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2019-2020学年山东省济南市章丘区九年级（上）期中数学试卷
2019-2020学年山东省济南市章丘区九年级（上）期中数学试卷 一、单选题第I卷（选择题） 1. 如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.圆柱 C.球 D.圆锥 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A.ax2+bx+c＝0 B.x−3＝5x2−6 C.5x(x+1)＝5x2−12 D.x−13=−x22−1 3. 两个人的影子在两个相反的方向，这说明( ) A.他们站在阳光下 B.他们站在路灯下 C.他们站在路灯的两侧 D.他们站在月光下 4. 若a2=b3=c4，则a+bb−c的值为（ ） A.5 B.15 C.−5 D.−15 5. 若2+3是方程x2−4x+c＝0的一个根，则c的值是（ ） A.1 B.3−3 C.1+3 D.2−3 6. 如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ） A.x2+2x−99＝0化为(x+1)2＝100 B.2x2−7x−4＝0化为(x−74)2=8116 C.x2+8x+9＝0化为(x+4)2＝25 D.3x2−4x−2＝0化为(x−23)2=109 8. 在同一直角坐标平面内，如果y＝k1x与y=k2x没有交点，那么k1和k2的关系一定是（ ） A.k1<0，k2>0 B.k1>0，k2<0 C.k1、k2同号 D.k1、k2异号 9. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为( ) A.100×80−100x−80x=7644 B.(100−x)(80−x)+x2=7644 C.(100−x)(80−x)=7644 D.100x+80x=356 10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，∠ABC＝60∘，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t<4)，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（ ） A.2 B.2.5或3.5 C.2或3.5 D.2或2.5 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 11. 如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论： ①DEBC=12；②S△DOES△COB=12；③ADAB=OEOB；④S△ODES△ADC=13 其中正确的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12. 如图，在x轴正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An−1An＝1（n为正整数），过点A1、A2、A3、…、An分别作x轴的垂线，与反比例函数y=2x(x>0)交于点P1、P2、P3、…、Pn，连接P1P2、P2P3、…、Pn−1Pn，过点P2、P3、…、Pn分别向P1A1、P2A2、…、Pn−1An−1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是（ ） A.n−1n B.nn+1 C.12n D.14n 二、填空题 方程x(x+2)＝2(x+2)的根是________． 在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个兵乓球，摸到黄色兵乓球的概率为13，那么盒子内白色兵乓球的个数为________． 如图，在△ABC中，AD:DB＝2:3，E为CD的中点，AE的延长线交BC于点F，则BF:FC＝________． 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为________． 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(−1, 0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是________． 如图，已知点A是一次函数y=12x(x≥0)图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y=kx(x>0)的图象过点B，C，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是________． 