，消去x整理得‎(m‎2‎+4)y‎2‎+8my+12=0‎ 由‎△=64m‎2‎-4×12(m‎2‎+4)>0‎，得m‎2‎‎>12‎…………8分 则y‎1‎‎+y‎2‎=-‎‎8mm‎2‎‎+4‎，y‎1‎y‎2‎‎=‎‎12‎m‎2‎‎+4‎ ,…………………………9分 因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，‎ 所以kTA‎+kTB=0‎………………10分 设T(t,0)‎，则kTA‎+kTB=y‎1‎x‎1‎‎-t+y‎2‎x‎2‎‎-t=y‎1‎‎(x‎2‎-t)+y‎2‎(x‎1‎-t)‎‎(x‎1‎-t)(x‎1‎-t)‎=‎‎2my‎1‎y‎2‎+(4-t)(y‎1‎+y‎2‎)‎‎(x‎1‎-t)(x‎2‎-t)‎, 即‎2my‎1‎y‎2‎+(4-t)(y‎1‎+y‎2‎)=‎24mm‎2‎‎+4‎+‎8m(t-4)‎m‎2‎‎+4‎=‎8m(t-1)‎m‎2‎‎+4‎=0‎,‎ 解得t=1‎. …………………………………………………………………………………………11分 故x轴上存在定点T(1,0)‎，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．……12分 ‎【解法二】显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l：………………………7分 联立，消去整理得 由，得,………………………8分 则， ,…………………………………………9分 因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以kTA‎+kTB=0‎……………10分 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 设T(t,0)‎，则 即，‎ 解得t=1‎. …………………………………………………………………………………………11分 故x轴上存在定点T(1,0)‎，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．………12分 ‎21．（本题满分12分）‎ ‎【解析】（1）【解法一】由，解得． ………………1分 若，则当时，，故的单调递增区间为；‎ 当时，，故的单调递减区间为．………2分 若，则当时，，故的单调递增区间为；‎ 当时，，故的单调递减区间为．………3分 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为．……………4分 ‎【解法二】令其中.令得 当 当………………1分 又当时，在R上单调递增；‎ 当时，在R上单调递减。……………………………………………2分 由复合函数单调性知，‎ 时，的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 时，的单调递增区间为，单调递减区间为．…………3分 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为．……………4分。‎ ‎（2），即（﹡）．‎ 令，得，则． ……………………………………………………5分 当时，不等式（﹡）显然成立， ‎ 当时，两边取对数，即恒成立． …………………6分 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 令函数，即在内恒成立．……………7分 由，得．‎ 故当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减. ………………………………………8分 因此． ………………………9分 令函数，其中，‎ 则，得，‎ 故当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增． ……………………10分 又，，‎ 故当时，恒成立，因此恒成立， …………………11分 综上知：当时，对任意的，均有成立……12分 ‎22.（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（1）【解法1】由，，，…3分 则 ………………4分 所以……………………………………………………………5分 ‎【解法2】的直角坐标方程为，如图所示，……………1分 假设直线OA、OB、OC的方程为，，，，‎ 由点到直线距离公式可知 在直角三角形OMF中，由勾股定理可知，得……………2分 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 由直线方程可知，，‎ 所以，得………3分 所以，得……4分 所以……………………………………………………………5分 ‎（2）【解法一】曲线的普通方程为：，……………………………………6分 将直线的参数方程代入上述方程，整理得，解得；………7分 平面直角坐标为………………………………………………………8分 则；又得. ……………………………………9分 即四边形面积为为所求. ………10分 ‎【解法二】由BC的参数方程化为普通方程得：………………………5分 联立解得或，即,…………6分 点A的极坐标为，化为直角坐标为………7分 直线OB的方程为，点A到直线OB的距离为………8分 ‎…………………………10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以………1分 当时，原不等式等价于，解得，所以此时不等式无解…2分 ‎ 当时，原不等式等价于，解得，所以……3分 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页 综上所述，不等式解集为．……………………………………………5分 ‎（2）由，得，‎ 当时，恒成立，所以； …………………………………………6分 当时，．……7分 因为……………………8分 当且仅当即或时，等号成立， …………9分 所以，；‎ 综上，的取值范围是． …………………………………………………10分 ‎【注】如果本题两个小问通过图象法解答，分别正确作出图象（如下图）各1分，正确写出结果各1分，中间过程可酌情给1分，但每小问给分最多不超过3分。‎ 如果作图的坐标系没有箭头或的标记，扣除过程分1分。‎ 数学试题（理科）答案 第 16 页，共 16 页