安徽省大江中学、开城中学2013届高三上学期12月联考数学（文）试题

安徽省大江中学、开城中学2013届高三上学期12月联考数学（文）试题

大江中学、开城中学 2013 届高三联考 数学（文）试题 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后将答题卷交回。 注意事项：1.答题前，考生先将 自己的姓名、班级、考场、考试号码填写清楚。 2.使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效。 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、 选择题:本 大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设 i 为虚数单位，则复数 的共轭复数为 （ ） A. B． C． D． 2.已知集合 }, ,则 （ ） A. (0,2) B. [0,2] C. {0,2] D. {0,1,2} 3．命题 “ ”的否定是 （ ） A. B． C. D. 4．已知 是第二象限角，且 sin( ，则 tan2 的值为 ( ) A． B． C． D． 5． 等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 等于 ( ) A．52 B．54 C．56 D．58 6. 在 中，若 ，则角 B 的大小为 ( ) A． 30° B．45° C．1 35° D．45°或 135° 7.设向量 ， ，当向量 与 平行时，则 等于 ( ) A．2 B．1 C． D． 8. 函数 的大致图象为 ( ) 3 4i i + 4 3i− − 4 3i− + 4 3i+ 4 3i− )2,1(= → a )1,(xb = → →→ + ba 2 →→ − ba2 →→ ⋅ ba 2 5 2 7 { | | 2}A x R x= ∈ ≤ { | 4}B x Z x= ∈ ≤ A B∩ = 20, 0x x x∃ > − ≤ 20, 0x x x∃ > − > 20, 0x x x∃ ≤ − > 20, 0x x x∀ > − > 20, 0x x x∀ ≤ − > α 5 3) −=+απ α 5 4 7 23− 7 24− 9 24− { }na nS 3 7 11 12a a a+ + = 13S ABC∆ 60 , 4 3, 4 2A BC AC= ° = = 1lg | 1|y x = + 9.右图是函数 的部分 图象，则下列可以作为其解析式的是 ( ) A． B． C． D． 10.已知 是（- ，+ ）上的增函数，那么 的取值范围是( ) A．(1，+ ) B.(- ,3) C.[ ， 3) D.(1,3) 11.下列 命题中，真命题的个数为( )`. （1）在 中，若 ，则 ； （2）已知 ，则 在 上的投影为 ； （3）已知 ， ，则“ ”为假命题； （4）要得到函数 的图象，只需将 的图象向左平移 个单位． A．1 B．2 C．3 D．4 12. 已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足 下 列 三 个 条 件 ： ① 对 任 意 的 都 有 ②对于任意的 ，都有 ③ 的 图象关于 y 轴对称，则下列结论中，正确的是 ( ) A． B． C． D． sin( )( 0, 0)y A x Aω ϕ ω= + > > 2sin(2 )3y x π= − 12sin( )2 3y x π= + 22sin(2 )3y x π= − 2sin(2 )3y x π= + ABC∆ BA > BA sinsin > )42cos( π−= xy 2sin xy = 4 π (3 ) 4 , 1( ) log , 1a a x a xf x x x − −=  ≥ ＜ ， ∞ ∞ a ∞ ∞ 5 3 )1,2(),4,3( −−== CDAB AB CD 2− 1cos,: =∈∃ xRxp 01,: 2 >+−∈∀ xxRxq qp ¬∧ R )(xfy = Rx ∈ );()2( xfxf −=+ 20 21 ≤<≤ xx ),()( 21 xfxf < )2( += xfy )7()5.6()5.4( fff << )5.6()7()5.4( fff << )5.6()5.4()7( fff << )5.4()5.6()7( fff << 3 π2 －2 x 7 12 π O y 第Ⅱ卷 (选择题 共 90 分) 二、填空题( 共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分) 13.已知 则 的值为 . 14． ，且 ，则 的值为__________ [来源:学§科§网] 15．定义： ，其中 为向量 与 的夹角，若 ，则 等于 ． 16.