安徽省合肥市高考数学一模试卷理科解析版

安徽省合肥市高考数学一模试卷理科解析版

‎2016年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在复平面内，复数z=对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第在象限 D．第四象限 ‎2．sin18°•sin78°﹣cos162°•cos78°等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．一次数学考试后，某老师从自己带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学的中位数为73，则x﹣y的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3‎ ‎4．“x≥1”是“x+≥2”（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．执行如下程序框图，则输出结果为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎6．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥l D．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α ‎7．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=3，则a=（　　）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎8．若双曲线C1： =1与C2： =1（a＞0，b＞0）的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b=（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．8‎ ‎10．某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在展开式中含x2项系数与含x10项系数相等，则n取值为（　　）‎ A．12 B．13 C．14 D．15‎ ‎12．函数f（x）=﹣x2+3x+a，g（x）=2x﹣x2，若f（g（x））≥0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣e，+∞） B．[﹣ln2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣，0]‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上.‎ ‎13．已知集合A={0，1，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=　　　　　　．‎ ‎14．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最大值是　　　　　　．‎ ‎15．已知等边△ABC的边长为2，若，则=　　　　　　．‎ ‎16．存在实数φ，使得圆面x2+y2≤4恰好覆盖函数y=sin（x+φ）图象的最高点或最低点共三个，则正数k的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在数列{an}中，．‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和．‎ ‎18．某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：‎ 有效 无效 合计 使用方案A组 ‎96‎ ‎120‎ 使用方案B组 ‎72‎ 合计 ‎32‎ ‎（Ⅰ）完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；‎ ‎（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？‎ 附：，其中n=a+b+c+d P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．四棱锥E﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AE=2BC=2AB=2，AB⊥AD，平面EAD⊥平面ABCD，点F为DE的中点．‎ ‎（1）求证：CF∥平面EAB；‎ ‎（2）若CF⊥AD，求二面角D﹣CF﹣B的余弦值．‎ ‎20．设A，B为抛物线y2=x上相异两点，其纵坐标分别为﹣1，2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P．‎ ‎（Ⅰ）求点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）M为A，B间抛物线段上任意一点，设，试判断是否为定值，如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由．‎ ‎21．已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；‎ ‎（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第22题,23题,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．已知AB是圆O的直径，点C在圆O上（异于点A，B），连接BC并延长至点D，使得BC=CD，连接DA交圆O于点E，过点C作圆O的切线交AD于点F．‎ ‎（Ⅰ）若∠DBA=60°，求证：点E为AD的中点；‎ ‎（Ⅱ）若CF=R，其中R为圆C的半径，求∠DBA．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知直线l：为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a（a＞﹣3）‎ ‎（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线C与直线l有唯一公共点，求实数a的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a＞0，b＞0，记A=+，B=a+b．‎ ‎（1）求A﹣B的最大值；‎ ‎（2）若ab=4，是否存在a，b，使得A+B=6？并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在复平面内，复数z=对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第在象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】本题考查的是复数的计算．‎ ‎【解答】解：Z=，故选D．‎ ‎　‎ ‎2．sin18°•sin78°﹣cos162°•cos78°等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】利用两角和的正弦函数公式化简后即可得答案．‎ ‎【解答】解：sin18°•sin78°﹣cos162°•cos78°=sin18°•cos12°+cos18°•sin12°=sin30°=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．