三、解答题 解方程： (1)(x−3)2+2x(x−3)=0； 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 (2)4x2−8x−1=0（用配方法解）． 如图，BD，CE是△ABC的高．求证：BA⋅AE＝AC⋅AD． 已知关于x的一元二次方程mx2−(m+1)x+1＝0． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值． 已知，如图在Rt△ABC中，∠B＝90∘，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？ 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000， （1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 如图所示，网格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(−1, −1)． （1）把△ABC向下平移5格后得到△A1B1C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并画出△A1B1C1； （2）把△ABC绕点O按顺时针方向旋转180∘后得到△A2B2C2，写出点A2，B2，C2的坐标，并画出△A2B2C2； （3）把△ABC以点O为位似中心放大得到△A3B3C3，使放大前后对应线段的比为1:2，写出点A3，B3，C3的坐标，并画出△A3B3C3． 某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查．随机调查了某班所有同学最喜欢的节目（每名学生必选且只能选择四类节目中的一类）并将调查结果绘成如下不完整的统计图．根据两图提供的信息，回答下列问题： （1）最喜欢娱乐类节目的有________人，图中x＝________； （2）请补全条形统计图； （3）根据抽样调查结果，若该校有1800名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目； （4）在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算从甲、乙、丙、丁4名同学中选取2人参加学校组织的体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率． 提出问题 (1)如图1，在等边△ABC中，点M是BC上任意一点（不含端点B，C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，求证：∠ABC=∠ACN； 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 类比探究 (2)如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，(1)中的结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由； 拓展延伸 (3)如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 如图1，已知直线y＝3x分别与双曲线y=12x、y=kx(x>0)交于P、Q两点，且OP＝2OQ． （1）求k的值． （2）如图2，若点A是双曲线y=12x上的动点，AB // x轴，AC // y轴，分别交双曲线y=kx(x>0)于点B、C，连接BC．请你探索在点A运动过程中，△ABC的面积是否变化？若不变，请求出△ABC的面积；若改变，请说明理由； （3）如图3，若点D是直线y＝3x上的一点，请你进一步探索在点A运动过程中，以点A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由． 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 参考答案与试题解析 2019-2020学年山东省济南市章丘区九年级（上）期中数学试卷 一、单选题第I卷（选择题） 1. 【答案】 D 【考点】 由三视图判断几何体 【解析】 根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是三角形，可判断该几何体是锥体，再根据左视图的形状，即可得出答案． 【解答】 ∵ 几何体的主视图和俯视图都是三角形， ∴ 该几何体是一个锥体， ∵ 俯视图是一个圆， ∴ 该几何体是一个圆锥； 2. 【答案】 D 【考点】 一元二次方程的定义 【解析】 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】 B、x−3＝5x2−6不是一元二次方程，故选项B不合题意（1）C、5x(x+1)＝5x2−12化简为5x+12＝0，是一元一次方程，故选项C不合题意（2）D、x−13=−x22−1是一元二次方程，故选项D符合题意（3）故选：D． 