设函数 的定义域为 ，若存在非零实数 使得对于任意 ，有 ， 且 ，则称 为 上的“ 高调函数”．现给出下列命题： ①函数 为 上的“1 高调函数”；[来源:学科网 ZXXK] ②函数 为 上的“ 高调函数”； ③如果定义域 为 的函数 为 上“ 高调函数”，那么实数 的取值范围 是 .其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10 分） 记函数 的定义域为集合 ，函数 的定义域为集合 . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ，且 ，求实数 的取值范围. 18．（本小题满分 10 分） 已知数列 的首项为 2，点 在函数 的图像上 （Ⅰ）求数列 的通项公式；[来源:学_科_网 Z_X_X_K] （Ⅱ）设数列 的前 项之和为 ，求 的值． αα cos2 1sin += )2,0( πα ∈ )4sin( 2cos πα α − θsin⋅⋅=× baba θ a b 6,5,2 −=⋅== baba ba × ( )f x D l ( )x M M D∈ ⊆ x l D+ ∈ ( ) ( )f x l f x+ ≥ ( )f x M l 2( ) logf x x= (0, )+∞ ( ) cos2f x x= R π [ 1, )− +∞ 2( )f x x= [ 1, )− +∞ m m [1, )+∞ { }na ( )1,n na a + 2 0x y− + = { }na { }na n nS 1 2 3 1 1 1 1 nS S S S + + +⋅⋅⋅+    ≥− <= − ,3),6(log 3,3)( 2 3 1 xx xexf x ))3(( ff 2( ) lg( 2)f x x x= − − A ( ) 3g x x= − B A B { }2 24 4 0, 0C x x x p p= + + − < > ( )C A B⊆  p 19. （本小题满分 12 分） 已知向量 设函数 （1）求函数 的单调递增区间； （2）在 A 为锐角的三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 ， 且 的面积 为 3， 求 a 的值。 20．（本大题满分 1 3 分） 已 知数列 的前 项和为 ,满足 , （1）求证数列 为等比数列； （2） 若数列 满足 为数列 的前 项和， 求证： . 21. （本小题满分 12 分） 某产品原来的成本为 1000 元/件，售 价为 1200 元/件，年销售量为 1 万件。由于市场饱和顾客要 求提高，公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查，若投入 万元，每件产品的成本将降 低 元，在售价不变的情况下，年销售量将减少 万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣 除产品升级资金后的纯利润记为 （单位：万元）．（纯利润=每件的利润×年销售量-投入的 成本） ⑴求 的函数解析式； ⑵ 求 的最大值，以及 取得最大值时 的值． 22. （本小题满分 13 分） 若二次函数 满足 ，且函数的 的一个零点为 . (Ⅰ) 求函数 的解析式； （Ⅱ）对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围. (sin ,cos ), (6sin cos ,7sin 2cos ),a x x b x x x x= = + −  ( )f x a b= ⋅  ( )f x ,6)( =Af ABC∆ 2 3 2,b c+ = + { 2}na + x 4 3x x 2 )(xf )(xf )(xf )(xf x , ,a b c { }na n nS 2 2 ( )n nS a n n N+= − ∈ { }nb 2log ( 2),n nb a= + nT { }2 n n b a + n 2 3 ( )C A B⊆  p 班 级 姓 名 考 场 座位号 密 封 线 内 不 要 答 题 18． （本小题满分 10 分）[来源:学科网] 已知数列 的首项为 2，点 在函数 的图像上 （Ⅰ）求数列 的通项公式；[来源:学_科_网 Z_X_X_K] （Ⅱ）设数列 的前 项之和为 ，求 的值． 19. （本小题满分 12 分） 已知向量 设函数 （1）求函数 的单调递增区间； （2）在 A 为锐角的三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 ， 且 的面积 为 3， 求 a 的值。 { }na ( )1,n na a + 2 0x y− + = { }na { }na n nS 1 2 3 1 1 1 1 nS S S S + + +⋅⋅⋅+ (sin ,cos ), (6sin cos ,7sin 2cos ),a x x b x x x x= = + −  ( )f x a b= ⋅  ( )f x ,6)( =Af ABC∆ 2 3 2,b c+ = + , ,a b c 20．