一次数学考试后，某老师从自己带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学的中位数为73，则x﹣y的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值．‎ ‎【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；‎ 甲班5名同学成绩的平均数为 ‎（72+77+80+x+86+90）=81，解得x=0；‎ 又乙班5名同学的中位数为73，则y=3；‎ x﹣y=0﹣3=﹣3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．“x≥1”是“x+≥2”（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据基本不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当x≥1，由基本不等式可得x+≥2当且仅当x=1时取等号，∴充分性成立．‎ 若x+≥2，则x＞0，必要性不成立，‎ ‎∴“x≥1”是“x+≥2”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．执行如下程序框图，则输出结果为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的T，S，n的值，当T=，S=6时，满足条件T≤S，退出循环，输出n的值为4．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 n=1，S=0，T=20‎ T=10，S=1，n=2‎ 不满足条件T≤S，T=5，S=3，n=3‎ 不满足条件T≤S，T=，S=6，n=4‎ 满足条件T≤S，退出循环，输出n的值为4．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥l D．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．‎ ‎【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；‎ ‎（B）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，‎ 则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．‎ ‎（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，‎ ‎∵m∥α，m⊂γ，α∩γ=a，‎ ‎∴m∥a，‎ 同理可得：n∥a．‎ ‎∴a∥b，∵b⊂β，a⊄β，‎ ‎∴a∥β，‎ ‎∵α∩β=l，a⊂α，∴a∥l，‎ ‎∴l∥m．‎ 故C正确．‎ ‎（D）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，‎ 则α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC⊂平面ABCD，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=3，则a=（　　）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由已知条件和余弦定理可得a的方程，解方程可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得c=a+2，b=3，cosA=，‎ ‎∴由余弦定理可得cosA=•，‎ 代入数据可得=，‎ 解方程可得a=2‎ 故选：A ‎　‎ ‎8．若双曲线C1： =1与C2： =1（a＞0，b＞0）的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b=（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线C1的渐近线方程，可得b=2a，再由焦距，可得c=2，即有a2+b2=20，解方程，可得b=4．‎ ‎【解答】解：双曲线C1： =1的渐近线方程为y=±2x，‎ 由题意可得C2： =1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，即有b=2a，‎ 又2c=4，即c=2，即有a2+b2=20，‎ 解得a=2，b=4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．8‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体是由一个正方体截去一个三棱锥余下的几何体．利用体积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个正方体截去一个三棱锥余下的几何体．‎ ‎∴该几何体的体积V=23﹣=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n=44，再求出恰有一个项目未被抽中包含的基本事件个数，由此能求出恰有一个项目未被抽中的概率．‎ ‎【解答】解：某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项项目中任意抽取一个参加考核，‎ 基本事件总数n=44，‎ 恰有一个项目未被抽中包含的基本事件个数为：m=，‎ ‎∴恰有一个项目未被抽中的概率为p===．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．在展开式中含x2项系数与含x10项系数相等，则n取值为（　　）‎ A．12 B．13 C．14 D．15‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】先求和，再利用二项展开式的通项公式，结合在展开式中含x2项系数与含x10项系数相等，列出方程求出n．‎ ‎【解答】解： ==，‎ ‎∵在展开式中含x2项系数与含x10项系数相等，‎ ‎∴Cn+13=Cn+111，‎ ‎∴3+11=n+1，即n=13，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．函数f（x）=﹣x2+3x+a，g（x）=2x﹣x2，若f（g（x））≥0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣e，+∞） B．[﹣ln2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣，0]‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】确定g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]]，（g（x0）=，再分离参数求最大值，即可求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2xln2﹣2x 设g′（x0）=0，则函数在[0，x0]上单调递增，在[x0，1]上单调递减，‎ g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]]，（g（x0）=‎ ‎∴f（t）≥0，即a≥t2﹣3t，‎ ‎∴a≥﹣2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上.‎ ‎13．