河北中考数学复习 第5讲 方程(组)与不等式(组)

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河北中考数学复习 第5讲 方程(组)与不等式(组)

第二章 方程(组)与不等式(组)‎ 第5讲 一次方程(组)‎ ‎1. (2019,河北)小悦买书需用48元钱,付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张.设所用的1元纸币为x张,根据题意,下面所列方程正确的是(A)‎ A. x+5(12-x)=48 B. x+5(x-12)=48 ‎ C. x+12(x-5)=48 D. 5x+(12-x)=48‎ ‎【解析】 设所用的1元纸币为x张,则5元纸币为(12-x)张.根据用钱总数是48元即可列出方程.‎ ‎2. (2019,河北)已知是关于x,y的二元一次方程x=y+a的解,求(a+1)(a-1)+7的值.‎ ‎【思路分析】 将方程的解代入方程,得到关于a的方程,求解,再求含有a的代数式的值.‎ 解:∵是关于x,y的二元一次方程x=y+a的解,‎ ‎∴2=+a.解得a=.‎ ‎∴(a+1)(a-1)+7=a2-1+7=3-1+7=9.‎ ‎3. (2019,河北,导学号5892921)利用加减消元法解方程组下列做法正确的是(D)‎ A. 要消去y,可以将①×5+②×2‎ B. 要消去x,可以将①×3+②×(-5)‎ C. 要消去y,可以将①×5+②×3‎ D. 要消去x,可以将①×(-5)+②×2‎ ‎【解析】 利用加减消元法解方程组要消去x,可以将①×(-5)+②×2.‎ ‎4. (2019,河北)已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.‎ ‎(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对,说明理由;‎ ‎(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.‎ ‎【思路分析】 (1)根据多边形的内角和公式可得n边形的内角和是180°的倍数,依此即可判断说法的对错,再根据多边形的内角和公式求出边数n.(2)根据等量关系:n边形变为(n+x)边形,内角和增加360°,列出方程,解方程即可确定x.‎ 解:(1)∵360°÷180°=2,630°÷180°=3……90°,∴甲的说法对,乙的说法不对.‎ ‎360°÷180°+2=2+2=4.‎ ‎∴甲同学说的多边形的边数n是4.‎ ‎(2)依题意,得(n+x-2)×180°-(n-2)×180°=360°.‎ 解得x=2.‎ ‎ 方程或方程组的解 例1 (2019,淮安)若关于x,y的二元一次方程3x-ay=1有一个解是则a= 4 .‎ ‎【解析】 把代入原方程,得9-2a=1,即可求出a的值.‎ 针对训练1 已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2,则a的值为(D)‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【解析】 把x=2代入原方程,得4+a-9=0.解得a=5.‎ ‎ 一元一次方程的解法 例2 解方程:2-=.‎ ‎【思路分析】 根据等式的性质,按一般步骤解方程.‎ 解:去分母,得12-2(2x+1)=3(1+x).‎ 去括号,得12-4x-2=3+3x.‎ 移项,得-4x-3x=3-12+2.‎ 合并同类项,得-7x=-7.‎ 系数化为1,得x=1.‎ 针对训练2(2019,武汉)解方程:4x-3=2(x-1).‎ ‎【思路分析】 本题解一元一次方程的步骤是:去括号,移项,合并同类项,再将系数化为1.‎ 解:去括号,得4x-3=2x-2.‎ 移项,得4x-2x=3-2.‎ 合并同类项,得2x=1.‎ 系数化为1,得x=.‎ ‎ 二元一次方程组的解法 例3 (2019,福建)解方程组: ‎【思路分析】 用加减消元法或代入消元法都可.‎ 解: ‎②-①,得3x=9.‎ 解得x=3.‎ 把x=3代入①,得3+y=1.‎ 解得y=-2.‎ 所以这个方程组的解是 针对训练3(2019,宿迁)解方程组: ‎【思路分析】 用加减消元法或代入消元法都可.‎ 解: ‎①×2,得2x+4y=0③.‎ ‎②-③,得x=6.‎ 把x=6代入①,得y=-3.‎ 所以这个方程组的解是 ‎ 一次方程(组)的应用 例4 (2019,东营)小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”‎ 活动会场,气球的种类有笑脸和爱心两种,两种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同.由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)为单位,已知第一、二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为(B)‎ 例4题图 A. 19元 B. 18元 C. 16元 D. 15元 ‎【解析】 设笑脸气球每个x元,爱心气球每个y元.根据题意,得解得 ∴2x+2y=18.