（本大题满分 1 3 分） 已 知数列 的前 项和为 ,满足 , （1）求证数列 为等比数列； （2）若数列 满足 为数列 的前 项和， 求证： . 21. （本小题满分 12 分） 某产品原来的成本为 1000 元/件，售价为 1200 元/件，年销售量为 1 万件。由于市场饱和顾客要 求提高，公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查，若投入 万元，每件产品的成本将降 低 元，在售价不变的情况下，年销售量将减少 万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣 除产品升级资金后的纯利润记为 （单位：万元）．（纯利润=每件的利润×年销售量-投入的 成本） ⑴求 的函数解析式； ⑶ 求 的最大值，以及 取得最大值时 的值． { 2}na + x 4 3x x 2 )(xf )(xf )(xf )(xf x { }na n nS 2 2 ( )n nS a n n N+= − ∈ { }nb 2log ( 2),n nb a= + nT { }2 n n b a + n 2 3 = < − >或 { } { }3 0 3 3B x x x x= − ≥ = − ≤ ≤ { }3 1 2 3A B x x x∴ = − ≤ < − < ≤ 或 { }0 2 2p C x p x p> ∴ = − − < < − + ( )C A B⊆  2 3 2 1 p p − − ≥ −∴− + ≤ − 0 1p∴ < ≤ 19. （本小题满分 12 分） 解（1） = …2 分 …………4 分 由题意得： 解得 …………5 分 即函数 的单调递增区间为 ……6 分 （ 2 ） 由 （ 1 ） 可 得  ……8 分 ………10 分 …………12 分[来源:学科网] ( ) sin (6sin cos ) cos (7sin 2cos )f x a b x x x x x x= ⋅ = + + −  2 26sin 2cos 8sin cos 4(1 cos2 ) 4sin 2 2x x x x x x− + = − + − 4 2 sin(2 ) 24x π= − + ( )f x 2 2)42sin(,62)42sin(24)( =−=+−= ππ AAAf 4,442,4 3 424,20 πππππππ ==−<−<−<< AAAA 所以 232 +=+ cb .10=∴a 2 2 22 4 2k x k π π ππ π− + ≤ − ≤ + 3 8 8k x k π ππ π− + ≤ ≤ + 3,8 8k k k z π ππ π − + + ∈   2634 2sin2 1 =∴=== ∆ bcbcAbcS ABC ………11 分.102 2262212)232( 2 222)(cos2 2 2222 =××−−+= ×−=+=−+=∴ bcbccbAbccba 21. 解：⑴依题意， 产品升级后，每件的成本为 元，利润为 元…………2 分， 年销售量为 万件…………………………… 3 分， 纯利润为 ………………………………………5 分， （万元）……………………………………7 分 ⑵ ……9 分， …………………………………………………10 分， 等号当且仅当 ……11 分，即 （万元）……12 分。 22.解：（本小题满分 13 分） (Ⅰ) ∵ 且 ∴ ∴ ……………………4 分 （Ⅱ）由题意知： 在 上恒成立， 整理得 在 上恒成立， ………………………6 分 4 31000 x− 4 3200 x+ x 21− xx xxf −−+= )21)(4 3200()( 4 4005.198 x x −−= 4 40025.1984 4005.198)( x x x xxf ××−≤−−= 5.178= 4 400 x x = 40=x (2) ( 2)f f= − (1) 0f = 0, 1b c= = − 2( ) 1f x x= − 2 2 2 24 ( 1) ( 1) 1 4 4 0m x x m− + − − + − ≥ 1[ , )2x∈ +∞ 2 2 1 1 1 2 4m x x ≥ + − 1[ , )2x∈ +∞ 令 ∵ ∴ ………………………8 分 当 时，函数 得最大值 ， ………………………10 分 所以 ，解得 或 . ………………………13 分 命题人：无为大江中学 刘谦 ( )g x = 2 2 1 1 1 1 1 5( )2 4 4 16x x x + − = + − 1[ , )2x∈ +∞ ( ]1 0,2x ∈ 1 2x = ( )g x 19 4 2 19 4m ≥ 19 2m ≤ − 19 2m ≥