已知集合A={0，1，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=　{0，3}　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】直接利用交集的定义即可求出．‎ ‎【解答】解：集合A={0，1，3}，B={x|x2﹣3x=0}={0，3），‎ 则A∩B={0，3}，‎ 故答案为：{0，3}．‎ ‎　‎ ‎14．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最大值是　4　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作平面区域，化简目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，从而求最大值．‎ ‎【解答】解：作平面区域如下，‎ 化简目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，‎ 故当过点（2，﹣2）时，‎ z=x﹣y有最大值为2﹣（﹣2）=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎15．已知等边△ABC的边长为2，若，则=　﹣2　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由题意画出图形，建立适当的平面直角坐标系，求出所用点的坐标，得到向量的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，‎ ‎∵等边△ABC的边长为2，且，‎ 则B（﹣1，0），D（，），A（0，），E（﹣，0），‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎16．存在实数φ，使得圆面x2+y2≤4恰好覆盖函数y=sin（x+φ）图象的最高点或最低点共三个，则正数k的取值范围是　（，]　．‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法；圆方程的综合应用．‎ ‎【分析】由题意可得T=2k≤2＜2T，即可解得正数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：函数y=sin（x+φ）图象的最高点或最低点一定在直线y=±1上，‎ 由，解得：，‎ 由题意可得：T==2k，T≤2＜2T，‎ 解得正数k的取值范围是：（，]．‎ 故答案为：（，]．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在数列{an}中，．‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）通过对an+1=an变形可知=•，进而可知数列{}是首项、公比均为的等比数列；‎ ‎（2）通过（1）可知，进而利用错位相减法计算即得结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵an+1=an，‎ ‎∴=•，‎ 又∵=，‎ ‎∴数列{}是首项、公比均为的等比数列；‎ ‎（2）解：由（1）可知=，，‎ ‎∴，‎ Sn=+2•+…+（n﹣1）•+n•，‎ 两式相减得： Sn=+++…+﹣n•，‎ ‎∴Sn=1++++…+﹣n•‎ ‎=﹣n•‎ ‎=2﹣．‎ ‎　‎ ‎18．某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：‎ 有效 无效 合计 使用方案A组 ‎96‎ ‎120‎ 使用方案B组 ‎72‎ 合计 ‎32‎ ‎（Ⅰ）完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；‎ ‎（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？‎ 附：，其中n=a+b+c+d ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ P（K2≥k0）‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，填写列联表，计算使用方案A、B有效的频率值，比较即可；‎ ‎（Ⅱ）计算观测值K2，对照数表即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；‎ 有效 无效 合计 使用方案A组 ‎96‎ ‎24‎ ‎120‎ 使用方案B组 ‎72‎ ‎8‎ ‎80‎ 合计 ‎168‎ ‎32‎ ‎200‎ 使用方案A有效的频率是=0.8，‎ 使用方案B有效的频率是=0.9，‎ 使用使用方案B治疗有效的频率更高些；‎ ‎（Ⅱ）计算观测值K2=≈3.571＜3.841；‎ 所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关．‎ ‎　‎ ‎19．四棱锥E﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AE=2BC=2AB=2，AB⊥AD，平面EAD⊥平面ABCD，点F为DE的中点．‎ ‎（1）求证：CF∥平面EAB；‎ ‎（2）若CF⊥AD，求二面角D﹣CF﹣B的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明CF∥平面EAB；‎ ‎（2）若CF⊥AD，建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角D﹣CF﹣B的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）取AE的中点G，连接FG，GB，‎ ‎∵点F为DE的中点，∴GF∥AD，且GF=AD，‎ ‎∵AD∥BC，AD=2BC，‎ ‎∴GF∥BC，且GF=BC，‎ ‎∴四边形CFGB为平行四边形，则CF∥BG，而CF⊄平面EAB，BG⊂平面EAB，‎ ‎∴CF∥平面EAB．‎ ‎（2）∵CF⊥AD，‎ ‎∴AD⊥BG，‎ ‎∵AB⊥AD，∴AD⊥平面EAB，‎ ‎∴AD⊥EA，‎ ‎∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴EA⊥平面ABCD，‎ 以A为坐标原点，以AB，AD，AE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），F（0，1，1），‎ 设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则，‎ 即，即，令x=1，则z=1，即=（1，0，1），‎ 平面CDF的法向量为=（x，y，z），同理得=（1，1，1），‎ 则cos＜，＞==‎ 由于二面角D﹣CF﹣B是钝二面角，‎ ‎∴二面角D﹣CF﹣B的余弦值是﹣．‎ ‎　‎ ‎20．设A，B为抛物线y2=x上相异两点，其纵坐标分别为﹣1，2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P．‎ ‎（Ⅰ）求点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）M为A，B间抛物线段上任意一点，设，试判断是否为定值，如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（I）求出A，B坐标，设切线斜率得出切线方程，联立方程组，令判别式△=0得出斜率，从而求出切线方程，再联立切线方程解出P点坐标；‎ ‎（II）设M（y02，y0）（﹣1≤y0≤2），根据向量的基本定理列方程组解出λ，μ，计算即可．