3. 【答案】 C 【考点】 平行投影 中心投影 【解析】 本题考查中心投影的特点． 【解答】 解：根据两个人的影子在两个相反的方向，则一定是中心投影；且两人同在光源两侧． 故选C. 4. 【答案】 C 【考点】 比例的性质 【解析】 设a2=b3=c4=k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后代入求值即可． 【解答】 解：设a2=b3=c4=k， 则a=2k，b=3k，c=4k， a+bb−c=2k+3k3k−4k=5k−k=−5. 故选C. 5. 【答案】 A 【考点】 一元二次方程的解 【解析】 把2+3代入方程x2−4x+c＝0就得到关于c的方程，就可以解得c的值． 【解答】 把2+3代入方程x2−4x+c＝0，得(2+3)2−4(2+3)+c＝0， 解得c＝1； 6. 【答案】 C 【考点】 相似三角形的判定 【解析】 △ABC是等腰三角形，底角是75∘，则顶角是30∘，结合各选项是否符合相似的条件即可． 【解答】 ∵ 由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75∘， ∴ ∠C＝75∘，∠A＝30∘， A、三角形各角的度数分别为75∘，52.5∘，52.5∘， B、三角形各角的度数都是60∘， C、三角形各角的度数分别为75∘，30∘，75∘， D、三角形各角的度数分别为40∘，70∘，70∘， ∴ 只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 7. 【答案】 C 【考点】 解一元二次方程-配方法 【解析】 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案． 【解答】 A、由原方程，得x2+2x＝99， 等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得 (x+1)2＝100； 故本选项正确； B、由原方程，得 2x2−7x＝4， 等式的两边同时加上一次项系数−7的一半的平方，得， (x−74)2=8116， 故本选项正确； C、由原方程，得 x2+8x＝−9， 等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得 (x+4)2＝7； 故本选项错误； D、由原方程，得 3x2−4x＝2， 化二次项系数为1，得 x2−43x=23 等式的两边同时加上一次项系数−43的一半的平方169，得 (x−23)2=109； 故本选项正确． 8. 【答案】 D 【考点】 反比例函数与一次函数的综合 【解析】 如果直线y＝k1x与双曲线y=k2x没有交点，则k1x=k2x无解，即k2k1<0． 【解答】 ∵ 直线y＝k1x与双曲线y=k2x没有交点， ∴ k1x=k2x无解， ∴ x2=k2k1无解， ∴ k2k1<0．即k1和k2异号． 9. 【答案】 C 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 一元二次方程的应用--几何图形面积问题 【解析】 把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【解答】 解：设道路的宽应为x米，由题意有 (100−x)(80−x)=7644， 故选C． 10. 【答案】 C 【考点】 相似三角形的判定 【解析】 求出AB＝2BC＝4cm，分两种情况：①当∠EDB＝∠ACB＝90∘时，DE // AC，△EBD∽△ABC，得出AE＝BE=12AB＝2cm，即可得出t＝2s；②当∠DEB＝∠ACB＝90∘时，证出△DBE∽△ABC，得出∠BDE＝∠A＝30∘，因此BE=12BD=12cm，得出AE＝3.5cm，t＝3.5s；即可得出结果． 【解答】 ∵ ，∠ACB＝90∘，∠ABC＝60∘， ∴ ∠A＝30∘， ∴ AB＝2BC＝4cm， 分两种情况： ①当∠EDB＝∠ACB＝90∘时， DE // AC，△EBD∽△ABC， ∵ D为BC的中点， ∴ BD＝CD=12BC＝1cm，E为AB的中点，AE＝BE=12AB＝2cm， ∴ t＝2s； ②当∠DEB＝∠ACB＝90∘时， ∵ ∠B＝∠B， ∴ △DBE∽△ABC， ∴ ∠BDE＝∠A＝30∘， ∴ BE=12BD=12cm， ∴ AE＝3.5cm， ∴ t＝3.5s； 综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5； 11. 【答案】 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 B 【考点】 相似三角形的性质与判定 三角形的重心 【解析】 BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，即DE是△ABC的中位线，则DE // BC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质即可判断． 