(或将方程组中两个方程相加,得4x+4y=36.∴2x+2y=18.)‎ 例5 (2019,唐山路北区二模)某市对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”,具体收费标准如下表:‎ 一户居民一个月用水量设为x m3‎ 水费单价/(元/m3)‎ x≤22‎ a 超出22 m3的部分 a+1.1‎ 某户居民3月份用水10 m3,缴纳水费23元.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若该户居民4月份所缴水费为71元,求该户居民4月份的用水量.‎ ‎【思路分析】 (1)用水10 m3,由10<22,可得水费共10a元,即10a=23,求解即可.‎ ‎(2)先判断71元水费的用水量是否超过22 m3,再设用水量为x列方程求解.‎ 解:(1)由题意,得10a=23.解得a=2.3.‎ 答:a的值为2.3.‎ ‎(2)设该户居民4月份的用水量为x m3.‎ ‎∵当用水22 m3时,水费为22×2.3=50.6<71,‎ ‎∴用水量x>22.‎ ‎∴22×2.3+(x-22)×(2.3+1.1)=71.解得x=28.‎ 答:该户居民4月份的用水量为28 m3.‎ 针对训练4(2019,广州)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两.根据题意,得(D)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 两袋互换1枚后,甲袋有黄金8枚,白银1枚,乙袋有黄金1枚,白银10枚.两个等量关系是:互换前,甲袋重量=乙袋重量;互换后,乙袋重量-甲袋重量=13.‎ 针对训练5 (2019,岳阳)我市某校组织爱心捐书活动,准备将这批捐赠的书打包寄往贫困地区,其中每包书的数目相等.第一次他们领来这批书的,结果打了16个包还多40本;第二次他们把剩下的书全部取来,连同第一次打包剩下的书一起,刚好又打了9个包.那么这批书共有多少本?‎ ‎【思路分析】 题中等量关系是每包书数目相等.‎ 解:设这批书共有x本.‎ 根据题意,得=.‎ 解得x=1 500.‎ 答:这批书共有1 500本.‎ 一、 选择题 ‎1. 在解方程-1=时,两边同时乘6,去分母后,正确的是(D)‎ A. 3x-1-6=2(3x+1) B. (x-1)-1=2(x+1)‎ C. 3(x-1)-1=2(3x+1) D. 3(x-1)-6=2(3x+1)‎ ‎【解析】 方程两边的每一项都要乘6.‎ ‎2. 关于x,y的方程组的解是其中y的值被盖住了,不过仍能求出p,则p的值是(A)‎ A. - B. C. - D. ‎【解析】 把x=1代入x+y=3中,得y=2;再把x,y的值代入x+py=0,就可以求出p的值.‎ ‎3. (2019,桂林)若|3x-2y-1|+=0,则x,y的值为(D)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 根据绝对值的非负性和被开方数的非负性,得解得 ‎4. (2019,重庆B)根据如图所示的程序计算函数y的值.若输入的x值是4或7时,输出的y值相等,则b等于(C)‎ 第4题图 A. 9 B. 7 C. -9 D. -7‎ ‎【解析】 当x=4时,y=8+b;当x=7时,y=-1.∴8+b=-1.解得b=-9.‎ ‎5. (2019,烟台)如图,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第n个图形中有120朵玫瑰花,则n的值为(C)‎ 第5题图 A. 28 B. 29 C. 30 D. 31‎ ‎【解析】 根据图中规律,第n个图形中有4n朵玫瑰花,∴4n=120.解得n=30.‎ ‎6. (2019,南通)篮球比赛规定:胜一场得3分,负一场得1分.某篮球队共进行了6场比赛,得了12分,该队获胜的场数是(B)‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【解析】 设该队获胜x场,则负了(6-x)场.根据题意,得3x+(6-x)=12.解得x=3.‎ ‎7. 父子二人并排垂直站立于游泳池中时,爸爸露出水面的高度是他自身身高的,儿子露出水面的高度是他自身身高的,父子二人的身高之和为3.2 m. 若设爸爸的身高为 x m,儿子的身高为y m,则可列方程组为(D)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 题中的等量关系有两个,一是父子二人的身高之和为3.2 m,二是水深是爸爸身高的,儿子身高的,两者相等.‎ ‎8. (2019,温州)学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动,现已预备了49座和37座两种客车共10辆,刚好坐满.设49座客车x辆,37座客车y辆,根据题意可列出方程组(A)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 题中的等量关系有两个,一是车一共有10辆,二是座位数与人数相等.