‎ ‎【解答】解：（I）A（1，﹣1），B（4，2），‎ 设l1的方程为y+1=k（x﹣1），即y=kx﹣k﹣1，‎ 联立方程组，消元得：ky2﹣y﹣k﹣1=0，‎ ‎∴△=1+4k（k+1）=0，解得k=﹣．‎ ‎∴l1方程为：y=﹣x﹣．‎ 同理可得l2方程为：y=x+1．‎ 联立方程组，解得．‎ ‎∴P点坐标为（﹣2，）．‎ ‎（II）设M（y02，y0）（﹣1≤y0≤2），则=（y02+2，y0﹣）. =（3，﹣），=（6，）．‎ ‎∵，‎ ‎∴．解得λ=，μ=．‎ ‎∴=+=1．‎ ‎　‎ ‎21．已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；‎ ‎（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】（1）对函数f（x）求导后知g（x），对g（x）求导后得到单调性．‎ ‎（2）利用导函数求得F（x）的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F（x）无零点分别求得a的取值范围，再取并集即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=e﹣，‎ ‎∴f′（x）=﹣，‎ ‎∴g（x）=（x+1）（﹣），‎ ‎∴g′（x）= [（x+3）﹣1]，‎ 当x＞﹣1时，g′（x）＞0，‎ ‎∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．‎ ‎（2）由F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4知，F′（x）=（﹣g（x）），‎ 由（1）知，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且g（﹣1）=0 可知当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）∈（0，+∞），‎ 则F′（x）=（﹣g（x））有唯一零点，‎ 设此零点为x=t，易知x∈（﹣1，t）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；‎ x∈（t，+∞）时，F′（t）＜0．F（x）单调递减．‎ 知F（x）max=F（t）=ln（t+1）﹣af（t）+4，‎ 其中a=，‎ 令G（x）=ln（x+1）﹣+4，‎ 则G′（x）=，‎ 易知f（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，‎ ‎∴G′（x）＞0，G（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且G（0）=0，‎ ‎①当0＜a＜4时，g（t）=＞=g（0），‎ 由g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，知t＞0，则F（x）max=F（t）=G（t）＞G（0）=0，‎ 由F（x）在（﹣1，t）上单调递增，﹣1＜e﹣4﹣1＜0＜t，f（x）＞0，g（t）＞0在（﹣1，+∞）上均恒成立，‎ 则F（e﹣4﹣1）=﹣af（e﹣4﹣1）＜0，‎ ‎∴F（t）F（e﹣4﹣1）＜0‎ ‎∴F（x）在（﹣1，t）上有零点，与条件不符；‎ ‎②当a=4时，g（t）===g（0），由g（x）的单调性可知t=0，‎ 则F（x）max=F（t）=G（t）=G（0）=0，此时F（x）有一个零点，与条件不符；‎ ‎③当a＞4时，g（t）=＜=g（0），由g（x）的单调性知t＜0，‎ 则F（x）max=F（t）=G（t）＜G（0）=0，此时F（x）没有零点．‎ 综上所述，当F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点时，正数a的取值范围是a∈（4，+∞）．‎ ‎　‎ 请考生在第22题,23题,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．已知AB是圆O的直径，点C在圆O上（异于点A，B），连接BC并延长至点D，使得BC=CD，连接DA交圆O于点E，过点C作圆O的切线交AD于点F．‎ ‎（Ⅰ）若∠DBA=60°，求证：点E为AD的中点；‎ ‎（Ⅱ）若CF=R，其中R为圆C的半径，求∠DBA．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】（1）先证明出△ABD为等边三角形，再连BE，根据三线合一定理证明出点E为AD的中点；‎ ‎（2）连CO，运用中位线定理证明出BE∥CF，继而证出BE=R，最后求出∠DAB．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AB为圆O的直径，‎ ‎∴AC⊥BD，而BC=CD．‎ ‎∴AB=AD，而∠DBA=60°，‎ ‎∴△ABD为等边三角形，连BE，由AB为圆的直径，‎ ‎∴AD⊥BE，∴E为AD中点．‎ ‎（Ⅱ）连CO，易知CO∥AD，‎ ‎∵CF为圆O的切线，∴CF⊥CO，‎ ‎∴CF⊥AD，又BE⊥AD，‎ ‎∴BE∥CF，且CF=BE，由CF=知BE=R，‎ ‎∴∠DAB=30°．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知直线l：为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a（a＞﹣3）‎ ‎（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线C与直线l有唯一公共点，求实数a的值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（I）曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a（a＞﹣3），把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入化为直角坐标方程．‎ ‎（II）直线l：为参数），消去参数t，化为普通方程．利用直线与圆相切的充要条件即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a（a＞﹣3），‎ 化为直角坐标方程：x2+y2﹣2y=a，配方为：x2+=3+a＞0．‎ ‎（II）直线l：为参数），消去参数t，化为普通方程：﹣y=0．‎ ‎∵曲线C与直线l有唯一公共点，‎ ‎∴圆心到直线l的距离d==3+a，‎ 解得a=﹣3．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a＞0，b＞0，记A=+，B=a+b．‎ ‎（1）求A﹣B的最大值；‎ ‎（2）若ab=4，是否存在a，b，使得A+B=6？并说明理由．‎ ‎【考点】有理数指数幂的化简求值．‎ ‎【分析】（1）代入配方利用二次函数的单调性即可得出最大值；‎ ‎（2）假设存在a，b，使得A+B=6，则，令=x＞0， =y＞0，化为，令x+y=t＞0，化为t2+t﹣10=0，判断此方程是否有实数根即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）A﹣B=+﹣a﹣b=﹣﹣+1≤1，当且仅当a=b=时取等号．‎ ‎∴A﹣B的最大值是1．‎ ‎（2）假设存在a，b，使得A+B=6，则，‎ 令=x＞0， =y＞0，化为，‎ 令x+y=t＞0，化为t2+t﹣10=0，‎ ‎∵△=1+40=41＞0，且t1t2=﹣10＜0．‎ ‎∴上述方程有正实数根，‎ 因此存在a，b，使得A+B=6，ab=4同时成立．‎ ‎　‎ ‎2016年8月25日