【解答】 解：∵ BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点， ∴ DE是△ABC的中位线， ∴ DE=12BC，即DEBC=12， DE // BC， ∴ △DOE∽△COB， ∴ S△DOES△COB=(DEBC)2=(12)2=14， OEOB=DEBC=ADAB=12， 故①正确，②错误，③正确； 设△ABC的BC边上的高AF，则S△ABC=12BC⋅AF，S△ACD=12S△ABC=14BC⋅AF， ∵ △ODE中，DE=12BC，DE边上的高是12×13AF=16AF， ∴ S△ODE=12×12BC×16AF=124BC⋅AF， ∴ S△ODES△ADC=124BC⋅AF14BC⋅AF=16，故④错误． 故正确的是①③． 故选B． 12. 【答案】 A 【考点】 反比例函数系数k的几何意义 【解析】 由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An−1An＝1可知P1点的坐标为(1, y1)，P2点的坐标为(2, y2)，P3点的坐标为(3, y3)…Pn点的坐标为(n, yn)，把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3...Sn−1的值，故可得出结论． 【解答】 ∴ S1=12(1)(3)∵ S1=12×1×(y1−y2)=12×1×(2−22)＝1−12(2)∴ S2=12×1×(y2−y3)=12−13(3)S3=12×1×(y3−y4)=12×(23−24)=13−14(4)… ∴ Sn−1=1n−1−1n， ∴ S1+S2+S3+...+Sn−1=1−12+12−13+13−14+⋯1n−1−1n=n−1n． 故选：A． 二、填空题 【答案】 x1＝−2，x2＝2 【考点】 解一元二次方程-因式分解法 【解析】 利用提取公因式法，将原式因式分解为(x−2)(x+2)＝0，求出即可． 【解答】 x(x+2)＝2(x+2)， (x−2)(x+2)＝0， x−2＝0或x+2＝0， ∴ x1＝2，x2＝−2； 【答案】 4 【考点】 概率公式 【解析】 先求出盒子内乒乓球的总个数为，然后用总个数减去黄球个数得到据摸到白色乒乓球的个数． 【解答】 盒子内乒乓球的个数为2÷13=6（个）， 白色兵乓球的个数6−2＝4（个） 【答案】 52 【考点】 平行线分线段成比例 【解析】 根据题意作辅助线，根据已知条件可证明△DGE≅△CFE，所以DG＝FC，根据比例关系得知DG // FC，最后根据三角形平行线段成比例关系即可得出答案． 【解答】 在AE上取点G，使EG＝EF， ∵ E为CD的中点， ∴ DE＝CE， 又∵ EG＝EF，∠DEG＝∠CEF， ∴ △DGE≅△CFE， ∴ DG＝FC， 根据比例关系可知：DG // FC， ∵ AD:DB＝2:3， ∴ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 BFFC=BFDG=ABAD=52． 【答案】 4πcm2 【考点】 由三视图判断几何体 【解析】 俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积＝底面周长×母线长÷2． 【解答】 此几何体为圆锥； ∵ 直径为2cm，母线长为4cm， ∴ 侧面积＝2π×4÷2＝4π(cm2)． 【答案】 −12(a+3) 【考点】 坐标与图形性质 作图-位似变换 【解析】 设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解． 【解答】 设点B的横坐标为x， 则B、C间的横坐标的长度为−1−x，B′、C间的横坐标的长度为a+1， ∵ △ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C， ∴ 2(−1−x)＝a+1， 解得x=−12(a+3)． 【答案】 3 【考点】 反比例函数系数k的几何意义 等腰直角三角形 反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】 本题介绍两种解法： 解法一：设A(t, t2)、B(t, kt)，根据反比例函数关于y=x对称可得C(kt, t)，得：CE=t2，则DE=t=2CE，则发现△ABC和△ABO两个三角形是同底边，根据高的倍数可得：S△ABO=2S△ABC，可得结论； 解法二：作辅助线，构建直角三角形，设AB=2a，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BE=AE=CE=a，设A(x, 12x)，则B(x, 12x+2a)，C(x+a, 12x+a)，因为B、C都在反比例函数的图象上，列方程可得结论． 