‎ ‎9. (2019,福建)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托,折回索子去量竿,却比竿子短一托.” 其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设绳索长x尺,竿长y尺,则符合题意的方程组是(A)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 两个等量关系分别是:绳索比竿长5尺,绳索的一半比竿短5尺.‎ ‎10. (2019,恩施州)一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服,其中一件赢利20%,另一件亏损20%.在这次买卖中,这家商店(C)‎ A. 不赢不亏 B. 赢利20元 ‎ C. 亏损10元 D. 亏损30元 ‎【解析】 设其中一件衣服进价为x元,另一件进价为y元,则(1+20%)x=120,(1-20%)y=120.解得x=100,y=150.∵120×2-100-150=-10,∴这家商店亏损10元.‎ 二、 填空题 ‎11. (2019,菏泽)一组“数值转换机”按下面的程序计算,若输入的数是36,则输出的结果为106.要使输出的结果为127,则输入的最小正整数是 15 .‎ 第11题图 ‎【解析】 从结果倒推输入的x值,由3x-2=127,解得x=43.再由3x-2=43,解得x=15.而3x-2=15没有整数解,故输入的最小正整数为15.‎ ‎12. (2019,凉山州)已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6,则这个数是( ).‎ ‎【解析】 正数的两个平方根互为相反数,即3x-2+5x+6=0.解得x=-.则这个数是(3x-2)2=.‎ ‎13. (2019,随州)已知是关于x,y的二元一次方程组的解,则a+b= 5 .‎ ‎【解析】 把代入得解得∴a+b=5.‎ ‎14. (2019,德州)对于实数a,b,定义运算“◆”:a◆b=例如4◆3,因为4>3,所以4◆3==5.若x,y满足方程组则x◆y= 60 .‎ ‎【解析】 解方程组得∵5<12,∴x◆y=5×12=60.‎ 三、 解答题 ‎15. (2019,扬州)对于任意实数a,b,定义关于“⊗”的一种运算如下:a⊗b=2a+b.例如3⊗4=2×3+4=10.‎ ‎(1)求2⊗(-5)的值;‎ ‎(2)若x⊗(-y)=2,且2y⊗x=-1,求x+y的值.‎ ‎【思路分析】 (1)a=2,b=-5,按指定运算求值.(2)根据指定运算写出关于x,y的方程组,求解后,可得x+y的值.‎ 解:(1)2⊗(-5)=2×2-5=-1.‎ ‎(2)由题意,得 解得 ‎∴x+y=.‎ ‎16. (2019,舟山)用消元法解方程组时,两位同学的解法如下:‎ 一般说来,“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋(唐初学者,四门博士)《春秋谷梁传疏》曰:“师者教人以不及,故谓师为师资也”。这儿的“师资”,其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云:“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形,但仍说不上是名副其实的“教师”,因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 ‎(1)判断上述两个解题过程中有无计算错误.若有误,请在错误处打“×”;‎ ‎(2)请选择一种你喜欢的方法,完成解答.‎ ‎【思路分析】 (1)解法一中①-②不能消去未知数;解法二利用整体代入的方法,计算正确.(2)若选解法一,则从第一步改正,一步步做下去;若选解法二,则继续做下去.‎ 解:(1)解法一中的计算有误(标记略).‎ ‎(2)由①-②,得-3x=3.‎ 解得x=-1.‎ 把x=-1代入①,得-1-3y=5.‎ 解得y=-2.‎ 所以原方程组的解是 ‎17. 小赵和小王交流暑假中的活动,小赵说:“我们一家外出旅行了一个星期,这7天的日期数之和是84,你知道我们是几日出去的吗?”小王说:“我假期去舅舅家住了7天,日期数再加上月份数也是84,你能猜出我是几月几日回的家吗?”试试看列出方程,解决小赵、小王的问题.(提示:7月1日—9月1日暑假)‎ ‎【思路分析】 设出中间一天的日期,其他日期用代数式表示出来.小赵的问题用7天日期之和等于84列出方程;小王的问题是日期之和加7(或8)等于84;注意方程的解只能是1到31之间的整数.‎ 解:设小赵外出旅行这一星期中间一天的日期为x日.‎ 根据题意,得(x-3)+(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=84.‎ 解得x=12.‎ ‎∴12-3=9.‎ 设小王在舅舅家住的中间一天的日期为y日.‎ 根据题意,得7y+7=84或7y+8=84.‎ 解得y=11或y=(不合题意,舍去).‎ ‎∴11+3=14.‎ 答:小赵是9日出去的.小王是7月14日回的家.‎ ‎18. (2019,张家界)《九章算术》中有“盈不足术”的问题,原文如下:“今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊價各幾何?”