2020届陕西省宝鸡市金台区高三教学质量检测数学（理）试题（解析版）

2020届陕西省宝鸡市金台区高三教学质量检测数学（理）试题（解析版）

‎2020届陕西省宝鸡市金台区高三教学质量检测数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别解出集合，再求交集即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 集合.‎ 集合.‎ 所以 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集，属于基础题.正确解出集合是解本题的关键.‎ ‎2．设，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】由，知道，即可根据复平面的定义选出答案.‎ ‎【详解】‎ 因为.‎ 所以,在复平面内对应点.在第一象限.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查共轭复数与复平面的定义，属于基础题.熟练掌握其定义是解本题的关键.‎ ‎3．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据与解出,得到,即可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为.‎ 所以,，即,‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算、模长、数量积,属于基础题.求出是解本题的关键.‎ ‎4．十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相。现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】基本事件总数，这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数，由此能求出这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率．‎ ‎【详解】‎ 解：现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，‎ 甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，‎ 基本事件总数，‎ 这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数，‎ 这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎5．如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（　　）‎ A．回答该问卷的总人数不可能是100个 B．回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多 C．回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少 D．回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个 ‎【答案】D ‎【解析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．‎ ‎【详解】‎ 对于选项A，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A正确，‎ 对于选项B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确，‎ 对于选项C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，‎ 对于选项D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D错误，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题．‎ ‎6．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据不等式的基本性质和函数的单调性即可判断出答案.‎ ‎【详解】‎ A.当时 ,错误.‎ B.因为且单调递增,所以，错误.‎ C.当时，,错误.‎ D.因为，所以，即,正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的基本性质,函数的单调性，属于基础题.‎ ‎7．已知平面，，，下列结论中正确的是（ ）‎ A．“内有两条相交直线与平行”是“”的充分不必要条件；‎ B．“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件；‎ C．“，”是“”的充要条件；‎ D．“”是“，平行于同一直线”的充要条件.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由面面平行的判定定理与性质定理即可判断出答案.‎ ‎【详解】‎ A. “内有两条相交直线与平行”是“”的充要条件，错误.‎ B. “内有无数条直线与平行”不能推出“”； “”可以推出“内有无数条直线与平行”;所以“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件.正确.‎ C. “，”是“”的必要不充分条件；错误.‎ D. “”是“，平行于同一直线”的充分不必要条件.错误.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面平行的判定定理与性质定理与充分必要条件的判定.属于基础题.‎ ‎8．若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求抛物线焦点，再根据双曲线焦点列方程，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为的焦点是，双曲线的焦点是 ‎ 所以 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线焦点以及双曲线焦点，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎9．已知 则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据二倍角正余弦公式化简,再根据平方关系求得结果.‎ ‎【详解】‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角正余弦公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10．已知函数的图像过两点在内有且只有两个极值点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将两点代入函数,即可求出、,再由 在内有且只有两个极值点，可得到,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图像过两点 所以 ‎ 又在内有且只有两个极值点，即 ‎ 所以，即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数解析式，属于中档题.