【解答】 解法一：设A(t, t2)、B(t, kt)， ∵ △ABC是等腰直角三角形，且AB⊥x轴， ∴ 直线BC与y轴夹角为45度角， 所以根据双曲线的对称性可得，C(kt, t)， 过C作CE垂直AB于E，交y轴于D， ∴ AE=yC−yA=t−12t=12t， ∵ △AEC是等腰直角三角形， ∴ CE=AE=t2，则DE=t=2CE， 则S△ABO=2S△ABC， ∵ △OAB的面积为6， ∴ S△ABC=3； 解法二：如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E， ∵ AB⊥x轴， ∴ CD⊥AB， ∵ △ABC是等腰直角三角形， ∴ BE=AE=CE， 设AB=2a，则BE=AE=CE=a， 设A(x, 12x)，则B(x, 12x+2a)，C(x+a, 12x+a)， ∵ B，C在反比例函数的图象上， ∴ x(12x+2a)=(x+a)(12x+a)， x=2a， ∵ S△OAB=12AB⋅DE=12⋅2a⋅x=6， ∴ ax=6， ∴ 2a2=6， a2=3， ∵ S△ABC=12AB⋅CE=12⋅2a⋅a=a2=3． 三、解答题 【答案】 解：(1)(x−3)(x−3+2x)=0， 即(x−3)(3x−3)=0， ∴ x−3=0或3x−3=0， 解得：x=3或x=1； 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 (2)4x2−8x=1， x2−2x=14， x2−2x+1=14+1，即(x−1)2=54， ∴ x−1=±52， ∴ x=1±52． 【考点】 解一元二次方程-因式分解法 解一元二次方程-配方法 【解析】 （1）因式分解法求解可得； （2）配方法求解可得． 【解答】 解：(1)(x−3)(x−3+2x)=0， 即(x−3)(3x−3)=0， ∴ x−3=0或3x−3=0， 解得：x=3或x=1； (2)4x2−8x=1， x2−2x=14， x2−2x+1=14+1，即(x−1)2=54， ∴ x−1=±52， ∴ x=1±52． 【答案】 ∵ BD，CE是△ABC的高 ∴ ∠ADB＝∠AEC＝90∘ 又∵ ∠A＝∠A ∴ △ADB∽△AEC ∴ ADAE=ABAC ∴ AD⋅AC＝AE⋅AB 即BA⋅AE＝AC⋅AD． 【考点】 相似三角形的性质与判定 【解析】 根据有两个角相等的三角形是相似三角形，判定△ADB∽△AEC，再根据相似三角形的性质得出比例式，再将比例式写成乘积形式即可得证． 【解答】 ∵ BD，CE是△ABC的高 ∴ ∠ADB＝∠AEC＝90∘ 又∵ ∠A＝∠A ∴ △ADB∽△AEC ∴ ADAE=ABAC ∴ AD⋅AC＝AE⋅AB 即BA⋅AE＝AC⋅AD． 【答案】 证明：△＝[−(m+1)]2−4m＝(m−1)2． ∵ (m−1)2≥0， ∴ △≥0． ∴ 该方程总有两个实数根； x=(m+1)±(m−1)22m． ∴ x1＝1，x2=1m． 当m为整数1或−1时，x2为整数，即该方程的两个实数根都是整数， ∴ m的值为1或−1． 【考点】 根的判别式 解一元二次方程-公式法 【解析】 （1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结论； （2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m的值． 【解答】 证明：△＝[−(m+1)]2−4m＝(m−1)2． ∵ (m−1)2≥0， ∴ △≥0． ∴ 该方程总有两个实数根； x=(m+1)±(m−1)22m． ∴ x1＝1，x2=1m． 当m为整数1或−1时，x2为整数，即该方程的两个实数根都是整数， ∴ m的值为1或−1． 【答案】 设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似； 则PB＝(6−t)cm，BQ＝2tcm， ∵ ∠B＝90∘， ∴ 分两种情况： ①当PBAB=BQBC时， 即6−t6=2t8， 解得：t＝2.4； ②当PBBC=BQAB时， 即6−t8=2t6， 解得：t=1811； 综上所述：2.4秒或1811秒时，以Q，B，P 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 为顶点的三角形与△ABC相似． 【考点】 相似三角形的判定 【解析】 设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似；则PB＝(6−t)cm，BQ＝2tcm，分两种情况：①当PBAB=BQBC时；②当PBBC=BQAB时；分别解方程即可得出结果． 【解答】 设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似； 则PB＝(6−t)cm，BQ＝2tcm， ∵ ∠B＝90∘， ∴ 分两种情况： ①当PBAB=BQBC时， 即6−t6=2t8， 解得：t＝2.4； ②当PBBC=BQAB时， 即6−t8=2t6， 解得：t=1811； 综上所述：2.4秒或1811秒时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似． 