题意是若干人共同出资买羊,每人出5元,则差45元;每人出7元,则差3元.求人数和羊价各是多少.‎ ‎【思路分析】 两种出资方法,人数相等,羊价相等.设其中一个为未知数,另一个作为等量关系来列方程.‎ 解:设有x人.‎ 根据题意,得5x+45=7x+3.‎ 解得x=21.‎ ‎∴5×21+45=150(元).‎ 答:有21人,羊价为150元.‎ ‎19. (2019,黄冈)在端午节来临之际,某商店订购了A型和B型两种粽子.A型粽子28元/kg,B型粽子24元/kg.若B型粽子的质量比A型粽子的2倍少20 kg,订购两种粽子共用了2 560元,求两种类型粽子各订购了多少千克.‎ ‎【思路分析】 两个等量关系是,A型粽子质量×2-20=B型粽子质量;A型粽子总价+B型粽子总价=2 560元.‎ 解:设A型粽子订购了x kg,B型粽子订购了y kg.‎ 由题意,得 解得 答:A型粽子订购了40 kg,B型粽子订购了60 kg.‎ ‎1. (2019,石家庄长安区质检,导学号5892921)小华和小红到同一家鲜花店购买百合花与玫瑰花,她们购买的数量如下表所示,小华花的总钱数比小红少8元.下列说法正确的是(A)‎ 百合花 玫瑰花 小华 ‎6枝 ‎5枝 小红 ‎8枝 ‎3枝 A. 买2枝百合花比买2枝玫瑰花多花8元 B. 买2枝百合花比买2枝玫瑰花少花8元 C. 买14枝百合花比买8枝玫瑰花多花8元 D. 买14枝百合花比买8枝玫瑰花少花8元 ‎【解析】 设每枝百合花x元,每枝玫瑰花y元.根据题意,得6x+5y+8=8x+3y,可以变形为2y+8=2x.所以买2枝百合花比买2枝玫瑰花多花8元.‎ 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念,最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云:“伯安入小学,颖悟非凡貌,属句有夙性,说字惊老师。”于是看,宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”,而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见,“教师”一说是比较晚的事了。如今体会,“教师”的含义比之“老师”一说,具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后,教师与其他官员一样依法令任命,故又称“教师”为“教员”。2. (2019,枣庄,导学号5892921)若二元一次方程组的解为则a-b=( ).‎ ‎【解析】 把代入原方程组,得两式相加,得4a-4b=7,∴a-b=.‎ 宋以后,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末,学堂兴起,各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意,即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间,特别是汉代以后,对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合,比如书院、皇室,也称教师为“院长、西席、讲席”等。3. (2019,滨州,导学号5892921)若关于x,y的二元一次方程组的解是则关于a,b的二元一次方程组的解是( ).‎ ‎【解析】 把a+b,a-b分别看作一个整体,根据题意,得解得 要练说,得练看。看与说是统一的,看不准就难以说得好。练看,就是训练幼儿的观察能力,扩大幼儿的认知范围,让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中,积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时,我着眼观察于观察对象的选择,着力于观察过程的指导,着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。4. (2019,石家庄裕华区质检)如图,将连续的奇数1,3,5,7,…按图①中的方式排成一个数表,用一个十字框框住5个数,这样框出的任意5个数(如图②)分别用a,b,c,d,x表示.‎ 第4题图 ‎(1)若x=17,则a+b+c+d= 68 ;‎ ‎(2)移动十字框,用x表示a+b+c+d= 4x ;‎ ‎(3)设M=a+b+c+d+x,判断M能否等于2 020,请说明理由.‎ ‎【思路分析】 (1)直接相加即可.(2)观察可得a=x-12,b=x-2,c=x+2,d=x+12,则a+b+c+d=4x.(3)判断5x=2 020的解是否满足题意即可.‎ 解:(1)68‎ ‎(2)4x ‎(3)M不能等于2 020.‎ 理由:由(2)知a+b+c+d=4x,‎ ‎∴M=4x+x=5x.‎ 令5x=2 020,‎ ‎∴x==404.‎ 因为404是偶数,题中数据都是奇数,‎ 所以M不能等于2 020.‎
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