正确利用在内有且只有两个极值点判断出是解本题的关键.‎ ‎11．已知、是双曲线的焦点，是双曲线M的一条渐近线，离心率等于 的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，则（ ）‎ A．8 B．6 C．10 D．12‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用、是双曲线的焦点, 是双曲线的一条渐近线，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，求出椭圆的长轴长，再利用椭圆、双曲线的定义，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意， ∴双曲线∴（0，−3），（0，3），‎ ‎∵离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，∴,‎ ‎∵是椭圆与双曲线的一个公共点，,‎ ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆、双曲线的定义，考查学生的计算能力，确定椭圆的长轴长是关键．‎ ‎12．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用对勾函数求得在的最小值，再得图象向右移动个单位，其函数值扩大倍，从而求解.‎ ‎【详解】‎ 当时，的最小值是 由知 当时，的最小值是 当时，的最小值是 要使，则，‎ 解得：或 ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对勾函数和的图象平移和函数值的倍数关系，属于难度题.‎ 二、填空题 ‎13．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.8×p＝0.6，由此解得p的值．‎ ‎【详解】‎ 解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.8×p＝0.6，‎ 解得p＝，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．‎ ‎14．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据定义在上的奇函数：，解出,由知道函数关于对称，结合奇函数得到函数为以为周期的周期函数.利用周期性化简解出.‎ ‎【详解】‎ 因为为定义在上的奇函数.‎ 所以,即，‎ 又，即函数关于对称,又关于原点对称,‎ 所以函数为以为周期的周期函数.‎ 所以 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的周期性，属于中档题.解本题的关键在于能够利用轴对称与点对称得到函数的周期性.‎ ‎15．的内角的对边分别为，若的面积为，，，则_______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由正弦定理与可解出,即可得到,结合的面积为与,则可解出，代入角的余弦公式，即可解出答案.‎ ‎【详解】‎ 因为.‎ 由正弦定理有：.‎ 又因为，即.‎ 所以.‎ 所以.‎ 又因为 , .‎ 解得： ‎ 又 所以 故答案为：6.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形，熟练运用正余弦定理与三角形的面积公式是解本题的关键.‎ ‎16．如下图所示，用一个边长为的正方形硬纸板，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先确定蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面到球心距离，再加上此平面到底面距离即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意得蛋巢四个小三角形直角顶点围成一个正方形，对角线长为1，‎ 因为表面积为的球半径为1，所以球心到蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面距离为 又小三角形直角顶点到底面距离为，所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球表面积以及球截面，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ 三、解答题 ‎17．如图6,四棱柱的所有棱长都相等,,四边形和四边形为矩形.‎ ‎(1)证明:底面;‎ ‎(2)若,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1) 详见解析 (2)‎ ‎【解析】试题分析：(1)要证明线面垂直,只需要在面内找到两条相交的线段与之垂直即可,即证明与垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面为菱形,进而得到均为中点,得到三者相互平行,四边形均为矩形与平行相结合即可得到与垂直,进而证明线面垂直.‎ ‎(2)要求二面角,此问可以以以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角, 过作的垂线交于点,连接.利用(1)得到,在利用四边形为菱形,对角线相互垂直,两个垂直关系即可得到垂直于平面,进而得到,结合得到线面垂直,说明角即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为,利用勾股定理求出相应边长即可得到角的余弦值,进而得到二面角的余弦值.‎ ‎(1)证明:四棱柱的所有棱长都相等 四边形和四边形均为菱形 ‎ ‎ ‎ 分别为中点 四边形和四边形为矩形 ‎ 且 又 且底面 底面.‎ ‎(2)法1::过作的垂线交于点,连接.不妨设四棱柱的边长为.‎ ‎ 底面且底面 面 面 又面 四边形为菱形 又且,面 面 又面 又且,面 面 ‎ 为二面角的平面角,则 且四边形为菱形 ‎, ,‎ 则 再由的勾股定理可得,‎ 则 ,所以二面角的余弦值为.‎ 法2:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形是菱形,因此,又 面,从而两两垂直,如图以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,不妨设,因为,所以,,于是各点的坐标为:,已知是平面的一个法向量,设是平面的一个法向量,则,,取,则,‎ 所以,,故二面角的余弦值为.‎ ‎【考点】线面垂直 二面角 勾股定理 菱形 ‎18．某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：①以箱为基准，每多箱送箱；②通过双方议价，买方能以优惠成交的概率为，以优惠成交的概率为.‎ 甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；‎ 某单位需要这种零件 箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？