【答案】 设每次降价的百分率为x， 依题意得：3000(1−x)2＝2430， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率是10%； 假设下调a个50元，依题意得：5000＝(400−50a)(8+4a)． 解得a＝3． 所以下调150元，因此定价为2750元． 【考点】 一元二次方程的应用 【解析】 （1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1−降价的百分率），则第一次降价后的价格是60(1−x)元，第二次后的价格是60(1−x)2元，据此即可列方程求解； （2）假设下调a个50元，销售利润＝一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润＝售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×销售的件数＝5000元，即可列方程求解． 【解答】 设每次降价的百分率为x， 依题意得：3000(1−x)2＝2430， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率是10%； 假设下调a个50元，依题意得：5000＝(400−50a)(8+4a)． 解得a＝3． 所以下调150元，因此定价为2750元． 【答案】 如图所示，△A1B1C1即为所求： 点A1，B1，C1的坐标分别为(3, −2)，(−1, −6)，(5, −6) 如图所示△A2B2C2即为所求： 点A2，B2，C2的坐标分别为(−3, −3)，(1, 1)，(−5, 1)； 如图所示△A3B3C3即为所求： 点A3，B3，C3的坐标分别为(6, 6)，(−2, −2)，(10, −2)或(−6, −6)，(2, 2)，(−10, 2)． 【考点】 作图-位似变换 作图-旋转变换 作图－平移变换 【解析】 （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【解答】 如图所示，△A1B1C1即为所求： 点A1，B1，C1的坐标分别为(3, −2)，(−1, −6)，(5, −6) 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 如图所示△A2B2C2即为所求： 点A2，B2，C2的坐标分别为(−3, −3)，(1, 1)，(−5, 1)； 如图所示△A3B3C3即为所求： 点A3，B3，C3的坐标分别为(6, 6)，(−2, −2)，(10, −2)或(−6, −6)，(2, 2)，(−10, 2)． 【答案】 20,18 补全条形图如下： 估计该校最喜欢娱乐类节目的学生有1800×2050=720（人）； 画树状图得： ∵ 共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况， ∴ 恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为212=16． 【考点】 用样本估计总体 条形统计图 列表法与树状图法 【解析】 （1）先根据“新闻”类人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数减去其他三个类型人数即可求得“娱乐”类人数，用“动画”类人数除以总人数可得x的值； （2）根据（1）中所求结果即可补全条形图； （3）总人数乘以样本中“娱乐”类节目人数所占比例； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】 ∵ 被调查的总人数为6÷12%＝50人， ∴ 最喜欢娱乐类节目的有50−(6+15+9)＝20，x%=950×100%＝18%，即x＝18， 故答案为：20、18； 补全条形图如下： 估计该校最喜欢娱乐类节目的学生有1800×2050=720（人）； 画树状图得： ∵ 共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况， ∴ 恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为212=16． 【答案】 (1)证明：∵ △ABC，△AMN是等边三角形， ∴ AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60∘， ∴ ∠BAM=∠CAN. ∵ 在△BAM和△CAN中， AB=AC，∠BAM=∠CAN，AM=AN， ∴ △BAM≅△CAN(SAS)， ∴ ∠ABC=∠ACN． (2)解：结论∠ABC=∠ACN仍成立，理由如下： ∵ △ABC，△AMN是等边三角形， ∴ AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60∘， ∴ ∠BAM＝∠CAN. ∵ 在△BAM和△CAN中， AB=AC，∠BAM=∠CAN，AM=AN， ∴ △BAM≅△CAN(SAS)， ∴ ∠ABC=∠ACN． (3)解：∠ABC=∠ACN. 理由如下：∵ BA=BC，MA=MN， 顶角∠ABC=∠AMN， ∴ 底角∠BAC=∠MAN， ∴ △ABC∼△AMN， ∴ ABAC=AMAN. 又∵ ∠BAM=∠BAC−∠MAC， ∠CAN=∠MAN−∠MAC， ∴ ∠BAM=∠CAN， ∴ △BAM∼△CAN， ∴ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ∠ABC=∠ACN． 【考点】 相似三角形的性质与判定 全等三角形的性质与判定 等边三角形的性质 【解析】 （1）利用SAS可证明△BAM≅△CAN，继而得出结论； （2）也可以通过证明△BAM≅△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样． （3）首先得出∠BAC＝∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到ABAM=ACAN，根据∠BAM＝∠BAC−∠MAC，∠CAN＝∠MAN−∠MAC，得到∠BAM＝∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论． 【解答】 (1)证明：∵ △ABC，△AMN是等边三角形， ∴ AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60∘， ∴ ∠BAM=∠CAN. ∵ 在△BAM和△CAN中， AB=AC，∠BAM=∠CAN，AM=AN， ∴ △BAM≅△CAN(SAS)， ∴ ∠ABC=∠ACN． (2)解：结论∠ABC=∠ACN仍成立，理由如下： ∵ △ABC，△AMN是等边三角形， ∴ AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60∘， ∴ ∠BAM＝∠CAN. ∵ 在△BAM和△CAN中， AB=AC，∠BAM=∠CAN，AM=AN， ∴ △BAM≅△CAN(SAS)， ∴ ∠ABC=∠ACN． (3)解：∠ABC=∠ACN. 理由如下：∵ BA=BC，MA=MN， 顶角∠ABC=∠AMN， ∴ 底角∠BAC=∠MAN， ∴ △ABC∼△AMN， ∴ ABAC=AMAN. 又∵ ∠BAM=∠BAC−∠MAC， ∠CAN=∠MAN−∠MAC， ∴ ∠BAM=∠CAN， ∴ △BAM∼△CAN， ∴ ∠ABC=∠ACN． 【答案】 过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图1， 联立y=3xy=12x ， 解得：x=−2y=−6 或x=2y=6 ， ∵ x>0， ∴ 点P的坐标为(2, 6)， ∴ OF＝2，PF＝6， ∵ QE⊥x轴，PF⊥x轴， ∴ QE // PF， ∴ △OEQ∽△OFP， ∴ OEOF=EQFP=OQOP， ∵ OP＝2OQ， ∴ OF＝2OE＝2，PF＝2EQ＝6， ∴ OE＝1，EQ＝3， ∴ 点Q的坐标为(1, 3)， ∵ 点Q(1, 3)在双曲线y=kx上， ∴ k＝1×3＝3， ∴ k的值为； 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 如图2， 设点A的坐标为(a, b)， ∵ 点A(a, b)在双曲线y=12x上， ∴ b=12a． ∵ ．AB // x轴，AC // y轴， ∴ xC＝xA＝a，yB＝yA＝b=12a． ∵ 点B、C在双曲线y=3x上， ∴ xB=312a=a4，yC=3a． ∴ 点B的坐标为(a4, 12a)，点C的坐标为(a, 3a)． ∴ AB＝a−a4=3a4，AC=12a−3a=9a． ∴ S△ABC=12AB⋅AC =12×3a4×9a =278． ∴ 在点A运动过程中，△ABC的面积不变，始终等于278； 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 ①AC为平行四边形的一边， Ⅰ．当点B在点Q的右边时，如图3， ∵ 四边形ACBD是平行四边形， ∴ AC // BD，AC＝BD． ∴ xD＝xB=a4． ∴ yD＝3xD=3a4 ∴ DB=3a4−12a， ∵ AC=12a−2a=10a， ∴ 10a=a2−12a． 解得：a＝±2 7． 经检验：a＝±2 7是该方程的解． ∵ a>0， ∴ a＝2 7． ∴ b=12a=677． ∴ 点A的坐标为(2 7, 677)； Ⅱ．