‎ ‎【答案】（1）；（2）选择方案①更划算．‎ ‎【解析】（1）利用对立事件概率公式即可得到结果；‎ ‎（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188．得到相应的分布列及期望值，计算两种方案购买总价的数学期望从而作出判断.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6=0.24，‎ 所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率1-0.24=0.76．‎ ‎(2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188．‎ X的分布列为 X ‎184‎ ‎188‎ P ‎0.6‎ ‎0.4‎ 则EX＝184×0.6+188×0.4＝185.6．‎ 若选择方案②，则购买总价的数学期望为185.6×650＝120640元．‎ 若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，‎ 从而购买总价为200×600＝120000元．‎ 因为120640>120000，所以选择方案①更划算．‎ 评分细则：‎ 第(1)问中，分三种情况求概率，即所求概率为0.6×0.4+0.42+0.62＝0.76同样得分；‎ 第(2)问中，在方案②直接计算购买总价的数学期望也是可以的，解析过程作如下相应的调整：‎ 设在折扣优惠中购买总价为X元，则X＝184×650或188×650．‎ X的分布列为 X ‎184×650‎ ‎188×650‎ P ‎0.6‎ ‎0.4‎ 则EX＝184×650×0.6+188×650×0.4＝120640．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了离散型随机变量的期望，概率的计算，考查推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎19．已知是数列的前项和，且满足．‎ ‎（1）证明为等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)‎ ‎【解析】（1）当时，，求得首项为3，由题意可得，运用等比数列的定义即可得证；‎ ‎（2）运用等比数列的通项公式可得，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，化简即可得到所求和．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）证明：当时，，，‎ 可得，‎ 转化为：，‎ 即，‎ 所以 注意到，‎ 所以为首项为4，公比为2等比数列；‎ ‎（2）由（1）知：，‎ 所以，‎ 于是 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，同时考查等差数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎20．已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质，得到，得到，再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得，进而求得椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与两根积，将证明结果转化为证明直线，的斜率互为相反数，列式，可证.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意，，‎ 即① 又②‎ 联立①①解得 所以，椭圆的方程为：.‎ ‎（Ⅱ）设，，，由，‎ 得，‎ 所以，即，‎ 又因为，所以，，‎ ‎，，‎ 解法一：要证明，可转化为证明直线，的斜率互为相反数，只需证明，即证明.‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴，∴.‎ 解法二：要证明，可转化为证明直线，与轴交点、连线中点的纵坐标为，即垂直平分即可.‎ 直线与的方程分别为：‎ ‎，，‎ 分别令，得，‎ 而，同解法一，可得 ‎，即垂直平分.‎ 所以，.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，用到的结论有椭圆中点弦所在直线的斜率的特征，再者就是直线与椭圆相交的综合题，认真审题是正确解题的关键，注意正确的等价转化.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性并求当时函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2).‎ ‎【解析】分析：（1）先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性的定义进行判定其奇偶性，利用范围去掉绝对值符号，求导，利用导数的符号变化确定函数的单调区间；（2）分离参数，将问题转化为求函数的值域问题，再利用导数确定函数的单调性和极值，进而求出函数的值域．‎ 详解：（1）函数的定义域为且 ‎，∴为偶函数 当时，‎ 若，则递减；‎ 若，则递增.‎ 得的递增区间是，递减区间是.‎ ‎（3）由，得： 令 当，，显然 时，；时，‎ ‎∴时，‎ 又，为奇函数，∴时，‎ ‎∴的值域为 ‎∴若方程有实数解，则实数的取值范围是.‎ 点睛：1.处理函数的性质时，要注意函数的“定义域优先原则”，即先求出函数的定义域，再在定义域的范围内研究函数的奇偶性、单调性等问题；‎ ‎2.处理含有参数的函数问题时，往往采用分离参数法，将问题转化为求函数的值域或最值问题．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若点的极坐标为，，求的值．‎ ‎【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 即， 直线的普通方程为. ‎ ‎(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，‎ 得. 因为直线与曲线交于，两点．‎ 所以，解得.‎ 由根与系数的关系，得，. ‎ 因为点的直角坐标为，在直线上.所以 ‎， ‎ 解得，此时满足.且，故.．‎ ‎【点睛】‎ 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）若时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）当时，不等式为，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当时，有解，即上有解，故只需（，由此可得结论．‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，不等式为，‎ 若，则原不等式可化为，所以；‎ 若，则原不等式可化为，所以；‎ 若，则原不等式可化为，所以．‎ 综上不等式的解集为．‎ ‎（2）当时，由，得 即 故，‎ 又由题意知（，‎ 所以．‎ 故实数m的取值范围为．‎