当点B在点Q的左边且点C在点Q的右边时，如图4， ∵ 四边形ACDB是平行四边形， ∴ AC // BD，AC＝BD， ∴ xD＝xB=a4． ∴ yD＝3xD=3a4， ∴ DB=12a−3a4， ∵ AC=9a， ∴ 9a=3a4−12a， 解得：a＝±2． 经检验：a＝±2是该方程的解． ∵ a>0， ∴ a＝2． ∴ b=12a=6， ∴ 点A的坐标为(2, 6)， ②AC为平行四边形的对角线， 此时点B、点C都在点Q的左边，如图5， ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB // CD，AB＝CD． ∴ yD＝yC=3a ∴ xD=yD3=1a． ∴ CD=1a−a． ∵ AB＝a−a4=3a4， ∴ 3a4=1a−a． 解得：a＝±277． 经检验：a＝±277是该方程的解． ∵ a>0， ∴ a=277， ∴ b=12a=67， ∴ 点A的坐标为( 277, 67)． 综上所述：当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，此时点A的坐标为(2 7, 677)或(2, 6)或( 277, 67)． 【考点】 反比例函数综合题 【解析】 （1）先求出点P的坐标，再从条件OP＝2OQ出发，构造相似三角形，求出点Q的坐标，就可求出k的值． （2）设点A的坐标为(a, b)，易得b=12a，结合条件可用a的代数式表示点B、点C的坐标，进而表示出线段AB、AC的长，就可算出△BAC的面积是一个定值． （3）以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形可分成两类：①AC为平行四边形的一边，②AC为平行四边形的对角线；然后利用平行四边形的性质建立关于a的方程，即可求出a的值，从而求出点A的坐标． 【解答】 过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图1， 联立y=3xy=12x ， 解得：x=−2y=−6 或x=2y=6 ， ∵ x>0， ∴ 点P的坐标为(2, 6)， ∴ OF＝2，PF＝6， ∵ QE⊥x轴，PF⊥x轴， ∴ QE // PF， ∴ △OEQ∽△OFP， ∴ OEOF=EQFP=OQOP， ∵ OP＝2OQ， ∴ OF＝2OE＝2，PF＝2EQ＝6， ∴ OE＝1，EQ＝3， ∴ 点Q的坐标为(1, 3)， ∵ 点Q(1, 3)在双曲线y=kx上， ∴ k＝1×3＝3， ∴ k的值为； 如图2， 设点A的坐标为(a, b)， ∵ 点A(a, b)在双曲线y=12x上， ∴ b=12a． ∵ ．AB // x轴，AC // y轴， ∴ xC＝xA＝a，yB＝yA＝b=12a． ∵ 点B、C在双曲线y=3x上， ∴ xB=312a=a4，yC=3a． ∴ 点B的坐标为(a4, 12a)，点C的坐标为(a, 3a)． ∴ AB＝a−a4=3a4，AC=12a−3a=9a． ∴ S△ABC=12AB⋅AC =12×3a4×9a =278． ∴ 在点A运动过程中，△ABC的面积不变，始终等于278； ①AC为平行四边形的一边， Ⅰ．当点B在点Q的右边时，如图3， ∵ 四边形ACBD是平行四边形， ∴ AC // BD，AC＝BD． ∴ xD＝xB=a4． ∴ yD＝3xD=3a4 ∴ DB=3a4−12a， ∵ AC=12a−2a=10a， ∴ 10a=a2−12a． 解得：a＝±2 7． 经检验：a＝±2 7是该方程的解． ∵ a>0， ∴ a＝2 7． ∴ b=12a=677． ∴ 点A的坐标为(2 7, 677)； Ⅱ．当点B在点Q的左边且点C在点Q的右边时，如图4， ∵ 四边形ACDB是平行四边形， ∴ AC // BD，AC＝BD， ∴ xD＝xB=a4． ∴ yD＝3xD=3a4， ∴ DB=12a−3a4， ∵ 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页 AC=9a， ∴ 9a=3a4−12a， 解得：a＝±2． 经检验：a＝±2是该方程的解． ∵ a>0， ∴ a＝2． ∴ b=12a=6， ∴ 点A的坐标为(2, 6)， ②AC为平行四边形的对角线， 此时点B、点C都在点Q的左边，如图5， ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB // CD，AB＝CD． ∴ yD＝yC=3a ∴ xD=yD3=1a． ∴ CD=1a−a． ∵ AB＝a−a4=3a4， ∴ 3a4=1a−a． 解得：a＝±277． 经检验：a＝±277是该方程的解． ∵ a>0， ∴ a=277， ∴ b=12a=67， ∴ 点A的坐标为( 277, 67)． 综上所述：当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，此时点A的坐标为(2 7, 677)或(2, 6)或( 277, 67)． 第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页查看更多